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第03讲 用尺规作角平分线和垂线、由HL证明三角形全等
·模块一 用尺规作角平分线和垂线
·模块二 由HL证明三角形全等
·模块三 课后作业
1．用尺规作角平分线：
步骤：
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M；
（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P；
（3）画射线OP,OP即为所求角平分线.
2．用尺规作垂线：
步骤：
（1）以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A、B两点；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M、N；
（3）连接MN，MN即为所求垂线.
【考点1 用尺规作角平分线】
【例1.1】（2023八年级·山西朔州·期末）如图所示，小李用直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，则得出∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS
【答案】C
【分析】利用三角形全等的判定证明．
【详解】解：由题意AF=AE，FD=ED，AD=AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠DAF=∠DAE，
故选C．
【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【例1.2】（2023八年级·江苏南京·期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（ ）.
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
【答案】A
【分析】根据角平分线的作法可直接得到答案．
【详解】解：②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，
①画射线OC即为所求，
故选A．
【点睛】本题考查了尺规作图—作已知角的平分线，熟记作图的一般步骤是解决此题的关键．
【例1.3】（2023·四川广元·八年级·期末）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（ ）
A．20° B．50° C．60° D．40°
【答案】D
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：连接CN、DN．
由作图可知，CM=DM，CN=DN,
在△MCN和△MDN中，
，
∴△MCN≌△MDN（SSS），
∴∠CMN=∠DMN，
∵∠AOB=∠CMN=∠DMN，
∴∠CMD=2∠AOB=40°，
故选：D
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式1.1】（2023八年级·福建漳州·期末）如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理．
【答案】见解析.
【分析】利用基本作图（作已知角的角平分线）作出OC，同时得到OC′，然后根据“SSS“判断△ODP≌△OEP得到∠DOP=∠EOP，再根据等角的补角相等得到∠AOC′=∠BOC′．
【详解】解：如图，射线或为所作．
通过证明得到，
然后根据等角的补角相等得到．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【变式1.2】（2023八年级·河南漯河·期中）王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（ ）
A．； B．； C．； D．；
【答案】C
【分析】根据题意可知：王师傅用角尺平分一个角时使得：，，，故王师傅的依据为：；学生小顾用三角尺平分一个角时使得：，，且，故学生小顾的依据为：；即可得到结果
【详解】∵王师傅用角尺平分一个角，在两边上分别取，使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；
∴，，，
∴，
故王师傅的依据为：；
∵学生小顾用三角尺平分一个角，在两边上分别取，分别过，作，的垂线，交点为，
∴，，且，
∴，
故学生小顾的依据为：；
故答案为：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和角平分线的概念，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键
【考点2 用尺规作垂线】
【例2.1】（2023·湖北宜昌·中考真题）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【详解】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选B．
【点睛】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
【例2.2】（2023·河北秦皇岛·八年级·期末）用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解
【详解】A、D选项通过作线段的垂直平分线得到斜边上的高，C选项通过作90度的圆周角得到斜边上的高．故选B．
【点睛】此题考查作图-基本作图，掌握作图技巧是解题关键
【例2.3】（2023·广西防城港·中考真题）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
【变式2.1】（2023·浙江温州·八年级·期末）小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（ ）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【详解】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选A．
【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
【变式2.2】（2023·吉林长春·八年级·期末）在数学课上，老师提出如下问题
老师说：“小华的作法正确”
请回答：小华第二步作图的依据是 ．
【答案】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：小华第二步作图的依据是等腰三角形的性质，
故答案为等腰三角形的性质．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：五种基本作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，逐步操作．
【变式2.3】（2023八年级·山西临汾·期末）按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．
已知：在中，，．
(1)作边上的高，作的平分线，与相交于点．
(2)求所作图形中的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图，过点作于，再利用基本作图作的平分线， 与相交于点；
（2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据角平分线的性质得出，根据同角的余角相等得，最后根据三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）如图，线段是边上的高，线段是的角平分线．
（2） ，，
，，
是的角平分线，
，
线段是边上的高，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了作图——基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握基本几何图形的性质是解本题的关键．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023·河北邢台·八年级·期末）图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：
（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；
（2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
（3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
其中正确说法的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据基本作图的方法即可得到结论．
【详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；
（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；
（3）弧③是以A为圆心，大于AB的长为半径所画的弧，错误；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．
故选C．
【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．
【题型2】（2023八年级·陕西安康·期末）在△ABC中，画出BC边上的高线，∠B的角平分线．
【答案】详见解析.
