备考2024年中考数学文化自信抢分练11中国古代数学重要成就
一、选择题
1．（2022八下·阳高期中）2021年7月11日至18日，第十四届国际数学教育大会（ICME14）在上海举行．如图是ICME14的会标，包含了大量的中国数学元素——河图、洛书、弦图、八卦等，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标．下列中国古代数学成就中，与“弦图”有关的是（ ）
A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角
2．（2024九下·浙江模拟）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2020八上·奈曼旗期末）篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图所示的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（ ）
A． B． C． D．
4．（2020七上·高平期中）在世界数学史首次正式引入负数的中国古代数学著作是（ ）
A．《孙子算经》 B．《九章算术》
C．《算法统宗》 D．《周髀算经》
5．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册 第一章有理数 单元测试卷）三国魏景元四年（公元263年），由我国古典数学理论的奠基人之一刘徽完成了《九章算术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是（ ）
A．《海岛算经》 B．《孙子算经》
C．《九章算术》 D．《五经算术》
6．（2024九上·城中模拟）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八上·沙坪坝开学考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（ ）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
8．（2024九下·嘉兴模拟）《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024七上·拱墅期末）《九章算术》成书于公元1世纪，是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，《九章算术》的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载了这样一题：“今有程传委输（驿站受托运粮），空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返（五天往返三趟）．问太仓去（距离）上林几何（多远）？”用现在的解法，设太仓到上林的距离为x里，可列方程（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·柳南期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023八下·赣州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023七下·铜仁期末）如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2020九上·晋中月考）《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部数学著作，它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书，下列数学著作不属于《算经十书》的是（ ）
A．《孙子算经》 B．《海岛算经》
C．《九章算术》 D．《算法统宗》
15．（2024九下·宁波模拟）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》涉及了各种计算问题．其中有一道：百鸡问题“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．百钱买鸡百只，问鸡翁母何”．译文：已知公鸡1只值5钱，母鸡1只值3钱，小鸡3只值1钱，又知用100钱买到鸡100只，问三种鸡各买了多少只？若设公鸡买了x只，则下列各值中x不能取（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
16．（2023九上·苏州开学考）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，则l的值为（ ）
A．11-2 B．11-4 C．8-2 D．8-4
17．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项式(a+b)"的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
18．（2023八下·长沙期中）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·交城模拟）我国古代的数学家曾写下了许多数学名著，这些数学著作是了解古代数学成就的丰富宝库，其中有不少成就在世界范围内处于遥遥领先的地位.下列数学名著与其内容搭配不正确的一项是（ ）
A．《周髀算经》 勾股定理
B．《九章算术》 负数的概念和正负数的运算
C．《海岛算经》 三斜求积术
D．《孙子算经》 鸡兔同笼
20．（2024七上·越城期末） 中国古代重要的数学著作《孙子算经》是《算经十书》之一．书中记载了这样一个问题：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还余1尺．则木长为（ ）尺．
A．5 B． C．6 D．
21．（2024九下·武侯月考） 《孙子算经》是中国传统数学重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣． 《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客’，津吏曰：‘客几何’？妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五’，不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021·长沙模拟）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书.十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰.《算经十书》这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期.其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期.某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·岳池模拟）《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》.其中在《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 尺，问绳子、木条长多少尺？”，设绳子长为 尺，木条长为 尺，根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2024九上·婺城期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．最大正方形与直角三角形的面积和
D．较小两个正方形重叠部分的面积
25．（2023·宿迁）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
26．（2022八上·镇海区期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阻影部分的面积之和，则一定能求出（ ）
A．正方形的面积 B．正方形的面积
C．正方形的面积 D．的面积
27．（2023七下·石家庄期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形”解释二项式的展开式的各项系数，此“三角形”称为“杨辉三角”.如其展开式的系数从左起依次是，，，，请根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
28．（2024九上·上城期末）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的弦中点，，在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时， ．
29．（2021八上·通州期末）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，人食日二升．其大意为，在行军过程中，民夫可以背负六斗（60升）米，士兵可以自己背一斗（10升）米，民夫（士兵）每人一天行军会消耗2升米．
（1）若每个士兵雇佣4个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为 天；
（2）若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为 （用含有的代数式表示）；如果每个士兵雇佣的民夫数量没有上限，在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持的行军天数有没有上限？ （回答“有”或者“没有”）请你说明理由．
30．（2023七下·市南区期中）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示这个数列的第n个数，则 ．
31．（2020七上·西城期末）《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”.《九章算术》大约成书于公元前200年~公元前50年，是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，全书按题目的应用范围与解题方法划分为“方田”、“粟米”、“衰分”等九章.
