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第11章 一元一次不等式 章末题型专练
考查题型一 不等式的概念
例1．以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
练1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有
A．3个 B．4个 C．5 个 D．6个
例2．甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量（元）所在的范围为
A． B． C． D．
练2．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是
A． B． C． D．
考查题型二 不等式的性质
例1．若，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
练1．下列不等式的变形正确的是
A．若，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
例2．已知，要使，则
A． B． C． D．为任意数
练2．若，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
例3．若，则 ．
练3．用不等号填空，若，则 （填“”或“” ）．
例4．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若，则 ；若，则 ；若，则 ；（填“”、“ ”或“” ）
（2）这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小．
练4．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式、的大小，只要作出差．若，则；若，则：若，则．
【解决问题】
（1）若，则 0（填、或）；
（2）已知，，当时，比较与的大小，并说明理由．
考查题型三 一元一次不等式（组）的概念
例1．下列各式中是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
练1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
例2．已知是关于的一元一次不等式，则 ．
练2．已知是关于的一元一次不等式，则 ．
例3．下列各项中，是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
练3．下列不等式组：①，②，③，④，⑤．
其中一元一次不等式组的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考查题型四 解一元一次不等式【含构造不等式求解】
例1．不等式的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
练1．在数轴上表示不等式的解集，正确的是
A．
B．
C．
D．
例2．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
练2．解不等式，并在数轴上表示解集．
例3．小明解不等式的过程如下：
解：，①
，②
，③
，④
．⑤
其中，小明出现错误的一步是
A．从①到② B．从②到③ C．从③到④ D．从④到⑤
练3．下面是小颖同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：去分母得：，第一步
去括号得：，第二步
移项得：，第三步
合并同类项得：，第四步
系数化为1得：．第五步
任务：
任务一：填空：
①上述解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集；
任务三：除了任务一中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
例4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
练4-1．已知是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是
A． B． C． D．
练4-2．已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
【构造不等式求解】
例5．关于，的方程组满足不等式，则的范围是
A． B． C． D．
练5．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
例6．已知，，，，则的取值范围为
A． B． C． D．
练6．阅读下列材料：
数学问题：已知：，且，，试确定的取值范围．
问题解法：，，
，，，
，，①
同理可得：，，
，，，
，，②
由②①得：，的取值范围是．
完成任务：
（1）直接写出数学问题中的取值范围： ．
（2）已知，且，，试确定的取值范围；
（3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）．
例7．若、、是三个非负数，并且，，设，则的最小值为 ．
练7．已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为
A． B． C． D．
考查题型五 解一元一次不等式组、有解无解问题
例1．不等式组，的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
练1．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
例2．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
练2．解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
例3．若关于的一元一次不等式组 的解集为，则的取值范围为
A． B． C． D．
练3．已知不等式组的解集是，则
