7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

7．1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
1. 经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创新的过程以及数学发生、发展的客观需求．
2. 通过方程的解，认识复数．
3. 了解复数的基本概念，理解复数相等的含义．
活动一 了解数系的发展史
阅读课本相关内容，回答下列问题：
问题1：我们说，实系数一元二次方程x2＋1＝0没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．解决这一问题，其本质就是解决以下问题串：什么叫方程无解？方程是否有解与什么相关？有没有必要将实数集扩充，使得此类方程在新的数集中变得有解？
问题2：方程x2＋1＝0在实数集中无解．联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
活动二　了解复数的基本概念　
1. 新数i的引入，并规定：
(1) i2＝－1；
(2) 实数可以与它进行加法和乘法运算．
2. 复数的有关概念．
(1) 复数是怎样形成的？其中i叫什么？
(2) 如何对复数进行分类？
例1　完成下列表格(分类一栏填“实数”“虚数”或“纯虚数”).
4 2－3i 0 －＋i 5＋i 6i i2
实部
虚部
分类
只有当a，b∈R时，a＋bi中的a称为实部，b称为虚部．
当实数m取什么值时，复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是下列数？
(1) 实数；　　　　(2) 虚数；
(3) 纯虚数； (4) 0.
思考1
a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充分条件吗？
思考2
复数集C与实数集R之间有什么关系？
活动三 理解复数相等的含义
思考3
两个复数满足什么条件时相等？
例2　已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，求实数x，y的值．
1. a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)
2. a＋bi＝0(a，b∈R)
3. 利用复数相等的定义可将复数问题实数化.
若复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1>z2，求实数m的值．
1. (2023上海奉贤高一期末)“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的(　　)
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 若(2k2－3k－2)＋(k2－2k)i是纯虚数，则实数k的值为(　　)
A. 0或2 B. 2或－ C. － D. 2
3. (多选)已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能为(　　)
A. B. C. π D.
4. 多项式x2＋1在实数范围内不能分解因式，但数系扩充到复数以后有x2＋1＝(x＋i)(x－i)，则在复数范围内多项式x2－4x＋5分解成一次因式乘积的结果为________________．
5. 当实数m取什么值时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是下列数？
(1) 纯虚数；
(2) 实数；
(3) 虚数．
【答案解析】
7．1　复数的概念
7．1.1　数系的扩充和复数的概念
【活动方案】
问题1：略
问题2：回顾已有的数集扩充过程，为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1.
2. (1) 把实数b与i相乘，结果记作bi；把实数a与bi相加，结果记作a＋bi，所有实数以及i都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中i叫作虚数单位．
(2) 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．当且仅当b＝0时，z是实数a；当且仅当a＝b＝0时，z是实数0；当b≠0时，z叫作虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫作纯虚数．
例1　
4 2－3i 0 －＋i 5＋i 6i i2
实部 4 2 0 － 5 0 －1
虚部 0 －3 0 6 0
分类 实数 虚数 实数 虚数 虚数 纯虚数 实数
跟踪训练　(1) m＝1　(2) m≠1　(3) m＝0 (4) m＝1
思考1：不是，a＝0且b≠0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件．
思考2：实数集R是复数集C的真子集，即R?C.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如下图所示：
思考3：若要a＋bi与c＋di相等，当且仅当a＝c且b＝d.
例2　由题意，得解得
跟踪训练　由复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1>z2，
得
即解得m＝0，故实数m的值为0.
【检测反馈】
1. A　解析：若复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．
2. C　解析：因为(2k2－3k－2)＋(k2－2k)i是纯虚数，所以解得k＝－.
3. ACD　解析：由题意，得cos α＝－cos 2α，所以2cos2α＋cosα－1＝0，解得cos α＝－1或cos α＝.因为0<α<2π，所以α的值为π或或.故选ACD.
4. (x－2＋i)(x－2－i)　解析：x2－4x＋5＝(x－2)2＋1＝(x－2＋i)(x－2－i).
5. (1) 当时，复数为纯虚数，
解得m＝4.
(2) 当时，复数为实数，
解得m＝－2或m＝－3.
(3) 当时，复数为虚数，
解得m<－3或－31＋2.