《九章算术》中有这样一个问题：
今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数，金价各几何？
其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱.问人数、金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为
32．出人相补原理是我国古代数学的重要成就之一最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形 ，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF+EG= ．
33．（2024·南山模拟） 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板.我校“麒麟团”数学兴趣小组用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板.将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 .
34．（2023七下·市南区期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．
35．（2023七下·深圳期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．如图把正方形木板分为块，制作成七巧板，若正方形的边长为，那么该七巧板中第④块图形的面积为 ．
三、解答题
36．（2024八下·青秀期中） 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
（1）如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．
方法1： ；
方法2： ；
根据以上信息，可以得到等式： ；
（2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
（3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
37．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． 在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四， 则弦五”的记载， 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” （如图 ①， 后人称之为 “赵爽弦图”， 流传至今．
（1） ①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明， 人们已经找到了 400 多种方法， 请从以下三种常见的证明方法中任选一种来证明该定理 （图 ①②③均满足证明勾股定理所需的条件）．
（2） ①如图④⑤⑥， 以直角三角形的三边为边或直径， 分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 ▲ 个．
②如图⑦， 分别以直角三角形三边为直径作半圆， 设图中两个月牙形图案（图中阴影部分） 的面积分别为 ， ， 直角三角形的面积为 ， 请判断 的数量关系并证明．
四、综合题
38．（2021七上·汕尾期末）我国宋代著名科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载过有关古代行军后勤方面的情况，其大意为：每个民夫最多可以携带6斗（1斗＝10升）粮食；一个士兵除了武器装备外，最多可以携带10升粮食；每个士兵和民夫平均每天各消耗2升粮食．
（1）如果每个士兵雇佣一个民夫随其行军，那么最多可以支持多少天的行军？
（2）如果要维持25天的行军，每位士兵需要雇佣多少位民夫随其行军？
五、实践探究题
39．（2024八下·南宁开学考）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．
（1）求图1中第8行第5个数是 ；
（2）求图1中前10行所有的数字之和；
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：，记第层的圆球数记，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，
所以与“弦图”有关的是勾股定理，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的定义求解即可。
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：易得“望”字应在左边，“希”字应在右边，字以外的部分为镂空部分，
故答案为：D．
【分析】可看成镜面对称，根据镜面对称的规律：镜子中看到的文字与实际文字是关于镜面成垂直的线对称，即可判断．
4．【答案】B
【知识点】数学常识
【解析】【解答】负数最早记载于《九章算术》（写于公元一世纪），比国外早一千多年，
故答案为：B．
【分析】根据数学常识求解即可。
5．【答案】A
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：《九章算术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是《海岛算经》．
故答案为：A．
【分析】根据数学史可知，这本书的名称是《海岛算经》。
6．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
7．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
11．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，
∴由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出绳子长为（x+4.5）尺，再找出等量关系列方程即可。
12．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不是勾股数，故不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴不是勾股数，故不符合题意；
C、∵72+82≠92，∴不是勾股数，故不符合题意；
D、∵62+82≠102，∴是勾股数，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
13．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：找不到对称轴，故A错误；
B：找不到对称轴，故B错误；
C：可以找到一条对称轴，故C正确；
D：找不到对称轴，故D错误；
故答案为：C.
【分析】能找到直线（对称轴），沿直线折叠可以重合的图形是轴对称图形，找不到的不是。
14．【答案】D
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：算经十书”是指以下10部数学典籍：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》和《辑古算经》．“算经十书”集中反映了从汉至唐七八百年间数学发展的成果，成为后世数学教学和研究的重要依据．只有《算法统宗》不是．
故答案为：D．
【分析】根据数学常识逐一判别即可得出答案．
15．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
16．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 连接ON，如图：
∵OA=OB，
∴△ABO是等腰三角形，
∵N是AB的中点，
∴ON⊥AB，
，
又∵MN⊥AB，
∴M，N，O共线，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
又∵∠AON=30°，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底边上的中线，顶角的角平分线，底边上的高三线合一可得∠AON=30°；根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得OA=AB=4，根据直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可得AN=2，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得ON的值，即可求得MN的值，代入弧长的近似值计算公式胡可求解.
17．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵的第四项系数为：
的第四项系数为：
的第四项系数为：
的第四项系数为：
∴的第四项系数为：
故答案为：B.
