辽宁省鞍山市普通高中2023-2024学年高二下学期期中考试 数学（A卷）PDF版含答案

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高二数学（A）答案
一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
二．选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C C D A A B D ABD ABC ABD
三．填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
20 1
12.72; 13. ; 14. ( ， )
9 4
四．解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13 分）
解：(1)选①②，由 an＋1－an＝2 可知数列{an}是公差 d＝2 的等差数列．又 a5＝5，得 a1＝－3，故 an
＝－3＋2(n－1)＝2n－5.
选②③，由 an＋1－an＝2 可知数列{an}是公差 d＝2 的等差数列．由 S2＝－4 可知 a1＋a2＝－4.∴a1＝－
3，故 an＝－3＋2(n－1)＝2n－5.
选①③，无法确定数列． …………（6 分）
(2)∵a *n＝2n－5，∴bn＝|an|＝|2n－5|＝Error!n∈N .
当 1≤n≤2，n∈N*时，Tn＝－n2＋4n. …………（8 分）
1＋2n－5 n－2
当 n≥3，n∈N*时，数列{bn}是从第三项开始，公差 d＝2 的等差数列，Tn＝4＋ ＝n2－2
4n＋8. …………（10 分）
综上，数列{bn}的前 n 项和 Tn＝Error!n∈N*. …………（13 分）
16.（本小题满分 15 分）
解 (1)设切点为(x0,y0),因为 f'(x)=- +2,所以- +2=1,解得 x0=1,所以 y0=-ln 1+2-2=0,
故切线方程为 y=x-1. …………（7 分）
(2)f(x)的定义域为(0,+∞).令 f'(x)=0 即- +2=0,x= .令 f'(x)>0,得 x> ,令 f'(x)<0,得 0调递减,在 ,+∞ 上单调递增,
所以 f(x)存在极小值 f =ln 2+1-2=ln 2-1,无极大值. …………（15 分）
17.（本小题满分 15 分）
（1）解：由题意可得 2 2列联表为：
甲有机肥料 乙有机肥料 合计
质量优等 60 30 90
质量非优等 40 70 110
合计 100 100 200
2 n ad bc
2
200 (4200 1200)
2 200
则 18.182 10.828 .
a b c d a c b d 100 100 110 90 11
所以有 99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关. …………（7 分）
2 “ ” 30 40,45 （ ）由频率分布直方图可得 质量优等 有 个，区间 中含有 10 个，
随机变量 X 的可能取值有 0，1，2，
0 2 1 1 2
P(X 0) C10C20 190 38 P(X 1) C10C20 200 40 P(X 2) C10 45 9 2 ， 2 ， ， C30 435 87 C30 435 87 C
2
30 435 87
随机变量 X 的分布列如下：
X 0 1 2
38 40 9
P 87 87 87
E(X ) 0 38 1 40 2 9 2 . …………（15 分）
87 87 87 3
18.（本小题满分 17 分）
解：(1)证明：当 n＝1 时，S1＝a2－2，解得 a2＝3；
当 n≥2 时，Sn＝an＋1－1－n，Sn－1＝an－n，两式相减得 an＝an＋1－an－1，即 an＋1＝2an＋1，
即有 an＋1＋1＝2(a *n＋1)．而 a2＋1＝4＝2(a1＋1)，则?n∈N ，an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以数列{an＋1}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列． …………（8 分）
n n
(2)由(1)知 a nn＋1＝2 ，于是 bn＝ ＝ . an＋1 2n
1 2 3 n
所以 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， 2 22 23 2n
1 1 2 n－1 n
于是 Sn＝ ＋ ＋…＋ ＋ ， 2 22 23 2n 2n＋1
1( 11 1 1 1 1 n 2 1－2n) n n＋2
两式相减得 Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ － ＝1－ ， 2 2 22 23 2n 2n＋1 1 2n＋11 2
n＋1
－2
n＋2
所以 Sn＝2－ . …………（17 分） 2n
19.（本小题满分 17 分）
解：(1)f′(x)＝ex－a，x≥0.
当 a≤1 时，f′(x)≥0 恒成立，则 f(x)在[0，＋∞)上单调递增；
当 a>1 时，x∈[0，ln a]时，f′(x)≤0，则 f(x)在[0，ln a]上单调递减；
x∈[ln a，＋∞)时，f′(x)≥0，则 f(x)在[ln a，＋∞)上单调递增．
综上，当 a≤1 时，f(x)在[0，＋∞)上单调递增；当 a>1 时，f(x)在[0，ln a]上单调递减，在[ln
a，＋∞)上单调递增． …………（8 分）
(2)当 x≥0 时，ex－ax≥x2＋1 恒成立，则
当 x＝0 时，1≥1，显然成立，符合题意；
－ 2－1
当 x>0 时，得 a≤ 恒成立，

( － 2－1) － 2－1即 a≤ min，记 g(x)＝ ，x>0，
－ －1 －1
则 g′(x)＝ ，
2
构造函数 y＝ex－x－1，x>0，则 y′＝ex－1>0，故 y＝ex－x－1 为增函数，
则 ex－x－1>e0－0－1＝0.
故 ex－x－1>0 对任意 x>0 恒成立，则 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以
g(x)min＝g(1)＝e－2.
所以 a≤e－2，即实数 a 的取值范围是(－∞，e－2]． …………（17 分）