A．2024 B．1 C．0 D．
例4．若不等式组有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
练4．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
例5．若关于的不等式组无解，则的取值范围是
A． B． C． D．
练5．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是
A． B． C． D．
考查题型六 一元一次不等式（组）的整数解
例1．解不等式：，并写出非正整数解．
练1．若关于、的方程组的解满足，求的最小整数值．
例2．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
练2．解不等式组：，并写出它的最大整数解．
例3．已知不等式的正整数解有2个，则的取值范围是
A． B． C． D．
练3．若关于的不等式的解集中存在正数解，但不存在正整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
例4．已知关于x的不等式组的最小整数解是3，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练4．若关于x的不等式组有3个整数解，则常数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考查题型七 用一元一次不等式（组）解决问题
例1．某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为
A． B．
C． D．
练1．宝安凤凰山森林公园位于“宝安第一山”凤凰山脚下，公园树木丰茂，景色优美，所以小青想带她初三的表姐去游玩放松释放压力，计划15点10分从学校出发，已知两地相距5.1千米，她们跑步的平均速度为190米分钟，步行的平均速度为80米分钟，若她们要在16点之前到达，那么她们至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为分钟，则列出的不等式为
A． B．
C． D．
例2．若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于3小时，它沿江水逆流航行也用时少于3小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为
A． B．
C． D．
练2．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A．
B．
C．
D．
例3．超市购进、两种商品，购进4件种商品比购进5件种商品少用10元，购进20件种商品和10件种商品共用去160元．
（1）求、两种商品每件进价分别是多少元？
（2）若该商店购进、两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进种商品的件数少30件，该商店此次销售、两种商品共获利不少于640元，求至少购进种商品多少件？
练3．力量健身器材专卖店某款踏步机原售价100元，现推出三种优惠活动，并规定购买此款踏步机时只能选择其中一种优惠活动．
优惠活动一 优惠活动二 优惠活动三
当购买此款踏步机不超过10个时，无优惠；当购买超过10个时，超过的部分每个优惠40元． 按原售价购买此款踏步机，当消费额每满1000元时减200元．（如：购买踏步机11个，花费元；购买踏步机21个，花费元） 购买阳光健康保险，每购买500元保险，则所购踏步机每个优惠5元，且保险额必须为500的整数倍，最多购买5000元保险．
设某单位为员工谋福利，计划一次性购买个踏步机为正整数，且．
（1）若该单位选择优惠活动一，当时，求该单位购买踏步机的费用（用含的代数式表示）；
（2）若该单位购买18个此款踏步机，优惠活动一和优惠活动二选择哪个更合算？请说明理由；
（3）若该单位购买此款踏步机费用不到2000元，且选择优惠活动二比选择优惠活动一更合算，请求出的取值范围；
（4）若选择优惠活动三，该单位为员工购买个500元阳光健康保险（为正整数）．
①求该单位一共需要花费的总费用 元（用含，的代数式表示）；
②当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择优惠活动三的总费用始终比选择优惠活动一的总费用多某个固定的值，求的值以及这个固定的值．
例4．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．
（1）若购买2个篮球和2个足球共需要多少钱；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，请求出有哪几种购买方案？
练4．某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？中小学教育资源及组卷应用平台
第11章 一元一次不等式 章末题型专练
考查题型一 不等式的概念
例1．以下表达式：①；②；③；④；⑤．其中不等式有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【详解】解：①；②；⑤是不等式，③；④不是不等式，
其中不等式有3个，故正确．
故本题选：．
练1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是不等式的有
A．3个 B．4个 C．5 个 D．6个
【详解】解：不等式有：①②③④⑥；⑤是代数式，⑦是等式．
故本题选：．
例2．甲和乙猜一个橘子的质量，甲说：“不少于25克．”乙说：“不够35克．”若他俩说得都没错，则这个橘子的质量（元）所在的范围为
A． B． C． D．
【详解】解：甲说：“不少于25克”，
，
乙说：“不够35克”，
，
他俩说得都没错，则这个橘子的质量（元所在的范围为．
故本题选：．
练2．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是
A． B． C． D．
【详解】解：甲蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是，
