8.2 立体图形的直观图 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

8．2　立体图形的直观图
能用斜二测画法画出简单几何体(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．
活动一 水平放置的平面图形的直观图画法
如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
　
问题：对于水平放置的平面图形，如何画出它的直观图？其步骤是什么？
例1　用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图．
1. 水平放置的平面图形的斜二测画法的规则．
2. 根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，即可求解．
如图，是由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图．
活动二　立体图形的直观图画法　
例2　已知长方体的长、宽、高分别是3 cm，2 cm，1.5 cm，用斜二测画法画出它的直观图．
1. 立体图形的斜二测画法的规则．
2. 立体图形的斜二测画法与水平放置的平面图形的斜二测画法的联系．
画棱长为2 cm的正方体的直观图．
例3　已知圆柱的底面半径为1 cm，侧面母线长3 cm，画出它的直观图．
对于旋转体中的圆，它们的直观图是椭圆，体现它的立体性．
已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图．
1. (2022济南期末)用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是(　　)
①平行的线段在直观图中仍然平行；
②相等的线段在直观图中仍然相等；
③相等的角在直观图中仍然相等；
④正方形在直观图中仍然是正方形．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2023茂名高一统考期中)如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图为△A′B′C′，已知A′O′＝B′O′＝C′O′＝1，则△ABC的周长为(　　)
A. 6 B. 8
C. 2＋2 D. 2＋4
3. (多选)关于用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的说法中，正确的是(　　)
A. 原来相交的直线仍相交 B. 原来垂直的直线仍垂直
C. 原来平行的直线仍平行 D. 原来共点的直线仍共点
4. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样．已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图(长方体底面较长的边与x轴平行)，则直观图中长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为____________________．
5. 一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出这个组合体的直观图．
【答案解析】
8．2　立体图形的直观图
【活动方案】
背景引入：略
问题：利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
例1　①如图1，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，AD的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于点O.在图2中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
②在图2中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN.以N′为中点，画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点，画F′E′平行于x′轴，并且等于FE.
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′(图3).
跟踪训练　①如图1，以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，再画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图2所示．
②在图2中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过点A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC.在y′轴上截取O′D′＝OD.
③连接E′D′，E′C′，C′D′，得到平面图形A′B′C′D′E′.
④去掉辅助线，就得到所求的直观图如图3所示．
图1 图2 图3
例2　①画轴．如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画底面．在x轴正半轴上取线段AB，使AB＝3 cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD＝1 cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则 ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．
③画侧棱．在z轴正半轴上取线段AA′，使AA′＝1.5 cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取1.5 cm长的线段BB′，CC′，DD′.
④成图．如图2.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图了．
图1 图2
跟踪训练　①画轴．如图1，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画底面．在x轴正半轴上取线段AB，使AB＝2 cm；在y轴正半轴上取线段AD，使AD＝1 cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则 ABCD就是正方体的底面ABCD的直观图．
③画侧棱．在z轴正半轴上取线段AA′，使AA′＝2 cm，过B，C，D各点分别作z轴的平行线，在这些平行线上分别截取2 cm长的线段BB′，CC′，DD′.
④成图．如图2.顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图了．
　　　
图1　　　　　　　　图2
例3　①画轴．如图1，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画下底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA＝OB＝1 cm.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点．这个椭圆就是圆柱的下底面．
③画上底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝3 cm，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′.类似下底面的作法作出圆柱的上底面．
④成图．如图2.连接AA′，BB′，整理得到圆柱的直观图．
跟踪训练　①画轴．如图1，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA，OB与等腰直角三角形的直角边的长度相等．利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点．这个椭圆就是圆锥的底面．
③画顶点．在Oz上截取点S，使OS与等腰直角三角形的直角边的长度相等．
④成图．连接SA，SB，整理得到圆锥的直观图．
　　　
图1　　　　　　　　　　图2
【检测反馈】
1. A　解析：对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等， 如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为原来的，所以②错误；对于③，相等的角在直观图中不一定相等， 如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45°和135°，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误．综上，正确的命题序号是①，共1个．
2. C　解析：根据题意，作出原图△ABC，由斜二测画法，得在原图中，CO＝2C′O′＝2，AO＝BO＝1，所以BC＝AC＝，故△ABC的周长为2＋2.
3. ACD　解析：根据斜二测画法知，原来垂直的直线在其直观图中未必垂直，因此B错误，A，C，D显然正确，故选ACD.
4. 4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm　解析：由比例可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高，应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图，与x轴，z轴平行的直线长度不变，与y轴平行的直线长度为原图的，故直观图中长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
5. ①画轴．如图1，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
②画圆柱的两底面．以O为中点，在x轴上取线段AB，使OA＝OB＝1.5 cm.利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过点O′作Ox的平行线O′x′，类似下底面的作法作出圆柱的上底面．
③画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′＝3 cm.
④成图．如图2.连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到这个组合体的直观图．
图1 图2