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21.2解一元二次方程
21.2.1配方法
目标导学
认识解一元二次方程的基本思想是“降次”，体会解方程中的转化思想。
能利用直接开平方法对形如与的一元二次方程进行求解。
了解配方法的概念，配方的目的、意义。
掌握配方法解一元二次方程的步骤，熟练运用配方法解一元二次方程。
新知自学
知识点一：直接开平方法解一元二次方程（重点）
1、直接开平方：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
2、方程的根：
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根。
3、方程的根
当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根。
典例1：（1）下列方程中可用直接开平方法求解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】 解：适宜用因式分解法求解，故本选项不符合题意；
B、适宜用公式法求解，故本选项不合题意；
C、适宜用直接开平方法求解，故本选项合题意；
D、适宜用公式法求解，故本选项不合题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据方程的特点分别判断即可．
（2）解方程：
解：移项，得 ．
方程左右两边同除以4，得 ．
直接开平方，得 ，
即或．
解得，．
【答案】见解析
【解答】解：解方程移项，得；
方程左右两边同除以4，得；
直接开平方，得，
即或．
解得或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法按照直接开平方法的方法解答．
知识点二：配方法解一元二次方程（重难点）
配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤（表格版）
一般步骤 方法 示例
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项
典例2：用配方法解下列方程：
；；．
【答案】见解析
【解答】(1)解：移项，得，
配方，得，
，
∴，
∴，；
(2)解：移项，得，
配方，得，
，
∴，
∴，；
(3)解：移项，得3x2－6x＝1，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
，
∴，
∴，．
范例示学
题型一：用直接开平方法解一元二次方程（★★）
典例3：解一元二次方程：
（1）；
（2）
【答案】(1)
【详解】（1）解：
或，
解得；
（2）解：或
或
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法：直接开平方法
解法归纳：
对形如的一元二次方程，运用整体思想，把看作是一个整体，直接开平方降次，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。
跟踪训练：
1、用适当的方法解方程：
（1）
（2）
【答案】(1)
【详解】(1)解：或
或
解得
(2)解：
解得
题型二：用配方法解一元二次方程
1、将一元二次方程配方（★★）
典例4：用配方法解方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解：
移项，得
系数化为1，得
配方，得
即
故选：．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
2、用配方法解一元二次方程（★★★）
典例5：用配方法解方程：
（1） （2） （3）
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)解：移项，得
配方，得
即
由此可得或．
(2)解：系数化为1，得
配方得，即
由此可得
(3)解：移项，得
系数化为1，得，
配方，得，
即
由此可得∴
∴
解法归纳：
用配方法解一元二次方程的一般步骤
①把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②如果一元二次方程的二次项的系数不是1，就先将方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；
③在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边配成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式；
④用直接开平方的方法解这个一元二次方程
跟踪训练：
2．用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】解：方程 ，
移项得 ，
配方得 ，
即，
则．
故选 D．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握运算方法是解题的关键．
3. 用配方法解方程(1) (2)；
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解；∵，
移项得，
配方得，
即，
由此可得，
解得；
解：，
移项得
系数化为1得 ，
配方得
即
由此可得 ，
解得；
题型三：配方法的应用(易错)
1、用配方法求字母或代数式的值（★★★）
典例6：阅读下面的材料：
若，求，的值。
解：∵，
∴.
∴.
∴
∴
根据你的观察，探究下列问题：
已知等腰三角形ABC的两边长，都是正整数，且满足，求△ABC的周长。
已知，求的值。
【答案】（1）16或17（见解析） （2）8
【解析】解：（1）因为，
∴.
∴.
∴
∴.
∵△ABC是等腰三角形，
所以当为腰，则为底时，满足三角形三边关系，故△ABC的周长为；
当为腰，则为底时，满足三角形三边关系，故△ABC的周长为。
（2）因为，
∴.
∴
∴.
∴
∴.
∴.
∴.
∴.
2、用配方法求代数式的最值（★★★）
典例7：若，则M的最小值为 ．
【答案】2
【详解】解：，
，
，
当时，原式取最小值2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键．
解法归纳：
用配方法求代数式的最值
求多项式的最值时，要先把多项式配方成的形式。
若，需要提出二次项系数，对括号中的式子进行配方，配方时，括号内先加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方。
若，代数式有最小值；若，代数式有最大值
跟踪训练：
4. 已知，求的值。
【答案】
【解答】解：∵，
∴，
。
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查配方法的应用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值，也考查了非负数的性质。
5. 用配方的方法证明的值恒大于0.
【答案】见解析
【解答】证明：.
∵无论x取何值，总有(x－3)2≥0，
∴(x－3)2＋1＞0.
∴代数式的值恒大于0.
