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6.3 等可能事件的概率 分层练习
考查题型一、利用频率公式求相关概率
1．已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共50个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5．
（1）试求黄色球的数量；
（2）若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求a的值．
2．在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？
（2）为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去7个球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
3．一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球数量比白球的3倍多10个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是0.3．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋子中摸出一个球是白球的概率；
（3）取走10球（其中没有红球），求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
4．在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同．
（1）从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率；
（2）从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率；
（3）向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？
考查题型二、利用频率的求法求转盘中的概率
5．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
6．让书香浸润人生，让阅读成为习惯，4月21日晚，文山州“深化全民阅读 畅享书香文山”2023年全民阅读大会在文山市民族文化中心举行．文山州某书店借此机会为了吸引更多阅读爱好者，特设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：顾客每购买100元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购书券，凭购书券可以在书店继续购书．
（1）甲顾客购书120元，可转动一次转盘，求他获得50元购书券的概率；
（2）乙顾客购书360元，可获得 次转动转盘的机会，求任意转动一次转盘，获得购书券的概率．
7．如图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？
8．在某次主题班会课上的一个抢答环节中，为了吸引同学，班长设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：每答对1道题的同学，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，该同学就可以分别获得一等奖、二等奖、三等奖的奖品（转盘被等分成20个扇形）．
（1）甲同学参与了抢答环节并答对了1道题，求他获得奖品的概率；
（2）在原转盘的基础上将空白扇形涂色来增大三等奖的获奖概率，且使得每次转动转盘获奖的概率为，则需要再将几个空白扇形涂成绿色？
考查题型三、利用频率的求法求几何中的概率
9．如图是一个被等分成4个扇形的转盘，请在转盘上选出1个或几个扇形涂上斜线（图上斜线的区域表示阴影区域），使得自由转动这个转盘，当它停止转动时指针落在阴影区域内的概率是0.25．
10．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中哪种颜色的小正方形的概率较大？为什么？
11．如图所示的是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．
（1）这个图形 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 条对称轴．
（2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．
12．小明家里的阳台地面，水平铺设着仅黑白颜色不同的18块方砖（如图），他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上．
（1）求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率；
（2）上述哪个概率较大？要使这两个概率相等，应改变第几行第几列的哪块方砖颜色？怎样改变？
考查题型四、利用统计图中的信息求概率
13．今年3月5日，学校组织八年级全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动．八（3）班班长统计了该天本班学生打扫街道、去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并作了如下直方图和扇形统计图．请根据班长所作的两个图形，解答：
（1）八（3）班有多少名学生？
（2）补全直方图的空缺部分；
（3）若八年级有1000名学生，请估算该年级去敬老院有多少人？
（4）求“从八（3）班中任选一名学生去敬老院服务”的概率．
14．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．寒假期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图：
（1）求这次被调查的家长人数，并补全条形统计图中家长“反对”的人数．
（2）求扇形统计图中表示家长“赞成”的圆心角的度数．
（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？
15．《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求初中阶段每周劳动时长不少于3小时．某初级中学为了解本校学生每周劳动时长，从全校1500名学生中随机抽取部分学生，进行每周劳动时长调查．绘制成下面不完整的统计图表．
抽取的学生每周劳动时长统计表
等级确定 A B C D
时长/小时 x≥5 4≤x＜5 3≤x＜4 x＜3
人数 m 60 32 n
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查中，该校采取的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）统计表中的m＝ ，n＝ ；
