【精品解析】备考2024年中考数学时事热点抢分练9 传染病及其防控

备考2024年中考数学时事热点抢分练9 传染病及其防控
一、选择题
1．（2020七上·舒城月考）新型冠状病毒肺炎是一种新型的呼吸道传染病，美国因政府防控措施不力导致新型冠状病毒肺炎在其国内长时间传播，现在距约翰斯霍普金斯大学统计，美国已感染新型冠状病毒肺炎人数达到920万人之多，而且还在趁较快传染速度传播，已有超过22万人死亡．请用科学记数法将920万用科学记数法表示（　　）
A．9.2× B．9.2× C．9.2× D．0.92×
2．（2021九上·牛道口镇月考）有一人患了传染病，经过两轮传染后共有81人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2022七下·重庆市期中）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”测出药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（mg）和燃烧时间x（min）的数据如表：
燃烧时间x（min） 2.5 5 7.5 10
含药量y（mg） 2 4 6 8
则下列叙述错误的是（　　）
A．燃烧时间为14min时，室内每立方米空气中的含药量为10mg
B．在一定范围内，燃烧时间越长，室内每立方米空气中的含药量越大
C．室内每立方米空气中的含药量是因变量
D．燃烧时间每增加2.5min，室内每立方米空气中的含药量增加2mg
4．（2021九上·罗湖期中）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了 （　　）
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
5．（2020·福田模拟）某市疾控中心在对10名传染病确诊病人的流行病史的调查中发现，这10人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14（单位：天），则下列关于这组潜伏期数据的说法中，不正确的是（） ）
A．众数是5天 B．中位数是7.5天
C．平均数是7.9天 D．标准差是2.5天
6．（2021·福田模拟）有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源）；程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中R0个白球同时变成红球（R0为程序设定的常数）．若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为了64个．则R0应满足的方程是（　　）
A．4（1+R0）＝64 B．4（1+R0）＝400
C．4（1+R0）2＝64 D．4（1+R0）2＝400
7．（沪科版八年级数学上册 12.2 一次函数（4）同步练习）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过 的集中药物喷洒，再封闭宿舍 ，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量 与药物在空气中的持续时间 之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（　　）
A．经过 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
B．室内空气中的含药量不低于 的持续时间达到了
C．当室内空气中的含药量不低于 且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到 开始，需经过 后，学生才能进入室内
二、填空题
8．（2023九上·宣化期中）某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染.设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为　 　.
9．（2023·鹿城模拟）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”.如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间x（分）成正比例；燃烧后，y与x成反比例.若，则x的取值范围是　 　.
10．（2021七下·青岛期末） 型口罩可以帮助人们预防传染病．“ ”表示此类型的口罩能过滤空气中 的粒径约为 的非油性颗粒，其中，0.00000034用科学记数法表示为 　 　．
11．（2020八下·哈尔滨月考）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡　 　只．
12．（2022·房山模拟）为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确实其中感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为8，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图所示．从图中可以看出，需要经过4轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．
（1）n的值为　 　；
（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值　 　；
三、综合题
13．（2023九上·长顺期末）高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病．
（1）养殖场有4万只鸡假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？
（2）为防止禽流感蔓延，防疫部门规定，离疫点3千米范围内为捕杀区所有的禽类全部捕杀离疫点千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理现有一条笔直的公路通过禽流感病区如图所示，为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？结果保留根号
14．（2023七下·志丹月考）甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病．为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若买510个医用口罩比买16瓶洗手液贵8元；若买700个医用口罩比买24瓶洗手液便宜40元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）学校本次采购准备了800元，除购买医用口罩和洗手液外，还需再购买单价为3.8元/个的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共600个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，学校一共有几种购买方案？写出所有购买方案．
15．（2023八下·滨江期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知某种药物在燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；一次性燃烧完以后，y与x成反比例（如图所示）．在药物燃烧阶段，实验测得在燃烧5分钟后，此时教室内每立方米空气含药量为．
（1）若一次性燃烧完药物需10分钟．
①分别求出药物燃烧时及一次性燃烧完以后y关于x的函数表达式．
②当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时间段学生不能停留在教室里？
（2）已知室内每立方米空气中的含药量不低于时，才能有效消毒，如果有效消毒时间要持续120分钟，问要一次性燃烧完这种药物需多长时间？
16．（2021八下·瑶海期末）春季是传染病的高发期，某校为了调查学生对传染病预防知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了部分学生进行相关知识的测试，并将测试成绩（x）分为五个等级：A（ ），B（ ），C（ ），D（ ），E（ ），整理后分别绘制成如图所示的频数直方图和扇形统计图（部分信息不完整）
（1）求测试等级为C的学生人数，井补全频数直方图
（2）求扇形统计图中等级为B所对应的扇形圆心角的度数：
（3）若全校1200名学生都参加测试，请根据抽样测试的结果，估计该校测试不低于80分的学生有多少人？
17．（2022八下·鄞州期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”。如图，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克．燃尽后y与x成反比例．．
（1）求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量：
（2）画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图象；
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
18．（2021八上·徐汇期末）接种疫苗是预防控制传染病最有效的手段．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人员接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图中的折线BCD和线段OA分别反映了甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数关系．根据图像所提供的信息回答下列问题
（1）乙地比甲地提前了　 　天完成疫苗接种工作．
（2）试写出乙地接种人数（万人）与接种时间x（天）之间的函数解析式　 　．
（3）当甲地放缓接种速度后，每天可接种　 　万人．
19．（2022·上思模拟）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basic
reproduction number.更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数.最近，新型冠状病毒变异出德尔塔＋毒株，德尔塔＋变异病毒的R0值极高.若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染.
（1）求德尔塔＋变异病毒的R0值；
（2）国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低.例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值也下降40%.若有1人感染德尔塔＋变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
20．（2019九上·天台月考）某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64人患了该病。
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少人未被传染？
21．（2020九上·重庆月考）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病.感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现.约半数患者多在一周后出现呼吸困难，严重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍.