【点睛】此类题目一半都是利用配方法将代数式配方出现平方的形式，再利用平方的非负性判断代数式的取值范围。
层练固学
一、基础巩固
1． 有下列方程：；；；其中能用直接开平方法求解的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，即，能用直接开平方法求解；
，不能用直接开平方法求解；
，不能用直接开平方法求解；
，即，能用直接开平方法求解；
故选C。
2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：
移项得：
配方得：
即
故选：B
【点睛】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．
3．用配方法解方程时，变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解；
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
4．方程配方后可化成的形式，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】C
【详解】解：
．
故选：C．
【点睛】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可．
5．用配方法解方程时，配方后得到的方程为 .
【答案】
根据即可求解．
【详解】解：，
移项得，，
等式两边同时加上1得，，
∴，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
6．把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ．
【答案】
【详解】解：
配方，得
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一半的平方得，进而得出，即可求解．
7．若x、y均为实数，则代数式的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：可转换为，
当时，原式取到最小值，为1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了配方法，将转化为，即可得到原式的最小值，熟练掌握配方法是解本题的关键．
8．用直接开平方法解下列方程：
；
；
；
．
【分析】先把方程变形为，再利用直接开平方法求解即可；
先把方程变形为，再利用直接开平方法求解即可；
先把方程变形为，再利用直接开平方法求解即可；
先把方程变形为，再利用直接开平方法求解即可．
【答案】解：，
，
解得：；
，
，
解得：；
，
，
解得：；
，
，
解得．
【解析】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程先把方程转化成或的形式，再利用开平方法即可解答．
9．用配方法解下列方程：
．
【分析】先配方，再直接开平方，即可求出该一元二次方程的解；
先配方，再直接开平方，即可求出该一元二次方程的解；
先配方，再直接开平方，即可求出该一元二次方程的解．
【答案】解：
，
，
，．
，
，
，．
．
，
，
，．
【解析】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
(1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程．
【答案】(1)二 (2)，
【分析】（1）根据等式的性质判断②错误；
（2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误，
故答案为：二；
（2）解：，
移项，得，
，
配方，得，即，
∴，
∴，．
11．已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程的一个根是1，求a的值；
(2)在（1）的条件下，用配方法解该方程．
【答案】(1) (2)，
【分析】（1）把代入方程得出关于的方程，再求解即可；
（2）把（1）问中求的值代入方程，再求解即可．
【详解】（1）解：将代入原方程得．
整理得．
解得．
∵，
∴．
所以的值为．
（2）将代入方程得．
即．
配方得．
开方得．
所以方程的解为，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解和配方法解一元二次方程；
二、拓展提高
12．在利用配方法解方程时，小慧和小颖的解题过程如下，对于两人的做法，说法正确的是( )
A. 都对，小颖的易懂 B. 都对，小慧的易懂
C. 小颖对，小慧不对 D. 小慧对，小颖不对
【答案】B
【解析】根据配方法的定义可知，两人的做法都正确，小慧的做法是常用做法，易懂．
13．解方程：．
【答案】
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
，
开方，得，
或，
，
舍去，
即，
方程两边平方得：，
经检验：是原方程的解，
所以原方程的解是．
【点睛】本题考查了解无理方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．移项后配方，再开方，求出，再求，最后进行检验即可．
14．配方法解一元二次方程：．
【答案】，
【详解】解：
两边同除以，得，
移项，得，
配方，得，即，
开平方，得，
∴，或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可．
15．（1）当__________时，多项式的最小值为__________．
（2）当__________时，多项式的最大值为__________．
（3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值．
【答案】（1）3，3
（2）1，
（3），，最小值是10
【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可；
（2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可；
（3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可．
【详解】（1）
当时，多项式取最小值，且最小值为3；
故答案为：3，3
（2）
当时，多项式取最大值，且最大值为；
故答案为：1，；
（3）
，
当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为．
，，最小值是10．
16．下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得
二次项系数化为，得
配方，得
即．
，
，
第步二次项系数化为的依据是什么？
整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
【分析】根据等式的基本性质求解即可；
先将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，最后开方即可．
【答案】解：第步二次项系数化为的依据是：等式两边同除以同一个不为的数，等式仍然成立．
从第步开始出现的错误，
正确过程如下：
移项，得，
二次项系数化为，得，
配方，得，
即，
，
，
，．
【解析】本题考查解一元二次方程配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．
17．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
，可知当时，有最大值．最大值是．
(1)求的最小值为_____，的最小值为_____；
(2)若多项式，试求M的最小值；
(3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积．
【答案】(1)6；
(2)
(3)围成的菜地的最大面积是
【分析】
（1）由，可知时，有最小值6；由，可知当时，代数式有最小值，最小值为；
（2）根据，求解作答即可；
（3）设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，依题意得：，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，有最小值6；