这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是．
故本题选：．
考查题型二 不等式的性质
例1．若，则下列不等式正确的是
A． B． C． D．
【详解】解：，，不正确；
，时，；时，；时，，不正确；
，，，不正确；
，，，选项正确．
故本题选：．
练1．下列不等式的变形正确的是
A．若，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
【详解】解：．，，故不正确；
．当时，由能推出，故不正确；
．当时，由能推出，故不正确；
．，不等式的两边都除以得：，正确．
故本题选：．
例2．已知，要使，则
A． B． C． D．为任意数
【详解】解：，且，
．
故本题选：．
练2．若，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：若，且，
，
．
故本题选：．
例3．若，则 ．
【详解】解：，且，
．
故本题答案为：．
练3．用不等号填空，若，则 （填“”或“” ）．
【详解】解：，
，
．
故本题答案为：．
例4．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）若，则 ；若，则 ；若，则 ；（填“”、“ ”或“” ）
（2）这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小．
【详解】解：（1），，；
，，；
，，．
故本题答案为：，，；
（2）
，
，
．
练4．【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式、的大小，只要作出差．若，则；若，则：若，则．
【解决问题】
（1）若，则 0（填、或）；
（2）已知，，当时，比较与的大小，并说明理由．
【详解】解：（1），
，
，
故本题答案为：；
（2），理由如下：
，
，
，
，
．
考查题型三 一元一次不等式（组）的概念
例1．下列各式中是一元一次不等式的是
A． B． C． D．
【详解】解：、是一元一次不等式；
、中不含未知数，不符合一元一次不等式定义；
、有两个未知数，不符合一元一次不等式定义；
、分母含有未知数，不符合一元一次不等式定义．
故本题选：．
练1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【详解】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式；
③是一元一次不等式；
④不是不等式；
⑤是一元一次不等式；
综上，一元一次不等式一共有2个．
故本题选：．
例2．已知是关于的一元一次不等式，则 ．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
且，解得：．
故本题答案为：1．
练2．已知是关于的一元一次不等式，则 ．
【详解】解：由题意可得：，，解得：．
故本题答案为：4．
例3．下列各项中，是一元一次不等式组的是
A． B．
C． D．
【详解】解：、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，不是一元一次不等式组；
、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；
、该不等式组是一元一次不等式组．
故本题选：．
练3．下列不等式组：①，②，③，④，⑤．
其中一元一次不等式组的个数是
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组；
③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，⑤含有两个未知数，所以②⑤都不是一元一次不等式组；
综上，一元一次不等式组有3个．
故本题选：．
考查题型四 解一元一次不等式【含构造不等式求解】
例1．不等式的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【详解】解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
该不等式的解集在数轴上如下：
．
故本题选：．
练1．在数轴上表示不等式的解集，正确的是
A．
B．
C．
D．
【详解】解：去分母得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：．
该不等式的解集在数轴上如下：
．
故本题选：．
例2．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
将的系数化为1得：，
解集在数轴上表示如下：
．
练2．解不等式，并在数轴上表示解集．
【详解】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
解集在数轴上表示如下：
．
例3．小明解不等式的过程如下：
解：，①
，②
，③
，④
．⑤
其中，小明出现错误的一步是
A．从①到② B．从②到③ C．从③到④ D．从④到⑤
【详解】解：①去分母得：，
②去括号得：，
③移项得：，
④合并同类项得：，
⑤未知数的系数为1得：．
故本题选：．
练3．下面是小颖同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：去分母得：，第一步
去括号得：，第二步
移项得：，第三步
合并同类项得：，第四步
系数化为1得：．第五步
任务：
任务一：填空：
①上述解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集；
任务三：除了任务一中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【详解】解：任务一：①不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
故本题答案为：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，括号前面是“”，去掉括号后括号内的第二项没有变号，
