6．2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
一、 单项选择题
1. (2023广西高一统考)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，则|＋＋|等于( )
A. 2 B. 2
C. 3 D. 4
2. (2023榆林高一统考)若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向正北方向航行(1＋) km
D. 向正东方向航行(1＋) km
3. 如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC与BD交于点O，则＋＋等于( )
A. B. C. D．
4. 在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|＋|，则必有( )
A. 四边形ABCD是菱形
B. 四边形ABCD是矩形
C. 四边形ABCD是正方形
D. 以上都不对
5. (2022常州期中)已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向( )
A. 与向量a的方向相同
B. 与向量a的方向相反
C. 与向量b的方向相同
D. 不确定
6. 若O是△ABC内的一点，＋＋＝0，则点O是△ABC的( )
A. 内心 B. 外心
C. 重心 D. 垂心
二、 多项选择题
7. 如图，在平行四边形ABCD中，下列运算中正确的是( )
A. ＋＝
B. ＋＋＝
C. ＋＋＝
D. ＋＋＝0
8. (2023高一课时练习)下列结论中，不正确的是( )
A. 如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B. 在△ABC中，必有＋＋＝0
C. 若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D. 若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等
三、 填空题
9. 已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是________．
10. (2023哈尔滨第三十二中学高一期末)若菱形ABCD的边长为2，则|＋＋|等于________．
11. 在边长为1的正三角形ABC中，若向量 ＝a，＝b，则|a＋b|＝________．
12. (2023全国专题练习)已知非零向量a，b，c，若向量p＝＋＋，则|p|的取值范围是________．
四、 解答题
13. 如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：
(1) ＋＋；
(2) ＋＋；
(3) ＋＋.
14. 如图，用两根绳子将重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的质量忽略不计)
【答案解析】
6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
1. A 解析：在矩形ABCD中，由AB＝2，BC＝1，得AC＝，故|＋＋|＝|2|＝2.
2. B 解析：如图，易知tan α＝＝，所以α＝30°，故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋b|＝2，所以a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km.
3. B 解析：＋＋＝＋＝.
4. B 解析：因为|＋|＝||，|＋|＝|＋|＝||，即平行四边形的对角线长度相等，所以平行四边形为矩形．
5. A 解析：若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同；若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同．故选A.
6. C 解析：如图，以，为邻边作平行四边形OBDC，则＝＋.因为＋＋＝0，所以＋＝0，即＝－，所以||＝||.因为四边形OBDC是平行四边形，对角线OD与BC相交于点E，所以E是BC的中点，且||＝2||，所以点O是△ABC的重心．
7. AD 解析：由向量加法的平行四边形法则可知＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝≠，故B不正确；＋＋＝＋＝，故C不正确；＋＋＝＋＋＝＋＝0，故D正确．故选AD.
8. ACD 解析：对于A，当a与b为相反向量时，a＋b＝0，方向任意，故A错误；对于B，在△ABC中，＋＋＝0，故B正确；对于C，当A，B，C三点共线时，满足＋＋＝0，但不能构成三角形，故C错误；对于D，若a，b均为非零向量，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时等号成立，故D错误．故选ACD.
9. [3，17] 解析：因为＝＋，所以3＝|||－|||≤|＋|≤||＋||＝17.
10. 2 解析：|＋＋|＝||＝2.
11. 解析：如图，设AC的中点为D，由平行四边形法则知|a＋b|＝||＝2||＝.
12. [0，3] 解析：，，分别表示a，b，c方向上的单位向量，当，，对应起止点依次首尾相连构成封闭三角形时，p＝＋＋＝0，此时最小，|p|＝0；当，，都同向共线时，|p|＝＋＋＝，此时最大，|p|＝3，所以|p|的取值范围是[0，3].
13. (1) ＋＋＝＋＝.
(2) ＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3) ＋＋＝＋＋＝＋＝.
14. 如图，设，分别表示A，B所受的力，表示重力10 N，则＋＝.
易得∠ACB＝360°－150°－120°＝90°，∠ECW＝180°－150°＝30°，∠FCW＝180°－120°＝60°，
所以四边形CFWE是矩形，
所以||＝||·cos 30°＝10×＝5(N)，||＝||·cos 60°＝10×＝5(N).