（3）从该样本中随机抽取一名初中生每周劳动时长，其恰好在A等级的概率是 ；
（4）请估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数约有 人．
16．为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查采用的调查方式是 （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）B项活动所在扇形的圆心角的大小是 ；条形统计图中C项活动的人数是 ；
（3）已知选择A项的32名学生中有20名男生和12名女生．若从这32名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 ．
（4）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为 ．
考查题型五、利用概率说明游戏公平性
17．一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球．摸到红球和摸到白球的概率相等吗？如果不等．能否通过改变袋中红球或白球的数量．使摸到红球和摸到白球的概率相等？
18．张华和王平两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，张华设计了一种方案：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张华得到入场券；否则，王平得到入场券．请你运用所学的概率知识，分析张华的设计方案对双方是否公平．
19．一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色以外都相同．
（1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此，摸出白球和摸出红球是等可能的，你同意他的说法吗？为什么？
（2）假如（1）中小明的说法正确，你将对两种颜色的小球作什么样的改动？
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．必然事件发生的概率为1
C．随机事件发生的概率介于0和1之间
D．随机事件发生的概率为0.5
2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次
B．连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上
C．连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上
D．通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
3．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A．红球 B．黄球 C．白球 D．蓝球
5．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄扇形的圆心角度数分别为210°，90°，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．三张背面完全相同的卡片上，正面分别画有“等边三角形，圆，平行四边形”，现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽到卡片上所画图形是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C．1 D．0
8．甲乙两名同学做掷一枚质地均匀的硬币的游戏，甲同学掷了5次硬币，都是正面向上，甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率．乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数．下列选项正确的是（ ）
A．甲、乙的说法都正确
B．甲的说法正确、乙的说法不正确
C．甲的说法不正确、乙的说法正确
D．甲、乙的说法都不正确
9．某市举办了中学生汉字听写大会，从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套训练，抽中甲的概率是（ ）
A．0.5 B．0.25 C．0.6 D．1
10．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（ ）
A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球
11．实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．在一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个黄球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．阿仁是一名非常爱读书的学生．他制作了五张材质和外观完全一样的书签，每张书签上写有一本书的名称和作者，分别是：《海底两万里》（作者：凡尔纳，法国）、《三国演义》（作者：罗贯中）、《西游记》（作者：吴承恩）、《骆驼祥子》（作者：老舍）、《钢铁是怎样炼成的》（作者：尼 奥斯特洛夫斯基，前苏联），从这五张书签中随机抽取一张，则抽到的书签上的作者是中国人的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．现有4张不透明卡片，正面分别标有数字“2”、“4”、“5”、“6”，卡片除正面的数字外，其余均相同．现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被2整除”的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为P甲，P乙，则下列关系正确的是（ ）
A．P甲＞P乙
B．P甲＜P乙
C．P甲＝P乙
D．无法确定P甲，P乙的大小
16．如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠A+∠ABD＝180°；⑤∠D＝∠DCE．任意选取一个，能判断AB∥CD的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，将某一个空白小方块涂黑后，能使图中所有黑色方块构成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，在 ABCD中，点E是AB的中点，点F为BC的中点，连接EF，若随机向 ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
19．现从甲、乙、丙三名同学中，随机抽取一名同学参加学校举行的“学法用法知识竞赛”，则抽到乙的概率为 ．
20．一个不透明的袋子里装有13个球，其中有6个黑球和7个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球，则它是黑球的概率为 ．