（1）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）后来举国上下众志成城，全都隔离在家.小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨.香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤.在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤.为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？
22．（2021九上·成都月考）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basicreproductionnumber.更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数.例如：有1人感染新型冠状病毒，若R0＝3.50，则经两轮传染后感染新型冠状病毒的人数为：1+1×3.50+1×3.50×3.50≈17（人）.时下人心惶惶的新型冠状病毒的基本传染数据估计为3.30到5.40之间.请解答下列问题：
（1）若现有10人感染新型冠状病毒，则经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数大约在什么范围内（直接写出结果，结果保留整数）？
（2）最近，新型冠状病毒变异出德尔塔毒株，德尔塔变异病毒的R0值极高.若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染.
①求德尔塔变异病毒的R0值；
②国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低.例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值为：R0（1﹣40%）＝0.6R0.若有1人感染德尔塔变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
23．（2022八下·仓山期末）为认真做好新冠疫情防控，增强学生新冠疫情防控与传染病预防意识，培养学生的健康意识与公共卫生意识，某校数学兴趣小组的同学设计了“新冠疫情防控知识”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试.根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下统计图表：
“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表
组别 分数/分 频数
A 36
B 74
C 60
D 30
其中被抽取的学生的问卷测试成绩中，将B组分数按小到大整理后，B组后15个分数为：75，76，76，76，76，78，78，78，78，78，79，79，79，80，80.
依据以上统计信息解答下列问题：
（1）被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是：　 　.
（2）为了增强大家对新冠疫情防控知识的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间的学习后，再次对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现A组的同学平均成绩提高15分，B组的同学平均成绩提高10分，C组的同学平均成绩提高5分，D组的同学平均成绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成绩提高多少分？若把测试成绩超过85分定为优秀，这些同学再次测试的平均成绩是否达到优秀，为什么？
24．（2023·佳木斯模拟）为有效预防传染病的传播，学校需购买甲、乙两种消毒液每天对班级进行消杀工作，经了解，每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的售价分别是每桶多少元；
（2）由于消杀工作的需要，学校需再次购买两种消毒液共500桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数，求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少，最少总金额是多少元？
（3）商家决定对甲、乙两种消毒液打九折销售，在（2）中所需资金总额最少的条件下，学校用节省下来的钱全部购进A，B两种高压喷壶．已知A种高压喷壶50元/个，B种高压喷壶80元/个，请直接写出购进方案．
四、实践探究题
25．（2023九上·瑞安开学考）确定有效消毒的时间段
背景素材
预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
y … 2.5 3 3.5 4 3.2 2.67 …
问题解决
（1）任务1
确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式．
（2）任务2
初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围．
（3）任务3
若实际生活中有效消毒时间段要求满足a≤x≤3a，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：920万=9200000=9.2× ．
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均每轮传染 个人，
则第一轮传染之后共有 个人患病，
第二轮传染之后共有 个人患病，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴平均每轮传染8个人，
故答案为：C．
【分析】设平均每轮传染 个人，根据题意列出一元二次方程求解即可。
3．【答案】A
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表可知：
每燃烧2.5min，含药量增加2mg，故D正确；
可得燃烧时间为12.5min时，室内每立方米空气中的含药量为10mg，故A错误；
由表格中的数据可得，
y随x的增大而增大，故B正确；
由表可知：燃烧时间是自变量，每立方米空气中的含药量是因变量，故C正确.
故答案为：A.
【分析】由表可知：燃烧时间是自变量，每立方米空气中的含药量是因变量；每燃烧2.5min，含药量增加2mg，且y随x的增大而增大，从而得出燃烧时间为12.5min时，室内每立方米空气中的含药量为10mg，据此逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设在每一轮中平均一个人传染了x人，
根据题意可得，（1+x）2=144
解得，x1=11，x2=-13（舍去）。
故答案为：B.
【分析】根据题意，列出方程，求出答案即可。
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；标准差
【解析】【解答】解：A：在这组数据中，5（天）出现了3次，是出现次数最多的，所以众数是5天，故A正确；
B：这组数据中，第5个和第6个数分别是7和8，它们的平均数是7.5，所以这组数据的中位数是7.5天，故B正确；
C：这组数据的平均数=，故C正确；
D：这组数据标准差=≈2.62（天），故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用众数、中位数的定义以及平均数、标准差的计算公式一一求解即可作出判断。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：4R0+4+R0（4R0+4）＝64，
即：4（1+R0）2＝64；
故答案为：C．
【分析】原有4个红球，1分钟后红球个数为个，2分钟新增x（4R0+4）个，个数变成64个列方程即可得到结论。
7．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、正确．不符合题意．
B、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；
C、y=5时，x=2.5或24，24-2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；
故答案为：C.
【分析】A选项，根据函数图象，含药量最高的点所代表的的为10mg/m3，正确；B选项中，根据图象，令y=8，即可求出含药量大于8mg/m3的两个时间点，可求出持续的时间；C选项中，根据题目的内容，得出的时间小于35分钟，不符合题意。
8．【答案】x（x+1）+x+1=49
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：
第一轮感染后的人数为：1+x
第二轮感染后的人数为：x（1+x）+x+1
故答案为：x（1+x）+x+1.
【分析】 这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人， 那么第一轮感染后的人数为：1+x，第二轮感染后的人数为：x（1+x）+x+1，列方程即可。
9．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：函数图象可知，
燃烧时，y与x成正比例函数： ，
将代入得，即，
∴，
燃烧后，y与x成反比例函数：，
将代入得，即，
∴，
∵，
∴即；即，
∴x的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出0≤x≤10及x≥10两阶段的函数解析式，然后分别将y=1.6代入两解析式算出对应的x的值，即可求出x的取值范围.
