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第06讲 由SAS、ASA证明三角形全等
·模块一 “边角边” 判定三角形全等
·模块二 “角边角”判定三角形全等
·模块三 课后作业
全等三角形的判定
边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
【考点1 “边角边” 判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·山东威海·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．以上三个选项都可以
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
故选：C．
【例1.2】（2023八年级·浙江台州·期末）如图，已知，则的根据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定定理有．根据题中已知，及公共角，利用证明即可．
【详解】解：在与中，
，
∴，
故选：D．
【例1.3】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，分别在和上，，连接交于P点，则的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；证明三角形全等得出角相等是解决问题的关键，先由等边三角形的性质，得再证明，再进行角的等量代换，即可作答．
【详解】
解：∵是等边三角形，
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【变式1.1】（2023八年级·山东泰安·期末）如图，，，要根据“”说明，则还需要添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查添加条件证明三角形全等，根据要求利用“”说明，角度给定，且给定一边，只要找到夹角的另一边即可．
【详解】解：根据题意知利用“”证明，
∵，，
∴添加即可．
故选：A．
【变式1.2】（2023八年级·江苏常州·期中）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
【答案】90
【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，
，
，
，
，
故答案为：90．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
【变式1.3】（2023八年级·河北廊坊·期中）如图，是的中线，点，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．和的面积相等
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的面积相等．根据“”证明得到，，推出，可对选项AC进行判断；根据三角形中线的性质可对选项B进行判断；
【详解】解：为的中线，
，
在和中，
，
，
∴，故选项A说法正确，不符合题意；
∴，
∴，故选项C说法正确，不符合题意；
是的中线，
，
和面积相等，故选项B说法正确，不符合题意；
不一定相等，故选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
【考点2 “边角边” 证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·河南三门峡·期末）如图，，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，首先根据，然后得到，然后证明出．
解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，．
【详解】∵，
∴，即，
又∵，，
∴．
【例2.2】（2023八年级·浙江温州·期中）看图填空：如图，已知，，试说明．
证明：∵
∴ （两直线平行，同位角相等）
∵
∴ ；
即：
在和中
∴（ ）．
【答案】A；；；；；．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由，可得，根据证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
故答案为：A；；；；；．．
【例2.3】（2023八年级·山西长治·期中）如图，将绕顶点A逆时针旋转至．连接．
(1)若，，求的度数．
(2)若，求证．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键；
（1）由旋转可知，则有，然后根据三角形内角和及旋转的性质可进行求解；
（2）由旋转可知，，然后问题可求证．
【详解】（1）解：由旋转可知：，，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：由旋转可知，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式2.1】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，
（1）首先根据题意得到，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式2.2】（2023八年级·河北保定·期中）如图，在和中，，，且，，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)写出与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可；
（2）先证明，再结合，从而可得结论．
【详解】（1）证明：，
，
即．
又，
（2），理由如下：
，
．
设、相交于点，
则．
，
即．
【变式2.3】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）根据四边形，均为正方形，可得，，，进而可得，即可证明；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，等量代换可得．
【详解】（1）证明：四边形，均为正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：由（1）得，
，
．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
根据题意得，，则，由于，根据全等三角形的判定方法，当，时可判断，即，；当，时可判断，即，，然后分别求出对应的的值即可．
【详解】解：根据题意得，，，则，
，
当，时，，
即，，
解得：，；
当，时，，
即，，
解得：，，
综上所述，当与全等时，的值是2或3．
故选：C．
【题型2】（2023八年级·山东德州·期中）在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等 C．根据全等 D．根据全等
【答案】D
【分析】由角度数量关系与三角形内角和定理可得，，由线段的数量关系可得，，进而可证明三角形全等．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
得，
得：，
∴在和中，
∵
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
【题型3】（2023八年级·江苏南京·期末）在中，，中线，则边AB的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出图形，延长AD至E，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解】如图，延长AD至E，使，
是的中线，
，
在和中，，
≌，
，
，
，
，，
，
即．
故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·河南周口·期中）如图，在四边形中，，，．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】连接，证明，得出，
再证，即可．
【详解】连接，BD
在与中，，
∴，
，
在与中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，掌握全等三角形性质和判定是解题的关键．
【题型2】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC=7.6，AB=4.4，则AD= .