【分析】根据图形中的规律求出的展开式中的第4项系数，即可求解.
18．【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得为赵爽构图，
故答案为：A
【分析】根据题意即可直接求解。
19．【答案】C
【知识点】数学常识
【解析】【解答】∵《周髀算经》 勾股定理是正确的，
∴A不符合题意；
∵《九章算术》 负数的概念和正负数的运算是正确的，
∴B不符合题意；
∵三斜求积术是宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出来的，
∴C符合题意；
∵《孙子算经》 鸡兔同笼是正确的，
∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据各个定理所出自的著作进行判断即可.
20．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木长为x尺，
由题意列方程：，
解得：x=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】设木长为x尺，根据题中的相等关系“绳长×+1=木长”可列关于x的方程，解方程即可求解.
21．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】 设共有客人人，由题意可得，
故答案为：A.
【分析】设共有客人人，根据 2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，即总的碗数为65，即可列出关于x的一元一次方程，从而求解.
22．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示，根据题意列树形图得
由树形图得共有30种等可能性，其中两部专著恰好是A、B即《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的有两种等可能性，
∴所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为.
故答案为：C.
【分析】设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示，此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，找出总情况数以及两部专著恰好是A、B的情况数，然后利用概率公式进行计算.
23．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解:设绳长x尺，长木为y尺，
依题意得 ，
故答案为：A.
【分析】此题等量关系为：绳长-木条长=4.5；木条长-绳长×=1，列方程组即可.
24．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
25．【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x辆车，由题意可得3(x-2)=2x+9.
故答案为：D
【分析】 根据三人共车，余两车空可得总人数为3(x-2)：根据两人共车，剩九人步可得总人数为2x+9，然后根据总人数一定就可列出方程.
26．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点N作于点H，则是矩形，则
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
同理可得，
依题意，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：D.
【分析】过点N作于点H，则是矩形，则，证明，可得，同理可得，再证，可得，从而得出.
27．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】找规律可得：（a+b）4第四项系数为：4=3+1=1+2+1；
（a+b）5第四项系数为：10=6+4=1+2+3+4=1+2+3+1+2+1；
（a+b）6第四项系数为：20=10+10=1+2+3+4+10=1+2+3+4+1+2+3+1+2+1；
（a+b）n第四项系数为：1+2+...+（n-2）+1+2+...+（n-3）+...+1；
（a+b）8第四项系数为：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+1+2+3+4+1+2+3+1+2+1=56；
故答案为：B。
【分析】根据规律分析即可。
28．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图：
是的弦中点，，
，
，，共线，
，
，
设圆的半径为，则，
在中，根据勾股定理，
得，
即，
解得，
，
∴
故答案为：．
【分析】连接，可得，设圆的半径为再利用勾股得到解题即可．
29．【答案】（1）25
（2）；有
【知识点】列式表示数量关系；用字母表示数
【解析】【解答】解：（1）由题意可知支持行军的天数为天；
故答案为：25．
（2）①由题意可知支持行军的天数为天；
故答案为：．
②，随着的增加而减小
最多可以支持29天（或者30天）．
故答案是：有．
【分析】（1）求出即可作答；
（2）先求出，再求出即可作答。
30．【答案】1327
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
当序号为奇数时，，
∴，
当序号为偶数时，，
∴，
∴，
故答案为：1327
【分析】根据题意分序号为奇数和偶数进行讨论即可求解。
31．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】根据题意，得
，
故答案为： .
【分析】等量关系为：金的价格不变，据此根据题意，列出方程即可.
32．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，
四边形ABCD是矩形，AB=5，AD=12，由勾股定理得，
，
，
，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据矩形性质可得，由勾股定理得，，，由三角形面积公式，计算求解即可.
33．【答案】24
【知识点】七巧板与拼图制作；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图形可知：阴影部分是由大正方形中1，2，3，4，这四部分组成的，
∴阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个大等腰直角三角形的面积，再减去中等的等腰直角三角形的面积，
即：阴影部分的面积；
故答案为：24.
【分析】根据七巧板中各部分的面积关系，利用割补法和三角形的面积公式即可求解.
34．【答案】
【知识点】竞赛类试题
【解析】【解答】解：由题意可得：
大正方形的面积为4
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和
即
故答案为
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积为小三角形面积的2倍，即可求出答案。
35．【答案】2
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设IJ=JD=JF=x，则AI=DI=2x，
在Rt△AID中，AI2+ID2=AD2，AD=4，
∴（2x）2+（2x）2=42，
解得：x2=2，即IJ2=2，
∴ 七巧板中第④块图形正方形的面积为2；
故答案为：2.