10．【答案】3.4×10-7
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000034=3.4×10-7，
故答案为：3.4×10-7．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
11．【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）=169，
整理，得 ，
解得 （不正确舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故答案为：12．
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出正确的值即可．
12．【答案】（1）7
（2）2、3、4
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】(1)由题意可知，第1轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，
∴
故答案为7．
(2)由（1）可知，若只有1个感染者，则只需7次检测即可，经过4轮9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都进行检查，即对最后四个人进行检查，可能的结果如下图所示：
故答案为：2、3、4
【分析】（1）由图可计算得到n的取值；
（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需要3轮对两组都进行检查，由此得到所有可能的结果。
13．【答案】（1）解：第四天，共有 只鸡得了禽流感；
第五天，共有 只鸡得了禽流感，
那么到了第六天将会有十多万只鸡会得禽流感，而养殖场有4万只鸡，
所以到第六天，所有的鸡都会感染禽流感；
（2）解：如图，过 作 于 ，
千米， 千米， 千米，
由作法得， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
千米．
答：这条公路在该免疫区内有 千米．
【知识点】勾股定理；垂径定理；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可得：到第四天将新增病鸡1000只，到第五天将新增病鸡10000只， 到第六天将新增病鸡100000只，据此解答；
（2）过O作OE⊥AB于E ，则DE=CE，AE=BE，在Rt△OCE、Rt△OAE中，根据勾股定理可得CE、AE，恶化求出CD、AB，进而可得AB+CD的值.
14．【答案】（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，
根据题意得：
解得：
答：医用口罩的单价为0.8元/个，洗手液的单价为25元/瓶．
（2）解：由题意可得：，整理得：．
∵a、b均为正整数，∴，或，或，或，，
故学校一共有4种购买方案，分别为购买N95口罩90个，医用口罩510个，洗手液2瓶；
购买N95口罩65个，医用口罩535个，洗手液5瓶；
购买N95口罩40个，医用口罩560个，洗手液8瓶；
购买N95口罩15个，医用口罩585个，洗手液11瓶．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）根据总价=单价×数量可得关于a、b的二元一次方程，由a、b均为正整数即可求解.
15．【答案】（1）解：①设药物燃烧时的函数解析式为，药物燃烧后的解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧时的函数解析式为，
∴药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧后的解析式为；
②在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而增大，
∴当时，学生不能在教室停留；
在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，
∴当时，学生不能在教室停留；
综上所述，当时，学生不能在教室停留；
（2）解：设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，
同理可得当时，，
当药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
同理可得时，，
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
综上所述，当时为有效消毒时间，
∵有效消毒时间为120分钟，
∴，
解得（负值舍去），
∴要一次性燃烧完这种药物需11分钟．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1） ① 先利用待定系数法求出药物燃烧时的函数解析式为，进而求出药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为7mg，从而即可利用待定系数法求出药物燃烧后的解析式；② 分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时x的值即可得到答案；
（2）设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，仿照(1)①求出对应时间段的函数解析式，进而求出当y=0.7时x的值，再根据有效消毒时间为120分钟建立方程求解即可.
16．【答案】（1）解：调查的总人数有：25÷12.5%=200（人），
测试等级为C的学生人数有：200-15-25-80-32=48（人），补全统计图如下：
（2）解：扇形统计图中等级为B所对应的扇形圆心角的度数是：360°× =144°
（3）解：1200× =672（人），
答：估计该校测试不低于80分的学生有672人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【分析】
（1）根据D的频数和所占比例得到总人数，从而求出C的值。
（2）根据B的人数除总人数乘360°可得到B的度数。
（3）先算出不低于80分的人的频率，再算出人数。
17．【答案】（1）解：当0≤x≤10时，设y=kx（k≠0），
把（10，8）代入y=kx，
得k=0.8，
∴y=0.8x，
当x=5时，y=4，
答：第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量是4毫克．
（2）
（3）解：当x>10时，设，
把（10，8）代入得，m=80，
∴，
当0.8x=1.6时，x=2，
当=1.6时，x=50，
∴从第2分钟至第50分钟学生不能停留在教室里.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)当0≤x<10时，设y=kx，利用待定系数法求函数解析式即可；
(2)当x>10时，设，利用待定系数法求函数解析式即可；
(3)把y=1.6分别代入两个函数式求出x值，求出x的范围，即可解答.
18．【答案】（1）20
（2）
（3）0.25
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）看图像，乙地用80天完成，甲地用100天，∴提前100-80=20（天），
故答案为：20．
（2）∵乙地接种人数（万人）与接种时间x（天）成正比，
∴设=mx，
∵函数经过点（80，40），
∴40=80m，
解得m=，
∴=x，
故答案为：=x．
（3）∵=x，
∴=x+b，
∵B（0，5），
∴b=5，
∴=x+5，
∴25=a+5，
∴a=40，
∴C（40，25），D（100，40），
∴设=kx+n，
∴，
解得，
∴设=0.25x+15，
故答案为：0.25．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出乙地比甲地提前了几天完成疫苗接种工作；
（2）根据函数图象中的数据可以计算出乙地接种人数与接种时间之间的函数解析式；
（3）根据（2）中的函数解析式可以得出乙的接种速度，计算出a的值，再利用计算即可得出当甲地放缓接种速度后每天可接种的人数。
19．【答案】（1）解：设R0值为x，根据题意得：
，解，得： （舍去）， ，
答：德尔塔＋变异病毒的R0值为8；
（2）解：设全民接种率至少应该达到 ，根据题意得：
，
令 ，则 ，
，解得 ，
即 ，
，
答：全民接种率至少应该达到75%.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1） 设R0值为x，根据R0的含义列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）设全民接种率至少应该达到x，根据“要在两轮内将总感染人数控制在7人以内”可列关于x的不等式，解不等式即可求解.
20．【答案】（1）解：设平均一个人传了x个人，
由题意得(1+x)2=64,
∴1+x=±8，
∴x=7或-9（舍去），
（2）解：600-(1+7)3=600-512=88(人).
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1）设每轮传染中，平均一人传染了x个，一轮后有(x+1)人传染，第二轮就应该有x(x+1)被传染，将两轮的人数相加整理即可得出方程，再求解即可；
（2）根据题（1）的结果，经过三轮有(1+7)3人被传染，则未被传染的人数可求.
