8.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

8．1.2　圆柱、圆锥、圆台和球
1. 认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．
2. 了解圆柱、圆锥、圆台和球的概念．
3. 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
活动一 圆柱、圆锥、圆台及球的概念
思考1
一个矩形绕着一条边所在直线旋转一周，可得什么图形？
1. 圆柱的定义：以矩形的________为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆柱．在圆柱的形成中，________叫作圆柱的轴，垂直于________的边旋转而成的圆面叫作圆柱的底面，平行于________的边旋转而成的曲面叫作圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，________轴的边都叫作圆柱侧面的母线.
圆柱的表示：用表示它的轴的字母来表示，如：圆柱O′O.
思考2
一个直角三角形绕着一条直角边所在直线旋转一周，可得什么图形？
2. 圆锥的定义：以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫作圆锥．
思考3
请你仿照圆柱中轴、底面、侧面、母线的定义，给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义，并在图中标出．
圆锥的表示：用表示它的轴的字母来表示，圆锥SO.
3. 圆台的定义：用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与________之间的部分叫作圆台．
　
思考4
在圆台中标出圆台的轴、底面、侧面、母线．
探究1：圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到．圆台是否可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？
思考5
半圆绕着它的直径旋转一周得到什么图形？
4. 球的定义： 半圆以它的________所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫作球面，________所围成的旋转体叫作球体，简称球．半圆的________叫作球的球心，连接________和球面上任意一点的线段叫作球的半径；连接球面上两点并且经过________的线段叫作球的直径．
球的表示：常用表示球心的字母来表示，如：球O.
5. 简单几何体的分类：
探究2：棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？当底面发生变化时，它们能否互相转化？圆柱、圆锥、圆台呢？
活动二　简单组合体
6. 简单组合体的概念：现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体．
思考6
请你说说下图中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的．
(2) (3) (4)
　
　
　
例1　观察教室中的物体，并说出它们具有什么几何结构特征．
反 思 与 感 悟
日常生活中，一些复杂的几何体都是由简单的几何体组合而成的．
指出下图中的几何体是由哪些简单几何体割补而成的？
图1 图2
　　　
例2　如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些几何体构成的？
旋转体都是由平面图形绕着一条定直线旋转而成的．
一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转360°所得的空间图形都是圆锥吗？
1. 下列结论中，正确的是(　　)
A. 半圆以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫作球
B. 直角三角形绕一边旋转得到的几何体是圆锥
C. 夹在圆柱的两个平行截面间的部分还是一个旋转体
D. 圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
2. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能是(　　)
　　　　　　　　　　①　　　②　　　 ③　　　④
A. ①③④ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④
3. (多选)下列关于球体的说法中，正确的是(　　)
A. 球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B. 球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C. 一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D. 过球面上任意两点只能作球的一个大圆
4. 用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为________．
5. (2023高一课时练习)已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于10，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长．
【答案解析】
8．1.2　圆柱、圆锥、圆台和球
【活动方案】
思考1：圆柱
1. 一边所在直线　旋转轴　轴　轴　平行于
思考2：圆锥
2. 直角边
思考3：在圆锥的形成中，旋转轴叫作圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作圆锥的底面，直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面，无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边都叫作圆锥侧面的母线．
3. 平行　截面
思考4：
探究1：可以由直角梯形绕直角腰旋转一周得到．(答案不唯一)
思考5：球
4. 直径　球面　圆心　球心　球心
探究2：棱柱、棱锥与棱台在结构上的相同点：它们都是由平面多边形围成的几何体，它们都有底面且底面都是多边形；不同点：棱柱和棱台都有两个底面，而棱锥只有一个底面，棱柱的两个底面全等，棱台的两个底面相似．它们可以互相转化，如下图：
圆柱、圆锥与圆台在结构上的相同点：它们都是由平面图形旋转得到的；不同点：圆柱和圆台有两个底面，圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径不相等的圆，它们可以互相转化，如下图：
思考6：(1)中物体是两个圆台、两个圆柱拼接而成．
(2)中物体是圆柱、圆台、球拼接而成．
(3)中物体是正方体截去一个三棱锥．
(4)中物体是长方体截去两个长方体．
例1　略
跟踪训练　图1中的几何体是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的．
图2中的几何体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．
例2　这个几何体是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的．
跟踪训练　图1，图2旋转360°所得的几何体是圆锥；图3旋转360°所得的几何体是由两个圆锥拼接而成的组合体．
图1 图2 图3
【检测反馈】
1. D　解析：半圆以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面所围成的旋转体叫作球体，简称球，故A错误；当以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转时，得到的几何体不是圆锥，是由两个同底面的圆锥组成的几何体，故B错误；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的部分不是旋转体，故C错误；将圆锥截去一个小圆锥，则截面必与底面平行，因而剩余部分是圆台，故D正确．
2. C　解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过体对角线时得①，但无论如何都不能截出④.综上，截面可能是①②③.
3. BC　解析：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，故A错误，B正确；由球体的定义知C正确；过球的直径的两端点可作无数个大圆，故D错误. 故选BC.
4. 　解析：设圆柱底面半径为r.若矩形的长8为圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4为圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.当r＝时，其轴截面的面积为×4＝；当r＝时，其轴截面的面积为×8＝.综上，圆柱的轴截面的面积为.
5. 设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，则下底面半径为3r.
因为轴截面的面积等于10，
所以＝4rh＝10.
因为母线与轴的夹角是，
所以＝tan ，l＝2h，
解得h＝，l＝2.