21．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是 ．
22．一个不透明的布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ ．
23．如图是一个转盘，转盘上共有红、黄、蓝三种不同颜色的区域，已知红色区域的圆心角为100°，黄色区域的圆心角为140°，自由转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是 ．
24．袋子里装有红、黄、白三种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.2．如果袋中有红球有3个，则袋中的黄球和白球共有 个．
25．如图的方格地面上，标有编号A，B，C的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同，一只自由飞行的鸟，将随意地落在图中的方格地面上，则小鸟落在草坪上的概率是 ．
三、解答题
26．一批产品共10000件，从中任意抽取20件作为一个样本，其中合格品为18件，次品为2件．
（1）若从这10000件中任意抽取1件，为合格品的概率为多少？
（2）估计这10000件产品中约有多少次品．
27．已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球．
（1）求从袋中任意摸出一个球是红球的概率．
（2）若要使摸到红球的概率为，则需要在这个口袋中再放入多少个红球？
28．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
29．已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共50个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5．
（1）试求黄色球的数量；
（2）若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求a的值．
30．一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）从中任意摸出一个球，摸到红球是 事件；摸到黄球是 事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率；
（3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数．
31．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．寒假期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图：
（1）求这次被调查的家长人数，并补全条形统计图中家长“反对”的人数．
（2）求扇形统计图中表示家长“赞成”的圆心角的度数．
（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？中小学教育资源及组卷应用平台
6.3 等可能事件的概率 分层练习
考查题型一、利用频率公式求相关概率
1．已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共50个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5．
（1）试求黄色球的数量；
（2）若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求a的值．
【解答】解：（1）∵摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5，
∴摸到黄球的概率为：1﹣0.2﹣0.5＝0.3，
∴黄色球的数量为：50×0.3＝15（个），
（2）由题意得：（50+a）＝50×0.2+a，
解得：a＝10，
答：a的值为10．
2．在一个不透明的袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．
（1）摸出的球是红球的概率是多少？摸出的球是黄球的概率是多少？
（2）为了使摸出红球和黄球的概率相同，再放进去7个球，那么这7个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
【解答】解：（1）∵袋子中装有9个红球和6个黄球，这些球除颜色外都相同，
∴摸出每一球的可能性相同，
∴摸出红球的概率是，摸出黄球的概率是；
（2）设放入红球x个，则黄球为（7﹣x）个，
由题意得：，
解得：x＝2，
则7﹣x＝5，
∴放进去的这7个球中红球2个，黄球5个．
3．一个不透明的袋子中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球数量比白球的3倍多10个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是0.3．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋子中摸出一个球是白球的概率；
（3）取走10球（其中没有红球），求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率．
【解答】解：（1）根据题意得：
100×＝30（个），
答：袋中红球的个数有30个．
（2）设白球有x个，则黄球有（3x+10）个，
根据题意得：x+3x+10＝100﹣30，
解得x＝15．
则摸出一个球是白球的概率为＝；
（3）因为取走10个球后，还剩90个球，其中红球的个数没有变化，
所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是＝．
4．在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球3个，黑球2个，它们除了颜色外其他都相同．
（1）从袋中随机摸出1个球，求摸出白球的概率；
（2）从袋中随机摸出1个球，求摸出黑球的概率；
（3）向袋中加几个黑球，可以使摸出红球的概率变为？
【解答】解：（1）根据题意，小球共3+3+2＝8个，
∴从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
∵白球3个，
∴从袋中随机地摸出1个球，摸出白球的概率＝；
（2）结合（1）的结论，得：从袋中随机地摸出1个球，共8种情况，
∵黑球2个，
∴从袋中随机地摸出1个球，摸出黑球的概率＝＝；
（3）设向袋中加黑球的数量为x，
∴从袋中随机地摸出1个球，共（8+x）种情况，
∵摸出红球的概率为，且红球3个，
∴＝，
∴x＝4，
∵x＝4时，8+x≠0，
∴x＝4是方程的解，
∴向袋中加4个黑球，可以使摸出红球的概率变为．
考查题型二、利用频率的求法求转盘中的概率
5．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
【解答】解：（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，