21．【答案】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）.
答：每轮传染中平均一个人传染了11人.
（2）解：设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10× ）斤，
依题意，得：（y﹣4）（80+10× ）＝100，
整理，得：y2﹣14y+45＝0，
解得：y1＝5，y2＝9（不合题意，舍去）.
答：小玲应该将售价定为5元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10× ）斤，根据总利润＝每斤的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
22．【答案】（1）解：感染新型冠状病毒的人数大约在 人；
（2）解：①设德尔塔变异病毒的 值为 ，根据题意得：
，即 ，
解得： （舍去），
答：德尔塔变异病毒的R0值为8；
②设全民接种率应该达到 ，根据题意得：
，
整理得： ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
答：全民接种率至少应该达到75% .
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得： ，经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为 ，
∴感染新型冠状病毒的人数最小值 人，
感染新型冠状病毒的人数最大值 人，
答：感染新型冠状病毒的人数大约在 人；
【分析】（1）求出经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为 ，由于，求出其最大值与最小值即得范围；
（2）①设德尔塔变异病毒的值为 ，根据“ 经历两轮传染后共有73人感染 ”列出方程并解之即可；②设全民接种率应该达到 ，根据“ 两轮内将总感染人数控制在7人以内 ”列出不等式，并解之即可.
23．【答案】（1）77
（2）解：依题意得： ；
∵ ，
79.2+7.9=87.1＞85；
∴学习后这些同学的平均成绩提高7.95分，再次测试成绩达到优秀.
【知识点】频数（率）分布表；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：（36+74+30+60）÷2=100；
∴中位数是第100和101个数据的平均数；
从B组中的数据得出中间的两个分数为76，78，
∴中位数= ；
故答案为：77；
【分析】（1）中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义并结合题意可求解；
（2）根据加权平均数公式“”计算平均数即可判断求解.
24．【答案】（1）解：设乙种消毒液的售价为 元，则甲种消毒液的售价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲种消毒液的零售价为 元，乙种消毒液的零售价为 元；
（2）解：设甲种消毒液购买 桶，则乙种消毒液购买 桶，
由题意得： ≥ ，
解得： ≥ ，
设所需资金总额为 元，则 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最小值，最小值 ，
答：当甲种消毒液购买 桶时，所需资金总额最少，最少总金额是 元；
（3）解：学校节省下来的钱为： （元），
设购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个，
由题意得： ，
整理得： ，
∵ 、 均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴购进方案有 种：
①购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个；
②购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个；
③购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，找出等量关系列方程求解即可；
（2）根据题意先求出 ≥ ， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）根据题意先求出 学校节省下来的钱为1250元，再求出 ， 最后求解即可。
25．【答案】（1）解：设当药物释放阶段（即0≤x≤2）时，设y＝kx＋b，把，代入y＝kx＋b，
得，解得，
∴；
设当药物释放后（即x≥2）时，设，把代入，得，
解得．
（2）解：把分别代入，得，
解得，
由图象，得．
（3）解：⑴当3a≤2时，
把代入y＝x＋2，得，解得；
把x＝3a＝2代入y＝x＋2，得y＝4，满足题意；
．
⑵a≥2时，把代入，得，解得a＝1（舍去）；
∴无解．
⑶a≤2≤3a时，（即）
①把代入y＝x＋2，得解得；
把x＝3a＝2代入，解得y＝4，满足要求（），
∴．
②把代入，得，解得a＝1；
把x＝a＝1代入y＝x＋2，解得y＝3，满足要求（），
∴1（min）≤x≤3（min）．
综上，，或1（min）≤x≤3（min）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由图可设：当药物释放阶段（即0≤x≤2）时，设y＝kx＋b，设当药物释放后（即x≥2）时，设，由图上的信息用待定系数法可求解；
（2）由题意把y=代入（1）中求得的两个解析式计算即可求解；
（3）a≤2≤3a时，由题意分两种情况：(1)当3a≤2时，把x=a，y=代入（1）中的两个解析式计算可求出a的值，然后把x=3a=2代入一次函数解析式计算可求解；⑵a≥2时，把x=3a，y=代入（1）中的反比例函数解析式计算可求解；
（3）a≤2≤3a时，分两种情况求解：①把x=a，y=代入代入一次函数解析式计算可求解；②把x=3a，y=代入（1）中的反比例函数解析式计算可求解.
1 / 1备考2024年中考数学时事热点抢分练9 传染病及其防控
一、选择题
1．（2020七上·舒城月考）新型冠状病毒肺炎是一种新型的呼吸道传染病，美国因政府防控措施不力导致新型冠状病毒肺炎在其国内长时间传播，现在距约翰斯霍普金斯大学统计，美国已感染新型冠状病毒肺炎人数达到920万人之多，而且还在趁较快传染速度传播，已有超过22万人死亡．请用科学记数法将920万用科学记数法表示（　　）
A．9.2× B．9.2× C．9.2× D．0.92×
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：920万=9200000=9.2× ．
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
2．（2021九上·牛道口镇月考）有一人患了传染病，经过两轮传染后共有81人患病，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均每轮传染 个人，
则第一轮传染之后共有 个人患病，
第二轮传染之后共有 个人患病，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴平均每轮传染8个人，
故答案为：C．
【分析】设平均每轮传染 个人，根据题意列出一元二次方程求解即可。
3．（2022七下·重庆市期中）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”测出药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y（mg）和燃烧时间x（min）的数据如表：
燃烧时间x（min） 2.5 5 7.5 10
含药量y（mg） 2 4 6 8
则下列叙述错误的是（　　）
A．燃烧时间为14min时，室内每立方米空气中的含药量为10mg
B．在一定范围内，燃烧时间越长，室内每立方米空气中的含药量越大
C．室内每立方米空气中的含药量是因变量
D．燃烧时间每增加2.5min，室内每立方米空气中的含药量增加2mg
【答案】A
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表可知：
每燃烧2.5min，含药量增加2mg，故D正确；
可得燃烧时间为12.5min时，室内每立方米空气中的含药量为10mg，故A错误；
由表格中的数据可得，
y随x的增大而增大，故B正确；
由表可知：燃烧时间是自变量，每立方米空气中的含药量是因变量，故C正确.
