7.3 复数的三角表示 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

7．3*　复数的三角表示
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
活动一　复数的三角表示式
思考1
我们知道向量可以由它的大小和方向唯一确定，而复数z＝a＋bi由向量的坐标(a，b)唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？
思考2
你能用向量的模和角θ来表示复数z吗？
1. 复数的三角形式与代数形式：复数的三角形式为r(cos θ＋isin θ)；复数z的代数形式为a＋bi(a，b∈R).
2. 复数的辐角及辐角的主值：以x轴的非负半轴为始边，向量 所在射线(射线OZ)为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角，规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值．通常记作arg z，即0≤arg z<2π.
思考3
两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等？
活动二 复数的代数形式与三角形式的互化
例1　将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角的主值)：
(1) －5i；　(2) －10；　(3) －1＋i；　(4) －i.
只要确定复数的模和辐角(一般情况取辐角的主值)，就能将复数的代数形式表示成三角形式．
将复数1－i转化为三角形式(辐角取辐角的主值).
例2　分别指出下列复数的模和一个辐角，并把这些复数表示成代数形式：
(1) cos π＋isin π；
(2) 6.
活动三　了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义　
思考4
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能计算z1z2，并将结果表示成三角形式吗？
思考5
你能得到复数的乘法、除法的几何意义吗？
例3　计算下列各式的值，并把结果化为代数形式：
(1) ×2(cos ＋isin )；
(2) 4÷[2(cos ＋isin )].
复数三角形式的乘法计算，是模的相乘和辐角相加；除法计算，是模的相除和辐角相减．
计算(cos ＋isin )×(cos ＋isin )×(cos ＋isin )，并把结果化为代数形式．
例4　设z＝－i对应的向量为，将绕原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转60°和30°，求所得向量对应的复数(用代数形式表示).
利用复数三角形式的乘法或除法的几何意义，可以解决平面几何中旋转与伸缩的变换．
已知点A(2，－1)，B(－1，3)，四边形ABCD 是正方形，且点A，B，C，D按顺时针方向排列，求点C，D对应的复数．
1. 若a<0，则a的三角形式为(　　)
A. a(cos 0＋isin 0) B. a(cos π＋isin π)
C. －a(cos π＋isin π) D. －a(cos π－isinπ)
2. 计算的结果是(　　)
A. －9 B. 9 C. －1 D. 1
3. (多选)下列可以表示复数1＋i的三角形式的是(　　)
A. B.
C. D.
4. 复数cos ＋isin的辐角主值是________．
5. 将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角的主值).
(1) 2－2i；
(2) －2i.
【答案解析】
7．3*　复数的三角表示
【活动方案】
思考1：向量的大小可以用模来刻画，向量的方向可以借助以x轴的非负半轴为始边，以向量所在射线为终边的角θ来刻画的方向．
思考2：设z＝a＋bi(a，b∈R)，记向量的模||＝|a＋bi|＝r，则所以z＝r cos θ＋ir sin θ＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝.
思考3：每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定．因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
例1　(1) 因为r＝＝5，cos θ＝0，sin θ＝－1，θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－5i＝5.
(2) 因为r＝＝10，cos θ＝－1，sin θ＝0，
θ∈[0，2π)，所以θ＝π，
所以－10＝10(cos π＋isin π).
(3) 因为r＝＝2，cos θ＝－，sin θ＝，θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－1＋i＝2.
(4) 因为r＝＝2，cos θ＝，
sin θ＝－，θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－i＝2.
跟踪训练　因为r＝＝2，cos θ＝，sin θ＝－，θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以1－i＝2.
例2　(1) 复数cos π＋isin π的模r＝1，一个辐角θ＝π，所以cos π＋isin π＝－1＋0i＝－1.
(2) 复数6的模r＝6，一个辐角θ＝，所以6＝6×＋6×i＝3－3i.
思考4：z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，
＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].
思考5：在复平面内先分别画出与复数z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2，这是复数乘法的几何意义．
当z2≠0时，在复平面内先分别画出与复数z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按顺时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按逆时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是，这是复数除法的几何意义．
例3　(1) 原式＝×2[cos ＋isin(＋)]＝3＝3i.
(2) 原式＝2[cos ＋isin(－)]＝2＝2(0＋i)＝2i.
跟踪训练　×(cos ＋isin )×
＝2
＝2＝2i.
例4　 绕原点O按逆时针方向旋转60°所得向量对应的复数为×(cos 60°＋isin 60°)＝×＝1.
绕原点O按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数为×[cos (－30°)＋isin (－30°)]＝×＝－i.
跟踪训练　如图，＝(－1，3)－(2，－1)＝(－3，4)，
所以对应的复数为－3＋4i.
由复数三角形式的几何意义可知，
对应的复数为(－3＋4i)×[cos (－90°)＋isin (－90°)]＝4＋3i，
所以＝＋＝(2，－1)＋(4，3)＝(6，2)，
所以点D对应的复数为6＋2i.
同理，对应的复数为(－3＋4i)××[cos (－45°)＋isin (－45°)]＝(－3＋4i)×(1－i)＝1＋7i，
所以＝＋＝(2，－1)＋(1，7)＝(3，6)，
所以点C对应的复数为3＋6i.
【检测反馈】
1. C　解析：因为a<0，所以辐角主值为π，所以其三角形式为－a(cos π＋isin π).
2. B　解析：
＝9[cos (270°＋90°)＋ isin (270°＋90°)]
＝9(cos 360°＋isin 360°)＝9.
3. AC　解析：因为r＝＝，cos θ＝，sin θ＝，所以辐角的主值为，所以1＋i＝(cos ＋isin )＝，故A，C正确，B，D错误．故选AC.
4. 　解析：原式＝cos ＋isin(2π＋)＝cos ＋isin，故其辐角主值为.
5. (1) 因为r＝＝4，cos θ＝，sin θ＝－.
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以2－2i＝4.
(2) 因为r＝2，cos θ＝0，sin θ＝－1，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－2i＝2.