所以指针指向奇数区域的概率是；
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，
所以指针指向的数小于或等于5的概率是．
6．让书香浸润人生，让阅读成为习惯，4月21日晚，文山州“深化全民阅读 畅享书香文山”2023年全民阅读大会在文山市民族文化中心举行．文山州某书店借此机会为了吸引更多阅读爱好者，特设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：顾客每购买100元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止），那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购书券，凭购书券可以在书店继续购书．
（1）甲顾客购书120元，可转动一次转盘，求他获得50元购书券的概率；
（2）乙顾客购书360元，可获得 3 次转动转盘的机会，求任意转动一次转盘，获得购书券的概率．
【解答】解：（1）∵转盘平均分成12份，共有12种等可能的情况，其中红色占2份，
∴他获得50元购书券的概率是；
（2）∵顾客每购买100元的图书，就可获得一次转动转盘的机会，
∴顾客购书360元，可获得3次转动转盘的机会，
∵转盘平均分成12份，共有12种等可能的情况，其中红色占2份，黄色占2份，绿色占2份，
∴任意转动一次转盘获得购书券的概率是＝．
故答案为：3．
7．如图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？
【解答】解：对．
理由：∵小明转出的数字共有9种等可能的结果，其中，转出的数字小于7共有6种等可能的结果，
∴小明转出的数字小于7的概率是．
∵红色部分所在扇形圆心角的度数是360°﹣120°＝240°，
∴小亮转出的颜色是红色的概率是．
∵，
∴小颖的观点是对的．
8．在某次主题班会课上的一个抢答环节中，为了吸引同学，班长设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：每答对1道题的同学，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，该同学就可以分别获得一等奖、二等奖、三等奖的奖品（转盘被等分成20个扇形）．
（1）甲同学参与了抢答环节并答对了1道题，求他获得奖品的概率；
（2）在原转盘的基础上将空白扇形涂色来增大三等奖的获奖概率，且使得每次转动转盘获奖的概率为，则需要再将几个空白扇形涂成绿色？
【解答】解：（1）由题意可知，指针正好对准红、黄或绿色区域，其中红色区域1个，黄色区域2个，绿色区域4个，该同学就可以分别获得一等奖、二等奖、三等奖的奖品（转盘被等分成20个扇形），
∴他获得奖品的概率为；
（2）由题意可得，，
答：需要再将7个空白扇形涂成绿色．
考查题型三、利用频率的求法求几何中的概率
9．如图是一个被等分成4个扇形的转盘，请在转盘上选出1个或几个扇形涂上斜线（图上斜线的区域表示阴影区域），使得自由转动这个转盘，当它停止转动时指针落在阴影区域内的概率是0.25．
【解答】解：要使转盘停止转动时，指针落在阴影区域内的概率是0.25，只需使阴影区域占总面积的0.25即可，
而已知整个圆面被4等分；故只需使阴影占到1等分即可，故在圆面上不要涂了．
10．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界线或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，击中哪种颜色的小正方形的概率较大？为什么？
【解答】解：击中白色的小正方形的概率较大，
理由：∵共有36种小正方形，其中黑色正方形的有15个，
∴任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色小正方形的概率是，
任意投掷飞镖一次，刚好击中白色小正方形的概率是＝，
∵，
∴击中白色的小正方形的概率较大．
11．如图所示的是小明家的地板砖的一部分（图中所有三角形都是等腰直角三角形）．
（1）这个图形 是 （填“是”或“不是”）轴对称图形，若是，它有 4 条对称轴．
（2）一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．
【解答】解：（1）这个图形是轴对称图形，它有4条对称轴．
故答案为：是，4；
（2）∵图中共有16个等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为1，其中阴影区域占了4个，
∴阴影区域在整个地板砖中所占面积的比值＝＝，
∴小老鼠停留在阴影区域的概率为．
12．小明家里的阳台地面，水平铺设着仅黑白颜色不同的18块方砖（如图），他从房间里向阳台抛小皮球，小皮球最终随机停留在某块方砖上．
（1）求小皮球分别停留在黑色方砖与白色方砖上的概率；
（2）上述哪个概率较大？要使这两个概率相等，应改变第几行第几列的哪块方砖颜色？怎样改变？
【解答】解：（1）根据几何概率的求法：小球停在黑色方砖上的概率就是黑色方砖面积与总面积的比值，小球停在白色方砖上的概率就是白色方砖面积与总面积的比值；由图可知：共18块方砖，其中白色8块，黑色10块，
故小皮球停留在黑色方砖上的概率是；（3分）
小皮球停留在白色方砖上的概率是．（6分）
（2）因为，所以小皮球停留在黑色方砖上的概率大于停留在白色方砖上的概率．（7分）
要使这两个概率相等，应改变第二行第4列中的方砖颜色，黑色方砖改为白色方砖．（8分）
注：回答第二行第3列；第二行第5列也正确．
考查题型四、利用统计图中的信息求概率
13．今年3月5日，学校组织八年级全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动．八（3）班班长统计了该天本班学生打扫街道、去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并作了如下直方图和扇形统计图．请根据班长所作的两个图形，解答：
（1）八（3）班有多少名学生？
（2）补全直方图的空缺部分；
（3）若八年级有1000名学生，请估算该年级去敬老院有多少人？
（4）求“从八（3）班中任选一名学生去敬老院服务”的概率．
【解答】解：（1）由条形图知到社区文艺演出的人数为15人，由扇形图知到社区文艺演出的人数占全体的，
所以抽取的部分同学的人数人；
（2）根据题意，去敬老院服务的人数是：50﹣25﹣15＝10（人），
如图：
（3）根据题意得：
（人）．
答：该年级去敬老院的人数是200人；
（4）“从八（3）班中任选一名学生去敬老院服务”的概率为．
14．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．寒假期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图：
（1）求这次被调查的家长人数，并补全条形统计图中家长“反对”的人数．
（2）求扇形统计图中表示家长“赞成”的圆心角的度数．