故答案为：A.
【分析】由表可知：燃烧时间是自变量，每立方米空气中的含药量是因变量；每燃烧2.5min，含药量增加2mg，且y随x的增大而增大，从而得出燃烧时间为12.5min时，室内每立方米空气中的含药量为10mg，据此逐一判断即可.
4．（2021九上·罗湖期中）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了 （　　）
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设在每一轮中平均一个人传染了x人，
根据题意可得，（1+x）2=144
解得，x1=11，x2=-13（舍去）。
故答案为：B.
【分析】根据题意，列出方程，求出答案即可。
5．（2020·福田模拟）某市疾控中心在对10名传染病确诊病人的流行病史的调查中发现，这10人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14（单位：天），则下列关于这组潜伏期数据的说法中，不正确的是（） ）
A．众数是5天 B．中位数是7.5天
C．平均数是7.9天 D．标准差是2.5天
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；标准差
【解析】【解答】解：A：在这组数据中，5（天）出现了3次，是出现次数最多的，所以众数是5天，故A正确；
B：这组数据中，第5个和第6个数分别是7和8，它们的平均数是7.5，所以这组数据的中位数是7.5天，故B正确；
C：这组数据的平均数=，故C正确；
D：这组数据标准差=≈2.62（天），故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用众数、中位数的定义以及平均数、标准差的计算公式一一求解即可作出判断。
6．（2021·福田模拟）有一个模拟传染病传播的电子游戏模型：在一个方框中，先放入足够多的白球（模拟健康人），然后在框中同时放入若干个红球（模拟最初感染源）；程序设定，每经过一分钟，每个红球均恰好能使方框中R0个白球同时变成红球（R0为程序设定的常数）．若最初放入的白球数为400个，红球数为4个，从放入红球开始，经过2分钟后，红球总数变为了64个．则R0应满足的方程是（　　）
A．4（1+R0）＝64 B．4（1+R0）＝400
C．4（1+R0）2＝64 D．4（1+R0）2＝400
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意得：4R0+4+R0（4R0+4）＝64，
即：4（1+R0）2＝64；
故答案为：C．
【分析】原有4个红球，1分钟后红球个数为个，2分钟新增x（4R0+4）个，个数变成64个列方程即可得到结论。
7．（沪科版八年级数学上册 12.2 一次函数（4）同步练习）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过 的集中药物喷洒，再封闭宿舍 ，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量 与药物在空气中的持续时间 之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示.下面四个选项中错误的是（　　）
A．经过 集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到
B．室内空气中的含药量不低于 的持续时间达到了
C．当室内空气中的含药量不低于 且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒.此次消毒完全有效
D．当室内空气中的含药量低于 时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到 开始，需经过 后，学生才能进入室内
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：A、正确．不符合题意．
B、由题意x=4时，y=8，∴室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间达到了11min，正确，不符合题意；
C、y=5时，x=2.5或24，24-2.5=21.5＜35，故本选项错误，符合题意；
故答案为：C.
【分析】A选项，根据函数图象，含药量最高的点所代表的的为10mg/m3，正确；B选项中，根据图象，令y=8，即可求出含药量大于8mg/m3的两个时间点，可求出持续的时间；C选项中，根据题目的内容，得出的时间小于35分钟，不符合题意。
二、填空题
8．（2023九上·宣化期中）某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染.设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，列出方程为　 　.
【答案】x（x+1）+x+1=49
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：
第一轮感染后的人数为：1+x
第二轮感染后的人数为：x（1+x）+x+1
故答案为：x（1+x）+x+1.
【分析】 这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人， 那么第一轮感染后的人数为：1+x，第二轮感染后的人数为：x（1+x）+x+1，列方程即可。
9．（2023·鹿城模拟）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”.如图所示，药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间x（分）成正比例；燃烧后，y与x成反比例.若，则x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：函数图象可知，
燃烧时，y与x成正比例函数： ，
将代入得，即，
∴，
燃烧后，y与x成反比例函数：，
将代入得，即，
∴，
∵，
∴即；即，
∴x的取值范围是.
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出0≤x≤10及x≥10两阶段的函数解析式，然后分别将y=1.6代入两解析式算出对应的x的值，即可求出x的取值范围.
10．（2021七下·青岛期末） 型口罩可以帮助人们预防传染病．“ ”表示此类型的口罩能过滤空气中 的粒径约为 的非油性颗粒，其中，0.00000034用科学记数法表示为 　 　．
【答案】3.4×10-7
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000034=3.4×10-7，
故答案为：3.4×10-7．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.