【分析】利用尺规作图, 过点A作AD⊥BC即可作出高AD; 利用角平分线的作法, 即可作出∠ABC的平分线BE.
【详解】解：如图，AD、BE为所作．
【点睛】本题考查了尺规作图的应用, 主要考查了角平分线的作法、高线、中线作法, 熟练掌握基本作图方法、 作图的步骤是解题关键. 本题难度不大.
【题型3】（2023八年级·全国·期中）如图，已知△ABC中，∠A=70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 °．
【答案】125
【分析】利用基本作图得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据三角形内角和得到∠BOC=90°+∠A，然后把∠A=70°代入计算即可．
【详解】解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90°+∠A，
而∠A=70°，
∴∠BOC=90°+×70°=125°．
故答案为125．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的定义及三角形内角和定理的应用.
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·云南昆明·八年级·期末）如图所示，∠AOB＝70°，以点O为圆心，以适当长为半径作弧分别交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上取点M，连接MC、MD．若测得∠CMD＝40°，则∠MDB＝
【答案】55°
【分析】利用基本作图得到OC＝OD，OP平分∠AOB，则∠AOP＝∠BOP＝35°，再证明△OMC≌△OMD得到∠OMC＝∠OMD＝20°，然后利用三角形外角性质计算∠MDB．
【详解】解：由作法得OC＝OD，OP平分∠AOB，则∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝35°，
在△OMC和△OMD中
，
∴△OMC≌△OMD（SAS），
∴∠OMC＝∠OMD＝∠CMD＝20°，
∴∠MDB＝∠DOM+∠OMD＝35°+20°＝55°．
故答案为55°．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也得考查了全等三角形的判定与性质.
【题型2】（2023八年级·广西·学业考试）如图，已知，直线及上两点，．尺规作图：作，使点在直线的上方，，．（保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明）
【答案】见解析．
【分析】分别根据过直线上一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角的作图步骤，尺规作图即可.
【详解】如图所示，作出，
作出，
即为所求.
【点睛】本题考查过直线上一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角这两个尺规作图的结合，熟练掌握这几种尺规作图的具体作法是解题的关键.
【题型3】（2023·广东佛山·八年级·期末）如图，已知钝角△ABC
(1)过点A作BC边的垂线，交CB的延长线于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)当BC=AB，∠ABC=120°时，求证：AB平分∠DAC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠BAC=∠BCA=30°，然后根据直角三角形的性质求出∠DAC=60°，得到∠DAB=∠BAC即可.
【详解】解：（1）如图所示：
（2）∵BC=AB，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA= ，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-30°=60°，
∴∠DAB=∠DAC-∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠BAC，即AB平分∠DAC.
【点睛】本题考查了过直线外一点作垂线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及角平分线的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
全等三角形的判定：
斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【考点1 由HL判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．
直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：B．
【例1.2】（2023八年级·河北沧州·期中）图1是，图2是嘉琪在已有的情况下，所画的的部分过程，则依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂作图的步骤及作图原理可得到答案．
【详解】解：根据作图过程和步骤可知依据是，
故选：D
【例1.3】（2023八年级·山西太原·期中）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数．
【详解】解：在和中
，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【变式1.1】（2023八年级·湖南郴州·期末）如图，点D在上，．若，则 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
又∵，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【变式1.2】（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先连接，再根据“”证明，然后根据全等三角形的性质得出答案．
【详解】连接．
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：6．
【变式1.3】（2023八年级·江西赣州·期中）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点2 由HL证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程．
证明：
，，
__________．
是的中点，
__________，
又，
__________．
．
【答案】，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即可．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：，，
是的中点，
又，
．
【例2.2】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，
(1)求证：；
(2)若，求的度数
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：
（1）先证，再证即可；
（2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明： ，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【例2.3】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．
【详解】证明：∵与分别为，边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式2.1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在和中，，判断和是否全等．
解：在和中，
∴．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因．
【答案】不正确，错误原因见解析．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理判定．
【详解】解：不正确，错误原因如下：
∵在中是斜边，在中是直角边，
∴不满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件，