（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？
【解答】解：（1）根据题意可得出：80÷20%＝400（人），
家长反对人数：400﹣40﹣80＝280（人）；
（2）家长“赞成”的圆心角的度数为：；
（3）从这次接受调查的家长与学生中随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的概率是：．
15．《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求初中阶段每周劳动时长不少于3小时．某初级中学为了解本校学生每周劳动时长，从全校1500名学生中随机抽取部分学生，进行每周劳动时长调查．绘制成下面不完整的统计图表．
抽取的学生每周劳动时长统计表
等级确定 A B C D
时长/小时 x≥5 4≤x＜5 3≤x＜4 x＜3
人数 m 60 32 n
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）本次调查中，该校采取的调查方式是 抽样调查 （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）统计表中的m＝ 28 ，n＝ 80 ；
（3）从该样本中随机抽取一名初中生每周劳动时长，其恰好在A等级的概率是 ；
（4）请估算该校学生中，每周劳动时长不符合要求的人数约有 600 人．
【解答】解：（1）本次调查中，该校采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）抽取学生总数为：60÷30%＝200，
，
，
故答案为：28，80；
（3）A 等级人数所占比例为：，
因此恰好在A 等级的概率是，
故答案为：；
（4）每周劳动时长不符合要求的人数约有：（人），
故答案为：600．
16．为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查采用的调查方式是 抽样调查 （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）B项活动所在扇形的圆心角的大小是 54° ；条形统计图中C项活动的人数是 20 ；
（3）已知选择A项的32名学生中有20名男生和12名女生．若从这32名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是 ．
（4）若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为 800 ．
【解答】（1）解：本次调查采用的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）16÷20%＝80，
，80﹣32﹣12﹣16＝20；
故答案为：54°，20；
（3）抽到男生的概率是：；
（4）．
考查题型五、利用概率说明游戏公平性
17．一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球．摸到红球和摸到白球的概率相等吗？如果不等．能否通过改变袋中红球或白球的数量．使摸到红球和摸到白球的概率相等？
【解答】解：∵一个袋中装有3个红球和5个白球，每个球除颜色外都相同，
∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为：，摸到白球的概率为：，
故摸到红球和摸到白球的概率不相等；
可以拿出两个白球，使红色与白色球的数量相同，则摸到红球和摸到白球的概率相等．
18．张华和王平两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，张华设计了一种方案：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张华得到入场券；否则，王平得到入场券．请你运用所学的概率知识，分析张华的设计方案对双方是否公平．
【解答】解：阴影区域圆心角：360°﹣（100°+70°）＝190°，＝，
白色区域圆心角：100°+70°＝170°，＝．
∵＞，
∴张华的设计方案对双方不公平．
19．一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色以外都相同．
（1）小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此，摸出白球和摸出红球是等可能的，你同意他的说法吗？为什么？
（2）假如（1）中小明的说法正确，你将对两种颜色的小球作什么样的改动？
【解答】解：（1）不同意小明的说法，理由如下：
∵一个不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，
∴摸出白球的概率是，摸出红球的概率是，
∴摸出白球和摸出红球不是等可能的；
（2）假如（1）中小明的说法正确，即摸出白球和摸出红球是等可能的，则袋子中白球和红球的个数相等，
所以可以往袋子中添加一个红球或者从袋子中拿出1个白球．
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为0
B．必然事件发生的概率为1
C．随机事件发生的概率介于0和1之间
D．随机事件发生的概率为0.5
【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，故A不符合题意；
B、必然事件发生的概率为1，故B不符合题意；
C、随机事件发生的概率介于0和1之间，故C不符合题意；
D、随机事件发生的概率介于0和1之间，故D符合题意；
故选：D．
2．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次
B．连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上
C．连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上
D．通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
【解答】解：A、大量反复抛一均匀硬币，平均100次大约出现正面朝上50次，故A正确；
B、连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，故B正确；
C、连续抛一均匀硬币2次可能1次正面朝上，故C错误；
D、通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故D正确；
故选：C．
3．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三种情况．故甲被选中的可能性是．
故选：A．
4．在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，蓝球3个，它们除颜色外，则摸中哪种球的概率最大（ ）
A．红球 B．黄球 C．白球 D．蓝球
【解答】解：在一个不透明的布袋内，有红球5个，白球1个，它们除颜色外、质地都相同，
