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第03讲 多边形、多边形的内角和
·模块一 多边形
·模块二 多边形的内角和
·模块三 课后作业
1.多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2.正多边形
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
3.多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
【要点】①从边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；②n边形共有条对角线.
【考点1 多边形及其相关概念】
【例1.1】（2023八年级·江苏南京·期末）下列图形中，不是多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023八年级·湖南长沙·期末）如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB．其中正确的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【例1.3】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（ ）
A．只有三角形 B．只有三角形和四边形
C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形
【变式1.1】（2023八年级·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
【变式1.2】（2023八年级·湖南长沙·期末）写出下面多边形的名称：
(1) (2) (3)
【变式1.3】（2023八年级·江苏无锡·期中）个六边形、个五边形共有 条边．
【考点2 多边形的对角线】
【例2.1】（2023八年级·江苏南京·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为 ．
【例2.2】（2023八年级·山东东营·期中）过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是 ．
【例2.3】（2023八年级·广东东莞·期末）过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，五边形共有条对角线，则的值为 ．
【变式2.1】（2023八年级·广东东莞·期末）若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式2.2】（2023八年级·云南昆明·阶段练习）我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．
【变式2.3】（2023八年级·广东广州·期中）过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，过边形一个顶点的对角线条数是边数的，则 .
【考点3 正多边形】
【例3.1】（2023八年级·山东淄博·阶段练习）下列图形中，是正八边形的是（ ）
A．B．C．D．
【例3.2】（2023八年级·山东东营·阶段练习）一个正多边形从一个顶点出发有3条对角线，它的周长为，则它的边长为 ．
【例3.3】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，把边长为12的正三角形ABC纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形DEFGHK，则剪去的小正三角形的边长为 ．
【变式3.1】（2023八年级·全国·课前预习）下列叙述正确的是（ ）
A．每条边都相等的多边形是正多边形；
B．如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定是凹多边形；
C．每个角都相等的多边形叫正多边形；
D．每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形
【变式3.2】（2023八年级·四川德阳·阶段练习）下列图形中不可能是正多边形的是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．四边形 D．梯形
【变式3.3】（2023八年级·四川内江·期末）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正八边形“扩展”而来的多边形的边数为 ．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
【题型2】（2023·江西·期末）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3】（2023八年级·全国·假期作业）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·湖南长沙·期末）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.
当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；
……
你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？
【题型2】（2023八年级·安徽阜阳·期末）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ②
(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.
(2)拓展应用：
有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话
【题型3】（2023八年级·广东东莞·期末）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？
1.多边形的内角和公式
n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
2.多边形的多边形外角和
n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
3.多边形的边数与内角和、外角和的关系
n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
【考点1 多边形的内角和】
【例1.1】（2023·广西柳州·期末）蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是 ．
【例1.2】（2023八年级·云南昆明·期中）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是 ．
【例1.3】（2023八年级·吉林·期末）求出下面图形中的值．
【变式1.1】（2023八年级·云南昭通·阶段练习）多边形的内角和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】（2023八年级·重庆·阶段练习）若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为 ．
【变式1.3】（2023八年级·浙江台州·期末）已知九边形的其余8个角的度数均为，那么第九个角的度数为 ．
【考点2 多边形的外角和】
【例2.1】（2023·云南曲靖·期末）十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【例2.2】（2023八年级·北京西城·开学考试）下列图形中，内角和是外角和的二倍的多边形是（ ）
A． B． C． D．
【例2.3】（2023八年级·贵州黔西·阶段练习）若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是 ．
【变式2.1】（2023·云南文山·期末）一个多边形的每个外角均为，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形
【变式2.2】（2023·陕西咸阳·期末）已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
【变式2.3】（2023八年级·广东广州·期中）一个多边形的每一个外角都相等，且一个内角的度数是，则这个多边形的边数是 ．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·陕西安康·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，
(1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由．
(2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和．
【题型2】（2023八年级·上海·课后作业）一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 个.