∴解答过程不正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【变式2.2】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？
【答案】相等，见解析
【分析】根据直角三角形全等的判定方法即可得．
【详解】相等．理由如下：
解：，
，
在和中，，
．
，
即两个针离电线杆底部的距离相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定．
【变式2.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．
【答案】详见解析
【分析】过点向作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论．
【详解】如图，过点作与点，则，
，，
，
，，
，，
，
，，
∵，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·河北张家口·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可；
（2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出．
【详解】（1），
．
又，，
；
（2）为中点，
．
，，
，
．
由（1）得，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键
【题型2】（2023八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【分析】连接OP，证明Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），△APM≌△PBN（ASA），再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM与Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM与△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【题型3】（2023八年级·山东德州·期中）如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ．
【答案】①②
【分析】证，可得，，再根据即可求得，即可解题．
【详解】解：在和中，
，
，
，①正确，
∴，
，
，
，②正确，
和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明 ，故③④错误；
故答案是：①②．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·河北保定·期中）题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解答本题的关键．
根据已知条件，得到，，，要使两个直角三角形全等还需要一条直角边对应相等即可，分析得到或时，．
【详解】解：如图所示，
，，，
，
在和中，
，
如图所示，
，，，
，
在和中，
，
，
综上，或时，，
故选：．
【题型2】（2023八年级·江苏苏州·期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加，则甲获胜；
②若第3轮甲添加，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负．
【答案】②③④
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误；
②若第3轮甲添加，
如图，当，时，以为圆心，为半径画弧，与射线相交于点，
，
此时交点C是唯一的，
故甲添加时，与全等，
故甲获胜，故本说法正确；
③若第2轮乙添加条件修改为，
若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜，
若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜，
故乙必胜，故本说法正确；
④若第2轮乙添加条件修改为，
第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等，
第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜，
此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确．
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【题型3】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，直线交于点，于点，于点，若，且，则的度数为 ．
【答案】/26度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余，证明得到，计算出，最后根据直角三角形两锐角互余进行计算即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
1．（2023·湖北襄阳·八年级·期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AB于点E，交AD于点F，分别以点E和点F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点H，由作图过程可得到△ABH一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用角平分线的性质以及平行线的性质得出∠BAH＝∠AHB，进而得出△ABH的形状．
【详解】∵AD∥BC，
∴∠DAH＝∠AHB，
∵作图过程是作的∠DAB的角平分线，
∴∠BAH＝∠DAH，
∴∠BAH＝∠AHB，
∴AB＝BH，
∴△ABH一定是等腰三角形．
故选A．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质等知识，利用已知得出∠BAH＝∠AHB是解题关键．
2．（2023八年级·湖南岳阳·期中）如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵于点D，于点F，．
∴，
∵，
∴补充：或，
可得：，故A，C不符合题意；
补充，
∴，
∴，故D不符合题意；
补充，
∴，
∴，故B符合题意；
故选B
3．（2023八年级·河南郑州·期中）过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，利用证明直角三角形全等是解题的关键．
【详解】解：∵过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，
∴，
又∵（公共边），（已知），
∴，
∴为了证明，运用到的全等三角形判定定理是，
故选：D．
4．（2023八年级·江苏苏州·期末）在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，判定三角形全等的方法有、、、、．
根据可判定，再根据全等三角形的性质得出，最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】运用方法判定，得，进而求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
6．（2023八年级·广东广州·期中）能使两个直角三角形全等的条件有 ．
①一条直角边及其对角对应相等；②斜边和一条直角边对应相等；③斜边和一锐角对应相等；④两个锐角对应相等．
【答案】①②③
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】∵所有的直角都相等，
∴①一条直角边及其对角对应相等，符合角角边定理，正确；
②斜边和一条直角边对应相等，符合，正确；
③斜边和一锐角对应相等，符合角角边定理，正确；
④两个锐角对应相等，缺少边元素，无法判定，错误．
故答案为：①②③．
7．（2023八年级·江苏泰州·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是 ．（填或或）
【答案】
【分析】利用判定方法“”证明 和 全等，进而得出答案；
【详解】解：∵，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴ 是 的平分线；
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键
