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第07讲 由AAS、HL证明三角形全等
·模块一 “角角边” 判定三角形全等
·模块二 由HL证明三角形全等
·模块三 课后作业
全等三角形的判定
角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
【考点1 “角角边”判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，，要依据“”判定，则还需要添加的条件是 ．
【例1.2】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 cm．
【例1.3】（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为 ．
【变式1.1】（2023八年级·甘肃·期中）如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是 .
【变式1.2】（2023八年级·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．
【变式1.3】（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案：
第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角；
第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 °，标记此时直杆的底端点；
第三步：测量地面上线段 的长度，即为点的高度．
若测得，，直杆下滑的高度 m．
【考点2 “角角边”证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·四川成都·期中）如图，点、在上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【例2.2】（2023·江苏无锡·八年级·期末）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【例2.3】（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．
【变式2.1】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知，，．求证： ．
【变式2.2】（2023八年级·云南普洱·期末）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式2.3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若＝16,求的长．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在中，，，，．求证：．
【题型2】（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，，．
(1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：．
(2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．
【题型3】（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·四川广安·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，A表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从A处摆动到B处，此时过点B作于点D，当小球摆动到C处时，与恰好垂直，过点C作于点E．试说明（图中的点在同一平面内）．
【题型2】（2023八年级·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ．
【题型3】（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．）
全等三角形的判定：
斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【考点1 由HL判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【例1.2】（2023八年级·河北沧州·期中）图1是，图2是嘉琪在已有的情况下，所画的的部分过程，则依据是（ ）
A． B． C． D．
【例1.3】（2023八年级·山西太原·期中）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】（2023八年级·湖南郴州·期末）如图，点D在上，．若，则 ．
【变式1.2】（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm
【变式1.3】（2023八年级·江西赣州·期中）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则 ．
【考点2 由HL证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程．
证明：
，，
__________．
是的中点，
__________，
又，
__________．
．
【例2.2】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，
(1)求证：；
(2)若，求的度数
【例2.3】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【变式2.1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在和中，，判断和是否全等．
解：在和中，
∴．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因．
【变式2.2】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？
【变式2.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·河北张家口·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：
(1)；
(2)．
【题型2】（2023八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【题型3】（2023八年级·山东德州·期中）如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·河北保定·期中）题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【题型2】（2023八年级·江苏苏州·期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加，则甲获胜；
②若第3轮甲添加，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负．
【题型3】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，直线交于点，于点，于点，若，且，则的度数为 ．
1．（2023八年级·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( )
A． B． C． D．
2．（2023八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，则图中相等的线段有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
3．（2023八年级·天津西青·期中）如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出的结论是（ ）
A． B． C．平分 D．
4．（2023八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，高交于点交于点F，则图中共有全等三角形（）
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
5．（2023八年级·安徽·专题练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八年级·江苏常州·期末）如图，在和中，，，．若，则 °．
7．（2023八年级·河南新乡·期中）如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为 ．
8．（2023八年级·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ．
9．（2023八年级·山东济宁·期末）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ．
10．（2023八年级·河北保定·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是 ．
11．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在与中，点，在线段上，，，，求证：．
12．（2023·云南·模拟预测）如图，D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E，F，且．求证：．
13．（2023八年级·辽宁沈阳·期中）某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一条直线上，测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶墙E的视线的夹角，若米，米，请计算出该居民楼的高度．
14．（2023八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．
(1)当时， ， ；
(2)当等于多少时，，请说明理由．
15．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，且，，，垂足分别为E、F．
(1)求证：；
(2)在图2中，连接交BC于点G，请直接写出图中所有相等的线段（不包括的对应线段）中小学教育资源及组卷应用平台
第07讲 由AAS、HL证明三角形全等
·模块一 “角角边” 判定三角形全等
·模块二 由HL证明三角形全等
·模块三 课后作业
全等三角形的判定
角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
【考点1 “角角边”判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，，要依据“”判定，则还需要添加的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟记判定三角形全等是解本题的关键，本题添加即可．
【详解】解：∵，，
∴添加，
∴；
故答案为：．
【例1.2】（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是 cm．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，将实际生活与全等三角形的知识结合是解题关键．
【详解】解：由题意得：，，
∵，
∴
∴
∵支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，
∴小明离地面的高度是：
故答案为：
【例1.3】（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为 ．
【答案】5
【分析】如图，作辅助线；首先证明，得到，；其次证明，求出，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于点；
，
，
；
由题意得：；
在与中，
，
，
，；
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答.