【题型3】（2023八年级·福建泉州·期末）如图，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，则的度数为 ．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，正边形纸片被撕掉一块，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】（2023八年级·湖北黄冈·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是__________度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【题型3】（2023八年级·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确
1．（2023八年级·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023八年级·山东淄博·期中）过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
3．（2023八年级·江苏连云港·期中）正十边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八年级·北京·阶段练习）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏淮安·期末）如图，由矩形和正六边形构成的扳手截面中，的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八年级·江苏无锡·期中）一个正多边形的内角和是，则这个多边形的边数 ．
7．（2023八年级·江苏南京·期中）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ．
8．（2023八年级·四川巴中·期末）如图，将边长相等的正八边形与正五边形的一边重合，并让正五边形位于正八边形内部，则 ．
9．（2023八年级·福建厦门·期中）有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的路线行走，那么机器人回到点行走的路程是 米．
10．（2023·湖南长沙·期末）小明用一些完全相同的三角形纸片（图中△ABC）拼接图案，已知用6个△ABC纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形的图案，若按照图2所示的方法拼接下去，则得到的图案的外轮廓是正 边形．
11．（2023八年级·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值
(1)
(2)
12．（2023八年级·湖南长沙·期末）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
13．（2023八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°
(1)多算进去的那个内角为多少度？
(2)求这个多边形的边数？
14．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．
15．（2023八年级·湖南长沙·期末）（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数；
（2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数．
16．（2023八年级·广东东莞·期末）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出；
(2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)你是怎么得到的？中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 多边形、多边形的内角和
·模块一 多边形
·模块二 多边形的内角和
·模块三 课后作业
1.多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
2.正多边形
各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
3.多边形的对角线
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
【要点】①从边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；②n边形共有条对角线.
【考点1 多边形及其相关概念】
【例1.1】（2023八年级·江苏南京·期末）下列图形中，不是多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据多边形的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
B、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意；
D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．
【例1.2】（2023八年级·湖南长沙·期末）如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB．其中正确的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【详解】根据题意，结合图形，
所给四边形的表示方法正确的有：
①四边形ABCD；④四边形ADCB.
故选B.
点睛：本题主要考查的是四边形的定义，熟练掌握四边形的表示方法是解题的关键.
【例1.3】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（ ）
A．只有三角形 B．只有三角形和四边形
C．只有三角形、四边形和五边形 D．只有三角形、四边形、五边形和六边形
【答案】C
【分析】由正五边形的性质和五角星的特点得出五角星含有的多边形中，有三角形、四边形和五边形.
【详解】解：根据题意得：在五角星含有的多边形中,有三角形、四边形和五边形,故选C．
【点睛】本题考查了正五边形的性质、五角星的特点,熟练掌握正五边形的性质是解决问题的关键．
【变式1.1】（2023八年级·广东汕头·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
B．多边形的两边所在直线组成的角是这个多边形的内角或外角
C．各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形
D．连接多边形的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
【答案】C
【分析】根据多边形的概念，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、在平面内，由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，故本选项错误，不符合题意；
B、多边形的一边与另一边组成的角叫做多边形的内角，多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角，故本选项错误，不符合题意；
C、各个角都相等，各条边都相等的多边形是正多边形，故本选项正确，符合题意；
D、连接多边形两个顶点的线段，分为两种类型是连接相邻两个顶点的线段是多边形的边，连接不相邻的顶点的线段叫做多边形的对角线，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了多边形的概念；多边形内角、外角的概念；对角线的概念，熟练掌握由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形是解题的关键．
【变式1.2】（2023八年级·湖南长沙·期末）写出下面多边形的名称：
(1) (2) (3)
【答案】 （1）五边形； （2）三角形； （3）四边形.
【详解】分析：
根据所给图形和多边形的定义进行分析解答即可.
详解：
题中所给3个多边形分别是：
（1）五边形；（2）三角形；（3）四边形.
故答案为：（1）五边形；（2）三角形；（3）四边形.
点睛：知道“在多边形中，边数是n（n为不小于3的正整数）的多边形被称为n边形”是解答本题的关键.
【变式1.3】（2023八年级·江苏无锡·期中）个六边形、个五边形共有 条边．
【答案】
【分析】由六边形有六条边，五边形有五条边，即可计算．
【详解】解：∵个六边形有条边，个五边形有条边，
∴个六边形、个五边形共有条边，
故答案为：.
