命题新趋势3 真实情境（1）——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、整数的乘除
1．（2023七下·昌黎期末）甲型流感病毒的直径是，将用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000008=8×10 8
故答案为：C.
【分析】本题考查了指数小于1的科学记数法，化成a×10-n (1≤a<10，n为正整数)的形式即可。
2．（2024七下·揭阳月考）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，可以得到：（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
3．（2024七下·蓝山期中）蓝山县某中学在课堂探究中，数学老师在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，同学们可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，图甲中阴影部分的面积为：a2-b2，
图乙中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b），
两个图形中阴影部分的面积相等，
同学们可以验证等式为： .
故答案为：C.
【分析】分别表示出图甲、图乙中阴影部分的面积，根据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到可以验证等式.
4．（2024七下·镇海区期中）石墨在我国储能丰富，我国在石墨烯研究上具有独特的优势．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是．数据0.0000098用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
5．（2023七下·台儿庄期中）夏夏在检查作业时，发现有一道题的部分内容被墨水侵染了， ，那么这部分内容可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴被墨水侵染部分内容可能是 ：，
故答案为：C.
【分析】利用整式的乘除法则计算求解即可。
6．（2024七下·拱墅月考）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为6cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为，宽为，则：
（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数的值为 ．
【答案】；1或5
【知识点】整式的混合运算
7．（2024七下·新晃期中） 今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写 .
【答案】3xy
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意，得
故答案为：3xy。
【分析】根据单项式乘多项式的法则进行计算，把所得结果与等号邮编的多项式进行对比，即可得出答案。
8．（2024七下·深圳期中） 一个老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．如果来1个孩子，老人就给孩子1块糖果；来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果；如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果；……，．有一天，个孩子一起去看老人，第二天，有个孩子一起去看老人，第三天个孩子一起去看老人，那么，第三天老人给出去的糖果比前两天给出去的糖果多 块.
【答案】2xy
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得：（x+y）2-x2-y2=x2+2xy+y2-x2-y2=2xy.
∴ 第三天老人给出去的糖果比前两天给出去的糖果多 2xy个.
故答案为：2xy.
【分析】由题意可知：第一天共给出x2个糖果；第二天给出y2个糖果；第三天给出（x+y）2个糖果。所以用第三天给出的糖果数量减去前两天给出的糖果数量，就是第三天比前两天多给出去的糖果数量.
9．（2024七下·深圳期中） 如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园，设与墙平行的篱笆 的长为，菜园的面积为．试写出与之间的关系式 ．
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵AB=xm，
∴AD=m，
∴y=AB.AD
=x.
=
【分析】由AB=xm，篱笆周长为60m，所以AD=m。由菜园面积为长方形=长×宽，可知：y=.即可.
10．（2024七下·深圳期中）如图，正方形纸板的边长为，正方形纸板的边长为，用一块纸板、一块纸板和两块长方形纸板可以拼成一个大正方形．
（1）图2大正方形的边长为 ；由图1到图2，可以得到一个关于的等式，直接写出这个等式： ；
（2）利用这个等式解决如下问题：长方形纸板的周长为12，正方形和正方形的面积之和为26，求长方形纸板的面积．
【答案】（1）a+b；（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：∵ 长方形纸板C的周长为12 ，长为a，宽为b，
∴a+b=6，
∵ 正方形A和正方形B的面积之和为26，
∴a2+b2=26，
∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=36-26=10，
∴ab=5，即长方形纸板C的面积为5.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由拼图可知，大正方形的边长为a+b，
大正方形的面积为(a+b)2，组成大正方形的4个部分面积和为a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2；
故答案为：a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）由拼图可知，大正方形的边长为a+b，大正方形的面积为(a+b)2，组成大正方形的4个部分面积和为a2+2ab+b2，根据两种算法表示的是同一个图形的面积可得等式；
（2）由题意易得a+b=6，a2+b2=26，根据（1）所得等式可得2ab=(a+b)2-(a2+b2)，从而整体代入计算可得ab的值.