【变式1.1】（2023八年级·甘肃·期中）如图，已知的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是 .
【答案】乙丙.
【分析】甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．
【详解】由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等，
乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，
丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，
根据全等三角形的判定得，乙丙正确.
故答案为乙丙.
【点睛】此题考查三角形全等的判定方法，解题关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【变式1.2】（2023八年级·福建龙岩·期中）如图，已知与相交于点，，点为中点，若，，则 ．
【答案】4
【分析】根据平行线的性质和线段中点，证明，得到，再根据，即可求出的长．
【详解】解：，
，，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
【变式1.3】（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点的高度，嘉淇设计了如下方案：
第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点重合，记录直杆与地面的夹角；
第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得 °，标记此时直杆的底端点；
第三步：测量地面上线段 的长度，即为点的高度．
若测得，，直杆下滑的高度 m．
【答案】
【分析】测一堵墙上点的高度，可构造，则，即的长度就是点的高度，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，，，通过构造直角三角形与直角三角形全等，
∴，
∵利用“角角边”构造，
∴，
∴测量的长即为墙上点的高度，
∵，
∴m，m，，
∴m．
【点睛】本题主要考查全等三角形性质的应用，构造三角形全等是解题的关键．
【考点2 “角角边”证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·四川成都·期中）如图，点、在上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠D的度数是
【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明；
（2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，
，
的度数是．
【例2.2】（2023·江苏无锡·八年级·期末）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用即可证明；
（2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
∵，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知：，
，
，
．
【例2.3】（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度．
【答案】博智楼的高度是18米
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据，得出，，结合角的等量代换得出，即可证明，然后进行边的运算，即可作答．
【详解】解：由题意，得．
∵，，
∴．
在与中，
∴，
∴．
∵，，
∴，
即．
答：博智楼的高度是18米．
【变式2.1】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知，，．求证： ．
【答案】见解析
【分析】利用，证明 即可．
【详解】∵，
∴，
即，
又∵，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键．
【变式2.2】（2023八年级·云南普洱·期末）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为5
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，
（1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可；
（2）由（1）知，可得，再利用求解即可．
【详解】（1）证明：，，且，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
，
的长为5．
【变式2.3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在中，是边上的中线,于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若＝16,求的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形综合,根据条件写全步骤是解决本题的关键．
（1）中线可得，通过两个垂直可以判断两个角都为，还有对顶角,通过即可证明两个三角形全等,进而得证．
（2）通过观察可发现根据（1）中的全等可拆分为，从而得出答案．
【详解】（1）证明：是的边上的中线，
，
，
．
在和中,
，
，
．
（2）由（1）知，
，
，
，
，
∴．
故．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在中，，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了平行线性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，根据两直线平行同位角相等，得到，结合题意以及三角形内角和可得，利用证明，即可得出结论．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【题型2】（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，，．
(1)若中，，为上的一点，与相交于点F，求证：．
(2)若中，，在的延长线上，交的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)结论成立，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，找出角度之间的关系是解题的关键．
（1）求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）作出图形，与（1）的证明思路相同进行证明即可．
【详解】（1）解：证明： ，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）明：结论成立．
证明如下：如图，
，
，
即，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【题型3】（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，中，，，，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作于点D，于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为 ．
【答案】或7或10
【分析】分，，以及四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
从运动到需要：，从运动到需要：，
∴运动的总时间为：，
从运动到需要：，从运动到需要：，
∴运动的总时间为：，
∴当时：，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时： ，
即：，
∴（不合题意，舍去）；
当：时，，，
当重合时，，即：，，
∴，解得：；
当：时，，，
∵，，
∴当时： ，
即：，解得：；
当：时，，，
∵，，
∴当时： ，
即：，解得：；
综上：当的值为或7或10．
故答案为：或7或10．
【点睛】本题考查全等三角形中的动点问题．熟练掌握全等三角形的判定，根据动点的位置，进行分类讨论，是解题的关键．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·四川广安·期末）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动．如图2，A表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从A处摆动到B处，此时过点B作于点D，当小球摆动到C处时，与恰好垂直，过点C作于点E．试说明（图中的点在同一平面内）．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，可得结论．
【详解】解：∵，
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
【题型2】（2023八年级·广东广州·期中）如图，且，且，若点E、B、D到直线的距离分别为6、3、2，则图中实线所围成的阴影部分面积S是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形全等的性质与判定，证明，，结合梯形面积公式及三角形面积公式即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
在与，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型3】（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．）
【答案】(1)全等，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
（1）根据证明与全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
由题意可知，，
，
∴．
∴．
在和中，
，
∴.