【点睛】本题考查多边形的概念，关键是掌握n边形有n条边．
【考点2 多边形的对角线】
【例2.1】（2023八年级·江苏南京·期末）如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2023个三角形，那么这个多边形的边数为 ．
【答案】2025
【分析】本题考查多边形的有关知识，解题的关键是掌握，从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形．
【详解】解：从边形的一个顶点出发作它的对角线，将边形分成个三角形，
，
，
故答案为：2025．
【例2.2】（2023八年级·山东东营·期中）过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是 ．
【答案】24
【分析】本题考查多边形的对角线问题，根据过n边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴；
故答案为：24．
【例2.3】（2023八年级·广东东莞·期末）过边形的一个顶点有条对角线，边形没有对角线，五边形共有条对角线，则的值为 ．
【答案】64
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：（n＞3，且n为整数）可得到m、k、n的值，进而可得答案．
【详解】解：由题意得：n-3=2m，m=3，
解得m=3，n=9，
，
解得k=5，
则：（n-k）m=（9-5）3=64．
故答案为：64．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线和有理数的乘方，关键是掌握对角线条数的计算公式．
【变式2.1】（2023八年级·广东东莞·期末）若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有（n-3）条，根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程，解方程即可．
【详解】设此多边形有n条边，由题意，得
n=2(n 3)，
解得n=6.
故此多边形有6条边.
故选A.
【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于理解题意找出等量关系列出方程.
【变式2.2】（2023八年级·云南昆明·阶段练习）我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．
【答案】2
【分析】
根据三角形具有稳定性，五边形可以分成3个三角形，需要两根木条．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，
∴要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，
∴至少要钉2根木条；
故答案为：2．
【点睛】本题考查三角形的稳定性．熟练掌握三角形具有稳定性，是解题的关键．
【变式2.3】（2023八年级·广东广州·期中）过边形的一个顶点有7条对角线，边形没有对角线，过边形一个顶点的对角线条数是边数的，则 .
【答案】13
【分析】根据过n边形一个顶点有n-3条对角线进行解答即可．
【详解】解：∵过十边形的一个顶点有7条对角线，∴m=10，
∵三角形没有对角线，∴n=3，
又∵k-3= k，解得，k=6，
∴m-n+k=13，
故答案为13．
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的求法，掌握过n边形一个顶点有n-3条对角线是解题的关键．
【考点3 正多边形】
【例3.1】（2023八年级·山东淄博·阶段练习）下列图形中，是正八边形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正多边形的定义判断即可．
【详解】解：由正八边形的定义：即正八边形有八条边，且每个边都相等，每个角都相等，由此可知，C选项中的图形是正八边形，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的定义，正多边形就是各边相等，各角也相等的多边形．
【例3.2】（2023八年级·山东东营·阶段练习）一个正多边形从一个顶点出发有3条对角线，它的周长为，则它的边长为 ．
【答案】7
【分析】根据n边形一个顶点可以引条对角线求出这个正多边形的边数，进而求出对应的边长即可．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得，
解得，
∵这个正多边形的周长为，
∴这个正多边形的边长为，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数问题，熟知n边形一个顶点可以引条对角线是解题的关键．
【例3.3】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，把边长为12的正三角形ABC纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形DEFGHK，则剪去的小正三角形的边长为 ．
【答案】4
【分析】由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形，可知得到剪去的小正三角的边长为4．
【详解】解：∵剪去三个三角形
∴AD=AE=DE，BK=BH=HK，CG=CF=GF，
∵六边形DEFGHK是正六边形，
∴DE=DK=HK=GH=GF=EF，
∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形；
∴AD=DK=BK==4，
∴剪去的小正三角形的边长4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等边三角形以及正六边形的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式3.1】（2023八年级·全国·课前预习）下列叙述正确的是（ ）
A．每条边都相等的多边形是正多边形；
B．如果画出多边形某一条边所在的直线，这个多边形都在这条直线的同一侧，那么它一定是凹多边形；
C．每个角都相等的多边形叫正多边形；
D．每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形
【答案】D
【解析】每条边、每个角都相等的多边形叫正多边形
【变式3.2】（2023八年级·四川德阳·阶段练习）下列图形中不可能是正多边形的是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．四边形 D．梯形
【答案】D
【分析】根据正多边形的性质依次判定各项后即可解答.