故A处受力5 N，B处受力5 N.6．2.2 向量的减法运算
一、 单项选择题
1. (2023泰安高一统考)下列向量的运算中，不正确的是( )
A. ＋＋＝0
B. －－＝0
C. －＋＝0
D. －＋－＝0
2. 在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A. B. C. D.
3. 设O为矩形ABCD对角线的交点，且＝e1，＝e2，则 等于( )
A. e1－e2 B. e1＋e2
C. e2－e1 D. －e1－e2
4. 已知向量a，b满足|a|＝3，且|a＋b|＝|a－b|＝5，则|b|的值为( )
A. 4 B. 2 C. 8 D. －2
5. (2023通州高一统考)对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是( )
A. |a＋b|≤|a－b| B. |a－b|≤|a＋b|
C. |a＋b|≤|a|＋|b| D. |a－b|≤|a|－|b|
6. (2023高一单元测试)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于( )
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
二、 多项选择题
7. 对于菱形ABCD，给出下列各式，其中结论正确的为( )
A. ＝
B．||＝||
C．|－|＝|＋|
D. |＋|＝|－|
8. (2023沙河第二中学高一联考)下列选项中，正确的有( )
A. 若向量a∥b，b∥c，则a∥c
B. 若非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示a，b，c的有向线段可以构成三角形
C. 若四边形ABCD满足＝，且|－|＝|－|，则四边形ABCD为矩形
D. P为四边形ABCD所在平面内一点，若＋＝＋，则四边形ABCD为平行四边形
三、 填空题
9. 在正六边形ABCDEF中，O是正六边形的中心，且＝a，＝b，则＝________．(用a，b表示)
10. 下列四个式子中不能化简成的有________．(填序号)
①－－；
②－＋；
③－＋；
④(－)＋(－).
11. 已知||＝6，||＝4，则||的取值范围是________．
12. (2023全国高一专题练习)已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________．
四、 解答题
13. (2022揭阳期中)如图，已知正方形ABCD的边长等于单位长度1，＝a，＝b，＝c.
(1) 试着写出向量a＋b＋c；
(2) 试着写出向量a－b＋c，并求出它的模．
14. (2023佛山顺德区容山中学高一阶段练习)在平行四边形ABCD中，已知＝a，＝b，＝c，且|a＋b|＝|a－b|，|a|＝6，|b|＝2.求|a－b－c|.
【答案解析】
6．2.2 向量的减法运算
1. B 解析：对于A，＋＋＝＋＝0，故A正确；对于B，－－＝－(＋)＝－＝2，故B错误；对于C，－＋＝＋－＝－＝0，故C正确；对于D，－＋－＝＋－(＋)＝－＝0，故D正确．
2. D 解析：在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，可得＝，＝，则－＝－＝＝.
3. D 解析：由于四边形ABCD为矩形，故＝，则＝－＝－(＋)＝－(e1＋e2)＝－e1－e2.
4. A 解析：由|a＋b|＝|a－b|，得以a与b为邻边的平行四边形为矩形．又|a|＝3，所以|b|＝＝＝4.
5. C 解析：对于A，当a≠0，b≠0，且a，b同方向时，|a＋b|>|a－b|，故A错误；对于B，当a≠0，b≠0，且a，b反方向时，|a－b|>|a＋b|，故B错误；对于C，根据向量加法的平行四边形法则，得|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确；对于D，根据向量减法的三角形法则，得|a－b|≥|a|－|b|，故D错误．
6. A 解析：由＋＋＝0，得＋＝.由点O为△ABC外接圆的圆心，得||＝||＝||，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°，即△ABC的内角A等于30°.
7. BCD 解析：菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，故A错误，B正确；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，故C正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||，故D正确．故选BCD.
8. CD 解析：对于A，当b＝0 时，无法确定a，c的方向，故不能判断a，c是否平行，故A错误；对于B，若非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则a＝－(b＋c)，当a，b，c共线时，则表示a，b，c的有向线段不可以构成三角形，故B错误；对于C，若四边形ABCD满足＝，则AB＝CD且AB∥CD，则四边形ABCD为平行四边形．因为|－|＝|－|，即||＝||，所以平行四边形ABCD为矩形，故C正确；对于D，因为＋＝＋，所以－＝－，即＝，所以AB＝CD且AB∥CD，所以四边形ABCD为平行四边形，故D正确．故选CD.