【分析】设IJ=JD=JF=x，则AI=DI=2x，在Rt△AID中，由AI2+ID2=AD2，可求出x2=2，从而得出第④块图形正方形的面积.
36．【答案】（1）；；
（2）解：∵S大正方形=S阴影正方形+4S△，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为52．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）方法1：由图知，中间的阴影部分是一个边长为（b-a）的正方形，
∴S阴影=（b-a）2；
方法2：由图知，中间的阴影部分是由外边的边长为c的大正方形的面积减去4个直角三角形的面积得到的，
∴S阴影=S大正方形-4S△=c2-4×ab；
∴（b-a）2=c2-4×ab，
整理得：c2=a2+b2；
故答案为：（b-a）2；c2-4×ab；c2=a2+b2；
【分析】（1）方法1：根据小正方形的边长为（b-a）可求得小正方形的面积可求解；方法2：根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可求解；根据两种方法表示的阴影部分的面积相等并整理可求解；
（2）根据图形的构成S大正方形=S阴影正方形+4S△可求解；
（3）根据图形的构成S阴影=S大正方形ABCD-2S△可求解.
37．【答案】（1）解：（1）①勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么.
②选择图①，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
选择图②，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
化简得：
选择图③，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
即：
化简得：.
（2）3.
②∵
∴
∵
∴.
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（2）①，图④，
观察图形可知：
∵
∴，
图⑤，
观察图形可知：
∵
∴，
图⑥，
观察图形可知：
∵
∴，
∴这三个图形中面积关系满足 的有3个，
故答案为：3.
【分析】（1）①直接写出勾股定理的定义即可；
②根据图形的面积之间的关系列式进行计算即可求解；
（2）①分别根据图形用含a、b和c的代数式表示，进而即可求解；
②根据图形表示，即最后根据据此即可求解.
38．【答案】（1）解：一个民夫最多携带粮食：6×10＝60（升），
一个士兵最多携带粮食：10（升），
一共最多可以携带的粮食：60+10＝70（升），
70÷4＝17.5（天），
答：最多可以支持17.5天的行军．
（2）解：设每位士兵需要雇佣x位民夫随其行军，由题意：
60x+10＝25×2（x+1）
60x－50x＝50－10
10x＝40
x＝4
答：要维持25天的行军，每位士兵需要雇佣4位民夫随其行军．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】（1） 求出一个民夫和一个士兵最多携带粮食的量，然后除以每个士兵和民夫平均每天消耗粮食的量，即得结论；
（2） 设每位士兵需要雇佣x位民夫随其行军，根据一位士兵最多携带的粮食+x位民夫最多携带的粮食=25天一位士兵+x位民夫消耗的粮食，列出方程并解之即可.
39．【答案】（1）35
（2）解：第一行数的和为，
第二行数的和为，
第三行数的和为，
第四行数的和为，
第五行数的和为，
第行数的和为．
第10行数的和为
前10行所有的数字之和
（3）解：由题意得.，
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算
【解析】【解答】解：（1） 第8行的数字从左到右分别是1，7，21，35，35，21，7，1，
所以第8行第5个数35；
故答案为：35；
【分析】（1）根据题意列出第8行的数字从而得到答案；
（2）观察每一行数据发现第行数的和为，得到式子再错位相减；
（3）根据题意得到，再代入裂项相加，得到答案.