11．（2020八下·哈尔滨月考）鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，红光养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡　 　只．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得： x+1+x（x+1）=169，
整理，得 ，
解得 （不正确舍去）．
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故答案为：12．
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出正确的值即可．
12．（2022·房山模拟）为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是（为正整数）．将这个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确实其中感染者，则将这些人平均分成两组，每组个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下轮检测，直至确定所有的感染者．
例如，当待检测的总人数为8，且标记为“”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用如图所示．从图中可以看出，需要经过4轮共次检测后，才能确定标记为“”的人是唯一感染者．
（1）n的值为　 　；
（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值　 　；
【答案】（1）7
（2）2、3、4
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】(1)由题意可知，第1轮需检测1次，第2轮需检测2次，第3轮需检测2次，第4轮需检测2次，
∴
故答案为7．
(2)由（1）可知，若只有1个感染者，则只需7次检测即可，经过4轮9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都进行检查，即对最后四个人进行检查，可能的结果如下图所示：
故答案为：2、3、4
【分析】（1）由图可计算得到n的取值；
（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需要3轮对两组都进行检查，由此得到所有可能的结果。
三、综合题
13．（2023九上·长顺期末）高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病．
（1）养殖场有4万只鸡假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？
（2）为防止禽流感蔓延，防疫部门规定，离疫点3千米范围内为捕杀区所有的禽类全部捕杀离疫点千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理现有一条笔直的公路通过禽流感病区如图所示，为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？结果保留根号
【答案】（1）解：第四天，共有 只鸡得了禽流感；
第五天，共有 只鸡得了禽流感，
那么到了第六天将会有十多万只鸡会得禽流感，而养殖场有4万只鸡，
所以到第六天，所有的鸡都会感染禽流感；
（2）解：如图，过 作 于 ，
千米， 千米， 千米，
由作法得， ， ，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
千米．
答：这条公路在该免疫区内有 千米．
【知识点】勾股定理；垂径定理；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可得：到第四天将新增病鸡1000只，到第五天将新增病鸡10000只， 到第六天将新增病鸡100000只，据此解答；
（2）过O作OE⊥AB于E ，则DE=CE，AE=BE，在Rt△OCE、Rt△OAE中，根据勾股定理可得CE、AE，恶化求出CD、AB，进而可得AB+CD的值.
14．（2023七下·志丹月考）甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病．为了预防甲型流感病毒的扩散，学校准备购买一批医用口罩和洗手液用于日常防护，若买510个医用口罩比买16瓶洗手液贵8元；若买700个医用口罩比买24瓶洗手液便宜40元．
（1）求医用口罩和洗手液的单价；
（2）学校本次采购准备了800元，除购买医用口罩和洗手液外，还需再购买单价为3.8元/个的N95口罩a个，医用口罩和N95口罩共600个，购买洗手液b瓶，钱恰好全部用完，学校一共有几种购买方案？写出所有购买方案．
【答案】（1）解：设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，
根据题意得：
解得：
答：医用口罩的单价为0.8元/个，洗手液的单价为25元/瓶．
（2）解：由题意可得：，整理得：．
∵a、b均为正整数，∴，或，或，或，，
故学校一共有4种购买方案，分别为购买N95口罩90个，医用口罩510个，洗手液2瓶；
购买N95口罩65个，医用口罩535个，洗手液5瓶；
购买N95口罩40个，医用口罩560个，洗手液8瓶；
购买N95口罩15个，医用口罩585个，洗手液11瓶．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）根据总价=单价×数量可得关于a、b的二元一次方程，由a、b均为正整数即可求解.
15．（2023八下·滨江期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知某种药物在燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间成正比例；一次性燃烧完以后，y与x成反比例（如图所示）．在药物燃烧阶段，实验测得在燃烧5分钟后，此时教室内每立方米空气含药量为．
（1）若一次性燃烧完药物需10分钟．
①分别求出药物燃烧时及一次性燃烧完以后y关于x的函数表达式．
②当每立方米空气中的含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时间段学生不能停留在教室里？
（2）已知室内每立方米空气中的含药量不低于时，才能有效消毒，如果有效消毒时间要持续120分钟，问要一次性燃烧完这种药物需多长时间？
【答案】（1）解：①设药物燃烧时的函数解析式为，药物燃烧后的解析式为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧时的函数解析式为，
∴药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
把代入中得：，
∴，
∴药物燃烧后的解析式为；
②在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而增大，
∴当时，学生不能在教室停留；
在中，当时，，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，
∴当时，学生不能在教室停留；
综上所述，当时，学生不能在教室停留；
（2）解：设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，
同理可得当时，，
当药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为，
同理可得时，，
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
在中，当时，，
∴当时为有效消毒时间；
综上所述，当时为有效消毒时间，
∵有效消毒时间为120分钟，
∴，
解得（负值舍去），
∴要一次性燃烧完这种药物需11分钟．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1） ① 先利用待定系数法求出药物燃烧时的函数解析式为，进而求出药物刚好燃烧完时教室内每立方米空气含药量为7mg，从而即可利用待定系数法求出药物燃烧后的解析式；② 分别求出药物燃烧时和药物燃烧后，时x的值即可得到答案；
（2）设要一次性燃烧完这种药物需t分钟，仿照(1)①求出对应时间段的函数解析式，进而求出当y=0.7时x的值，再根据有效消毒时间为120分钟建立方程求解即可.
16．（2021八下·瑶海期末）春季是传染病的高发期，某校为了调查学生对传染病预防知识的了解情况，从全校学生中随机抽取了部分学生进行相关知识的测试，并将测试成绩（x）分为五个等级：A（ ），B（ ），C（ ），D（ ），E（ ），整理后分别绘制成如图所示的频数直方图和扇形统计图（部分信息不完整）
（1）求测试等级为C的学生人数，井补全频数直方图
（2）求扇形统计图中等级为B所对应的扇形圆心角的度数：
（3）若全校1200名学生都参加测试，请根据抽样测试的结果，估计该校测试不低于80分的学生有多少人？
【答案】（1）解：调查的总人数有：25÷12.5%=200（人），
测试等级为C的学生人数有：200-15-25-80-32=48（人），补全统计图如下：
（2）解：扇形统计图中等级为B所对应的扇形圆心角的度数是：360°× =144°
（3）解：1200× =672（人），
答：估计该校测试不低于80分的学生有672人．
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【分析】
（1）根据D的频数和所占比例得到总人数，从而求出C的值。
（2）根据B的人数除总人数乘360°可得到B的度数。
（3）先算出不低于80分的人的频率，再算出人数。
17．（2022八下·鄞州期末）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”。如图，药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与燃烧时间x（分）成正比例，10分钟时药物燃尽，此时教室内每立方米空气含药量为8毫克．燃尽后y与x成反比例．．
（1）求第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量：
（2）画出药物燃尽后y关于x的反比例函数图象；
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6毫克时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段学生不能停留在教室里？
【答案】（1）解：当0≤x≤10时，设y=kx（k≠0），
把（10，8）代入y=kx，
得k=0.8，
∴y=0.8x，
当x=5时，y=4，
答：第5分钟时教室内每立方米空气中的含药量是4毫克．
（2）
（3）解：当x>10时，设，
把（10，8）代入得，m=80，
∴，
当0.8x=1.6时，x=2，
当=1.6时，x=50，
∴从第2分钟至第50分钟学生不能停留在教室里.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)当0≤x<10时，设y=kx，利用待定系数法求函数解析式即可；
(2)当x>10时，设，利用待定系数法求函数解析式即可；
(3)把y=1.6分别代入两个函数式求出x值，求出x的范围，即可解答.