9. a＋b 解析：如图，知＝＝－＝－(－)＝a＋b.
10. ① 解析：①－－＝2＋；②－＋＝＋＝；③－＋＝－＝；④(－)＋(－)＝＋＋＋＝.故选①.
11. [2，10] 解析：＝－，当，共线同向时，||＝6－4＝2；当，共线反向时，||＝6＋4＝10；当，不共线时，2<||<10，所以||的取值范围是[2，10].
12. 解析：如图，设＝a，＝b，则＝－＝a－b，以OA，OB为边作平行四边形OACB，则＝＋＝a＋b.因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以△OAB是等边三角形，四边形OACB是菱形，∠OAC＝120°，所以|a＋b|＝||＝|a|，所以＝＝.
13. (1) a＋b＋c＝(＋)＋＝＋＝2＝2c.
(2) a－b＋c＝－＋＝＋(＋)＝＋＝2＝2a,
所以|a－b＋c|＝2|a|＝2.
14. 由a＋b＝，a－b＝，|a＋b|＝|a－b|，得||＝||，
所以平行四边形ABCD是矩形．
因为|a|＝6，|b|＝2，
所以||＝||＝＝4，
所以a－b－c＝－－＝－＋＝＋＝2，即|a－b－c|＝8.6．2.3 向量的数乘运算(1)
一、 单项选择题
1. (2023綦江高一期中)化简6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)为( )
A. 6a＋2b＋8c B. 6a－14b
C. －2a－14b D. 6a＋2b
2. (2023汕头高一期中)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则 等于( )
A. a＋b B. a＋b
C. a－b D. a－b
3. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于( )
A. － B. －
C. ＋ D. ＋
4. (2023福建三明高一期末)如图，在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则 等于( )
A. － B. －
C. － D. －
5. 已知O为△ABC所在平面内的一点，D为BC的中点，且2＋＋＝0，则下列结论中正确的是( )
A. ＝ B. ＝2
C. ＝3 D. 2＝
6. 已知在 ABCD中，＝a，＝b，＝4，P为AD的中点，则等于( )
A. a＋b B. －a－b
C. a＋b D. －a－b
二、 多项选择题
7. (2023哈尔滨高一阶段练习)在△ABC中，D为BC的中点，＝2，则下列等式中一定成立的是( )
A. ＋＝2
B. ＝＋
C. S△ABC＝3S△GBC
D. ＝＋
8. 已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下列结论中正确的是( )
A. ＝
B. ＋＝
C. －＝
D. ＝(＋)
三、 填空题
9. 已知a，b为向量，下列各式的结果是向量的有________．(填序号)
①a＋3b; ②a－a;
③|3a|; ④|a|·a.
10. (2023天津静海一中高一期末)已知O是△ABC内部一点，且＋2＋＝0，△AOB的面积为S1，△AOC的面积为S2，则＝________．
11. 在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝5e1，＝3e2，则＝____________．
12. 如图，在△ABC中，＝＝，记＝a，＝b，则＝________．(用a和b表示)
四、 解答题
13. (2023高一课时练习)(1) 计算：4(a－3b＋5c)－2(－3a－6b＋8c)；
(2) 若向量x，y满足2x＋3y＝a，3x－2y＝b，a，b为已知向量，求向量x，y.
14. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC，AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示和.
【答案解析】
6．2.3 向量的数乘运算(1)
