7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

7．2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
1. 理解复数代数形式的加法、减法．
2. 了解复数加、减运算的几何意义．
活动一 理解复数代数形式的加、减法运算法则
问题1：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝________________＝________________.
问题2：若(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi(a，b，c，d，x，y∈R)，则记作x＋yi＝(a＋bi)－(c＋di).
由复数相等的定义知c＋x＝a，d＋y＝b，即x＝________，y＝________，
从而记z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则z1－z2＝__________________＝____________
__________.
例1　计算：(1－3i)－(2＋5i)＋(－4＋9i).
　　
两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).
计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(1 999－2 000i)－(2 000－2 001i).
活动二　了解复数代数形式的加、减运算的几何意义
复数的加、减法法则及几何意义与运算律．
z，z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线
加法 减法
运算法则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i
几何意义 向量与的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量 向量－的差就是与复数(a－c)＋(b－d)i对应的向量
运算律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1
结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
　例2 已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，求对应的复数z，z在复平面内所对应的点在第几象限？
复数的加、减法的几何意义就是两个复数加、减以后所对应的向量．
已知平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
(1) 所表示的复数；
(2) 对角线所表示的复数；
(3) 对角线所表示的复数及的长度．
1. 复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A. －1＋i B. 1－i C. i D. －i
2. (2023郑州中牟县第一高级中学高一阶段练习)复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，则表示向量的复数为(　　)
A. 3＋9i B. 2＋8i C. －9－i D. 9＋i
3. (多选)已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若复数z满足|z－i|＝，则复数z在复平面内对应的点在以(1，0)为圆心，为半径的圆上
B. 若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C. 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D. 复数z1(z1≠0)对应的向量为，复数z2(z2≠0)对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥
4. 设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则实数a的值为________．
5. (2023辽宁高一联考)已知复数z1＝a2＋(a－6)i，z2＝2a－3＋a2i，a∈R.
(1) 若z1＋z2是纯虚数，求a的值；
(2) 若z1＋z2>0，求|z1|.
【答案解析】
7．2　复数的四则运算
7．2.1　复数的加、减运算及其几何意义
【活动方案】
问题1：(a＋bi)＋(c＋di)　(a＋c)＋(b＋d)i
问题2：a－c　b－d　(a＋bi)－(c＋di)
(a－c)＋(b－d)i
例1　－5＋i
跟踪训练　－1 000＋1 000i
例2　z＝z2－z1＝1＋2i－2－i＝－1＋i，
对应的点在第二象限．
跟踪训练　(1) －3－2i
(2) 5－2i
(3) 因为对角线＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，的长度为.
【检测反馈】
1. A　解析：原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
2. D　解析：复数6＋5i与－3＋4i分别表示向量与，因为＝－，所以表示向量的复数为(6＋5i)－(－3＋4i)＝9＋i.
3. CD　解析：满足|z－i|＝的复数z在复平面内对应的点在以(0，1)为圆心，为半径的圆上，故A错误；在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，所以解得所以z＝－15＋8i，故B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，2为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D正确．故选CD.
4. －1　解析：因为(a＋i)2i＝(a2＋2ai＋i2)i＝(a2－1)i－2a，所以a2－1＝0，且a<0，所以a＝－1.
5. (1) 由题意，得z1＋z2＝a2＋2a－3＋(a2＋a－6)i，
因为z1＋z2是纯虚数，
所以解得a＝1.
(2) 因为z1＋z2>0，
所以解得a＝2，
故|z1|＝|4－4i|＝4.