【答案】3.2
【详解】如图，在BC上截取BE=AB，
则CE=BC BE=7.6 4.4=3.2，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△EBD中,
，
∴△ABD≌△EBD(SAS)，
∴AD=DE，∠BED=∠A，
∵∠BAC=2∠C，∠BED=∠C+∠CDE，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE=BC AB=3.2，
∴AD=DE=3.2，
故答案为3.2.
点睛：证明或求线段相等的方法通常有：全等三角形的对应边相等；等腰三角形中等角对等边；角平分线上的点到角的两边距离相等；线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；根据题目条件选择适当方法解决.
【题型3】（2023八年级·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，．
(1)，与之间的数量关系是____________．
(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使）
(3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种．
【答案】(1)
(2)12000元
(3)千克
【分析】（1）由直接可以得到；
（2）延长至点，使，证得，得到，，进而证明解题；
（3）利用（2）中结论可得，运用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1），
，
故答案为：；
（2）如图，延长至点，使，连接．
.
在与中，
，
，.
，即.
在与中，
，
，
（米）．
五边形的周长为（米），
（元）．
答：建造木栅栏共需花费12000元.
（3）千克
，
需小麦种数量为：(千克）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解决一条线段长等于两条线段和的问题常用方法“截长或补短”．
全等三角形的判定
角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
【考点1 “角边角” 判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·陕西安康·期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形．此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
【详解】解：已知三角形的两角和夹边，
∴两个三角形全等的依据是，
故选：B．
【例1.2】（2023八年级·河南周口·期末）如图，要测量河岸相对两点的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，使，再过点作的垂线段，使点在一条直线上，测出米，则的长是（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
【答案】C
【分析】由均垂直于，即可得出，即可证出，由此即可得出，此题得解．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴米，
故选C
【点睛】考查了三角形全等的判定和性质，解题是熟练判定方法，本题属于三角形全等的判定应用.
【例1.3】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作交于点，使得，得，再根据的三边的关系即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作交于点，使得，
∵是的平分线，
∴，是公共边，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴在中，，即，
∴的长不可能是，
故选：．
【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，构造全等三角形是解题的关键．
【变式1.1】（2023八年级·全国·假期作业）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】D
【详解】③④满足利用ASA证明全等.
【变式1.2】（2023八年级·河北石家庄·期末）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用．
【详解】解：想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④，
满足的为①④，
故选D．
【变式1.3】（2023八年级·河南信阳·期末）已知是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】利用ASA证明和全等，进而得出，即可求出的长．
【详解】解：，
．
，，
（ASA）．
．
又，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形来得出简单的线段相等是解此类题的常用方法．
【考点2 “角边角” 证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·广西河池·期末）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由，依据“两只相平行，同位角相等”得到，结合已知根据“”可判定全等；
（2）根据全等三角形的性质得到，依据“同位角相等，两只相平行”可进行求证．
【详解】（1）∵，
，
在和中，
，
（2），
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【例2.2】（2023八年级·山东临沂·期末）如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】由题意可得出，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即．
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
【例2.3】（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据推出，根据，，得出，结合，利用证明，即可得出，熟练掌握利用证明三角形全等是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式2.1】（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，点在外部，点在边上，若，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可得证．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
．
【变式2.2】（2023八年级·山东济南·期中）如图，已知点在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定：
（1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明；
（2）利用全等三角形的性质得到，再根据线段的和差关系求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
【变式2.3】（2023八年级·湖北·期末）如图，为测量河宽，小军站在河岸的O处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后沿所在直线后退到B处（保持之前的姿势），这时他的视点恰好落在O处，同时他让小华测量他此时所站的B处与O处之间的距离为．你能帮忙算出河宽吗？请说明理由．
AI