11． 小聪在做题目 “当 时， 求代数式 的值”时， 发现： 无论 取何值， 此代数式的值都等于 4 ， 你认为小聪的发现正确吗？ 说说你的理由．
【答案】解：小聪的说法正确，理由如下：
∵2x(x-1)-(x+1)(2x-4)=2x2-2x-2x2+4x-2x+4=4，
∵计算的结果不含字母x，
∴原式的值与字母x的取值无关，
∴小聪的说法正确.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先根据单项式乘以多项式及多项式乘以多项式的法则分别去小括号，再合并同类化简，即可发现计算的结果不含字母x，可得原式的值与字母x的取值无关，从而即可得出结论.
12．（2024七下·新昌期中）阅读下列素材，完成相应的任务.
平衡多项式
素材一： 定义：对于一组多项式：，，(，，都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二： 例如：对于多项式，，， 因为=， 所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三： 若多项式，，(为非零常数）是一组平衡多项式，求的值.
【答案】解：任务一：该组平衡多项式的平衡因子为4．
任务二：
该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为9．
任务三：①当为常数时，则，得；
②当为常数时，则，得；
③当为常数时，则，得（舍去）；（1分）综上所述，的值为6或-6．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】任务一：由题目给出的新信息，进行混合运算得出结果；
任务二：直接去计算并判断结果是否为平衡因式.
任务三：由题意 ，分别验证(x+2)、（x-2）、（x+p）为第一个完全平方式，直接计算进行验证即可.
13．（2024七下·深圳期中）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决些图形问题.
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形.并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.
（1）【理解应用】
观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式 .
（2）【拓展升华】
利用（1）中的等式解决下列问题.
①已知，，求的值；
②已知，求的值.
【答案】（1）（x+y）2-2xy=x2+y2
（2）解：①∵，
∴(a+b)2=36，
∴a2+2ab+b2=36，
∵a2+b2=10，
∴10+2ab=36，
解得
②，且，
根据（1）中的等式，得
.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）两种方式表示阴影部分的面积：①用一大一小两正方形的面积和表示阴影部分的面积为x2+y2②用大正方形的面积减去两长方形的面积即(x+y)2-2xy，故（x+y）2-2xy=x2+y2
（x+y）2-2xy=x2+y2
【分析】（1）用两种方式求阴影部分的面积即为所求等式；
（2）利用完全平方公式即可求解；
（3）把2021-c和c-2019当作整体，再利用完全平方公式的关系即可求解.
二、相交线与平行线
14．（2024七下·江油月考）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等，
故答案为：D.
【分析】利用补角的性质：同角的补角相等分析求解即可.
15．（2024七下·上思期中）如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”．其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的判定
16．（2023七下·梅州期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：同一平面内，同位角相等，两直线平行，A，B，D不符合题意，∠4与∠1为同位角，所以C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，两直线平行，判定即可.
17．（2024七下·龙岗期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
18．（2021七下·唐县期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°，则∠DBC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．125°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠ADE=125°，
∴∠ADF=180°125°=55°，
因为长方形对边平行
∴∠DBC=∠ADF=55°（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：A．
【分析】先利用邻补角的性质求出∠ADF=180°125°=55°，再根据平行线的性质可得∠DBC=∠ADF=55°。
19．（2024七下·江海期中）如图，从A处到公路m有三条路线可走，为了尽快赶到公路上，应选择的路线是，理由是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
20．（2023七下·讷河期末）如图，现要从村庄P修建一条连接公路AB的最短小路，过点P作于点C，沿PC修建公路就能满足小路最短，这样做的依据是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解： 这样做的依据是 “垂线段最短”.
故答案为：“垂线段最短”.
【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”可求解.