【详解】选项A，三角形中的等边三角形是正三角形；
选项B，正方形是正四边形；
选项C，四边形中的正方形是正四边形；
选项D，梯形的上底与下底不相等所以梯形不可能是正多边形.
故选D.
【点睛】本题考查了正多边形的性质，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键.
【变式3.3】（2023八年级·四川内江·期末）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正八边形“扩展”而来的多边形的边数为 ．
【答案】72
【分析】①边数是12=3×4，②边数是20=4×5，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．
【详解】解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，
②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，
③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6，
④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7，
∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．
当n=8时，8（8+1）=72个，
故答案为72．
【点睛】本题考查图形的变化类，首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）是解题关键．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
【答案】D
【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果．
【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，
∴剩下纸片的角的个数为3或4或5；
故选D．
【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论．
【题型2】（2023·江西·期末）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系．
【详解】观察图形可得
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系．
【题型3】（2023八年级·全国·假期作业）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．
【详解】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选：．
【点睛】本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·湖南长沙·期末）从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.
当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；
……
你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？
【答案】3,4, 5,规律：多边形的边数比分割成的三角形的个数多1
【分析】由相应图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可．
【详解】由图中可以看出：四边形被分为3个三角形，五边形被分为4个三角形，六边形被分成5个三角形，那么n边形被分为（n-1）个三角形．
∵n-(n-1)=1，
∴多边形的边数比分割成的三角形的个数多1.
【点睛】解决本题的难点是得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系．
【题型2】（2023八年级·安徽阜阳·期末）夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数 4 5 6 7 8 ……
从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… ①
多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ②
(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.
(2)拓展应用：
有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话
【答案】(1)①，②
(2)他们一共通了2850次电话
【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；
（2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得．
【详解】（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为，
归纳类推得：当多边形的顶点数为时，从一个顶点出发的对角线的条数为，多边形对角线的总条数为（其中，且n为整数），
故答案为：，．
（2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，
则，
答：他们一共通了2850次电话．
【点睛】本题考查了多边形的对角线条数问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
【题型3】（2023八年级·广东东莞·期末）（1）如图①，O为四边形内一点，连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（2）如图②，点O在五边形的边上（不与端点重合），连接，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（3）如图③，过点A作六边形的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？
（4）若是任意一个n（，且n为整数）边形，上述三种情况分别可以将n边形分割成多少个三角形？
【答案】（1）4个，它与边数相等．（2）4个，它等于边数减1．（3）4个，它等于边数减2．（4）若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形．
【分析】（1）根据图形，求解即可；
（2）依据题中的图形，求解即可；
（3）依据题中的图形，求解即可；
（4）根据前面三种情况求解即可．
【详解】解：（1）由图形可得，可以得到4个三角形，它与边数相等；
（2）可以得到4个三角形，它等于边数减1；
（3）可以得到4个三角形，它等于边数减2；
（4）由前面的性质可得，若点在n边形内部，则可以将n边形分割成n个三角形；若点在n边形的边上（不与端点重合），则可以将边形分割成个三角形；若点为边形的顶点，则可以将边形分割成个三角形．
【点睛】此题考查了多边形的性质，解题的关键是理解题意，掌握多边形的有关性质．
1.多边形的内角和公式
n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．
2.多边形的多边形外角和
n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
3.多边形的边数与内角和、外角和的关系
n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.