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质的应用，证明即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵B处与O处之间的距离为，
∴河宽．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，根据可证明．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵
∴，
又，
∴
∴选项D正确；
而选项A、B、C都无法证明三角形全等，
故选：D．
【题型2】（2023八年级·广东清远·期中）如图，小明和小月两家位于A，B两处，要测得两家之间的距离，小明设计方案如下：
①从点A 出发沿河岸画一条射线
②在射线上截取 ；
③过点E作， 使 B， F，C在一条直线上；
④的长就是A，B 间的距离．
(1)请你说出小明的方案的原理，小明的方案是否可行？如果可行，请进行说理证明．
(2)如果不借助测量仪，小明的设计中哪一步难以实现？（直接写出答案）
【答案】(1)运用了全等三角形（边角边）原理，方案可行
(2)第③步难以实现
【分析】本题考查全等三角形的应用，由实际问题抽象出几何图形是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定定理求解；
（2）如果不借助测量仪，难以作一条直线的平行线，由此可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴小明和小月运用了全等三角形（边角边）原理，
小明的方案可行；
（2）解：如果不借助测量仪，小明无法使得．
因此第③步难以实现．
【题型3】（2023八年级·安徽·专题练习）如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证：
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，得出，证明得出，进而即可得证．
【详解】证明：如图所示，延长、相交于点．
，
．
又，
，
在和中
，
．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·江苏泰州·期末）如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，与不全等
C．与不全等，
D．与全等，与不全等
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：在和中，
∵，
∴，
在和中，
，，
∵，
∴，
∴与不全等，
故选：．
【题型2】（2023八年级·江西吉安·期末）如图，的面积为，平分，过点A作于点，则的面积为 ．
【答案】7.5/
【分析】根据已知条件证得≌，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可．
【详解】解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌(ASA)，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，能够根据已知条件证得≌得到，进而得到，是解决问题的关键．
【题型3】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图， 中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点H．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段．
①首先计算出，进而得到，然后再计算出，然后证明可得；
②首先证明，然后证明，进而得到，再利用等量代换可得结论．
【详解】（1）证明：，
，
又、分别平分、，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
1．（2023八年级·广东广州·期中）使的条件是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】D
【分析】根据全等三角形判定定理，依次判断，即可求解，本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握全等三角形判定定理．
【详解】解：、满足，不能判定，不符合题意；
、满足，不能判定，不符合题意；
、满足，不能判定，不符合题意；
、满足，能判定，符合题意，
故选：．
2．（2023八年级·湖南岳阳·开学考试）如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用．要用证明三角形全等，即角边角证明三角形全等，题目已知，，那么添加条件即可．
【详解】解：由题意可得：，，
∴当时，可根据可证，
故选：B．
3．（2023八年级·河北保定·期末）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案：
方案Ⅰ ①如图1，选定点； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点； ②连接，，并分别延长到点，，使，； ③连接，测量的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．分别证明，得出；证明，得出．
【详解】解：方案Ⅰ：∵，，，
∴，
∴；
方案Ⅱ：
∵，，，
∴，
∴；
综上分析可知，Ⅰ、Ⅱ都可行．
故选：D．
4．（2023八年级·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，首先证明，根据全等三角形的性质可得，，再证明，．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
【详解】解：在和中，
，
，，
在和中，
，
在和中，
，
综上，图中全等三角形共有3对，
故选：C．
5．（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．大小关系不确定
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．先证明，根据可得，进而根据全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
故选A．
6．（2023八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，平分，在上截取，连结，已知，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用角平分线的定义得到，证明，即可得到，即可解答，熟知全等三角形判定的条件是解题的关键．
【详解】解：平分，
，
在与中，
，
，
，
，
故答案为：．
7．（2023八年级·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ．
【答案】3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
8．（2023八年级·河南周口·阶段练习）如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为 ．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得到，由直角三角形两锐角互余推出，即可证明．
【详解】解：与全等的三角形为
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴
在和中
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9．（2023八年级·安徽阜阳·阶段练习）已知且交于点，，，其中的面积为，四边形的面积为，若，则点到 的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据证明，结合题意得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∴