（2）解：∵，
∴，．
∵，，
∴．
∵，
∴．
答：爸爸是在距离地面的地方接住张华的．
全等三角形的判定：
斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【考点1 由HL判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．
直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：B．
【例1.2】（2023八年级·河北沧州·期中）图1是，图2是嘉琪在已有的情况下，所画的的部分过程，则依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂作图的步骤及作图原理可得到答案．
【详解】解：根据作图过程和步骤可知依据是，
故选：D
【例1.3】（2023八年级·山西太原·期中）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数．
【详解】解：在和中
，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【变式1.1】（2023八年级·湖南郴州·期末）如图，点D在上，．若，则 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
又∵，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【变式1.2】（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先连接，再根据“”证明，然后根据全等三角形的性质得出答案．
【详解】连接．
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：6．
【变式1.3】（2023八年级·江西赣州·期中）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点2 由HL证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程．
证明：
，，
__________．
是的中点，
__________，
又，
__________．
．
【答案】，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即可．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：，，
是的中点，
又，
．
【例2.2】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，
(1)求证：；
(2)若，求的度数
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：
（1）先证，再证即可；
（2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明： ，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【例2.3】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．
【详解】证明：∵与分别为，边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式2.1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在和中，，判断和是否全等．
解：在和中，
∴．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因．
【答案】不正确，错误原因见解析．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理判定．
【详解】解：不正确，错误原因如下：
∵在中是斜边，在中是直角边，
∴不满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件，
∴解答过程不正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【变式2.2】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？
【答案】相等，见解析
【分析】根据直角三角形全等的判定方法即可得．
【详解】相等．理由如下：
解：，
，
在和中，，
．
，
即两个针离电线杆底部的距离相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定．
【变式2.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．
【答案】详见解析
【分析】过点向作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论．
【详解】如图，过点作与点，则，
，，
，
，，
，，
，
，，
∵，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·河北张家口·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可；
（2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出．
【详解】（1），
．
又，，
；
（2）为中点，
．
，，
，
．
由（1）得，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键
【题型2】（2023八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【分析】连接OP，证明Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），△APM≌△PBN（ASA），再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM与Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM与△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【题型3】（2023八年级·山东德州·期中）如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ．
【答案】①②
【分析】证，可得，，再根据即可求得，即可解题．
【详解】解：在和中，
，
，
，①正确，
∴，
，
，
，②正确，
和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明 ，故③④错误；
故答案是：①②．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·河北保定·期中）题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解答本题的关键．
根据已知条件，得到，，，要使两个直角三角形全等还需要一条直角边对应相等即可，分析得到或时，．
【详解】解：如图所示，
，，，
，
在和中，
，
如图所示，
，，，
，
在和中，
，
，
综上，或时，，
故选：．
【题型2】（2023八年级·江苏苏州·期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加，则甲获胜；
②若第3轮甲添加，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负．
【答案】②③④
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误；
②若第3轮甲添加，
如图，当，时，以为圆心，为半径画弧，与射线相交于点，
，
此时交点C是唯一的，
故甲添加时，与全等，
故甲获胜，故本说法正确；
③若第2轮乙添加条件修改为，
若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜，
若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜，
故乙必胜，故本说法正确；
④若第2轮乙添加条件修改为，
第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等，
第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜，
此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确．