1. D 解析：6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝6a＋2b.
2. A 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
3. A 解析：如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝－＝－＝－×(＋)＝－.
4. D 解析：由题意，得＝＋＝(＋)＋×＝(－＋)＋＝－.
5. A 解析：由向量加法的平行四边形法则可知＋＝2，且2＋＋＝0，所以2＋2＝0，即＝.
6. B 解析：因为P为AD的中点，所以＝b.又＝4，所以＝＝(＋)＝(a＋b)，所以＝－＝b－(a＋b)＝－a－b.
7. ABC 解析：对于A，由D为BC的中点，得＋＝2，故A正确；对于B，D，由＝2，得＝＝(＋)＝＋，故B正确，D错误；对于C，如图，作AF⊥BC，GE⊥BC，由＝2，得＝，由△AFD∽△GED，得＝＝，则＝＝，故C正确．故选ABC.
8. AB 解析：A显然正确；对于B，＋＝，故B正确；对于C，－＝，故C错误；对于D，(＋)＝≠，故D错误．故选AB.
9. ①②④ 解析：③是实数．
10. 解析：因为＋2＋＝0，所以＋＝－2＝2，所以＝(＋)，取AC的中点D，则＝(＋)，所以＝，即O为中线BD的中点，所以S△AOC＝2S△AOD，S△AOD＝S△BOA，所以S△AOC＝2S△BOA，所以＝.
11. e1＋e2 解析：＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)＝e1＋e2.
12. －a＋b 解析：＝＋＋＝－－＝(＋)－－＝－＋＝－a＋b．
13. (1) 原式＝4a－12b＋20c＋6a＋12b－16c＝10a＋4c.
(2) 联立解得
14. 在梯形ABCD中，有＋＋＋＝0，
即a＋＋＋(－b)＝0，
可得＝b－a.
在四边形ADMN中，有＋＋＋＝0，
即b＋a＋＋＝0，
可得＝a－b.6．2.3 向量的数乘运算(2)
一、 单项选择题
1. (2023哈尔滨三中高一期末)已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a∥b，则实数k的值为( )
A. － B.
C. D. －
2. 已知向量e1，e2不共线，则下列各组向量中，是共线向量的有( )
①a＝5e1，b＝7e1；②a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
3. 已知向量＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则以下一定共线的三点是( )
A. A，B，D B. A，B，C
C. B，C，D D. A，C，D
4. 已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a与b不共线，则四边形ABCD是( )
A. 矩形 B. 菱形
C. 正方形 D. 梯形
5. (2023杭州统考)已知在△ABC中，D是AB边上的中点，G是CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A. B.
C. D. 1
6. 已知a，b是平面内两个不共线的向量，＝ma＋2b，＝3a－b，若A，B，C三点共线，则m的值为( )
A. － B. C. －6 D. 6
二、 多项选择题
7. (2023甘肃高一联考)设M是△ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是( )
A. 若＝＋，则M是BC的中点
B. 若＝2－，则点M在边BC的延长线上
C. 若＝－－，则点M是△ABC的重心
D. 若＝，则＝＋
8. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上的一点，且＝3，F为AE的中点，则下列结论中正确的是( )
A. ＝－＋
B. ＝＋
C. ＝－AB＋
D. ＝－
三、 填空题
9. 设点P在线段MN上，且＝，则＝________．(用表示)
10. 已知e1和e2不共线，则下列向量a，b共线的是________．(填序号)
①a＝2e1，b＝2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
11. (2023惠州高一期中)如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
12. 已知四边形ABCD为菱形，＝a，＝b，点P在AD上，且||＝λ||，λ∈(0，1)，则＝________．(用a，b表示)
四、 解答题
13. 在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，求λ＋μ的值．
14. 已知在△ABC中，P，Q，R分别为BC，CA，AB的中点，求证：＋＋＝0.
【答案解析】
6．2.3 向量的数乘运算(2)
1. A 解析：因为a∥b，所以存在唯一实数λ，使b＝λa，所以ke1＋e2＝λ(3e1－2e2)＝3λe1－2λe2，所以解得
2. A 解析：对于①，a＝b，则a与b共线；对于②，a＝b，则a与b共线；对于③，a，b不是共线向量．故①②是共线向量．
3. A 解析：由＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2，得与共线．又线段AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．
4. D 解析：＋＋＝＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝2(－4a－b)，所以＝2，所以AD∥BC，且AD≠BC，故四边形ABCD为梯形．
5. C 解析：因为D是AB边上的中点，G是CD的中点，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又因为＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝.