因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大，
摸到红球的概率是：，
故选：A．
5．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：因为袋子中有2个红球和4个蓝球共有6个球，
所以，取出红球的概率为，
故选：A．
6．如图，一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄扇形的圆心角度数分别为210°，90°，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：蓝色部分所在的圆心角的度数为360°﹣210°﹣90°＝60°，
因此蓝色部分所占整体的＝，即转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率为，
故选：A．
7．三张背面完全相同的卡片上，正面分别画有“等边三角形，圆，平行四边形”，现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽到卡片上所画图形是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C．1 D．0
【解答】解：∵等边三角形，圆，平行四边形中，等边三角形，圆，都是轴对称图形，
∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是轴对称图形的概率是．
故选：A．
8．甲乙两名同学做掷一枚质地均匀的硬币的游戏，甲同学掷了5次硬币，都是正面向上，甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率．乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数．下列选项正确的是（ ）
A．甲、乙的说法都正确
B．甲的说法正确、乙的说法不正确
C．甲的说法不正确、乙的说法正确
D．甲、乙的说法都不正确
【解答】解：因为掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率等于反面向上的概率，都等于，
所以甲同学认为第6次掷硬币时，反面向上的概率等于正面向上的概率是正确的，
而乙同学认为掷硬币的次数很大时，反面向上的次数等于正面向上的次数也是正确．
故选：A．
9．某市举办了中学生汉字听写大会，从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套训练，抽中甲的概率是（ ）
A．0.5 B．0.25 C．0.6 D．1
【解答】解：∵从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套训练，
∴抽中甲的概率是＝0.25．
故选：B．
10．一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（ ）
A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球
【解答】解：袋子中装有1个白球，2个黑球和3个红球，
其中红球最多，故摸到红球的概率最大．
故选：C．
11．实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数的所有等可能的结果为：32，35，36，23，53，63，共6种结果，
其中是奇数的结果有：35，23，53，63，共4种，
∴实数3与2，5，6中任意一个数组成的两位数是奇数的概率为＝．
故选：C．
12．在一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个黄球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵袋子中共有9个除颜色外其它都相同的球，其中黄球有3个，
∴从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是＝，
故选：B．
13．阿仁是一名非常爱读书的学生．他制作了五张材质和外观完全一样的书签，每张书签上写有一本书的名称和作者，分别是：《海底两万里》（作者：凡尔纳，法国）、《三国演义》（作者：罗贯中）、《西游记》（作者：吴承恩）、《骆驼祥子》（作者：老舍）、《钢铁是怎样炼成的》（作者：尼 奥斯特洛夫斯基，前苏联），从这五张书签中随机抽取一张，则抽到的书签上的作者是中国人的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵书签上的作者是中国人的个数是3，所有书签的总个数是5，
∴抽到的书签上的作者是中国人的概率是．
故选：C．
14．现有4张不透明卡片，正面分别标有数字“2”、“4”、“5”、“6”，卡片除正面的数字外，其余均相同．现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被2整除”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：数字“2”、“4”、“5”、“6”中能被2整除的有“2”、“4”、“6”，
所以随机抽取一张卡片，卡片数字“能被2整除”的概率为为，
故选：C．
15．用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为P甲，P乙，则下列关系正确的是（ ）
A．P甲＞P乙
B．P甲＜P乙
C．P甲＝P乙
D．无法确定P甲，P乙的大小
【解答】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为；
转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为；
因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为，
故选：C．
16．如图，对于下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠A+∠ABD＝180°；⑤∠D＝∠DCE．任意选取一个，能判断AB∥CD的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据平行线的判定定理可知，①∠1＝∠2；③∠A＝∠DCE；两个条件可以判断AB∥CD，
∴能判断AB∥CD的概率是，
故选：B．
17．如图，将某一个空白小方块涂黑后，能使图中所有黑色方块构成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：图中共有7块空白小方块，其中将某一个空白小方块涂黑后，能使图中所有黑色方块构成轴对称图形是A、B、C、D、E、
共5个小方块，
所以P（使图中所有黑色方块构成轴对称图形）＝．
故选：D．
18．如图，在 ABCD中，点E是AB的中点，点F为BC的中点，连接EF，若随机向 ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：连接AC，如图，
