8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

8．3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．
活动一 棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
1. 阅读课本，了解多面体的表面积的概念：
思考1
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？
活动二 棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算
例1　如图，四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积．
多面体的表面积转化为各面面积之和．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
如图，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，则制造这个滚筒需要________m2铁板．(精确到0.1 m2)
活动三　棱柱、棱锥、棱台体积的概念　
2. 了解棱柱、棱锥、棱台的体积
(1) 我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是
V正方体＝a3(a是正方体的棱长)，
V长方体＝abc(a，b，c分别是长方体的长、宽、高).
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh.
(2) 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么棱柱的体积是棱锥的体积的 3倍.因此，一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么该棱锥的体积V棱锥＝Sh.
(3) 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
V棱台＝h(S′＋＋S)，
其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．
注意：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离．
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离．
思考2
观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式V棱柱＝Sh，V棱锥＝Sh，V棱台＝h(S′＋＋S)，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
活动四　棱柱、棱锥、棱台体积的计算　
例2　如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是 0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)
　　
1. 常见的求几何体体积的方法：
①公式法：直接代入公式求解；②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2. 求几何体体积时需注意的问题：
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1 的体积为________．
1. 已知一个正四棱柱体的对角线的长是9cm，表面积等于144cm2，则这个棱柱的侧面积为(　　)
A. 112 cm2 B. 72 cm2
C. 112 cm2或72 cm2 D. 78 cm2
2. 若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，E是侧棱BB1上的一个动点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直三棱柱的侧面积是4＋2
B. 直三棱柱的体积是
C. 三棱锥E-AA1O的体积为定值
D. AE＋EC1的最小值为2
4. (2023宝鸡中学高一阶段练习)已知正四棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长为2 cm，则它的表面积为________cm2.
5. (2023襄阳高一阶段练习)如图，在正四棱锥P-ABCD中，AB＝2，PA＝4，M是PB上的点且PM＝2MB，N是PD的中点．求：
(1) 四棱锥P-ABCD的表面积；
(2) 三棱锥N-MCD的体积．
【答案解析】
8．3　简单几何体的表面积与体积
8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【活动方案】
1. 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
思考1：棱柱的侧面展开图是几个平行四边形，棱锥的侧面展开图是几个三角形，棱台的侧面展开图是几个梯形．它们的表面积是上、下底面面积与侧面展开图的面积的和．
例1　因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以S△PBC＝a2，
所以四面体P-ABC的表面积SPABC＝4×a2＝a2.
跟踪训练　5.6　解析：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长是0.46 m，所以S侧＝6×0.46×1.6＝4.416 (m2)，所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4.416＋2××0.462×6≈5.6(m2).故制造这个滚筒需要5.6 m2铁板．
思考2：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系V棱柱＝ShV棱台＝h(S′＋＋S)V棱锥＝Sh.
例2　 由题意，知V长方体ABCD-A′B′C′D′＝1×1×0.5＝(m3)，
V棱锥P-ABCD＝×1×1×0.5＝(m3)，
所以这个漏斗的容积V＝＋＝≈0.67(m3).
跟踪训练　　解析：V三棱锥A-DED1＝V三棱锥E-DD1A＝××1×1×1＝.
【检测反馈】
1. C　解析：设底面边长、侧棱长分别为a cm，l cm，则解得或所以S侧＝4×4×7＝112(cm2)或S侧＝4×6×3＝72(cm2).
2. B　解析：所求八面体的体积是两个底面边长为1，高为的正四棱锥的体积和，一个正四棱锥的体积V1＝×1×＝，故八面体的体积V＝2V1＝.
3. ACD　解析：如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，则△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；因为E是侧棱BB1上的一个动点，所以三棱锥E-AA1O的高为定值，S△AA1O＝××2＝，所以V三棱锥E-AA1O＝××＝，故C正确；连接AE，A1E，C1E.设BE＝x∈[0，2]，则B1E＝2－x，在Rt△ABE和Rt△EB1C1中，AE＋EC1＝＋.由其几何意义，即平面内动点(x，1)与两定点(0，0)，(2，0)距离和，由对称可知，当E为BB1的中点时，其最小值为2，故D正确．故选ACD.
4. 40＋32　解析：由题意知正四棱台的侧面为上、下底分别是2 cm和6 cm，腰为2 cm的等腰梯形，故梯形的高为＝2，则该正四棱台的表面积为4××(2＋6)×2＋22＋62＝40＋32(cm2).
5. (1) 作PE⊥BC，垂足为E.
由正四棱锥性质可知，E为BC的中点，
所以PE＝＝＝，
所以S表面积＝4＋4××2×＝4＋4.
(2) 连接BD，BN，作PO⊥平面ABCD交BD于点O，由正四棱锥性质可知O为BD的中点．
因为OB＝BD＝＝，
所以PO＝＝.
又PM＝2MB，N是PD的中点，
所以V三棱锥N-MCD＝V三棱锥M-NCD＝V三棱锥B-NCD＝V三棱锥N-BCD＝V三棱锥P-BCD＝V四棱锥P-ABCD＝××4×＝.