18．（2021八上·徐汇期末）接种疫苗是预防控制传染病最有效的手段．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠病毒疫苗．甲地在前期完成5万人员接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天接种后，由于情况变化，接种速度放缓．图中的折线BCD和线段OA分别反映了甲、乙两地的接种人数y（万人）与接种时间x（天）之间的函数关系．根据图像所提供的信息回答下列问题
（1）乙地比甲地提前了　 　天完成疫苗接种工作．
（2）试写出乙地接种人数（万人）与接种时间x（天）之间的函数解析式　 　．
（3）当甲地放缓接种速度后，每天可接种　 　万人．
【答案】（1）20
（2）
（3）0.25
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：（1）看图像，乙地用80天完成，甲地用100天，∴提前100-80=20（天），
故答案为：20．
（2）∵乙地接种人数（万人）与接种时间x（天）成正比，
∴设=mx，
∵函数经过点（80，40），
∴40=80m，
解得m=，
∴=x，
故答案为：=x．
（3）∵=x，
∴=x+b，
∵B（0，5），
∴b=5，
∴=x+5，
∴25=a+5，
∴a=40，
∴C（40，25），D（100，40），
∴设=kx+n，
∴，
解得，
∴设=0.25x+15，
故答案为：0.25．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出乙地比甲地提前了几天完成疫苗接种工作；
（2）根据函数图象中的数据可以计算出乙地接种人数与接种时间之间的函数解析式；
（3）根据（2）中的函数解析式可以得出乙的接种速度，计算出a的值，再利用计算即可得出当甲地放缓接种速度后每天可接种的人数。
19．（2022·上思模拟）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basic
reproduction number.更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数.最近，新型冠状病毒变异出德尔塔＋毒株，德尔塔＋变异病毒的R0值极高.若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染.
（1）求德尔塔＋变异病毒的R0值；
（2）国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低.例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值也下降40%.若有1人感染德尔塔＋变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
【答案】（1）解：设R0值为x，根据题意得：
，解，得： （舍去）， ，
答：德尔塔＋变异病毒的R0值为8；
（2）解：设全民接种率至少应该达到 ，根据题意得：
，
令 ，则 ，
，解得 ，
即 ，
，
答：全民接种率至少应该达到75%.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1） 设R0值为x，根据R0的含义列关于x的方程，解方程即可求解；
（2）设全民接种率至少应该达到x，根据“要在两轮内将总感染人数控制在7人以内”可列关于x的不等式，解不等式即可求解.
20．（2019九上·天台月考）某学校在校师生及工作人员共600人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64人患了该病。
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少人未被传染？
【答案】（1）解：设平均一个人传了x个人，
由题意得(1+x)2=64,
∴1+x=±8，
∴x=7或-9（舍去），
（2）解：600-(1+7)3=600-512=88(人).
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【分析】（1）设每轮传染中，平均一人传染了x个，一轮后有(x+1)人传染，第二轮就应该有x(x+1)被传染，将两轮的人数相加整理即可得出方程，再求解即可；
（2）根据题（1）的结果，经过三轮有(1+7)3人被传染，则未被传染的人数可求.
21．（2020九上·重庆月考）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病.感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现.约半数患者多在一周后出现呼吸困难，严重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍.
（1）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）后来举国上下众志成城，全都隔离在家.小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨.香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤.在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤.为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？
【答案】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
依题意，得：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）.
答：每轮传染中平均一个人传染了11人.
（2）解：设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10× ）斤，
依题意，得：（y﹣4）（80+10× ）＝100，
整理，得：y2﹣14y+45＝0，
解得：y1＝5，y2＝9（不合题意，舍去）.
答：小玲应该将售价定为5元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据1人感染“新冠”经过两轮传染后共有144人感染“新冠”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小玲应该将售价定为y元，则每天可以卖出（80+10× ）斤，根据总利润＝每斤的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.
22．（2021九上·成都月考）R0，也叫基本传染数，或者基本再生数，英文为Basicreproductionnumber.更确切的定义是：在没有外力介入，所有人都没有免疫力的情况下，一个感染某种传染病的人，总共会传染给其他多少个人的平均数.例如：有1人感染新型冠状病毒，若R0＝3.50，则经两轮传染后感染新型冠状病毒的人数为：1+1×3.50+1×3.50×3.50≈17（人）.时下人心惶惶的新型冠状病毒的基本传染数据估计为3.30到5.40之间.请解答下列问题：
（1）若现有10人感染新型冠状病毒，则经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数大约在什么范围内（直接写出结果，结果保留整数）？
（2）最近，新型冠状病毒变异出德尔塔毒株，德尔塔变异病毒的R0值极高.若1人患病，在无任何外力影响下经历两轮传染后共有73人感染.
①求德尔塔变异病毒的R0值；
②国家研制出新冠疫苗后发现，通过接种疫苗可以使得R0值随接种人数比例的增高同步降低.例如，当疫苗全民接种率达到40%时，此时的R0值为：R0（1﹣40%）＝0.6R0.若有1人感染德尔塔变异病毒，要在两轮内将总感染人数控制在7人以内，再加以隔离等措施的干涉，就可控制住疫情，则全民接种率至少应该达到多少？
【答案】（1）解：感染新型冠状病毒的人数大约在 人；
（2）解：①设德尔塔变异病毒的 值为 ，根据题意得：
，即 ，
解得： （舍去），
答：德尔塔变异病毒的R0值为8；
②设全民接种率应该达到 ，根据题意得：
，
整理得： ，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
答：全民接种率至少应该达到75% .
