8.1.1 棱柱、棱锥和棱台 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

8．1　基本立体图形
8.1.1　棱柱、棱锥和棱台
1. 认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征．
2. 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
3. 了解棱柱、棱锥和棱台的概念．
活动一 了解空间内的常见几何体
思考1
如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫作什么？如何描述它们的形状？
纸杯 纸箱 腰鼓 金字塔
茶叶盒 水晶萤石 奶粉罐 篮球和足球
　
1. 多面体：由若干个______________围成的几何体叫作多面体．围成多面体的各个多边形叫作多面体的________，两个面的________叫作多面体的棱，棱与棱的公共点叫作多面体的________．
2. 旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫作旋转体的________．
活动二 了解棱柱的结构特征
思考2
观察下面的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？
　　
1. 棱柱的定义：
2. 棱柱中一些常用名称的含义：
我们把棱柱中两个互相平行的面叫作棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫作棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫作棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫作棱柱的顶点．
3. 棱柱的表示方法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱，如：棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′.
4. 棱柱的分类：
(1) 分类一：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作________、________、________……
(2) 分类二：一般地，把________垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，侧棱________于底面的棱柱叫作斜棱柱．底面是________的直棱柱叫作正棱柱．底面是________的四棱柱也叫作平行六面体．
练习　说出下列哪些图是直棱柱、斜棱柱、正棱柱、平行六面体？
(2) (3)
　　
　　
5. 棱柱的性质：
(1) 侧棱都互相________，各侧面都是平行四边形；直棱柱的每条侧棱及每个侧面都________于底面；
(2) 两个底面与平行于底面的截面是________的多边形，且对应边互相________；
(3) 过不相邻的两条侧棱的截面(即对角面)是________．
活动三 了解棱锥的结构特征
思考3
下图中的物体具有什么样的共同的结构特征？
　　
1. 棱锥的定义：
2. 棱锥中一些常用名称的含义：
一个多边形面叫作棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫作棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫作棱锥的顶点．
3. 棱锥的表示方法：用表示顶点和底面各顶点的字母表示，如四棱锥S-ABCD.
4. 棱锥的分类：
按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 其中三棱锥又叫________．底面是________，并且顶点与底面中心的连线________于底面的棱锥叫作正棱锥．
练习　下面几何体是棱锥吗？
活动四 了解棱台的结构特征
1. 棱台的定义：
思考4
请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义，给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义，并在棱台中标出．
2. 棱台的表示方法：用表示上、下底面各顶点的字母来表示，如棱台ABCDE-A1B1C1D1E1.
3. 棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台，四棱台，五棱台……
思考5
棱台的结构特征是什么？
练习　判断下列几何体是不是棱台，为什么？
(2)
　　　
例　将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体．
掌握几种特殊棱柱(直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体)的概念、特征及他们之间的关系．
1. 下列多面体中，棱柱的个数是(　　)
　　　　①　　　　②　　　　 ③　　　　　④　　　　　⑤
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 如图所示的简单组合体的组成是(　　)
A. 棱柱、棱台　 B. 棱柱、棱锥
C. 棱锥、棱台　 D. 棱柱、棱柱
3. (多选)(2022随州期末)下列说法中，正确的是(　　)
A. 如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等
B. 五棱锥只有五条棱
C. 一个棱柱至少有五个面
D. 棱台的各侧棱延长后交于一点
4. 具备下列条件的多面体是棱台的是________．(填序号)
①两底面是相似多边形的多面体；
②侧面是梯形的多面体；
③两底面平行的多面体；
④两底面平行，且侧棱延长后交于一点的多面体．
5. (2023江苏高一专题练习)如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1) 这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2) 用平面BCNM将这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用字母表示；如果不是，请说明理由．
【答案解析】
8．1　基本立体图形
8．1.1　棱柱、棱锥和棱台
【活动方案】
活动一
思考1：物体的形状略．描述它们的形状应先从整体入手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识．纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石等物体围成它们的面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面．
1. 平面多边形　面　公共边　顶点
2. 轴
活动二
思考2：它的每个面都是平行四边形(矩形)，并且相对的两个面，如面ABCD和面A′B′C′D′，给我们以平行的形象，如同教室的地面和天花板一样．
1. 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫作棱柱.
4. (1) 三棱柱　四棱柱　五棱柱
(2) 侧棱　不垂直　正多边形　平行四边形
练习：直棱柱：(1)，(3)；斜棱柱：(2)；正棱柱：(3)，没有平行六面体．
5. (1) 平行　垂直　(2) 全等　平行　(3) 平行四边形
活动三
思考3：一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点．
1. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫作棱锥．
4. 四面体　正多边形　垂直
练习：不是
活动四
1. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫作棱台．原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面和上底面．
思考4：定义略
思考5：①各侧棱的延长线相交于一点；②截面平行于原棱锥的底面．
练习：不是，因为(1)中各侧棱延长后不相交于一点；(2)中两个底面不平行．
例　 如图所示：
【检测反馈】
1. A　解析：由棱柱的定义及几何特征知①③为棱柱．
2. B　解析：由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成．
3. CD　解析：四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等，故A错误；五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共10条棱，故B错误；一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，即至少有五个面，故C正确；棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，故D正确．故选CD.
4. ④　解析：棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台应有两个条件：一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后交于一点．①②两条件都不具备，③只具备一个条件，④具备两个条件．
5. (1) 是棱柱，并且是四棱柱．因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．又底面是四边形，所以长方体是四棱柱．
(2) 截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱BMB1-CNC1，其中△BMB1和△CNC1是底面．
截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABMA1-DCND1，其中四边形ABMA1和DCND1是底面．