21．（2024七下·南海期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
22．（2024七下·花都期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动．
（1）如图1，___________；
（2）当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数；
（3）活动小组研究发现，在三角板旋转过程中，与之间始终保持着某种数量关系，请你用等式表示出来：______________________．
【答案】（1）
（2）解：三角板的位置如下图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】（1）∵，．
∴．
（3）两三角板没有重合部分时，如（2）图，
∵，，
∴．
当两三角板有重合部分时，如下图，
∵，，
∴，
综上：．
故答案为：．
【分析】（1）利用平角的定义，结合，即可求解；
（2）利用平行的性质，得出，求得的值，再由已知条件，利用平角的定义，结合，即可求得，得到答案．
（3）分两种情况，当两三角板没有重合部分时和当两三角板有重合部分时，利用角的和差关系分别表示出和，然后相减运算，即可得出答案．
23．（2022七下·黑山期中）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
【答案】（1）解：由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）解：根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
⑴连结，，交于点，则为所求的蓄水池点．
⑵过作于，沿开挖，可使开挖的渠最短，依据是：“点与直线的连线中，垂线段最短”．（如图）
【知识点】垂线段最短及其应用；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）利用垂线段最短的性质求解即可。
24．（2024七下·翁源期中）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．现在我们学行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
（1）如图1，过的顶点A作BC的平行线ED，请你证明三角形的内角和为180°；
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
（2）【迁移应用】健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中．
①若，，则的度数为_▲_；
②若，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在AB，CD外部，请直接写出，，之间的关系．
【答案】（1）解：∵，∴，，
∵，∴．
（2）解：①100°
②过E作
∵，∴，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴．
（3）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）①过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）过点作，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论；
（2）①过点作，由平行线的性质，得出，，由，即可求解；
②根据平行线的性质，得出，，即可得到答案；
（3）根据平行线的性质，得出，，即可得到答案．
三、变量之间的关系
25．（2024七下·光明期中）游学期间，两名老师带领名学生到展览馆参观，已知教师参观门票每张40元，学生参观门票每张20元，设参观门票总费用为元，则与的函数关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数的实际应用．根据题意，结合总费用为学生的费用加上老师的费用，列出函数关系式，即可求解．
26．（2024七下·龙岗期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
【答案】D
【知识点】用表格表示变量间的关系
27．（2024七下·佛山期中）如图，折线OEFPMN描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是（ ）
A．第9分钟时汽车的速度是60千米/时
B．从第3分钟到第6分钟，汽车停止
C．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度逐渐减小
D．第12分钟时汽车的速度是0千米/时
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、第9分钟时汽车的速度是60千米/时，说法正确，故选项A不符合题意；
B、从第3分钟到第6分钟，汽车匀速运动，速度是40千米/时，说法错误，故选项B符合题意；
C、从第9分钟到第12分钟，汽车的速度逐渐减小，说法正确，故选项C不符合题意；
D、第12分钟时汽车的速度是0千米/时，说法正确，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据图象，逐项判断即得到答案.
28．（2024七下·深圳期中）一种手持烟花，这种烟花每隔0.5秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同.皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示.下列对这一变化的过程说法正确的是（ ）
t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 …
A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米
B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米
C．估计飞行时间t为5秒时，飞行高度h为11.8米
D．从0秒到2秒花弹飞行的高度是15米
【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、通过观察数据可知：每增加0.5秒，飞行的高度增加的高度并不相同且不一定为5.5米，故此选项错误，不符合题意；
B、通过观察数据可知：每增加0.5秒，飞行的高度减少的高度并不相同且不一定为5.5米，故此选项错误，不符合题意；
C、由数据的变化可知在5秒时的飞行高度为11.8米，故此选项正确，符合题意；
D、0-2秒花弹飞行的高度为16米，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】通过观察时间和高度的变化去判断选项中的结论是否正确.
29．（2024七下·光明期中）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的大致数据，推断地水的沸点为 ．
城市 地 地 地 地 地
海拔（米 0 300 600 1500
沸点（度 100 99 98
【答案】95度
【知识点】用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，海拔每增加，沸点就降低1度，
即，
当，地水的沸点（度．
故答案为：95度．
【分析】本题考查了函数关系式及其应用，根据表格中两个变量变化关系可知，海拔每增加，沸点就降低1度，据此作答，即可得到答案．
30．（2022七下·左权期中）谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是 ．
【答案】冰的厚度
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是冰的厚度．
故答案为：冰的厚度．
【分析】根据变量与常量的定义进行判断即可.
31．（2023七下·白银期末）王勇买了一张元的租书卡，每租一本书后卡中剩余金额（元）与租书本数（本）之间的关系式为 .