8．（2023八年级·甘肃平凉·期末）如图，在中，分别是边上的高，已知；若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解．
【详解】解：∵分别是边上的高，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
故答案为：
9．（2023八年级·河北唐山·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，则的度数是 ．
【答案】/57度
【分析】根据，，证明，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．（2023八年级·山东聊城·期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，，则 ．
【答案】/58度
【分析】利用直角三角形全等的判定得出，进而得出，即可得出的度数．
【详解】在与中，
∴．
∴（全等三角形对应角相等）．
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查直角三角形的判定定理，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握直角三角形的判定定理，证明．
11．（2023·陕西商洛·八年级·期末）如图，，于点M，于点N，，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
12．（2023八年级·福建福州·期末）求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力，注意命题的证明的格式和步骤是正确解题的前提．
作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，得， ，，由、分别是和的平分线，可得，根据角边角可以判定，即可得出结论．
【详解】已知：如图所示，，、分别是和的平分线．
求证：
证明：∵，
∴， ，，
∵、分别是和的平分线．，
∴，
在和中，
∴()，
∴．
13．（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在五边形中，，，，点D是上一点，连接、，有，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
连接，首先证明出，得到，然后证明出，得到．
【详解】解：连接，
在和中，
有
∴，
∴．
在和中，
有
∴，
∴．
14．（2023八年级·北京门头沟·期末）下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点P ．
求作：直线l的垂线，使它经过点P ．
作法：如图2，
① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；
② 连接PA和PB；
③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．
④ 作直线PQ ．
∴ 直线PQ就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；
（2）补全下面证明过程：
证明：∵ PQ平分∠APB，
∴ ∠APQ=∠QPB．
又∵ PA= ，PQ=PQ，
∴ △APQ≌△BPQ（ ）（填推理依据）．
∴ ∠PQA=∠PQB（ ）（填推理依据）．
又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，
∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°．
∴ PQ ⊥ l ．
【答案】（1）见详解；（2）PB，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等．
【分析】（1）根据尺规作图的步骤先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分线PQ即作出所求图；
（2）根据作图过程知PA=PB，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质．
【详解】（1）如图：
（2）PB；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等．
【点睛】此题考查学生的动手能力——尺规作图中角平分线和垂直平分线的作法，涉及到三角形全等的判定和性质，难度一般．
15．（2023八年级·山东枣庄·期中）已知：如图，在中，，于，于，相交于，连接．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线判定的应用．求出，根据推出，求出，根据证出，推出即可．
【详解】证明：，，
，
在和中，
，
．
，
在和中，
，
∴，
，
平分．
16．（2023八年级·广东茂名·期中）已知：如图，，垂足分别为与相交于点P．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线；连结，先证根据，证明，得，再根据，证明，得，进而可证；
【详解】证明：连接，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
，
，中小学教育资源及组卷应用平台
第03讲 用尺规作角平分线和垂线、由HL证明三角形全等
·模块一 用尺规作角平分线和垂线
·模块二 由HL证明三角形全等
·模块三 课后作业
1．用尺规作角平分线：
步骤：
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点N、M；
（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，相交于点P；
（3）画射线OP,OP即为所求角平分线.
2．用尺规作垂线：
步骤：
（1）以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，交直线于A、B两点；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径向直线两侧作弧，交点分别为M、N；
（3）连接MN，MN即为所求垂线.
【考点1 用尺规作角平分线】
【例1.1】（2023八年级·山西朔州·期末）如图所示，小李用直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，则得出∠CAD＝∠DAB的依据是（ ）
A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS
【答案】C
【分析】利用三角形全等的判定证明．
【详解】解：由题意AF=AE，FD=ED，AD=AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠DAF=∠DAE，
故选C．
【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【例1.2】（2023八年级·江苏南京·期末）已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（ ）.
A．②③① B．③①② C．③②① D．②①③
【答案】A
【分析】根据角平分线的作法可直接得到答案．
【详解】解：②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，
①画射线OC即为所求，
故选A．
【点睛】本题考查了尺规作图—作已知角的平分线，熟记作图的一般步骤是解决此题的关键．
【例1.3】（2023·四川广元·八年级·期末）已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（ ）
A．20° B．50° C．60° D．40°
【答案】D
【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】解：连接CN、DN．
由作图可知，CM=DM，CN=DN,
在△MCN和△MDN中，
，
∴△MCN≌△MDN（SSS），
∴∠CMN=∠DMN，
∵∠AOB=∠CMN=∠DMN，
∴∠CMD=2∠AOB=40°，
故选：D
【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【变式1.1】（2023八年级·福建漳州·期末）如图，已知，求作射线，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并说明其中的道理．
【答案】见解析.
