第七章 复数 复 习 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

第七章 复数 复 习
1. 掌握复数的有关概念及复数相等的含义．
2. 掌握复数的相关运算．
3. 理解复数及运算的几何意义．
活动一 知识整合
1. 知识结构框图：
2. 复数的有关概念．
(1) 复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．当且仅当b＝0时，a＋bi为实数；当且仅当a＝b＝0时，a＋bi是实数0；当且仅当b≠0时，a＋bi为虚数；当a＝0且b≠0时，a＋bi为纯虚数；
(2) 复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)；
(3) 共轭复数：a＋bi与c＋di共轭，a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)；
(4) 复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示非纯虚数；
(5) 复数的模：向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R).
3. 复数的几何意义．
(1) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；
(2) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
4. 复数的运算．
(1) 复数的四则运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；　
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).
(2) 复数的运算定律：
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
复数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1z2＝z2z1，(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
活动二 巩固复数的概念
例1　已知复数z＝a2－a－6＋i，分别求出满足下列条件的实数a的值：
(1) z是实数；
(2) z是虚数；
(3) z是0.
　　
深刻理解复数的有关概念(如实部、虚部、纯虚数等)及两个复数相等的含义(实部与虚部分别相等).
已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
活动三　掌握复数的运算　
例2　已知z是复数，z－3i为实数，为纯虚数(i为虚数单位).求：
(1) 复数z；
(2) 的模．
复数的运算(加、减、乘、除)与多项式的运算相类似．
　　
已知z＝1＋i，i为虚数单位．
(1) 若ω＝z2＋3－4，求|ω|的值；
(2) 若＝1－i，求实数a，b的值．
活动四　理解复数的几何意义　
例3　已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面内对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥CB，求顶点C所对应的复数z.
复数的几何意义包括复数本身的几何意义(与复平面内的点及从原点出发的向量建立一一对应关系)，以及复数运算的几何意义．
已知z∈C，z＋3i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
1. 若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A. －2 B. 2或－3 C. 3 D. －3
2. (2023高一单元测试)大数学家欧拉发现了一个公式：eix＝cos x＋isin x，i是虚数单位，e为自然对数的底数．此公式被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，等于(　　)
A. 1 B. －1 C. i D. －i
3. (多选)已知复数z0＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. z0的虚部为i B. z0在复平面内对应的点位于第一象限
C. ＝－3－i D. 若|z－z0|＝，则0≤|z|≤2
4. (2023高一单元测试)z1，z2∈C，若|z2|＝4，则＝________．
5. 已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的根．
(1) 求p＋q的值；
(2) 复数w满足z·w是实数，且|w|＝2，求复数w.
【答案解析】
第七章 复数 复 习
【活动方案】
例1　(1) 由题意，得a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，
解得a＝－5或a＝3，
所以当a＝－5或a＝3时，z为实数．
(2) 由题意，得a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
解得a≠－5且a≠3且a≠±2，
所以当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数．
(3) 由题意，得a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，解得a＝3，
所以当a＝3时，z＝0.
跟踪训练　设(x0，y0)是方程组的实数解．
由已知及复数相等，得
由①②得代入③④得
所以实数a，b的值分别为1，2.
例2　(1) 设z＝a＋bi(a，b∈R).
因为z－3i＝a＋(b－3)i为实数，所以b＝3.
又因为＝＝为纯虚数，
所以a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2) 因为＝＝＝＝－2＋i，
所以||＝|－2＋i|＝＝.
跟踪训练　(1) 已知z＝1＋i，所以＝1－i，
所以ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，
所以|ω|＝.
(2) 因为＝＝1－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得
例3　 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则顶点C的坐标为(x，y).
因为OA∥BC，
所以kOA＝kBC，OC＝BA，
又BA2＝(6－2)2＋(－2－1)2＝25，
所以解得或
因为OA≠BC，所以x＝－3，y＝4舍去，
故z＝－5.
跟踪训练　设z＝x＋yi(x，y∈R).
因为z＋3i＝x＋(y＋3)i为实数，
所以y＝－3.
又因为＝＝(x－3i)(3＋i)＝[(3x＋3)＋(x－9)i]为实数，
所以x＝9，所以z＝9－3i.
因为(z＋ai)2＝81－(a－3)2＋18(a－3)i＝72＋6a－a2＋18(a－3)i，
由已知，得解得3故实数a的取值范围是(3，12).
【检测反馈】
1. D　解析：由题意，得解得m＝－3.
2. D　解析：因为＝＝ei＝cos ＋isin ，所以(cos ＋isin )2 022＝cos ＋isin (＋504π)＝cos ＋isin ＝－i.
3. BD　解析：由题意，得z0＝＝＝＝3＋i.对于A，z0的实部为3，虚部为1，故A错误；对于B，z0所对应的点为(3，1)，在第一象限，故B正确；对于C，＝3－i，故C错误；对于D，若|z－z0|＝，由几何意义，得复数z所对应的点到点Z0(3，1)的距离为，所以复数z的轨迹是以(3，1)为圆心，为半径的圆，并且该圆过原点，设Z(a，b)，即z＝a＋bi，则|z|＝∈[0，2]，故D正确．故选BD.
4. 　解析：因为|z2|＝4，所以z2·＝16，则16－z2＝z2－z2＝z2(－)，故z1≠z2，所以＝＝＝＝.
5. (1) 由题意，得该实系数方程x2＋px＋q＝0的两个根是互为共轭复数的，所以方程的另一根是2－i，
所以解得故p＋q＝1.
(2) 设w＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)·(2＋i)＝(2a－b)＋(a＋2b)i是实数，所以a＋2b＝0.
因为|w|＝2，所以a2＋b2＝20.
联立解得或
所以w＝4－2i或w＝－4＋2i.