租书数本 卡中余额元
…… ……
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
每租一本书，少0.8元，设租书x本，则减少0.8x元
则
【分析】每租一本书，少0.8元，设租书x本，则减少0.8x元即可求出答案。
32．（2024七下·龙岗期中）综合实践小组探究香燃烧时剩余长度（cm）与燃烧时间（分）的关系下面是他们实验过程的示意图以及相关数据，请利用图中信息解答下列问题：
（1）将表格中空缺的数据补充完整；
燃烧时间/分
剩余长度/
（2）根据表中信息，分析香燃烧过程中剩余长度y（cm）随燃烧时间（分）的变化规律（写出一个结论即可）；
（3）香的剩余长度（cm）与燃烧时间（分）之间的关系式为______．
【答案】（1）4
（2）香燃烧过程中剩余长度y（cm）随燃烧时间x（分）的增加而减少
（3）
【知识点】用表格表示变量间的关系
33．（2023七下·高陵期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价x（元）与日销量y（件）之间的关系如下表：
降价x/元 0 10 20 30 40 50 60
日销量y/件 150 155 160 165 b 175 180
（1）上表中的自变量是什么？因变量是什么？
（2）求表中b的值；
（3）若该商品的售价为440元，求该商品的日销量为多少件？
【答案】（1）解：上表中的自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件）．
（2）解：根据表格信息可得：；
（3）解：该商品的日销量为（件）．
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）由表格数据可得日销售量y件随降价x元的变化而变化，从而由自变量和因变量的定义求解即可；
（2）根据表格中的数据可得商品每降价10元，日销量增加5件 ，即可求出b的值；
（3）用原来每天的售价加上因为将价而增加的销售数量，列式计算求即可.
34．（2023七下·宝安期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系（其中0≤x≤30）
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？
【答案】（1）解：上表反映了提出概念所用时间与学生对概念的接受能力之间的关系，其中提出概念所用的时间x是自变量，学生对概念接受能力y是因变量
（2）解：当x＝13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强
（3）解：由表中数据可知：当0＜x＜13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；
当13＜x＜20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得表中反映的是新概念的接受能力与提出概念所用的时间之间的关系，然后利用自变量、因变量的概念进行判断；
（2）根据表格中的数据，找出y最大时，对应的x的值即可；
（3）根据表格中数据的变化情况进行解答.
1 / 1命题新趋势3 真实情境（1）——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、整数的乘除
1．（2023七下·昌黎期末）甲型流感病毒的直径是，将用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七下·揭阳月考）挪威数学家阿贝尔，年轻时就利用阶梯形，发现了一个重要的恒等式——阿贝尔公式：如图是一个简单的阶梯形，可用两种方法把图形分割成为三个长方形．利用它们之间的面积关系，可以得到：（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024七下·蓝山期中）蓝山县某中学在课堂探究中，数学老师在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，同学们可以验证等式（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·镇海区期中）石墨在我国储能丰富，我国在石墨烯研究上具有独特的优势．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度应是．数据0.0000098用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·台儿庄期中）夏夏在检查作业时，发现有一道题的部分内容被墨水侵染了， ，那么这部分内容可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·拱墅月考）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为6cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为，宽为，则：
（1）裁去的每个小长方形面积为 cm2．（用的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的偶数倍，则正整数的值为 ．
7．（2024七下·新晃期中） 今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记本复习，发现一道题：-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□，□的地方被墨水弄污了，你认为□处应填写 .
8．（2024七下·深圳期中） 一个老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．如果来1个孩子，老人就给孩子1块糖果；来2个孩子，老人就给每个孩子2块糖果；如果来3个孩子，老人就给每个孩子3块糖果；……，．有一天，个孩子一起去看老人，第二天，有个孩子一起去看老人，第三天个孩子一起去看老人，那么，第三天老人给出去的糖果比前两天给出去的糖果多 块.