1 / 1备考2024年中考数学文化自信抢分练11中国古代数学重要成就
一、选择题
1．（2022八下·阳高期中）2021年7月11日至18日，第十四届国际数学教育大会（ICME14）在上海举行．如图是ICME14的会标，包含了大量的中国数学元素——河图、洛书、弦图、八卦等，其中的“弦图”也是中国数学会的徽标．下列中国古代数学成就中，与“弦图”有关的是（ ）
A．天元术 B．正负术 C．勾股定理 D．杨辉三角
【答案】C
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，
所以与“弦图”有关的是勾股定理，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理的定义求解即可。
2．（2024九下·浙江模拟）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
3．（2020八上·奈曼旗期末）篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图所示的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的轴对称现象
【解析】【解答】解：易得“望”字应在左边，“希”字应在右边，字以外的部分为镂空部分，
故答案为：D．
【分析】可看成镜面对称，根据镜面对称的规律：镜子中看到的文字与实际文字是关于镜面成垂直的线对称，即可判断．
4．（2020七上·高平期中）在世界数学史首次正式引入负数的中国古代数学著作是（ ）
A．《孙子算经》 B．《九章算术》
C．《算法统宗》 D．《周髀算经》
【答案】B
【知识点】数学常识
【解析】【解答】负数最早记载于《九章算术》（写于公元一世纪），比国外早一千多年，
故答案为：B．
【分析】根据数学常识求解即可。
5．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册 第一章有理数 单元测试卷）三国魏景元四年（公元263年），由我国古典数学理论的奠基人之一刘徽完成了《九章算术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是（ ）
A．《海岛算经》 B．《孙子算经》
C．《九章算术》 D．《五经算术》
【答案】A
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：《九章算术注》十卷，《重差》为第一卷，它是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础，该卷中的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，这本书的名称是《海岛算经》．
故答案为：A．
【分析】根据数学史可知，这本书的名称是《海岛算经》。
6．（2024九上·城中模拟）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
7．（2021八上·沙坪坝开学考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》﹔“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示， 中， ， 尺， 尺，求AC的长.则AC的长为（ ）
A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，
中， ， ，
∴ ，
解得：x=4.2，
故答案为：A.
【分析】设AC=x尺，则AB=（10-x）尺，根据勾股定理可得 ，代入即可.
8．（2024九下·嘉兴模拟）《九章算术》是我国传统数学的重要著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门高为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
9．（2024七上·拱墅期末）《九章算术》成书于公元1世纪，是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，《九章算术》的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载了这样一题：“今有程传委输（驿站受托运粮），空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返（五天往返三趟）．问太仓去（距离）上林几何（多远）？”用现在的解法，设太仓到上林的距离为x里，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
10．（2024八下·柳南期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
11．（2023·成都）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一.书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，
∴由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】根据题意先求出绳子长为（x+4.5）尺，再找出等量关系列方程即可。
12．（2023八下·赣州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、∵22+32≠42，∴不是勾股数，故不符合题意；
B、∵42+52≠62，∴不是勾股数，故不符合题意；
C、∵72+82≠92，∴不是勾股数，故不符合题意；
D、∵62+82≠102，∴是勾股数，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】勾股数满足的两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断即可.
13．（2023七下·铜仁期末）如图，七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．下列由七巧板拼成的表情图中，是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：找不到对称轴，故A错误；
B：找不到对称轴，故B错误；
C：可以找到一条对称轴，故C正确；
D：找不到对称轴，故D错误；
故答案为：C.
【分析】能找到直线（对称轴），沿直线折叠可以重合的图形是轴对称图形，找不到的不是。
14．（2020九上·晋中月考）《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部数学著作，它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书，下列数学著作不属于《算经十书》的是（ ）
A．《孙子算经》 B．《海岛算经》
C．《九章算术》 D．《算法统宗》
【答案】D
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：算经十书”是指以下10部数学典籍：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》和《辑古算经》．“算经十书”集中反映了从汉至唐七八百年间数学发展的成果，成为后世数学教学和研究的重要依据．只有《算法统宗》不是．
故答案为：D．
【分析】根据数学常识逐一判别即可得出答案．
15．（2024九下·宁波模拟）北魏数学家张丘建被称“算圣”，他所著的《张丘建算经》涉及了各种计算问题．其中有一道：百鸡问题“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．百钱买鸡百只，问鸡翁母何”．译文：已知公鸡1只值5钱，母鸡1只值3钱，小鸡3只值1钱，又知用100钱买到鸡100只，问三种鸡各买了多少只？若设公鸡买了x只，则下列各值中x不能取（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
16．（2023九上·苏州开学考）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+．当OA＝4，则l的值为（ ）
A．11-2 B．11-4 C．8-2 D．8-4
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： 连接ON，如图：
∵OA=OB，
∴△ABO是等腰三角形，
∵N是AB的中点，
∴ON⊥AB，
，
又∵MN⊥AB，
∴M，N，O共线，
又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
又∵∠AON=30°，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底边上的中线，顶角的角平分线，底边上的高三线合一可得∠AON=30°；根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得OA=AB=4，根据直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半可得AN=2，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得ON的值，即可求得MN的值，代入弧长的近似值计算公式胡可求解.
17．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项式(a+b)"的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”.
根据“杨辉三角”计算(a+b)8的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．28
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵的第四项系数为：
的第四项系数为：
的第四项系数为：
的第四项系数为：
∴的第四项系数为：
故答案为：B.
