6.1 平面向量的概念 课时练习（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6．1　平面向量的概念
一、 单项选择题
1. (2023晋中高一统考)下列命题中，真命题的个数是(　　)
①温度、速度、位移、功都是向量；
②零向量没有方向；
③向量的模一定是正数；
④直角坐标平面上的x轴，y轴都是向量．
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
2. 设点D是△ABC的外心，则，，是(　　)
A. 相等向量 B. 平行向量
C. 模相等的向量 D. 单位向量
3. 下列结论中，正确的是(　　)
A. 2 019 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B. 若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则直线l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量
C. 方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D. 一人从点A向东走500 m到达点B，则向量不能表示这个人从点A到点B的位移
4. (2023高一校考课时练习)如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则图中的相等向量有(　　)
A. 一组
B. 二组
C. 三组
D. 四组
5. 下列说法中，错误的是(　　)
A. 向量的长度与向量的长度相等
B. 零向量与任意非零向量平行
C. 长度相等，方向相反的向量是共线向量
D. 方向相反的向量可能相等
6. 下列说法中，正确的是(　　)
A. 若|a|>|b|，则a>b
B. 若|a|＝|b|，则a＝b
C. 若a＝b，则a∥b
D. 若a≠b，则a与b不是共线向量
二、 多项选择题
7. (2023淮安高一阶段练习)下列说法中，正确的是(　　)
A. ||＝||
B. e1，e2是单位向量，则|e1|＝|e2|
C. 任一非零向量都可以平行移动
D. 若||>||，则>
8. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，AC与BD交于点O，则下列说法中正确的是(　　)
A. 与相等的向量只有1个(不含)
B. 与的模相等的向量有9个(不含)
C. 的模为模的倍
D. 与不共线
三、 填空题
9. (2023全国高一专题练习)给出下列命题：
①若a∥b，b∥c ，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确的是________．(填序号)
10. 如图，已知AD＝3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有________________________．
11. 已知在四边形ABCD中，＝，则四边形ABCD的形状是__________．
12. (2023高一课时练习)中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有________个．
四、 解答题
13. (2023全国高一专题练习)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点．
(1) 写出与向量共线的向量；
(2) 求证：＝.
14. (2023全国高一专题练习)某人从点A出发向东走了5 m到达点B，然后沿东北方向走了10 m到达点C，到达点C后又向西走了10 m到达点D.
(1) 作出向量，，；
(2) 求 的模．
【答案解析】
6．1　平面向量的概念
1. A　解析：速度和位移是向量，温度和功没有方向，不是向量，故①错误；零向量有方向，它的方向是任意的，故②错误；零向量的模为0，故③错误；直角坐标平面上的x轴，y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量，故④错误．故真命题的个数为0.
2. C　解析：因为△ABC的外心到三顶点的距离相等，所以||＝||＝||.
3. B　解析：当单位长度取2 019 cm时，2 019 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A不正确；B显然正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故C不正确；根据位移的定义可知向量表示这个人从点A到点B的位移，故D不正确．
4. A　解析：由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即＝.
5. D　解析：向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D错误．
6. C　解析：向量不能比较大小，只有模可以比较大小，故A错误；因为向量有方向，所以模的大小相等不能说明向量相等，故B错误；两个向量相等，说明两向量方向相同，因此是平行向量，故C正确；两个向量不相等，但可以是共线向量，故D错误．
7. ABC　解析：对于A，与互为相反向量，它们的模相等，故A正确；对于B，所有的单位向量的模相等，故B正确；对于C，任一非零向量都可以平行移动，故C正确；对于D，向量的模有大小，而向量无大小，故D错误．故选ABC.
8. ABC　解析：由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；因为AB＝BC＝CD＝DA＝AC，所以与的模相等的向量除外有9个，故B正确；在Rt△ADO中，易得∠DAO＝60°，则DO＝DA，所以BD＝DA，故C正确；因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D错误．故选ABC.
9. ③　解析：对于①，若b＝0，则①错误；对于②，起点相同的单位向量，终点未必相同，故②错误；对于③，对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，故③正确；对于④，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上，故④错误．
10. ，，，，，　解析：模长为2的向量有，，，；模长为3的向量有，.
11. 平行四边形　解析：因为＝，所以AB∥CD，且||＝||，所以四边形ABCD为平行四边形．
12. 11　解析：马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以B为起点作向量，共3个；以C为起点作向量，共8个，所以共有11个．
13. (1) 因为在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，
所以CE∥AF，CE＝AF，
所以四边形AFCE为平行四边形，
所以CF∥AE，
所以与向量共线的向量为，，.
(2) 因为AB∥DC，AB＝DC，E，F分别是DC，AB的中点，
所以ED∥BF且ED＝BF，
所以四边形BFDE是平行四边形，
所以BE＝FD，BE∥FD，
故＝.
14. (1) 作出向量，，，如图：
(2) 由题意，得∠BDC＝90°，BC＝10 m，CD＝10 m，BD＝10 m．在△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝5 m，BD＝10 m，
所以AD＝＝5(m)，
所以||＝5 m.