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第04讲 与三角形的角有关的三种几何模型
·模块一 角的“8”字模型
·模块二 角的燕尾模型
·模块三 三角形的内角及外角的平分线所成的角
·模块四 课后作业
角的“8”字模型
【条件】AD、BC相交于点O.
【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)
【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.
【例1.1】（2023八年级·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【例1.2】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
【例1.3】（2023八年级·浙江金华·期末）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【变式1.1】（2023八年级·湖北恩施·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（ ）．
A．42° B．69° C．44° D．32°
【变式1.2】（2023八年级·北京怀柔·期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式1.3】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，求的度数.
角的燕尾模型
【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)
【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
【例2.1】（2023八年级·江苏南京·期末）如图所示，已知四边形，求证．
【例2.2】（2023八年级·江苏南京·期末）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【例2.3】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，若，则 ．
【变式2.1】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
【变式2.2】（2023八年级·云南昆明·期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．118° C．100° D．90°
【变式2.3】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；
②如图3，平分，平分，若，求的度数；
③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．
三角形的内角及外角的平分线所成的角
【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.
【结论】
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.==.
【例3.1】（2023八年级·河南商丘·期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
【例3.2】（2023八年级·广东东莞·阶段练习）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
【例3.3】（2023八年级·四川成都·期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则 ．
【变式3.1】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，在中，的平分线与，的外角平分线交于点，的延长线于点，已知，，求、的度数.
【变式3.2】（2023八年级·河北沧州·阶段练习）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ．
【变式3.3】（2023八年级·福建泉州·期中）如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
1．（2023八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八年级·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八年级·福建泉州·期末）如图，则的度数是 ．
4．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，求的度数.
5．（2023八年级·广东东莞·期末）如图，、分别平分和，若，，求的度数.
6．（2023八年级·广东东莞·期末）如图，向两边延长的边，点是直线上点右边的一动点，，平分，平分，与交于点，当点在直线上运动时，探求与数量关系.
7．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，点是的外角和的角平分线交点，延长交于，请写出和的数量关系.
8．（2023八年级·重庆·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB的度数．
9．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，在直角中，是的平分线，,的延长线与的平分线交于点，求的度数.
10．（2023八年级·广东中山·期中）已知，在四边形ABCD中，．
（1）求证：．
（2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．中小学教育资源及组卷应用平台
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角的“8”字模型
【条件】AD、BC相交于点O.
【结论】∠A+∠B=∠C+∠D.(上面两角之和等于下面两角之和)
【证明】在△ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°，在△CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D，得证.
【例1.1】（2023八年级·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，
∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，
∴∠2＞∠D，
故选项A，B，C正确，
故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
【例1.2】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
【答案】900°
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
【例1.3】（2023八年级·浙江金华·期末）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．
【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF= ，
∵，
∴，
∴；
（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，
∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，
∴∠A+∠C=2∠P，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=（38°+42°）=40°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
【变式1.1】（2023八年级·湖北恩施·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（ ）．
A．42° B．69° C．44° D．32°
【答案】A
【分析】根据翻折的性质，及矩形的性质，求出，再利用“8”字模型求解即可．
【详解】由图形翻折的性质可知，，
，，
，利用“8”字模型，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出是解决问题的关键，熟练运用“8”字模型是求最终结果的关键．
【变式1.2】（2023八年级·北京怀柔·期末）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记，
，
，
，
又，
，
，
，
故选C．
【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．
【变式1.3】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，求的度数.
【答案】.
【分析】根据三角形的内角和定理即可求解
【详解】解：连结，
BC与DE相交成对顶三角形，
，
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键
角的燕尾模型
【条件】四边形ABDC如上左图所示.
【结论】∠D=∠A+∠B+∠C.(凹四边形凹外角等于三个内角和)
【证明】如上右图，连接AD并延长到E，则：
∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C.本质为两个三角形外角和定理证明.
【例2.1】（2023八年级·江苏南京·期末）如图所示，已知四边形，求证．
【答案】见解析
【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果；
方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论；
方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】方法1如图所示，连接BC.
在中，，即.
在中，，
；
方法2如图所示，连接AD并延长.
是的外角，
.
同理，.
.
即.
方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.
是的外角，
.
是的外角，
.
.
【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．
【例2.2】（2023八年级·江苏南京·期末）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数．
【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图，
∵
∴
同理得
∵
∴
∵
∴
∴
∴,
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：．
【例2.3】（2023八年级·江苏南京·期末）如图，若，则 ．
【答案】230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．
【变式2.1】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
【答案】.
【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出
【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得，
①
②
是的平分线，是的平分线
，．
①-②得，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．
【变式2.2】（2023八年级·云南昆明·期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．118° C．100° D．90°
【答案】B
【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．
【详解】解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝＝99°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．
【变式2.3】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；
②如图3，平分，平分，若，求的度数；
③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．
【答案】(1)，见解析
(2)①；②；③
【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出；
（2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，连接并延长．
根据外角的性质，可得，，
又∵，，
∴，
故答案为：；
（2）①由（1）可得，
∵，，
∴；
②由（1）可得，
∴，
∴，
∴；
③设，，
则，，
则，，
解得，
所以，
即的度数为．
【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
三角形的内角及外角的平分线所成的角
【条件】△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P.
【结论】
【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴
由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①
对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③
比较②③式子可知：.==.