【分析】利用基本作图（作已知角的角平分线）作出OC，同时得到OC′，然后根据“SSS“判断△ODP≌△OEP得到∠DOP=∠EOP，再根据等角的补角相等得到∠AOC′=∠BOC′．
【详解】解：如图，射线或为所作．
通过证明得到，
然后根据等角的补角相等得到．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
【变式1.2】（2023八年级·河南漯河·期中）王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在两边上分别取，前者使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；后者分别过，作，的垂线，交点为，则射线平分，均可由得知，其依据分别是（ ）
A．； B．； C．； D．；
【答案】C
【分析】根据题意可知：王师傅用角尺平分一个角时使得：，，，故王师傅的依据为：；学生小顾用三角尺平分一个角时使得：，，且，故学生小顾的依据为：；即可得到结果
【详解】∵王师傅用角尺平分一个角，在两边上分别取，使角尺两边相同刻度分别与，重合，角尺顶点为；
∴，，，
∴，
故王师傅的依据为：；
∵学生小顾用三角尺平分一个角，在两边上分别取，分别过，作，的垂线，交点为，
∴，，且，
∴，
故学生小顾的依据为：；
故答案为：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和角平分线的概念，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键
【考点2 用尺规作垂线】
【例2.1】（2023·湖北宜昌·中考真题）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】B
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【详解】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．
直线CF就是所求的垂线．
故选B．
【点睛】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
【例2.2】（2023·河北秦皇岛·八年级·期末）用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解
【详解】A、D选项通过作线段的垂直平分线得到斜边上的高，C选项通过作90度的圆周角得到斜边上的高．故选B．
【点睛】此题考查作图-基本作图，掌握作图技巧是解题关键
【例2.3】（2023·广西防城港·中考真题）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
【变式2.1】（2023·浙江温州·八年级·期末）小明用尺规作了如下四幅图形：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，从保留的作图痕迹看出作图正确的是（ ）
A．①②④ B．②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【详解】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选A．
【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
【变式2.2】（2023·吉林长春·八年级·期末）在数学课上，老师提出如下问题
老师说：“小华的作法正确”
请回答：小华第二步作图的依据是 ．
【答案】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：小华第二步作图的依据是等腰三角形的性质，
故答案为等腰三角形的性质．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：五种基本作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，逐步操作．
【变式2.3】（2023八年级·山西临汾·期末）按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算．
已知：在中，，．
(1)作边上的高，作的平分线，与相交于点．
(2)求所作图形中的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用基本作图，过点作于，再利用基本作图作的平分线， 与相交于点；
（2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据角平分线的性质得出，根据同角的余角相等得，最后根据三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】（1）如图，线段是边上的高，线段是的角平分线．
（2） ，，
，，
是的角平分线，
，
线段是边上的高，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了作图——基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握基本几何图形的性质是解本题的关键．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023·河北邢台·八年级·期末）图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：
（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；
（2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
（3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；
其中正确说法的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据基本作图的方法即可得到结论．
【详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；
（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；
（3）弧③是以A为圆心，大于AB的长为半径所画的弧，错误；
（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．
故选C．
【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．
【题型2】（2023八年级·陕西安康·期末）在△ABC中，画出BC边上的高线，∠B的角平分线．
【答案】详见解析.
【分析】利用尺规作图, 过点A作AD⊥BC即可作出高AD; 利用角平分线的作法, 即可作出∠ABC的平分线BE.
【详解】解：如图，AD、BE为所作．
【点睛】本题考查了尺规作图的应用, 主要考查了角平分线的作法、高线、中线作法, 熟练掌握基本作图方法、 作图的步骤是解题关键. 本题难度不大.
【题型3】（2023八年级·全国·期中）如图，已知△ABC中，∠A=70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 °．
【答案】125
【分析】利用基本作图得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据三角形内角和得到∠BOC=90°+∠A，然后把∠A=70°代入计算即可．
【详解】解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90°+∠A，
而∠A=70°，
∴∠BOC=90°+×70°=125°．
故答案为125．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了角平分线的定义及三角形内角和定理的应用.
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023·云南昆明·八年级·期末）如图所示，∠AOB＝70°，以点O为圆心，以适当长为半径作弧分别交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上取点M，连接MC、MD．若测得∠CMD＝40°，则∠MDB＝
【答案】55°
【分析】利用基本作图得到OC＝OD，OP平分∠AOB，则∠AOP＝∠BOP＝35°，再证明△OMC≌△OMD得到∠OMC＝∠OMD＝20°，然后利用三角形外角性质计算∠MDB．
【详解】解：由作法得OC＝OD，OP平分∠AOB，则∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝35°，
在△OMC和△OMD中
，
∴△OMC≌△OMD（SAS），
∴∠OMC＝∠OMD＝∠CMD＝20°，
∴∠MDB＝∠DOM+∠OMD＝35°+20°＝55°．
故答案为55°．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也得考查了全等三角形的判定与性质.