【考点1 多边形的内角和】
【例1.1】（2023·广西柳州·期末）蜂巢结构精巧，如图是部分巢房的横截面图，形状均为正六边形．正六边形的内角和是 ．
【答案】720
【分析】本题考查了多边形内角和，根据内角和公式：（其中n表示多边形的边数），即可完成求解．掌握多边形内角和公式是关键．
【详解】解：正六边形的内角和为：，
故答案为：720．
【例1.2】（2023八年级·云南昆明·期中）已知一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是 ．
【答案】15/十五
【分析】
本题考查多边形得内角和，根据多边形的内角和公式，进行求解即可．
【详解】解：设所求n边形边数为n，
则，
解得．
故这个多边形的边数是15．
故答案为：15．
【例1.3】（2023八年级·吉林·期末）求出下面图形中的值．
【答案】
【分析】本题考查多边形内角和公式，根据多边形内角和公式，数形结合列方程求解即可得到答案，数据多边形内角和公式是解决问题的关键．
【详解】解：由图可知，
∴．
【变式1.1】（2023八年级·云南昭通·阶段练习）多边形的内角和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，对于定理的理解是解决本题的关键．
n边形的内角和是，即多边形的内角和一定是180的正整数倍，依此即可解答．
【详解】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是．
故选：B．
【变式1.2】（2023八年级·重庆·阶段练习）若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查多边形的内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：．
【变式1.3】（2023八年级·浙江台州·期末）已知九边形的其余8个角的度数均为，那么第九个角的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】
本题考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和的求法是解题的关键．
先求出九边形的内角和，再减去8个内角的度数即可．
【详解】解：九边形的内角和为，8个内角的度数为，
第九个角的度数为．
故答案为：．
【考点2 多边形的外角和】
【例2.1】（2023·云南曲靖·期末）十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和为360度，判断即可．
【详解】解：十二边形的外角和为；
故选B．
【例2.2】（2023八年级·北京西城·开学考试）下列图形中，内角和是外角和的二倍的多边形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多边形内角与外角，熟记公式并列方程求出多边形的边数是解题的关键．
根据多边形的内角和公式以及多边形的外角和等于列方程求出边数，从而得解．
【详解】解：设多边形边数为n，
由题意得，，
解得，
所以，这个多边形是六边形．
故选：D．
【例2.3】（2023八年级·贵州黔西·阶段练习）若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是 ．
【答案】7
【分析】设这个多边形的边数是n，则内角和为，然后根据外角和是360度，即可求得边数．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，则
∴
解得；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形的计算，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是关键．
【变式2.1】（2023·云南文山·期末）一个多边形的每个外角均为，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．七边形 C．六边形 D．五边形
【答案】D
【分析】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，然后根据外角和为360°即可求得多边形的边数．
【详解】解：∵多边形外角和为，
∴多边形的外角个数为：，
∴ 这个多边形是五边形．
故选：D．
【变式2.2】（2023·陕西咸阳·期末）已知一个正多边形的内角和与其外角和的和为，那么从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
【答案】9
【分析】此题主要考查了多边形的外角和以及内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式．首先根据多边形外角和求出内角和的度数，再利用内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．
【详解】解：多边形的外角和都是，
内角和等于，
设这个多边形有条边，
，解得：，
从这个正多边形的一个顶点出发，可以作条对角线．
故答案为：9．
【变式2.3】（2023八年级·广东广州·期中）一个多边形的每一个外角都相等，且一个内角的度数是，则这个多边形的边数是 ．
【答案】12
【分析】本题考查正多边形的外角和与内角和．由多边形的内角与外角互补求得外角的度数，再由正多边形的外角和为360°，可得到答案．
【详解】解：∵多边形的每一个外角都相等，
∴多边形为正多边形，
∵外角与内角互补，
∴外角度数为，
∵正多边形的外角和为，
∴多边形一共有条边
故答案为：12．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·陕西安康·期中）如图，小东在操场的中心位置，从点出发，每走向左转，
(1)小东能否走回点处？若能，请求出小东一共走了多少米；若不能，请说明理由．
(2)小东走过的路径是一个什么几何图形？并求这个几何图形的内角和．
【答案】(1)能，小东一共走了
(2)正六边形，正六边形的内角和为
【分析】本题考查的是多边形的外角和定理应用，内角和定理的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）由每次向左转，结合回到出发点共转过可得答案；
（2）由形成的六边形的每一条边都相等，每一个角都相等，可得多边形的形状，再求解内角和即可．
【详解】（1）解：∵从点出发，每走向左转，
，
小东一共走了：（）；
（2）∵由（1）得多边形有六条边，且每一条边都相等，
由每个外角都为，可得六边形的每一个角都相等，
∴走过的路径是一个边长为的正六边形；
∴正六边形的内角和为：．
【题型2】（2023八年级·上海·课后作业）一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 个.
