7.2.2 复数的乘、除运算 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

7．2.2　复数的乘、除运算
1. 掌握复数的乘法的运算法则．
2. 掌握复数的除法的运算法则．
活动一 理解复数代数形式的乘法运算法则
阅读课本相关内容，完成下列问题：
问题1：规定z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝_____________
__________＝____________________．
问题2：试验证复数的乘法满足交换律、结合律、分配律．
例1　计算：
(1) (3＋4i)(－2－3i)；
(2) (＋i)(－＋i)；
(3) (1＋2i)(3－4i)(－2－i)；
(4) (1＋i)2.
复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的，只是在运算过程中把i2＝－1，然后把实部与虚部分别合并．
计算：(a＋bi)(a－bi).
思考1
设x，y∈R，在复数范围内，你能将x2＋y2因式分解吗？
　　
活动二 理解复数代数形式的除法运算法则
若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0，a，b，c，d∈R)，则x＋yi(x，y∈R)叫作复数a＋bi除以复数c＋di的商，记作(a＋bi)÷(c＋di)或.复数除法的法则是(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0).
例2　计算：
(1) (2－i)÷(3－4i)；
(2) (2＋i)÷(1＋i).
在进行复数的除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母同乘以分母这个复数的共轭复数，从而使分母实数化．
(1) ＋(－－i)3＋；
(2) .
思考2
复数范围内：(1) 方程x2＋1＝0的解是什么？
(2) 当a>0时，方程x2＋a＝0的解是什么？
例3　在复数集内解方程：z2－10z＋40＝0.
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：
(1) 当Δ≥0时，x＝；
(2) 当Δ<0时，x＝；且满足x1＋x2＝－，x1x2＝.
已知2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
1. 已知i是虚数单位，则的化简结果为(　　)
A. 1－2i B. 2－i C. 2＋i D. 1＋2i
2. (2023大同高一阶段练习)已知复数z＝i3(1－i)，则等于(　　)
A. B. 1 C. D. 2
3. (多选)已知复数ω＝－＋i(i是虚数单位)，是ω的共轭复数，则下列结论中正确的是(　　)
A. ω2＝ B. ω3＝－1 C. ω2＋ω＋1＝0 D. ω>
4. (2023陕西联考)设复数z＝，则|z＋2|＝________．
5. 计算：
(1) (4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；
(2) ＋；
(3) .
【答案解析】
7．2.2　复数的乘、除运算
【活动方案】
问题1：(a＋bi)(c＋di)　(ac－bd)＋(ad＋bc)i
问题2：略
例1　(1) 6－17i　(2) －5　(3) －20－15i (4) 2i
跟踪训练　原式＝a2－abi＋abi－b2i2＝a2－b2i2＝a2＋b2.
思考1：x2＋y2＝(x＋yi)(x－yi)
例2　(1) ＋i　(2) －i
跟踪训练　 (1)＋(－－i)3＋＝－i＋[2i·]3＋＝－i－8i＋i＝－8i.
(2) ＝＝＝＝＝－2－2i.
思考2：(1) x＝±i　(2) x＝±i
例3　配方，得(z－5)2＝－15，
所以z－5＝i或z－5＝－i，
所以z＝5＋i或z＝5－i.
跟踪训练　由题意，得2(2i－3)2＋p(2i－3)＋q＝0，
则10－3p＋q＋(2p－24)i＝0，
则解得
所以2x2＋12x＋26＝0，即x2＋6x＋13＝0，
即[x－(2i－3)]·[x＋(3＋2i)]＝0，
所以x＝2i－3或x＝－3－2i，
所以方程的另一根是－3－2i.
【检测反馈】
1. D　解析：＝＝＝1＋2i.
2. A　解析：因为z＝i3(1－i)＝－i(1－i)＝－1－i，所以＝－1＋i，则＝＝＝－－i，则＝＝.
3. AC　解析： 因为＝－－i，所以ω2＝－i－＝－－i＝，故A正确；ω3＝ω2·ω＝＝－(－)＝1，故B错误；ω2＋ω＋1＝－－i－＋i＋1＝0，故C正确；虚数不能比较大小，故D错误．故选AC.
4. 　解析：由题意，知z＝＝＝－i，所以z＋2＝－i＋2＝＋i，所以|z＋2|＝＝.
5. (1) (4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.
(2) ＋＝＋＝i－i＝0.
(3) ＝＝＝＝＝＝－1＋i.