【分析】根据图形中的规律求出的展开式中的第4项系数，即可求解.
18．（2023八下·长沙期中）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得为赵爽构图，
故答案为：A
【分析】根据题意即可直接求解。
19．（2022·交城模拟）我国古代的数学家曾写下了许多数学名著，这些数学著作是了解古代数学成就的丰富宝库，其中有不少成就在世界范围内处于遥遥领先的地位.下列数学名著与其内容搭配不正确的一项是（ ）
A．《周髀算经》 勾股定理
B．《九章算术》 负数的概念和正负数的运算
C．《海岛算经》 三斜求积术
D．《孙子算经》 鸡兔同笼
【答案】C
【知识点】数学常识
【解析】【解答】∵《周髀算经》 勾股定理是正确的，
∴A不符合题意；
∵《九章算术》 负数的概念和正负数的运算是正确的，
∴B不符合题意；
∵三斜求积术是宋代数学家秦九韶在《数书九章》中提出来的，
∴C符合题意；
∵《孙子算经》 鸡兔同笼是正确的，
∴D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据各个定理所出自的著作进行判断即可.
20．（2024七上·越城期末） 中国古代重要的数学著作《孙子算经》是《算经十书》之一．书中记载了这样一个问题：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还余1尺．则木长为（ ）尺．
A．5 B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木长为x尺，
由题意列方程：，
解得：x=6.5.
故答案为：6.5.
【分析】设木长为x尺，根据题中的相等关系“绳长×+1=木长”可列关于x的方程，解方程即可求解.
21．（2024九下·武侯月考） 《孙子算经》是中国传统数学重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣． 《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客’，津吏曰：‘客几何’？妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五’，不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】 设共有客人人，由题意可得，
故答案为：A.
【分析】设共有客人人，根据 2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，即总的碗数为65，即可列出关于x的一元一次方程，从而求解.
22．（2021·长沙模拟）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书.十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰.《算经十书》这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期.其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期.某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示，根据题意列树形图得
由树形图得共有30种等可能性，其中两部专著恰好是A、B即《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的有两种等可能性，
∴所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为.
故答案为：C.
【分析】设六部成书于魏晋南北朝的算经分别用A、B、C、D、E、F表示，其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》分别用A、B表示，此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，找出总情况数以及两部专著恰好是A、B的情况数，然后利用概率公式进行计算.
23．（2021·岳池模拟）《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》.其中在《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 尺，问绳子、木条长多少尺？”，设绳子长为 尺，木条长为 尺，根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解:设绳长x尺，长木为y尺，
依题意得 ，
故答案为：A.
【分析】此题等量关系为：绳长-木条长=4.5；木条长-绳长×=1，列方程组即可.
24．（2024九上·婺城期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．最大正方形与直角三角形的面积和
D．较小两个正方形重叠部分的面积
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
25．（2023·宿迁）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空：若两人共车，剩九人步，问人与车各几何？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x辆车，由题意可得3(x-2)=2x+9.
故答案为：D
【分析】 根据三人共车，余两车空可得总人数为3(x-2)：根据两人共车，剩九人步可得总人数为2x+9，然后根据总人数一定就可列出方程.
26．（2022八上·镇海区期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阻影部分的面积之和，则一定能求出（ ）
A．正方形的面积 B．正方形的面积
C．正方形的面积 D．的面积
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点N作于点H，则是矩形，则
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
同理可得，
依题意，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：D.
【分析】过点N作于点H，则是矩形，则，证明，可得，同理可得，再证，可得，从而得出.