【题型2】（2023八年级·广西·学业考试）如图，已知，直线及上两点，．尺规作图：作，使点在直线的上方，，．（保留作图痕迹，且用黑色笔将作图痕迹描黑，不写作法和证明）
【答案】见解析．
【分析】分别根据过直线上一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角的作图步骤，尺规作图即可.
【详解】如图所示，作出，
作出，
即为所求.
【点睛】本题考查过直线上一点作已知直线的垂线、作一个角等于已知角这两个尺规作图的结合，熟练掌握这几种尺规作图的具体作法是解题的关键.
【题型3】（2023·广东佛山·八年级·期末）如图，已知钝角△ABC
(1)过点A作BC边的垂线，交CB的延长线于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)当BC=AB，∠ABC=120°时，求证：AB平分∠DAC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）利用基本作图：过直线外一点作直线的垂线作出垂线段AD即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠BAC=∠BCA=30°，然后根据直角三角形的性质求出∠DAC=60°，得到∠DAB=∠BAC即可.
【详解】解：（1）如图所示：
（2）∵BC=AB，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA= ，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-30°=60°，
∴∠DAB=∠DAC-∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠BAC，即AB平分∠DAC.
【点睛】本题考查了过直线外一点作垂线，等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及角平分线的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
全等三角形的判定：
斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
【考点1 由HL判定三角形全等】
【例1.1】（2023八年级·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．
直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：B．
【例1.2】（2023八年级·河北沧州·期中）图1是，图2是嘉琪在已有的情况下，所画的的部分过程，则依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，用尺规作图：作一个三角形，读懂作图的步骤及作图原理可得到答案．
【详解】解：根据作图过程和步骤可知依据是，
故选：D
【例1.3】（2023八年级·山西太原·期中）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，先根据证明得，进而可求出的度数．
【详解】解：在和中
，
∴，
∴，
∴．
故选C．
【变式1.1】（2023八年级·湖南郴州·期末）如图，点D在上，．若，则 ．
【答案】/45度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
又∵，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【变式1.2】（2023八年级·湖北武汉·期末）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为 cm
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先连接，再根据“”证明，然后根据全等三角形的性质得出答案．
【详解】连接．
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：6．
【变式1.3】（2023八年级·江西赣州·期中）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用证明得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点2 由HL证明三角形全等】
【例2.1】（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在中，是的中点，于点，于点，且．求证：．完成下面的证明过程．
证明：
，，
__________．
是的中点，
__________，
又，
__________．
．
【答案】，，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明，得出即可．证明三角形全等是解题的关键．
【详解】解：，，
是的中点，
又，
．
【例2.2】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点、、、在同一条直线上，，，，
(1)求证：；
(2)若，求的度数
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：
（1）先证，再证即可；
（2）根据可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明： ，，
和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
【例2.3】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．
【详解】证明：∵与分别为，边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式2.1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在和中，，判断和是否全等．
解：在和中，
∴．
上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因．
【答案】不正确，错误原因见解析．
【分析】根据直角三角形全等的判定定理判定．
【详解】解：不正确，错误原因如下：
∵在中是斜边，在中是直角边，
∴不满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件，
∴解答过程不正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【变式2.2】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？
【答案】相等，见解析
【分析】根据直角三角形全等的判定方法即可得．
【详解】相等．理由如下：
解：，
，
在和中，，
．
，
即两个针离电线杆底部的距离相等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定．
【变式2.3】（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，于，，．求证：；．
【答案】详见解析