6. C 解析：因为A，B，C三点共线，所以与共线，所以存在λ，使＝λ，即ma＋2b＝λ(3a－b)，所以ma＋2b＝3λa－λb.因为向量a和b不共线，所以解得
7. ACD 解析：对于A，因为＝＋，所以－＝－，即＝，则M是BC的中点，故A正确；对于B，因为＝2－，所以－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，故B错误；对于C，设BC的中点为D，则＝－－＝＋＝2，则点M是△ABC的重心，故C正确；对于D，因为＝，所以－＝(－)，整理，得＝＋，故D正确．故选ACD.
8. ABC 解析：＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故A正确；因为＝3，所以＝＝－＋，所以＝＋＝＋(－＋)＝＋.又F为AE的中点，所以＝＝＋，故B正确；＝＋＝－＋＋＝－＋，故C正确；＝－＝－＋－＝－－，故D错误．故选ABC.
9. － 解析：由题意知M，N，P的位置如图所示，则＝－.
10. ②③ 解析：因为e1，e2不共线，所以排除①④；对于②，b＝－2a，此时a与b共线；对于③，a＝4b，此时a与b共线．故填②③.
11. 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝＋＝.
12. λ(b－a) 解析：＝＝－＝b－a，则||＝λ|b－a|.又点P在AD上，所以＝λ(b－a).
13. ＝＋＝＋＝＋，①
＝＋＝＋，②
联立①②，解得＝－，
＝－，
所以＝＋＝＋＝－＋－＝＋，
所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
14. 因为P，Q，R分别为BC，CA，AB的中点，所以＝(＋)，＝(＋BC)，＝(＋CB)，所以＋＋＝＋＋＋＋CA＋＝0.6．2.4 向量的数量积(1)
一、 单项选择题
1. (2023富锦第一中学高一阶段练习)已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|等于( )
A. 12 B. 3
C. 6 D. 3
2. 若a·b<0，则a和b的夹角θ的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3. 已知|a|＝2|b|，若a与b的夹角为120°，则2b－a在a上的投影向量为( )
A. 3－3a B. －a
C. －a D. 3a
4. 已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A. 等边三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 钝角三角形
5. (2023天津西青区杨柳青第一中学高一期末)已知△ABC的外接圆圆心为O，且－2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B.
C. － D. －
6. (2022武汉部分重点中学期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，N是边BC上的点，且＝，O为△ABC的外心，则· 等于( )
A. 3 B.
C. D.
二、 多项选择题
7. (2023池州高一统考)已知△ABC的重心为O，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，则下列说法中正确的是( )
A. ＋＝2
B. 若△ABC为正三角形，则·＋·＋·＝0
C. 若·(－)＝0，则OA⊥BC
D. ＋＋＝0
8. 如图，四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝CD＝DA＝BC＝1，则下列结论中正确的是( )
A. ＝
B. ＋＝
C. ·＝1
D. |－|＝
三、 填空题
9. (2023上海浦东新区高一期中)设向量a，b满足|a|＝1，a·b＝2，则a·(a＋2b)＝________．
10. 已知圆C的弦AB的长度为2，则·＝________．
11. 若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在向量b上的投影向量的模为________．
12. 已知非零向量与满足(＋)·＝0，且·＝－，若||＝4，则△ABC的面积为________．
四、 解答题
13. (2023遂宁射洪中学高一期中)已知向量|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.求：
(1) a·b；
(2) (a＋b)·(a－2b).
14. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，＝λ，过点F作DF⊥BC交AC于点D，交BA的延长线于点E.
(1) 当λ＝时，设＝a，＝b，用向量a，b表示；
(2) 当λ为何值时，·取得最大值？并求出最大值．
【答案解析】
6．2.4 向量的数量积(1)
1. C 解析：由题意，得a·b＝－12 ＝|a|·|b|cos 135°＝4|b|·，解得|b|＝6.
2. B 解析：由a·b＝|a||b|cos θ<0，知cos θ<0.又0≤θ≤π，所以<θ≤π.
3. C 解析：(2b－a)·a＝－|a|2＋2a·b＝－4|b|2＋4|b|2cos 120°＝－6|b|2，则2b－a在a上的投影向量为＝＝－a.
4. C 解析：由题意，得2＝·(＋)＋·，故·＝0，所以C＝90°，所以△ABC是直角三角形．
5. C 解析：由－2＝＋，得2＝＋，则O为AC的中点．因为O为△ABC的外接圆圆心，所以OA＝OB＝OC，∠ABC＝90°.因为||＝||，所以BA＝OB＝OA＝OC，所以△BOA为等边三角形，则∠BAO＝60°，∠BCO＝30°，所以在上的投影向量为||××＝－×＝－.