【答案】3
【分析】根据多边形的外角和为360°可得多边形外角最多有3个钝角，再利用多边形的内角与外角互为邻补角即可得答案.
【详解】∵一个多边形的外角和360度，
∴外角最多可以有3个钝角，
又∵多边形的内角与外角互为邻补角，
∴一个多边形中，它的内角最多可以有3个锐角．
故答案为3．
【点睛】考查了多边形内角与外角，考虑多边形的内角的问题，由于内角和不确定，而外角和是一个定值，因而转化为考虑外角和的问题比较简单．
【题型3】（2023八年级·福建泉州·期末）如图，若正五边形和长方形按如图方式叠放在一起，则的度数为 ．
【答案】36
【分析】先求出正五边形的内角和，可得出每个内角的度数，利用三角形的外角得出，再求出，即可得到答案．
【详解】解：∵正五边形内角和为：，
∴，
∵长方形中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：36．
【点睛】本题考查多边形的内角和，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，正边形纸片被撕掉一块，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】本题考查了多边形的内角和外角和，延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数，掌握相关定义是解题的关键．
解：如图，延长，交于点，
，
，
正多边形的一个外角为，
，
故选：．
【题型2】（2023八年级·湖北黄冈·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是__________度．
(2)小明求的是几边形内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
【答案】(1)
(2)小明求的是边形内角和
(3)这个正多边形的一个内角是
【分析】本题考查了多边形的内角和，一元一次方程的应用．熟练掌握多边形的内角和，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，根据，计算求解即可；
（2）由题意知，，计算求解即可；
（3）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，
∴这个“多加的锐角”是 ，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
解得，，
∴小明求的是边形内角和；
（3）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是，
∴这个正多边形的一个内角是．
【题型3】（2023八年级·河北保定·期末）如图，甲、乙两位同学用n个完全相同的正六边形按如图所示的方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正n边形，关于n的值，甲的结果是或4，乙的结果是或6，则（ ）
A．甲的结果正确 B．乙的结果正确
C．甲、乙两人的结果合在一起才正确 D．甲、乙两人的结果合在一起也不正确
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，正六边形的一个内角为，根据周角的定义有，，得，再讨论即可得n的值．
【详解】解：正六边形的一个内角为，
，
为正n边形的一个内角的度数，
，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则．
故n的值为3或4或5或6．故选C．
1．（2023八年级·广东佛山·阶段练习）在如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查多边形定义，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案．
【详解】解：所示的图形中，第一个是三角形、第二个是四边形、第三个是圆、第四个是正六边形、第五个是正方体，
是多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个，
故选：C．
2．（2023八年级·山东淄博·期中）过边形的一个顶点可以画出7条对角线，将它分成个小三角形，则的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】本题考查多边形的对角线．根据边形过一个顶点能画出对角线的条数为：进行计算即可，对角线将多边形分成个三角形，进行计算出．
【详解】解：由题意可得：，，
，
．
故选：D．
3．（2023八年级·江苏连云港·期中）正十边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据正多边形的每个内角都相等和多边形内角和公式进行列式求解即可．
【详解】解：正十边形的每个内角的度数是：
，
故选：A．
4．（2023八年级·北京·阶段练习）若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，根据多边形的内角和公式求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是，依此可以求出多边形的一个外角．
【详解】解：∵正多边形的内角和是，
∴多边形的边数为，
∵多边形的外角和都是，
∴该正多边形的每个外角为．
故选：B．
5．（2023·江苏淮安·期末）如图，由矩形和正六边形构成的扳手截面中，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形的内角，以及周角为，解题的关键是熟练掌握正多边形的内角度数，
先求出正多边形的内角度数，再利用矩形的一个直角和正多边形的一个内角以及组成了一个周角，即可求解；
【详解】解：正六边形的外角度数为：，
故正六边形的内角度数为：
故选：A
6．（2023八年级·江苏无锡·期中）一个正多边形的内角和是，则这个多边形的边数 ．
【答案】10
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．根据多边形的内角和公式列式求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是，
则，
解得．
故答案为：10．
7．（2023八年级·江苏南京·期中）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 ．
【答案】11
【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
，
∴，
∵n是整数，
∴，
故答案为11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组．