【分析】过点向作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论．
【详解】如图，过点作与点，则，
，，
，
，，
，，
，
，，
∵，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．
【规律方法综合练】
【题型1】（2023八年级·河北张家口·期末）如图，在中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）)先根据垂直的定义可得和都是直角三角形，再利用定理证明三角形全等即可；
（2）根据证明，得到再利用直角三角形的两锐角互余得出．
【详解】（1），
．
又，，
；
（2）为中点，
．
，，
，
．
由（1）得，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键
【题型2】（2023八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂足分别为、，，与交于点．写出由上述条件得到的两个不同类的结论 ．
【答案】PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【分析】连接OP，证明Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），△APM≌△PBN（ASA），再利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】如PM=PN，∠PON=∠POM，∠OPN=∠OPM，BN=AM，OA=OB．从中选择边和角不同的结论即可．
∵AN⊥OB，BM⊥OA，
∴在Rt△OPM与Rt△OPN中
，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），
∴∠PON=∠POM，PN=PM，∠OPN=∠OPM，
在△APM与△PBN中
，
∴△APM≌△PBN（ASA），
∴BN=AM，
∵OA=AM+OM，OB=BN+ON，
∴OA=OB．
故答案为：PM=PN，∠PON=∠POM（答案不唯一）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【题型3】（2023八年级·山东德州·期中）如图，已知在中，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，PR=PS，∠1=∠2，则四个结论：①AR=AS；②PQ∥AB；③；④BP=CP中，正确的是 ．
【答案】①②
【分析】证，可得，，再根据即可求得，即可解题．
【详解】解：在和中，
，
，
，①正确，
∴，
，
，
，②正确，
和中，只有一个条件，再没有其余条件可以证明 ，故③④错误；
故答案是：①②．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键．
【拓广探究创新练】
【题型1】（2023八年级·河北保定·期中）题目：“如图，，，，点，分别在，上，且．当为何值时，与全等．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整
C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解答本题的关键．
根据已知条件，得到，，，要使两个直角三角形全等还需要一条直角边对应相等即可，分析得到或时，．
【详解】解：如图所示，
，，，
，
在和中，
，
如图所示，
，，，
，
在和中，
，
，
综上，或时，，
故选：．
【题型2】（2023八年级·江苏苏州·期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次 行动者 添加条件
1 甲
2 乙
3 甲 …
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①若第3轮甲添加，则甲获胜；
②若第3轮甲添加，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负．
【答案】②③④
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与全等，则乙获胜，故本说法错误；
②若第3轮甲添加，
如图，当，时，以为圆心，为半径画弧，与射线相交于点，
，
此时交点C是唯一的，
故甲添加时，与全等，
故甲获胜，故本说法正确；
③若第2轮乙添加条件修改为，
若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与全等，则乙获胜，
若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与全等，则乙获胜，
故乙必胜，故本说法正确；
④若第2轮乙添加条件修改为，
第3轮甲若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
甲若添加一组角相等，满足边边角，不能判定与全等，
第4轮乙若添加一组边相等，满足边边边，能判定与全等，则乙获胜；
乙若添加一组角相等，满足角角边（或角边角），能判定与全等，则甲获胜，
此时此游戏4轮能分胜负，故本说法正确．
故答案为：②③④
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【题型3】（2023八年级·山西吕梁·期中）如图，直线交于点，于点，于点，若，且，则的度数为 ．
【答案】/26度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余，证明得到，计算出，最后根据直角三角形两锐角互余进行计算即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解： ，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
1．（2023·湖北襄阳·八年级·期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AB于点E，交AD于点F，分别以点E和点F为圆心，以大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点H，由作图过程可得到△ABH一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用角平分线的性质以及平行线的性质得出∠BAH＝∠AHB，进而得出△ABH的形状．
【详解】∵AD∥BC，
∴∠DAH＝∠AHB，
∵作图过程是作的∠DAB的角平分线，
∴∠BAH＝∠DAH，
∴∠BAH＝∠AHB，
∴AB＝BH，
∴△ABH一定是等腰三角形．
故选A．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质等知识，利用已知得出∠BAH＝∠AHB是解题关键．
2．（2023八年级·湖南岳阳·期中）如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵于点D，于点F，．
∴，
∵，
∴补充：或，
可得：，故A，C不符合题意；
补充，
∴，
∴，故D不符合题意；
补充，
∴，
∴，故B符合题意；
故选B
3．（2023八年级·河南郑州·期中）过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，利用证明直角三角形全等是解题的关键．