6. B 解析：因为＝，所以N是BC的中点，所以＝＋.如图，设外接圆的半径为r，所以·＝·(＋)＝·＋·＝r×3×cos ∠OAC＋r×2×cos ∠OAB＝×3×＋×2×1＝.
7. ACD 解析：对于A，因为D为AB的中点，所以＋＝2，故A正确；对于B，因为△ABC为正三角形，所以·＝||2cos 120°＝－|OA|2，所以·＋·＋·＝－||2，故B不正确；对于C，因为·(－)＝·＝0，所以OA⊥BC，故C正确；对于D，因为O为△ABC的重心，D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，所以＝2，即2＋＝0，所以＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋＝2＋＝0，故D正确．故选ACD.
8. BD 解析：由题意，得线段AB，CD为等腰梯形ABCD的腰，所以≠，故A错误；如图，取BC的中点O，连接AO，由AD∥CO，AD＝CO，得四边形AOCD为平行四边形，所以AO∥DC，AO＝DC，所以＋＝＋＝＝，故B正确；易知∠ABC＝60°，所以·＝1×2×cos 120°＝－1，故C错误；取BO的中点M，连接AM，易得AM⊥BO，AM＝，所以|－|＝|－|＝|＋|＝2||＝，故D正确．故选BD.
9. 5 解析：因为|a|＝1，a·b＝2，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1＋2×2＝5.
10. 6 解析：过点C作CD⊥AB，垂足为D.因为弦AB的长度为2，所以||cos ∠CAB＝||＝，所以·＝||||·cos ∠CAB＝2 ×＝6.
11. 2 解析：a在向量b上的投影向量为|a|cos 30°×＝4××＝b，所以a在向量b上的投影向量的模为|b|＝2 .
12. 解析：在△ABC中，取BC的中点D，由·＝0，得角A的平分线垂直于边BC，所以△ABC是等腰三角形，且||＝||.又因为·＝1×1×cos A＝－，所以cos A＝－.因为0
13. (1) 因为|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，所以a·b＝|a|·|b|cos ＝1×2×＝1.
(2) (a＋b)·(a－2b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝|a|2－a·b－2|b|2＝12－1－2×22＝－8.
14. (1) 由题意，得＝b，且||＝3×＝2，
所以||＝4，故＝＝a，
所以＝－＝－a＋b.
(2) 由题意，得||＝3λ，||＝3－3λ，||＝6λ，||＝6λ－3，
所以·＝(6λ－3)(3－3λ)cos 60°＝－9λ2＋λ－，
所以当λ＝－＝∈时，·有最大值.6．2.4 向量的数量积(2)
一、 单项选择题
1. (2023徐州高一阶段练习)已知|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－，则cos 〈a，b〉的值为( )
A. － B. －
C. D.
2. (2023菏泽东明县第一中学高一阶段练习)若平面向量a，b，c，两两的夹角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|等于( )
A. 2 B. 4或
C. 5 D. 2或5
3. 已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角的大小为( )
A. B. C. D.
4. 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，若2a－b＋c＝0，则|c|等于( )
A. 3 B.
C. D. 1
5. (2022海安期末)已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量a＋b与a的夹角的大小为( )
A. B.
C. D.
6. (2023天津滨海新区高一期中)设a，b是两个非零向量，则下列命题中错误的是( )
A. 若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
B. 若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|
C. 已知非零向量a，b，c则a·c＝b·c是a＝b的必要不充分条件
D. 在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为
二、 多项选择题
7. (2023安康高一期中)已知△ABC是边长为2的等边三角形，向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是( )
A. a，b为单位向量 B. a⊥b
C. b∥ D. (4a＋b)⊥
8. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式中成立的是( )
A. ||2＝·
B. ||2＝·
C. ||2＝·
D. ||2＝
三、 填空题
9. 若a，b的夹角为60°，|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＝.