27．（2023七下·石家庄期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，利用如图所示的“三角形”解释二项式的展开式的各项系数，此“三角形”称为“杨辉三角”.如其展开式的系数从左起依次是，，，，请根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】找规律可得：（a+b）4第四项系数为：4=3+1=1+2+1；
（a+b）5第四项系数为：10=6+4=1+2+3+4=1+2+3+1+2+1；
（a+b）6第四项系数为：20=10+10=1+2+3+4+10=1+2+3+4+1+2+3+1+2+1；
（a+b）n第四项系数为：1+2+...+（n-2）+1+2+...+（n-3）+...+1；
（a+b）8第四项系数为：1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+1+2+3+4+1+2+3+1+2+1=56；
故答案为：B。
【分析】根据规律分析即可。
二、填空题
28．（2024九上·上城期末）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的弦中点，，在上．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时， ．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，如图：
是的弦中点，，
，
，，共线，
，
，
设圆的半径为，则，
在中，根据勾股定理，
得，
即，
解得，
，
∴
故答案为：．
【分析】连接，可得，设圆的半径为再利用勾股得到解题即可．
29．（2021八上·通州期末）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，人食日二升．其大意为，在行军过程中，民夫可以背负六斗（60升）米，士兵可以自己背一斗（10升）米，民夫（士兵）每人一天行军会消耗2升米．
（1）若每个士兵雇佣4个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为 天；
（2）若每个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为 （用含有的代数式表示）；如果每个士兵雇佣的民夫数量没有上限，在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持的行军天数有没有上限？ （回答“有”或者“没有”）请你说明理由．
【答案】（1）25
（2）；有
【知识点】列式表示数量关系；用字母表示数
【解析】【解答】解：（1）由题意可知支持行军的天数为天；
故答案为：25．
（2）①由题意可知支持行军的天数为天；
故答案为：．
②，随着的增加而减小
最多可以支持29天（或者30天）．
故答案是：有．
【分析】（1）求出即可作答；
（2）先求出，再求出即可作答。
30．（2023七下·市南区期中）杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示这个数列的第n个数，则 ．
【答案】1327
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：
当序号为奇数时，，
∴，
当序号为偶数时，，
∴，
∴，
故答案为：1327
【分析】根据题意分序号为奇数和偶数进行讨论即可求解。
31．（2020七上·西城期末）《九章算术》是中国古代非常重要的一部数学典籍，被视为“算经之首”.《九章算术》大约成书于公元前200年~公元前50年，是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，全书按题目的应用范围与解题方法划分为“方田”、“粟米”、“衰分”等九章.
《九章算术》中有这样一个问题：
今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数，金价各几何？
其大意是：假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱.问人数、金价各是多少？如果设有x个人，那么可以列方程为
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】根据题意，得
，
故答案为： .
【分析】等量关系为：金的价格不变，据此根据题意，列出方程即可.
32．出人相补原理是我国古代数学的重要成就之一最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形 ，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF+EG= ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OE，
四边形ABCD是矩形，AB=5，AD=12，由勾股定理得，
，
，
，
即，解得.
故答案为：.
【分析】根据矩形性质可得，由勾股定理得，，，由三角形面积公式，计算求解即可.
33．（2024·南山模拟） 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板.我校“麒麟团”数学兴趣小组用边长为8的正方形，做了如图①所示的七巧板.将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为 .
【答案】24
【知识点】七巧板与拼图制作；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图形可知：阴影部分是由大正方形中1，2，3，4，这四部分组成的，
∴阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个大等腰直角三角形的面积，再减去中等的等腰直角三角形的面积，
即：阴影部分的面积；
故答案为：24.
【分析】根据七巧板中各部分的面积关系，利用割补法和三角形的面积公式即可求解.
34．（2023七下·市南区期末）如图所示的七巧板起源于我国先秦时期，由古算书《周髀算经》中关于正方形的分割术，经过历代演变而成，19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”）．图2是由边长为2的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中拍起的“腿”（即阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【知识点】竞赛类试题
【解析】【解答】解：由题意可得：
大正方形的面积为4
由图形可知，阴影部分面积为小三角形的面积与平行四边形的面积之和
即
故答案为
【分析】根据七巧板中各部分面积的关系可得小三角形的面积为大正方形的，平行四边形的面积为小三角形面积的2倍，即可求出答案。
35．（2023七下·深圳期末）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，也被誉为“东方魔板”．如图把正方形木板分为块，制作成七巧板，若正方形的边长为，那么该七巧板中第④块图形的面积为 ．
【答案】2
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：设IJ=JD=JF=x，则AI=DI=2x，
在Rt△AID中，AI2+ID2=AD2，AD=4，
∴（2x）2+（2x）2=42，
解得：x2=2，即IJ2=2，
∴ 七巧板中第④块图形正方形的面积为2；
故答案为：2.
【分析】设IJ=JD=JF=x，则AI=DI=2x，在Rt△AID中，由AI2+ID2=AD2，可求出x2=2，从而得出第④块图形正方形的面积.