【详解】解：∵过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，
∴，
又∵（公共边），（已知），
∴，
∴为了证明，运用到的全等三角形判定定理是，
故选：D．
4．（2023八年级·江苏苏州·期末）在中，，E是上的一点，且，过E作交于D，如果，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，判定三角形全等的方法有、、、、．
根据可判定，再根据全等三角形的性质得出，最后根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．（2023八年级·江苏南京·期末）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【分析】运用方法判定，得，进而求解．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
6．（2023八年级·广东广州·期中）能使两个直角三角形全等的条件有 ．
①一条直角边及其对角对应相等；②斜边和一条直角边对应相等；③斜边和一锐角对应相等；④两个锐角对应相等．
【答案】①②③
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
【详解】∵所有的直角都相等，
∴①一条直角边及其对角对应相等，符合角角边定理，正确；
②斜边和一条直角边对应相等，符合，正确；
③斜边和一锐角对应相等，符合角角边定理，正确；
④两个锐角对应相等，缺少边元素，无法判定，错误．
故答案为：①②③．
7．（2023八年级·江苏泰州·期末）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是 ．（填或或）
【答案】
【分析】利用判定方法“”证明 和 全等，进而得出答案；
【详解】解：∵，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴ 是 的平分线；
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键
8．（2023八年级·甘肃平凉·期末）如图，在中，分别是边上的高，已知；若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解．
【详解】解：∵分别是边上的高，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴
故答案为：
9．（2023八年级·河北唐山·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，则的度数是 ．
【答案】/57度
【分析】根据，，证明，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．（2023八年级·山东聊城·期末）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，，则 ．
【答案】/58度
【分析】利用直角三角形全等的判定得出，进而得出，即可得出的度数．
【详解】在与中，
∴．
∴（全等三角形对应角相等）．
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查直角三角形的判定定理，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握直角三角形的判定定理，证明．
11．（2023·陕西商洛·八年级·期末）如图，，于点M，于点N，，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再证明，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
12．（2023八年级·福建福州·期末）求证：全等三角形对应角的角平分线相等．（要求在给出的两个全等三角形中画出一组对应角的角平分线，并写出已知、求证和证明过程）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力，注意命题的证明的格式和步骤是正确解题的前提．
作出图形，结合图形写出已知、求证，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，得， ，，由、分别是和的平分线，可得，根据角边角可以判定，即可得出结论．
【详解】已知：如图所示，，、分别是和的平分线．
求证：
证明：∵，
∴， ，，
∵、分别是和的平分线．，
∴，
在和中，
∴()，
∴．
13．（2023八年级·陕西西安·期中）如图，在五边形中，，，，点D是上一点，连接、，有，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
连接，首先证明出，得到，然后证明出，得到．
【详解】解：连接，
在和中，
有
∴，
∴．
在和中，
有
∴，
∴．
14．（2023八年级·北京门头沟·期末）下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l外一点P ．
求作：直线l的垂线，使它经过点P ．
作法：如图2，
① 以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A、B两点；
② 连接PA和PB；
③ 作∠APB的角平分线PQ，交直线l于点Q．
④ 作直线PQ ．
∴ 直线PQ就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图2（保留作图痕迹）；
（2）补全下面证明过程：
证明：∵ PQ平分∠APB，
∴ ∠APQ=∠QPB．
又∵ PA= ，PQ=PQ，
∴ △APQ≌△BPQ（ ）（填推理依据）．
∴ ∠PQA=∠PQB（ ）（填推理依据）．
又∵∠PQA ＋∠PQB ＝ 180°，
∴ ∠PQA=∠PQB ＝ 90°．
∴ PQ ⊥ l ．
【答案】（1）见详解；（2）PB，两边及其夹角相等的两三角形全等，全等三角形对应角相等．
【分析】（1）根据尺规作图的步骤先做出PA，PB，然后再作出∠APQ的角平分线PQ即作出所求图；
（2）根据作图过程知PA=PB，再根据三角形全等的判定定理知所用到的判定定理和性质．
【详解】（1）如图：
（2）PB；两边及其夹角相等的两三角形全等；全等三角形对应角相等．
【点睛】此题考查学生的动手能力——尺规作图中角平分线和垂直平分线的作法，涉及到三角形全等的判定和性质，难度一般．
15．（2023八年级·山东枣庄·期中）已知：如图，在中，，于，于，相交于，连接．求证：平分．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定和角平分线判定的应用．求出，根据推出，求出，根据证出，推出即可．
【详解】证明：，，
，
在和中，
，
．
，
在和中，
，
∴，
，
平分．
16．（2023八年级·广东茂名·期中）已知：如图，，垂足分别为与相交于点P．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线；连结，先证根据，证明，得，再根据，证明，得，进而可证；
【详解】证明：连接，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
，
，