故本题答案为：二，去括号时，括号前面是“”，去掉括号后括号内的第二项没有变号；
任务二：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
任务三：注意去分母时不要漏乘不含分母的项；不等式左右两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变．（答案不唯一，合理即可）
例4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【详解】解：关于的不等式的解集为，
，，
，
，
，
，即，
，即．
练4-1．已知是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是
A． B． C． D．
【详解】解：是关于的方程的解，
，即，
，
，
，
，
．
故本题选：．
练4-2．已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
【详解】解：移项得：，
由题意可得：且，整理得：，
，
，
，
，
，即．
【构造不等式求解】
例5．关于，的方程组满足不等式，则的范围是
A． B． C． D．
【详解】解：，
①②得：，
，
，
，解得：．
故本题选：．
练5．已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
【详解】解：，
①②得：，
，
，
，
．
例6．已知，，，，则的取值范围为
A． B． C． D．
【详解】解：，
，
，
，
，
，解得：，
，
，
，
，
．
故本题选：．
练6．阅读下列材料：
数学问题：已知：，且，，试确定的取值范围．
问题解法：，，
，，，
，，①
同理可得：，，
，，，
，，②
由②①得：，的取值范围是．
完成任务：
（1）直接写出数学问题中的取值范围： ．
（2）已知，且，，试确定的取值范围；
（3）已知，，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）．
【详解】解：（1），
，
，
，
故本题答案为：；
（2），
，
又，
，
，
又，
，
，
同理可得：，
，
的取值范围是；
（3），
，
又，
，
，
又，
，
，
当时，，
同理可得：，
，
当时，的取值范围是．
例7．若、、是三个非负数，并且，，设，则的最小值为 ．
【详解】解：联立方程组，解得：，，
、、是三个非负数，
，，，解得：，
，
当时，有最小值，即，
故本题答案为：24．
练7．已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为
A． B． C． D．
【详解】解：，，
，，
，
、、都为正数，
，，，
，
，
．
故本题选：．
考查题型五 解一元一次不等式组、有解无解问题
例1．不等式组，的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
．
故本题选：．
练1．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为
A．
B．
C．
D．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
．
故本题选：．
例2．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为﹣1＜x≤4，
将该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
．
练2．解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
．
例3．若关于的一元一次不等式组 的解集为，则的取值范围为
A． B． C． D．
【详解】解：由得：，
不等式组的解集为，
．
故本题选：．
练3．已知不等式组的解集是，则
A．2024 B．1 C．0 D．
【详解】解：，，
，，
原不等式组的解集为：，
又，
，，
，，
．
故本题选：．
例4．若不等式组有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：由得：，
由得：，
不等式组有解，
．
故本题选：．
练4．关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
的一元一次不等式组有解，
，解得：．
故本题选：．
例5．若关于的不等式组无解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：解关于的不等式组，
由①得：，
由②得：，
不等式无解，
，
．
故本题选：．
练5．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：，
，
关于的不等式组无解，
．
故本题选：．
考查题型六 一元一次不等式（组）的整数解
例1．解不等式：，并写出非正整数解．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
不等式的非正整数解为：，，0．
练1．若关于、的方程组的解满足，求的最小整数值．
【详解】解：，
②①得：，解得：，
，
，解得：，
的最小整数值是2．
例2．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：，
原不等式组的整数解为：，0，1，2．
练2．解不等式组：，并写出它的最大整数解．
【详解】解：，
由不等式得：，
由不等式得：，
不等式组的解集为：，
最大的整数解为：．
例3．已知不等式的正整数解有2个，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：解不等式得：，
不等式的正整数解有2个，
，解得：．
故本题选：．
练3．若关于的不等式的解集中存在正数解，但不存在正整数解，则的取值范围是
A． B． C． D．
【详解】解：解不等式得：，
关于的不等式的解集中存在正数解，但不存在正整数解，
，
．
故本题选：．