∵，
∴当时，代数式有最小值，最小值为，
故答案为：6，；
（2）解：∵，
∴当时，M有最小值，最小值为；
（3）解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为米，
依题意得：，
∴当时，S有最大值，最大值是，
∴围成的菜地的最大面积是．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键
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21.2解一元二次方程
21.2.1配方法
目标导学
认识解一元二次方程的基本思想是“降次”，体会解方程中的转化思想。
能利用直接开平方法对形如与的一元二次方程进行求解。
了解配方法的概念，配方的目的、意义。
掌握配方法解一元二次方程的步骤，熟练运用配方法解一元二次方程。
新知自学
知识点一：直接开平方法解一元二次方程（重点）
1、直接开平方：利用 直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做 。
2、方程的根：
（1）当时，根据平方根的意义，方程有 的实数根，；
（2）当时，方程有 的实数根；
（3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程 实数根。
3、方程的根
当时，根据平方根的意义，方程有 的实数根，；
（2）当时，方程有 的实数根；
（3）当时，因为对任意实数，都有，所以方程 实数根。
典例1：（1）下列方程中可用直接开平方法求解的是（ ）
A. B. C. D.
（2）解方程：
解：移项，得 ．
方程左右两边同除以4，得 ．
直接开平方，得 ，
即或．
解得，．
知识点二：配方法解一元二次方程（重难点）
配方法：把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式、右边是一个常数的形式，进而用直接开平方法求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
用配方法解一元二次方程的一般步骤（表格版）
一般步骤 方法 示例
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项
典例2：用配方法解下列方程：
；；．
范例示学
题型一：用直接开平方法解一元二次方程（★★）
典例3：解一元二次方程：
（1）；
（2）
解法归纳：
对形如的一元二次方程，运用整体思想，把看作是一个整体，直接开平方降次，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。
跟踪训练：
1、用适当的方法解方程：
（1）
（2）
题型二：用配方法解一元二次方程
1、将一元二次方程配方（★★）
典例4：用配方法解方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
2、用配方法解一元二次方程（★★★）
典例5：用配方法解方程：
（1） （2） （3）
解法归纳：
用配方法解一元二次方程的一般步骤
①把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②如果一元二次方程的二次项的系数不是1，就先将方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；
③在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边配成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式；
④用直接开平方的方法解这个一元二次方程
跟踪训练：
2．用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则的值是( )
A. B. C. D.
3. 用配方法解方程:(1) (2)；
题型三：配方法的应用(易错)
1、用配方法求字母或代数式的值（★★★）
典例6：阅读下面的材料：
若，求，的值。
解：∵，
∴.
∴.
∴
∴
根据你的观察，探究下列问题：
已知等腰三角形ABC的两边长，都是正整数，且满足，求△ABC的周长。
已知，求的值。
2、用配方法求代数式的最值（★★★）
典例7：若，则M的最小值为 ．
解法归纳：
用配方法求代数式的最值
求多项式的最值时，要先把多项式配方成的形式。
若，需要提出二次项系数，对括号中的式子进行配方，配方时，括号内先加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方。
若，代数式有最小值；若，代数式有最大值
跟踪训练：
4. 已知，求的值。
5. 用配方的方法证明的值恒大于0.
层练固学
一、基础巩固
1． 有下列方程：；；；其中能用直接开平方法求解的是( )
A. B. C. D.
2．用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．方程配方后可化成的形式，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
5．用配方法解方程时，配方后得到的方程为 .
6．把关于的一元二次方程 配方，得 ，则 ．
7．若x、y均为实数，则代数式的最小值是 ．
8．用直接开平方法解下列方程：
；
；
；
．
9．用配方法解下列方程：
．
10．小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
(1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程．
11．已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程的一个根是1，求a的值；
(2)在（1）的条件下，用配方法解该方程．
二、拓展提高
12．在利用配方法解方程时，小慧和小颖的解题过程如下，对于两人的做法，说法正确的是( )
A. 都对，小颖的易懂 B. 都对，小慧的易懂
C. 小颖对，小慧不对 D. 小慧对，小颖不对
13．解方程：．
14．配方法解一元二次方程：．
15．（1）当__________时，多项式的最小值为__________．
（2）当__________时，多项式的最大值为__________．
（3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值．
16．下面是小聪同学用配方法解方程：的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得
二次项系数化为，得
配方，得
即．
，
，
第步二次项系数化为的依据是什么？
整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．
17．阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式的最小值．
，可知当时，有最小值，最小值是．
再例如：求代数式的最大值．
，可知当时，有最大值．最大值是．
(1)求的最小值为_____，的最小值为_____；
(2)若多项式，试求M的最小值；
(3)如图，学校打算用长米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积．
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