10. 已知平面向量α，β，且|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|＝________．
11. 已知非零向量a，b满足|b|＝|a|，且(a＋2b)⊥a，则a与b的夹角的余弦值为________．
12. 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为____________．
四、 解答题
13. (2023富锦第一中学高一阶段练习)已知向量a，b，c满足|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，c＝xa＋(1－x)b.
(1) 若b⊥c，求实数x的值；
(2) 求|c|的最小值，及此时x的值．
14. 设n和m是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
【答案解析】
6．2.4 向量的数量积(2)
1. A 解析：因为|a|＝1，|b|＝2，a·b＝－，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－.
2. D 解析：因为平面向量a，b，c两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即a，b，c两两的夹角为0°或120°.当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝1＋1＋3＝5；当夹角为120°时，|a＋b＋c|＝＝＝＝＝2，所以|a＋b＋c|的值为2或5.
3. B 解析：设a与b的夹角为θ.因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝|a||b|cos θ－b2＝0，所以cos θ＝＝＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
4. C 解析：因为2a－b＋c＝0，所以c＝b－2a.因为a，b为夹角为60°的两个单位向量，所以|c|＝＝＝＝.
5. D 解析：|a＋b|＝|a－b|，两边平方，得(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝0.设向量a＋b与a的夹角为θ.由题意，得(a＋b)·a＝|a＋b|·|a|cos θ＝|a|2cos θ，又(a＋b)·a＝a2＋a·b＝a2＋0＝a2，所以|a|2cos θ＝|a|2，所以cos θ＝.因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
6. D 解析：对于A，因为|a＋b|＝|a|－|b|，所以|a＋b|2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2|a|·|b|＋b2，即a·b＝－|a|·|b|，所以〈a，b〉＝π，则存在实数λ，使得a＝λb，故A正确；对于B，因为a⊥b，所以a·b＝0，所以|a＋b|＝|a－b|，故B正确；对于C，因为非零向量a，b，c，a·c＝b·c，所以(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以a·c＝b·c是a＝b的必要不充分条件，故C正确；对于D，在边长为1的正三角形ABC中，|－|＝
＝＝，故D错误．
7. CD 解析：由＝2a，得a＝，又||＝2，故a为单位向量．由＝2a＋b，得＋＝2a＋b，故＝b，即b∥，故C正确；|b|＝2，b不是单位向量，故A错误；，的夹角为120°，即a，b的夹角为120°，a，b不垂直，故B错误；(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×1×2×cos 120°＋4＝0，即(4a＋b)⊥，故D正确．故选CD.
8. ABD 解析：·＝||||cos A＝||||·＝||2，故A正确；·＝||||cos B＝||||·＝||2，故B正确；·＝||||·cos (π－∠ACD)<0，又||2>0，故C错误；易知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以||||＝||||，由选项A，B可得||2＝，故D正确．故选ABD.
9. 解析：因为|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×cos 60°＝7，所以|a＋b|＝.
10. 解析：由α⊥(α－2β)，得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，所以α·β＝，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×＝10，所以|2α＋β|＝.
11. － 解析：设a，b的夹角为θ，因为(a＋2b)⊥a，所以(a＋2b)·a＝|a|2＋2|a|·|b|·cos θ＝0，所以cos θ＝－＝－.
12. (0，1)∪(1，＋∞) 解析：由题意，得(e1＋ke2)·(ke1＋e2)>0，且e1＋ke2与ke1＋e2不共线，所以ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2>0，且k2≠1，所以k>0且k≠1，故k的取值范围是(0，1)∪(1，＋∞).
13. (1) 因为b⊥c，所以b·c＝0，
所以xa·b＋(1－x)b2＝－5x＋5(1－x)＝5(1－2x)＝0，解得x＝.
(2) 因为|c|2＝c2＝[xa＋(1－x)b]2＝x2a2＋2x(1－x)a·b＋(1－x)2b2＝10x2－10x(1－x)＋5(1－x)2＝25＋1，
所以当x＝时，|c|2取到最小值1，
即当x＝时，|c|取到最小值1.
14. 因为|n|＝|m|＝1，且m与n的夹角为60°，
所以m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－，
又θ∈[0°，180°]，
所以向量a，b的夹角为120°.