三、解答题
36．（2024八下·青秀期中） 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
（1）如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．
方法1： ；
方法2： ；
根据以上信息，可以得到等式： ；
（2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
（3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：∵S大正方形=S阴影正方形+4S△，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为52．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理的证明；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）方法1：由图知，中间的阴影部分是一个边长为（b-a）的正方形，
∴S阴影=（b-a）2；
方法2：由图知，中间的阴影部分是由外边的边长为c的大正方形的面积减去4个直角三角形的面积得到的，
∴S阴影=S大正方形-4S△=c2-4×ab；
∴（b-a）2=c2-4×ab，
整理得：c2=a2+b2；
故答案为：（b-a）2；c2-4×ab；c2=a2+b2；
【分析】（1）方法1：根据小正方形的边长为（b-a）可求得小正方形的面积可求解；方法2：根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可求解；根据两种方法表示的阴影部分的面积相等并整理可求解；
（2）根据图形的构成S大正方形=S阴影正方形+4S△可求解；
（3）根据图形的构成S阴影=S大正方形ABCD-2S△可求解.
37．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． 在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四， 则弦五”的记载， 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” （如图 ①， 后人称之为 “赵爽弦图”， 流传至今．
（1） ①请叙述勾股定理．
②勾股定理的证明， 人们已经找到了 400 多种方法， 请从以下三种常见的证明方法中任选一种来证明该定理 （图 ①②③均满足证明勾股定理所需的条件）．
（2） ①如图④⑤⑥， 以直角三角形的三边为边或直径， 分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 的有 ▲ 个．
②如图⑦， 分别以直角三角形三边为直径作半圆， 设图中两个月牙形图案（图中阴影部分） 的面积分别为 ， ， 直角三角形的面积为 ， 请判断 的数量关系并证明．
【答案】（1）解：（1）①勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么.
②选择图①，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
选择图②，大正方形的面积等于四个全等三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
即：
化简得：
选择图③，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
即：
化简得：.
（2）3.
②∵
∴
∵
∴.
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：（2）①，图④，
观察图形可知：
∵
∴，
图⑤，
观察图形可知：
∵
∴，
图⑥，
观察图形可知：
∵
∴，
∴这三个图形中面积关系满足 的有3个，
故答案为：3.
【分析】（1）①直接写出勾股定理的定义即可；
②根据图形的面积之间的关系列式进行计算即可求解；
（2）①分别根据图形用含a、b和c的代数式表示，进而即可求解；
②根据图形表示，即最后根据据此即可求解.
四、综合题
38．（2021七上·汕尾期末）我国宋代著名科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载过有关古代行军后勤方面的情况，其大意为：每个民夫最多可以携带6斗（1斗＝10升）粮食；一个士兵除了武器装备外，最多可以携带10升粮食；每个士兵和民夫平均每天各消耗2升粮食．
（1）如果每个士兵雇佣一个民夫随其行军，那么最多可以支持多少天的行军？
（2）如果要维持25天的行军，每位士兵需要雇佣多少位民夫随其行军？
【答案】（1）解：一个民夫最多携带粮食：6×10＝60（升），
一个士兵最多携带粮食：10（升），
一共最多可以携带的粮食：60+10＝70（升），
70÷4＝17.5（天），
答：最多可以支持17.5天的行军．
（2）解：设每位士兵需要雇佣x位民夫随其行军，由题意：
60x+10＝25×2（x+1）
60x－50x＝50－10
10x＝40
x＝4
答：要维持25天的行军，每位士兵需要雇佣4位民夫随其行军．
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【分析】（1） 求出一个民夫和一个士兵最多携带粮食的量，然后除以每个士兵和民夫平均每天消耗粮食的量，即得结论；
（2） 设每位士兵需要雇佣x位民夫随其行军，根据一位士兵最多携带的粮食+x位民夫最多携带的粮食=25天一位士兵+x位民夫消耗的粮食，列出方程并解之即可.
五、实践探究题
39．（2024八下·南宁开学考）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．
（1）求图1中第8行第5个数是 ；
（2）求图1中前10行所有的数字之和；
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：，记第层的圆球数记，求的值．
【答案】（1）35
（2）解：第一行数的和为，
第二行数的和为，
第三行数的和为，
第四行数的和为，
第五行数的和为，
第行数的和为．
第10行数的和为
前10行所有的数字之和
（3）解：由题意得.，
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的巧算
【解析】【解答】解：（1） 第8行的数字从左到右分别是1，7，21，35，35，21，7，1，
所以第8行第5个数35；
故答案为：35；
【分析】（1）根据题意列出第8行的数字从而得到答案；
（2）观察每一行数据发现第行数的和为，得到式子再错位相减；
（3）根据题意得到，再代入裂项相加，得到答案.
1 / 1