∵，
则点到 的距离为,
故答案为：．
10．（2023八年级·河南商丘·期末）如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积等于 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．延长交于，根据已知条件证得，推出，得出，即可得出答案．掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴的面积等于．
故答案为：．
11．（2023八年级·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明．
【答案】；证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．先证明，然后根据证明即可．
【详解】证明：，理由如下
，
即，
在和中，
．
12．（2023八年级·福建泉州·期末）如图，，．下列三个条件：
①；
②；
③．
请你从①②③中选一个条件，使．
(1)你添加的条件是_______（填序号）；
(2)添加条件后，请证明．
【答案】(1)①或③
(2)见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，
添加①或③均可证明全等；
由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择③角边角证明三角形全等．
【详解】（1）解：选择①或③
（2）选择①，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴．
选择③，证明如下：
∵，
∴，
∵，
在和中
，
∴．
13．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已在与中，，，，，求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题中条件证明出三角形全等是解题的关键．根据，，，从而得出，，结合，即可得出，进而可以解决问题．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
14．（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
（1）由可得，结合可推出，由，结合三角形的外角性质可得，即可证明；
（2）由（1）可知，根据全等三角形的性质以及线段的和差即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
15．（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且．
(1)求线段的长；
(2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)5；
(2)，；
(3)或时，与全等；
【分析】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识：
（1）只要证明即可解决问题；
（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段上时，，②当点Q在射线上时，时；
（3）分两种情形求解即可①如图2中，当时，，②如图3中，当时，；再进一步建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图1中，
，
∵是高，
∴，
∵是高，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
由题意得，
，，
①当点Q在线段上时，，如图，
∴；
②当点Q在射线上时，，如图，
∴；
（3）解：存在，理由如下，
①如图2中，当时，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得，
②如图3中，当时，
∵，，
，
∴，
∴，
∴，解得，
综上所述，或时，与全等．中小学教育资源及组卷应用平台
第06讲 由SAS、ASA证明三角形全等
·模块一 “边角边” 判定三角形全等
·模块二 “角边角”判定三角形全等
·模块三 课后作业
全等三角形的判定
边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
【考点1 “边角边” 判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·山东威海·期末）如图，在中，平分，，可用“”判断全等的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．以上三个选项都可以
【例1.2】（2023八年级·浙江台州·期末）如图，已知，则的根据是（ ）
A． B． C． D．
【例1.3】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，是等边三角形，分别在和上，，连接交于P点，则的度数是（ ）
A．90° B．100° C．120° D．150°
【变式1.1】（2023八年级·山东泰安·期末）如图，，，要根据“”说明，则还需要添加的一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】（2023八年级·江苏常州·期中）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，∠2﹣∠1＝ °．
【变式1.3】（2023八年级·河北廊坊·期中）如图，是的中线，点，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．和的面积相等
C． D．
【考点2 “边角边” 证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·河南三门峡·期末）如图，，，，求证：．
【例2.2】（2023八年级·浙江温州·期中）看图填空：如图，已知，，试说明．
证明：∵
∴ （两直线平行，同位角相等）
∵
∴ ；
即：
在和中
∴（ ）．
【例2.3】（2023八年级·山西长治·期中）如图，将绕顶点A逆时针旋转至．连接．
(1)若，，求的度数．
(2)若，求证．
【变式2.1】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式2.2】（2023八年级·河北保定·期中）如图，在和中，，，且，，的延长线交于点．
(1)求证：；
(2)写出与的数量关系，并证明你的结论．
【变式2.3】（2023八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知正方形，点E是上的一点，连接，以为一边，在的上方作正方形，连接．
求证：
(1)；
(2)．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·山东临沂·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是（ ）
A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2
【题型2】（2023八年级·山东德州·期中）在和中，，，，，则这两个三角形的关系是（ ）
A．不一定全等 B．不全等 C．根据全等 D．根据全等
【题型3】（2023八年级·江苏南京·期末）在中，，中线，则边AB的取值范围是 ．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·河南周口·期中）如图，在四边形中，，，．求证：．
【题型2】（2023八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为∠ABC的平分线，BC=7.6，AB=4.4，则AD= .