例4．已知关于x的不等式组的最小整数解是3，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵不等式组的最小整数解是3，
∴，解得：．
故本题选：D．
练4．若关于x的不等式组有3个整数解，则常数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵关于x的不等式组有3个整数解，
∴3个整数解为3，4，5，
∴．
故本题选：D．
考查题型七 用一元一次不等式（组）解决问题
例1．某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打几折？若设该商品打折销售，则可列不等式为
A． B．
C． D．
【详解】解：由题意可得：．
故本题选：．
练1．宝安凤凰山森林公园位于“宝安第一山”凤凰山脚下，公园树木丰茂，景色优美，所以小青想带她初三的表姐去游玩放松释放压力，计划15点10分从学校出发，已知两地相距5.1千米，她们跑步的平均速度为190米分钟，步行的平均速度为80米分钟，若她们要在16点之前到达，那么她们至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为分钟，则列出的不等式为
A． B．
C． D．
【详解】解：设他跑步的时间为分钟，则他步行时间为分钟，
由题意可得：．
故本题选：．
例2．若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于3小时，它沿江水逆流航行也用时少于3小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为
A． B．
C． D．
【详解】解：由题意可得：．
故本题选：．
练2．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A．
B．
C．
D．
【详解】解：由题意可得：．
故本题选：．
例3．超市购进、两种商品，购进4件种商品比购进5件种商品少用10元，购进20件种商品和10件种商品共用去160元．
（1）求、两种商品每件进价分别是多少元？
（2）若该商店购进、两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进种商品的件数少30件，该商店此次销售、两种商品共获利不少于640元，求至少购进种商品多少件？
【详解】（1）设甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元，
由题意可得：，解得：，
答：种商品每件进价5元，种商品每件进价6元；
（2）设种商品购进件，则乙种商品件，
由题意可得：，解得：，
答：至少购进种商品100件．
练3．力量健身器材专卖店某款踏步机原售价100元，现推出三种优惠活动，并规定购买此款踏步机时只能选择其中一种优惠活动．
优惠活动一 优惠活动二 优惠活动三
当购买此款踏步机不超过10个时，无优惠；当购买超过10个时，超过的部分每个优惠40元． 按原售价购买此款踏步机，当消费额每满1000元时减200元．（如：购买踏步机11个，花费元；购买踏步机21个，花费元） 购买阳光健康保险，每购买500元保险，则所购踏步机每个优惠5元，且保险额必须为500的整数倍，最多购买5000元保险．
设某单位为员工谋福利，计划一次性购买个踏步机为正整数，且．
（1）若该单位选择优惠活动一，当时，求该单位购买踏步机的费用（用含的代数式表示）；
（2）若该单位购买18个此款踏步机，优惠活动一和优惠活动二选择哪个更合算？请说明理由；
（3）若该单位购买此款踏步机费用不到2000元，且选择优惠活动二比选择优惠活动一更合算，请求出的取值范围；
（4）若选择优惠活动三，该单位为员工购买个500元阳光健康保险（为正整数）．
①求该单位一共需要花费的总费用 元（用含，的代数式表示）；
②当时，无论取什么值，都存在一个正整数，使选择优惠活动三的总费用始终比选择优惠活动一的总费用多某个固定的值，求的值以及这个固定的值．
【详解】解：（1）该单位购买踏步机的费用为：元；
（2）按优惠活动一：（元），
按优惠活动二：（元），
，
优惠活动一更合算；
（3）该单位购买此款踏步机费用不到2000元，且选择优惠活动二比选择优惠活动一更合算，
，解得：，
；
（4）①该单位一共需要花费的总费用：元；
②优惠活动三比优惠活动一多的费用为：
，
令，解得：，
当时，（元），
答：的值为8时，无论取什么值，选择优惠活动三的总费用始终比选择优惠活动一的总费用多3600元．
例4．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．
（1）若购买2个篮球和2个足球共需要多少钱；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，请求出有哪几种购买方案？
【详解】解：（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，
由题意可得：，解得：，
则（元），
答：购买2个篮球和2个足球需要420元；
（2）设购买个篮球，则购买个足球，
由题意可得：，解得：，
又为正整数，
可以为30，31，32，33，
有4种方案，
购买30个篮球，20个足球，
购买31个篮球，19个足球，
购买32个篮球，18个足球，
购买33个篮球，17个足球．
练4．某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【详解】解：（1）设饮用水有件，则蔬菜有件，
由题意可得：，解得：，
，
答：饮用水有200件，蔬菜有110件；
（2）设安排辆甲种货车，则安排辆乙种货车，
由题意可得：，解得：，
又为整数，
可以为2，3，4，5，
共有4种安排方案，
方案1：安排2辆甲种货车，6辆乙种货车，
方案2：安排3辆甲种货车，5辆乙种货车，
方案3：安排4辆甲种货车，4辆乙种货车，
方案4：安排5辆甲种货车，3辆乙种货车；
（3）选择方案1所需运费为：（元），
选择方案2所需运费为：（元），
选择方案3所需运费为：（元），
选择方案4所需运费为：（元），
，
选择方案1可使运费最少，最少运费是3700元．