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得： ，经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为 ，
∴感染新型冠状病毒的人数最小值 人，
感染新型冠状病毒的人数最大值 人，
答：感染新型冠状病毒的人数大约在 人；
【分析】（1）求出经历两轮传染后，感染新型冠状病毒的人数为 ，由于，求出其最大值与最小值即得范围；
（2）①设德尔塔变异病毒的值为 ，根据“ 经历两轮传染后共有73人感染 ”列出方程并解之即可；②设全民接种率应该达到 ，根据“ 两轮内将总感染人数控制在7人以内 ”列出不等式，并解之即可.
23．（2022八下·仓山期末）为认真做好新冠疫情防控，增强学生新冠疫情防控与传染病预防意识，培养学生的健康意识与公共卫生意识，某校数学兴趣小组的同学设计了“新冠疫情防控知识”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试.根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下统计图表：
“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表
组别 分数/分 频数
A 36
B 74
C 60
D 30
其中被抽取的学生的问卷测试成绩中，将B组分数按小到大整理后，B组后15个分数为：75，76，76，76，76，78，78，78，78，78，79，79，79，80，80.
依据以上统计信息解答下列问题：
（1）被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是：　 　.
（2）为了增强大家对新冠疫情防控知识的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间的学习后，再次对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现A组的同学平均成绩提高15分，B组的同学平均成绩提高10分，C组的同学平均成绩提高5分，D组的同学平均成绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成绩提高多少分？若把测试成绩超过85分定为优秀，这些同学再次测试的平均成绩是否达到优秀，为什么？
【答案】（1）77
（2）解：依题意得： ；
∵ ，
79.2+7.9=87.1＞85；
∴学习后这些同学的平均成绩提高7.95分，再次测试成绩达到优秀.
【知识点】频数（率）分布表；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：（36+74+30+60）÷2=100；
∴中位数是第100和101个数据的平均数；
从B组中的数据得出中间的两个分数为76，78，
∴中位数= ；
故答案为：77；
【分析】（1）中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数，根据定义并结合题意可求解；
（2）根据加权平均数公式“”计算平均数即可判断求解.
24．（2023·佳木斯模拟）为有效预防传染病的传播，学校需购买甲、乙两种消毒液每天对班级进行消杀工作，经了解，每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．
（1）求甲、乙两种消毒液的售价分别是每桶多少元；
（2）由于消杀工作的需要，学校需再次购买两种消毒液共500桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液的桶数，求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少，最少总金额是多少元？
（3）商家决定对甲、乙两种消毒液打九折销售，在（2）中所需资金总额最少的条件下，学校用节省下来的钱全部购进A，B两种高压喷壶．已知A种高压喷壶50元/个，B种高压喷壶80元/个，请直接写出购进方案．
【答案】（1）解：设乙种消毒液的售价为 元，则甲种消毒液的售价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲种消毒液的零售价为 元，乙种消毒液的零售价为 元；
（2）解：设甲种消毒液购买 桶，则乙种消毒液购买 桶，
由题意得： ≥ ，
解得： ≥ ，
设所需资金总额为 元，则 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最小值，最小值 ，
答：当甲种消毒液购买 桶时，所需资金总额最少，最少总金额是 元；
（3）解：学校节省下来的钱为： （元），
设购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个，
由题意得： ，
整理得： ，
∵ 、 均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴购进方案有 种：
①购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个；
②购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个；
③购进 种高压喷壶 个， 种高压喷壶 个．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据每桶甲种消毒液的售价比乙种消毒液的售价多10元，学校用600元和400元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，找出等量关系列方程求解即可；
（2）根据题意先求出 ≥ ， 再求出 ， 最后求解即可；
（3）根据题意先求出 学校节省下来的钱为1250元，再求出 ， 最后求解即可。
四、实践探究题
25．（2023九上·瑞安开学考）确定有效消毒的时间段
背景素材
预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段．
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
y … 2.5 3 3.5 4 3.2 2.67 …
问题解决
（1）任务1
确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式．
（2）任务2
初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围．
（3）任务3
若实际生活中有效消毒时间段要求满足a≤x≤3a，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段．
【答案】（1）解：设当药物释放阶段（即0≤x≤2）时，设y＝kx＋b，把，代入y＝kx＋b，
得，解得，
∴；
设当药物释放后（即x≥2）时，设，把代入，得，
解得．
（2）解：把分别代入，得，
解得，
由图象，得．
（3）解：⑴当3a≤2时，
把代入y＝x＋2，得，解得；
把x＝3a＝2代入y＝x＋2，得y＝4，满足题意；
．
⑵a≥2时，把代入，得，解得a＝1（舍去）；
∴无解．
⑶a≤2≤3a时，（即）
①把代入y＝x＋2，得解得；
把x＝3a＝2代入，解得y＝4，满足要求（），
∴．
②把代入，得，解得a＝1；
把x＝a＝1代入y＝x＋2，解得y＝3，满足要求（），
∴1（min）≤x≤3（min）．
综上，，或1（min）≤x≤3（min）．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）由图可设：当药物释放阶段（即0≤x≤2）时，设y＝kx＋b，设当药物释放后（即x≥2）时，设，由图上的信息用待定系数法可求解；
（2）由题意把y=代入（1）中求得的两个解析式计算即可求解；
（3）a≤2≤3a时，由题意分两种情况：(1)当3a≤2时，把x=a，y=代入（1）中的两个解析式计算可求出a的值，然后把x=3a=2代入一次函数解析式计算可求解；⑵a≥2时，把x=3a，y=代入（1）中的反比例函数解析式计算可求解；
（3）a≤2≤3a时，分两种情况求解：①把x=a，y=代入代入一次函数解析式计算可求解；②把x=3a，y=代入（1）中的反比例函数解析式计算可求解.
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