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【题型3】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，直线交于点，于点，于点，若，且，则的度数为 ．
【答案】/26度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余，证明得到，计算出，最后根据直角三角形两锐角互余进行计算即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
1．（2023八年级·安徽蚌埠·开学考试）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴
又∵，，
∴，，
∴．
故选B
2．（2023八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，则图中相等的线段有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据全等三角形的性质直接可得，，，进而得出，然后证明得出，即可求解．
【详解】解：∵
∴，，
∴，即，
∵
∴，，又，
∴
∴
∴共有对相等的线段，
故选：D．
3．（2023八年级·天津西青·期中）如图，，，垂足分别为点A，B，．根据这些条件不能推出的结论是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】C
【分析】根据，就可以肯定答案A可以推出，再由条件可以得到，就可以推出与，而平分无法得到论证．
【详解】解：∵，，
∴， 故答案A可以推出．
又∵在与中， ，，
∴，
∴，，
∴答案B、D均可以推出．
∴只有C无法推出，
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，以及全等三角形的性质，用排除法解决选择题是常用的方法，也是解决本题的关键．
4．（2023八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，高交于点交于点F，则图中共有全等三角形（）
A．7对 B．6对 C．5对 D．4对
【答案】A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意得等腰三角形，利用等腰三角形的判定逐个判断图中包含的全等三角形即可．
【详解】解：∵，分别是三角形的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
则，
∵，
∴，
在和中
∴，
同理还有；；；；，总共7对．
故选∶A．
5．（2023八年级·安徽·专题练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的大小间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意易证Rt△ABC≌Rt△DEF，从而可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得正确结论．
【详解】∵
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴
∴
又∵在中,
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质在实际问题中的应用，问题简单．
6．（2023八年级·江苏常州·期末）如图，在和中，，，．若，则 °．
【答案】55
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
故答案为：55．
7．（2023八年级·河南新乡·期中）如图，两个小朋友在水平地上玩跷跷板．已知跷跷板的支点是长板的中点，支柱高．当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，通过证明，得到，由平行线间间距相等可得则．
【详解】解：如图所示，为长板，点O为中点，为水平底面，
分别过A和D作水平底面的垂线，垂足分别为E、B，过点O作，分别交于C、D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由平行线间间距相等可得，
∴，
∴当长板的一端着地时，长板的另一端到地面的高度为，
故答案为：．
8．（2023八年级·四川成都·期末）在中，，，点在边上，，点，在线段上，若的面积为，则 ．
【答案】6
【分析】本题属于全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
证明≌，推出与面积相等，可得结论．
【详解】解：在等腰三角形中，，，
与等高，底边比值为，
与的面积比为．
的面积为，
与的面积分别为和，
，
．
，，，
，
．
在和中，
，
，
与面积相等，
与的面积之和为的面积，
与的面积之和为．
故答案为：．
9．（2023八年级·山东济宁·期末）在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
【详解】解： 和是由摆动得到，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
10．（2023八年级·河北保定·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角和的数量关系是 ．
【答案】
【分析】由条件信息可得，与均是直角三角形，由已知可根据判定两三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等，不难求解．
【详解】解：，证明如下：
由题意可得：与均是直角三角形，且．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】此题考查了全等三角形的应用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．
11．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在与中，点，在线段上，，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由“”可证，可得结论．
【详解】证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
12．（2023·云南·模拟预测）如图，D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E，F，且．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．根据可证明，再由全等三角形的性质可得结论．
【详解】证明：，，
．
在和中，
，
，
．
13．（2023八年级·辽宁沈阳·期中）某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一条直线上，测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶墙E的视线的夹角，若米，米，请计算出该居民楼的高度．
【答案】25米
【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据以及可以推出，从而得到，进而计算出即可．
【详解】解：由题意可知：，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
又米，米，
米，
米，
答：该居民楼的高度为25米．
14．（2023八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．
(1)当时， ， ；
(2)当等于多少时，，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．
（）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（）当时，利用，，求出，再利用，即可得出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，，理由如下：
，
，
又，
，
，
在和中，
，
．
15．（2023八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，且，，，垂足分别为E、F．
(1)求证：；
(2)在图2中，连接交BC于点G，请直接写出图中所有相等的线段（不包括的对应线段）
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键．
（1）由，，得出，再由，得出结论；
（2）由（1）得，容易得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴；
（2）解：，，，，理由如下：
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，．