【题型3】（2023八年级·河南信阳·期中）如图，某村庄有一块五边形的田地，，，连接对角线，，．
(1)，与之间的数量关系是____________．
(2)为保护田内作物不被牲畜踩踏，村里决定给这块田地的五边上围一圈木栅栏，已知每米木栅栏的建造成本是50元，则建造木栅栏共需花费多少元？（提示：延长至点，使）
(3)在和区域种上小麦，已知每平方米田地的小麦播种量为克，请直接写出需提前准备多少千克的小麦种．
全等三角形的判定
角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
【考点1 “角边角” 判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·陕西安康·期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023八年级·河南周口·期末）如图，要测量河岸相对两点的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，使，再过点作的垂线段，使点在一条直线上，测出米，则的长是（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．25米
【例1.3】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，点是平分线上的一点，，，，则的长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】（2023八年级·全国·假期作业）如图，下列四个三角形中，是全等三角形的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①② D．③④
【变式1.2】（2023八年级·河北石家庄·期末）有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【变式1.3】（2023八年级·河南信阳·期末）已知是的边上一点，交于点，，，若，，则的长为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【考点2 “角边角” 证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·广西河池·期末）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证：
(1)；
(2)．
【例2.2】（2023八年级·山东临沂·期末）如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：．
【例2.3】（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，在中，，在边上顺次取点，，使．作，，分别与，的延长线交于点，．求证：．
【变式2.1】（2023·陕西西安·八年级·期末）如图，点在外部，点在边上，若，，，求证：．
【变式2.2】（2023八年级·山东济南·期中）如图，已知点在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【变式2.3】（2023八年级·湖北·期末）如图，为测量河宽，小军站在河岸的O处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后沿所在直线后退到B处（保持之前的姿势），这时他的视点恰好落在O处，同时他让小华测量他此时所站的B处与O处之间的距离为．你能帮忙算出河宽吗？请说明理由．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】（2023八年级·广东清远·期中）如图，小明和小月两家位于A，B两处，要测得两家之间的距离，小明设计方案如下：
①从点A 出发沿河岸画一条射线
②在射线上截取 ；
③过点E作， 使 B， F，C在一条直线上；
④的长就是A，B 间的距离．
(1)请你说出小明的方案的原理，小明的方案是否可行？如果可行，请进行说理证明．
(2)如果不借助测量仪，小明的设计中哪一步难以实现？（直接写出答案）
【题型3】（2023八年级·安徽·专题练习）如图，在中，，，的平分线交于，的延长线于点，求证：
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·江苏泰州·期末）如图，有两个三棱锥，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．，与不全等
C．与不全等，
D．与全等，与不全等
【题型2】（2023八年级·江西吉安·期末）如图，的面积为，平分，过点A作于点，则的面积为 ．
【题型3】（2023八年级·重庆沙坪坝·期中）如图， 中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点H．
求证：
(1)；
(2)．
1．（2023八年级·广东广州·期中）使的条件是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．（2023八年级·湖南岳阳·开学考试）如图，和相交于O点，若，用证明还需增加条件（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八年级·河北保定·期末）要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案：
方案Ⅰ ①如图1，选定点； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点； ②连接，，并分别延长到点，，使，； ③连接，测量的长度即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行
4．（2023八年级·黑龙江绥化·期中）如图，在四边形中，，，若连接、相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2023八年级·安徽合肥·期末）如图，在和中，，连接，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．大小关系不确定
6．（2023八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，D是边上一点，平分，在上截取，连结，已知，则线段的长是 ．
7．（2023八年级·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ．
8．（2023八年级·河南周口·阶段练习）如图，在中，，于D，，交于M，过点N作交于F，交于H．与全等的三角形为 ．
9．（2023八年级·安徽阜阳·阶段练习）已知且交于点，，，其中的面积为，四边形的面积为，若，则点到 的距离为 ．
10．（2023八年级·河南商丘·期末）如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积等于 ．
11．（2023八年级·安徽芜湖·期末）如图，在中，，，，、交于点．在不添加字母和辅助线的情况下，请你在图中找出一对全等三角形并证明．
12．（2023八年级·福建泉州·期末）如图，，．下列三个条件：
①；
②；
③．
请你从①②③中选一个条件，使．
(1)你添加的条件是_______（填序号）；
(2)添加条件后，请证明．
13．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已在与中，，，，，求证：．
14．（2023八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，若，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，高、相交于点O，，且．
(1)求线段的长；
(2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为l秒，的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