∵点E是AB的中点，点F为BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△ABC＝S平行四边形ABCD，
∴米粒落在图中阴影部分的概率＝＝．
故选：C．
二、填空题
19．现从甲、乙、丙三名同学中，随机抽取一名同学参加学校举行的“学法用法知识竞赛”，则抽到乙的概率为 ．
【解答】解：∵从甲、乙、丙三名同学中，随机抽取一名同学参加学校举行的“学法用法知识竞赛”，
∴抽到乙的概率为，
故答案为：．
20．一个不透明的袋子里装有13个球，其中有6个黑球和7个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球，则它是黑球的概率为 ．
【解答】解：由题意可得，
从袋中随机取出一个球，则它是黑球的概率为，
故答案为：．
21．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形的面积相等．任意投掷飞镖1次且击中游戏板，则击中阴影部分的概率是 ．
【解答】解：总面积为3×3＝9，
其中阴影部分面积为5×1＝5，
∴任意投掷飞镖一次，击中阴影部分的概率是，
故答案为：．
22．一个不透明的布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ 9 ．
【解答】解：根据题意，，
解得n＝9，
经检验n＝9是方程的解．
∴n＝9．
故答案为：9．
23．如图是一个转盘，转盘上共有红、黄、蓝三种不同颜色的区域，已知红色区域的圆心角为100°，黄色区域的圆心角为140°，自由转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是 ．
【解答】解：P（指针落在蓝色区域）＝＝．
故答案为：．
24．袋子里装有红、黄、白三种颜色的小球，除了颜色之外小球的形状、大小、材质完全相同，搅拌均匀后从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.2．如果袋中有红球有3个，则袋中的黄球和白球共有 12 个．
【解答】解：设红球和黄球共x个，根据题意得：
＝0.2，
解得：x＝12，
经检验x＝12是原方程的解，
所以黄球和白球共有12个，
故答案为：12．
25．如图的方格地面上，标有编号A，B，C的3个小方格地面是空地，另外6个小方格地面是草坪，除此以外小方格地面完全相同，一只自由飞行的鸟，将随意地落在图中的方格地面上，则小鸟落在草坪上的概率是 ．
【解答】解：小鸟落在草坪上的概率．
故答案为：．
三、解答题
26．一批产品共10000件，从中任意抽取20件作为一个样本，其中合格品为18件，次品为2件．
（1）若从这10000件中任意抽取1件，为合格品的概率为多少？
（2）估计这10000件产品中约有多少次品．
【解答】解：（1）∵从中任意抽取20件作为一个样本，其中合格品为18件，
∴样本中合格品的概率为：＝，
∴从这10000件中任意抽取1件，为合格品的概率为：；
（2）∵从中任意抽取20件作为一个样本，其中次品为2件，
∴样本中次品的概率为：＝，
∴从这10000件中任意抽取1件，为此品的概率为：，
∴估计这10000件产品中约有次品数为：10000×＝1000（件），
∴估计这10000件产品中约有1000件次品．
27．已知一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球．
（1）求从袋中任意摸出一个球是红球的概率．
（2）若要使摸到红球的概率为，则需要在这个口袋中再放入多少个红球？
【解答】解：（1）∵袋中装有除颜色外完全相同的9个黄球，6个黑球，3个红球，共有18个球，
∴任意摸出一球，摸到红球的概率是＝；
（2）设需要在这个口袋中再放入x个红球，根据题意得：
＝，
解得：x＝27，
经检验x＝27是原方程的解，
答：需要在这个口袋中再放入27个红球．
28．如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
【解答】解：（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，
所以指针指向奇数区域的概率是；
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，
所以指针指向的数小于或等于5的概率是．
29．已知一只不透明的箱子中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝色球共50个，从中任意摸出一个球，摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5．
（1）试求黄色球的数量；
（2）若向箱中再放进a个红球，这时从纸箱中任意摸出一球是红球的概率为，求a的值．
【解答】解：（1）∵摸到红、蓝球的概率分别为0.2和0.5，
∴摸到黄球的概率为：1﹣0.2﹣0.5＝0.3，
∴黄色球的数量为：50×0.3＝15（个），
（2）由题意得：（50+a）＝50×0.2+a，
解得：a＝10，
答：a的值为10．
30．一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）从中任意摸出一个球，摸到红球是 随机 事件；摸到黄球是 不可能 事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率；
（3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数．
【解答】解：（1）∵在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同，
∴任意摸出一球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件．
故答案为：随机，不可能；
（2）＝，
故摸到黑球的概率是；
（3）设后来放入袋中的黑球的个数是x个，依题意有：
＝，
解得x＝18．
答：后来放入袋中的黑球的个数为18个．
31．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．寒假期间，某校小记者随机调查了某地区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下统计图：
（1）求这次被调查的家长人数，并补全条形统计图中家长“反对”的人数．
（2）求扇形统计图中表示家长“赞成”的圆心角的度数．
（3）从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？
【解答】解：（1）根据题意可得出：80÷20%＝400（人），
家长反对人数：400﹣40﹣80＝280（人）；
（2）家长“赞成”的圆心角的度数为：；
（3）从这次接受调查的家长与学生中随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的概率是：．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/30 18:25:59；用户：初中数学；邮箱：15599363186；学号：48699373