8．（2023八年级·四川巴中·期末）如图，将边长相等的正八边形与正五边形的一边重合，并让正五边形位于正八边形内部，则 ．
【答案】
【分析】先求出正八边形与正五边形的内角，之后得出的度数，根据是等腰三角形即可求出．
【详解】解：如图，
正八边形的内角为，即，
正五边形的内角为，即，
,
是等腰三角形
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正多边形的内角，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质以及正多边形内角是解题的关键．
9．（2023八年级·福建厦门·期中）有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的路线行走，那么机器人回到点行走的路程是 米．
【答案】12
【分析】利用多边形的外角和等于，可知机器人回到点时，恰好沿着边形的边走了一圈，即可求得路程．
【详解】解：米．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让除以一个外角即可．
10．（2023·湖南长沙·期末）小明用一些完全相同的三角形纸片（图中△ABC）拼接图案，已知用6个△ABC纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形的图案，若按照图2所示的方法拼接下去，则得到的图案的外轮廓是正 边形．
【答案】九
【分析】本题主要考查了多边形的外角的性质与内角的性质等知识点，先求出的度数，再求出图2中正多边形的每一个内角的度数，进而求出答案，熟记正多边形的性质是解题的关键．
【详解】如图1，
∵正六边形的每一个内角为，
∴，
∴图2中正多边形的每一个内角为，
，
故答案为：九．
11．（2023八年级·河南许昌·阶段练习）求图中的x的值
(1)
(2)
【答案】(1)80
(2)110
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理：
（1）根据四边形内角和为360度列出方程求解即可；
（2）根据五边形内角和为列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：由题意得，，
解得．
12．（2023八年级·湖南长沙·期末）正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正边形的内角和为，边长为2．
(1)求正边形的周长；
(2)若正边形的每个外角的度数比正边形每个内角的度数小，求的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识．
（1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数．
（2）根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可．
【详解】（1）解：由题意可得，解得．
正x边形的周长为；
（2）正边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
13．（2023八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°
(1)多算进去的那个内角为多少度？
(2)求这个多边形的边数？
【答案】(1)120度
(2)12边
【分析】（1）根据多边形的内角和应为180的整数倍即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可进行求解．
【详解】（1）解：∵，
∴多算进去的内角度数：；
（2）右（1）可知，多算进去的内角为，
∴这个多边形的内角和为：，
，解得：，
∴这个多边形边数为12．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和为180的整数倍以及多边形的内角和公式．
14．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．
【答案】15
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
【详解】设新多边形是n边形，
由多边形内角和公式得：，
解得：，
则原多边形的边数是：．
原多边形的边数是15．
【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和公式．
15．（2023八年级·湖南长沙·期末）（1）已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数；
（2）已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比为，求这个多边形的边数．
【答案】（1）9（2）11
【分析】本题主要考查了求多边形的边数，多边形内角和和外角和定理以及一元一次方程的应用．
（1）设这个多边形的边数为n，利用一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多列一元一次方程求解即可得出答案．
（2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，根据题意，列一元一次方程求解出x，再利用多边形外角为即可求出答案．
【详解】解：（1）设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
解得，
所以这个多边形的边数为9．
（2）设这个多边形一个内角的度数为，则一个外角的度数为，
根据题意，得，解得．
∴，
所以这个多边形的边数为11．
16．（2023八年级·广东东莞·期末）[应用意识]清晨，小明沿着一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，如图．
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出；
(2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？
(3)你是怎么得到的？
【答案】(1)图见解析，
(2)他每跑一圈，身体转过的角度之和是
(3)五边形的外角和等于
【分析】（1）根据图形进行解答即可；
（2）根据多边形外角和进行解答即可；
（3）多边形的外角和等于．
【详解】（1）解：如图，小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是．
（2）解：他每跑一圈，身体转过的角度之和是
（3）解：五边形的外角和等于．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于．