【例3.1】（2023八年级·河南商丘·期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
【答案】40°
【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ACO=∠ACB，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠ACE，
∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，
∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．
【例3.2】（2023八年级·广东东莞·阶段练习）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；
（2）若∠A=a，求∠E；
（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，
∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，
∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，
∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，
∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，
∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，
∴∠D=α，
∵∠DBE=90°，
∴∠E=90°-α；
（3）如图，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，
∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．
故答案为：β．
【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
【例3.3】（2023八年级·四川成都·期中）如图，已知的两条高、交于点，的平分线与外角的平分线交于点，若，则 ．
【答案】36
【分析】首先根据三角形的外交性质求出，结合三角形的高的知识得到和之间的关系，进而可得结果；
【详解】由图知：，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵的两条高、交于点，
∴，，
∴，
∴在四边形中有：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．
【变式3.1】（2023八年级·广东东莞·期末）如图，在中，的平分线与，的外角平分线交于点，的延长线于点，已知，，求、的度数.
【答案】；.
【分析】根据三角形的内角和定理、角平分线定义得出，即可
【详解】解：，，．
平分，
．
是内、外角平分线的交角，
．
．
是内、外角平分线的交角，
．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理，关键是根据角平分线的性质得到角之间的关系．
【变式3.2】（2023八年级·河北沧州·阶段练习）∠ACD是△的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点，…，的平分线与的平分线交于点An． 设∠A＝．则＝ ，∠A2021＝ ．
【答案】
【分析】据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可求出∠A1的度数，同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【详解】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=，
∴∠A1=，
同理可得：∠An=，
∴∠A2021=，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
【变式3.3】（2023八年级·福建泉州·期中）如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)∠A的度数是或或或
【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可
【详解】（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
即∠E＝A，
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）
＝90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键．
1．（2023八年级·江苏无锡·期中）如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD，
∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，
∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，
同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，
∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，
∴∠BCD5+∠CBD5=155°，
∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
2．（2023八年级·山东济南·期末）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD ∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A ∠D，代入即可求出∠P．
法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可．
【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，
∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，
∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD ∠D，
∴∠P＋∠PBE＝∠PCD ∠D，
∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A ∠D＋∠ABF＋∠PCD，
∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A ∠D
∵∠A＝48°，∠D＝10°，
∴∠P＝19°．
法二：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，
∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，
∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，
∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，
整理得∠ACD ∠ABD＝58°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，
即∠P＝48° （∠ACD ∠ABD）＝19°．
故选A.
【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
3．（2023八年级·福建泉州·期末）如图，则的度数是 ．
【答案】/180度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：如图，
∵是的外角，是的外角，
∴，，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．
4．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，求的度数.
【答案】.
【分析】连接CD，将转化为四边形CDEF的内角和即可求出答案.
【详解】解：如图所示，连接CD.
由对顶三角形得，，
∴ .
【点睛】本题考查了三角形、四边形的内角和定理、对顶角的性质等知识.将所求角的度数和转化为四边形内角和是解题的关键.
5．（2023八年级·广东东莞·期末）如图，、分别平分和，若，，求的度数.
【答案】.
【分析】根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；
【详解】解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°；
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．
6．（2023八年级·广东东莞·期末）如图，向两边延长的边，点是直线上点右边的一动点，，平分，平分，与交于点，当点在直线上运动时，探求与数量关系.
【答案】.
【分析】过点A作，交MO的延长于点G，先根据平行线的性质得出，再得出平分，再根据三角形内、外角平分线的交角的结论即可
【详解】解：如图，过点A作，交MO的延长于点G，则
，，
平分，
平分，
由三角形内、外角平分线的交角的基本图形与结论得，
，
即．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理，关键是根据角平分线的性质得到角之间的关系．
7．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，点是的外角和的角平分线交点，延长交于，请写出和的数量关系.
【答案】
【分析】先根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可用含的式子表示出和的和，再利用三角形外角的性质即可得到和的数量关系.
【详解】解：∵,
∴,
∵点是的外角和的角平分线交点，
∴+＝，
又∵＝+，
∴.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角和的性质及角平分线的性质.熟练应用三角形外角的性质是解题的关键.
8．（2023八年级·重庆·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB的度数．
【答案】80°
【详解】试题分析：根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案．
试题解析：解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
考点：角平分线的性质，直角三角形全等的判定
9．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，在直角中，是的平分线，,的延长线与的平分线交于点，求的度数.
【答案】
【分析】设，则，，，根据三角形ABO与三角形DFO的内角和相等即可建立方程，整理方程即可得出答案.
【详解】解：设，则，
在直角中，，
∵是的平分线，
∴，
在直角中，.
∵,
又∵，
∴，
即，
∴.
【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形内角和定理及其推论等知识.根据对顶三角形构建方程是解题的关键.
10．（2023八年级·广东中山·期中）已知，在四边形ABCD中，．
（1）求证：．
（2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明．
（3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明．
【答案】（1）证明见详解；（2）DE⊥BF，证明见详解；（3）DE∥BF，证明见详解
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解；
（2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．
【详解】（1）证明：∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°；
（2）DE⊥BF
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90°
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC
∴∠EDC=∠EBG
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG
∴∠EGB=∠C=90°
∴DE⊥BF
（3）DE∥BF
连接BD
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC
∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°
∵∠C=90°
∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180°
∴DE∥BF．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键．