9．（2024七下·深圳期中） 如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园，设与墙平行的篱笆 的长为，菜园的面积为．试写出与之间的关系式 ．
10．（2024七下·深圳期中）如图，正方形纸板的边长为，正方形纸板的边长为，用一块纸板、一块纸板和两块长方形纸板可以拼成一个大正方形．
（1）图2大正方形的边长为 ；由图1到图2，可以得到一个关于的等式，直接写出这个等式： ；
（2）利用这个等式解决如下问题：长方形纸板的周长为12，正方形和正方形的面积之和为26，求长方形纸板的面积．
11． 小聪在做题目 “当 时， 求代数式 的值”时， 发现： 无论 取何值， 此代数式的值都等于 4 ， 你认为小聪的发现正确吗？ 说说你的理由．
12．（2024七下·新昌期中）阅读下列素材，完成相应的任务.
平衡多项式
素材一： 定义：对于一组多项式：，，(，，都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二： 例如：对于多项式，，， 因为=， 所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三： 若多项式，，(为非零常数）是一组平衡多项式，求的值.
13．（2024七下·深圳期中）【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决些图形问题.
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形.并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.
（1）【理解应用】
观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式 .
（2）【拓展升华】
利用（1）中的等式解决下列问题.
①已知，，求的值；
②已知，求的值.
二、相交线与平行线
14．（2024七下·江油月考）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．等角的补角相等 B．同角的余角相等
C．等角的余角相等 D．同角的补角相等
15．（2024七下·上思期中）如图所示，小亮借助直尺和三角板，根据“一重合、二靠紧、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”．其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．两直线平行，内错角相等
C．同旁内角互补，两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
16．（2023七下·梅州期末）如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024七下·龙岗期中）如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021七下·唐县期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE=125°，则∠DBC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．125°
19．（2024七下·江海期中）如图，从A处到公路m有三条路线可走，为了尽快赶到公路上，应选择的路线是，理由是 ．
20．（2023七下·讷河期末）如图，现要从村庄P修建一条连接公路AB的最短小路，过点P作于点C，沿PC修建公路就能满足小路最短，这样做的依据是 ．
21．（2024七下·南海期中）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则 ．
22．（2024七下·花都期中）某数学活动小组在开展小项目研究时，将一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转，当落在直线上时，三角板停止运动．
（1）如图1，___________；
（2）当三角板旋转到某个位置，恰好，请在图2中画出此时三角板的位置，并求出的度数；
（3）活动小组研究发现，在三角板旋转过程中，与之间始终保持着某种数量关系，请你用等式表示出来：______________________．
23．（2022七下·黑山期中）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．
24．（2024七下·翁源期中）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．现在我们学行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
（1）如图1，过的顶点A作BC的平行线ED，请你证明三角形的内角和为180°；
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
（2）【迁移应用】健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中．
①若，，则的度数为_▲_；
②若，，求的度数．
（3）如图3，若，点P在AB，CD外部，请直接写出，，之间的关系．
三、变量之间的关系
25．（2024七下·光明期中）游学期间，两名老师带领名学生到展览馆参观，已知教师参观门票每张40元，学生参观门票每张20元，设参观门票总费用为元，则与的函数关系为（ ）
A． B． C． D．
26．（2024七下·龙岗期中）小文去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（ ）
A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量
27．（2024七下·佛山期中）如图，折线OEFPMN描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中错误的是（ ）
A．第9分钟时汽车的速度是60千米/时
B．从第3分钟到第6分钟，汽车停止
C．从第9分钟到第12分钟，汽车的速度逐渐减小
D．第12分钟时汽车的速度是0千米/时
28．（2024七下·深圳期中）一种手持烟花，这种烟花每隔0.5秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同.皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表所示.下列对这一变化的过程说法正确的是（ ）
t/秒 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 …
h/米 1.8 7.3 11.8 15.3 17.8 19.3 19.8 19.3 17.8 15.3 …
A．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就增加5.5米
B．飞行时间t每增加0.5秒，飞行高度h就减少5.5米
C．估计飞行时间t为5秒时，飞行高度h为11.8米
D．从0秒到2秒花弹飞行的高度是15米
29．（2024七下·光明期中）高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的大致数据，推断地水的沸点为 ．
城市 地 地 地 地 地
海拔（米 0 300 600 1500
沸点（度 100 99 98
30．（2022七下·左权期中）谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是 ．
31．（2023七下·白银期末）王勇买了一张元的租书卡，每租一本书后卡中剩余金额（元）与租书本数（本）之间的关系式为 .
租书数本 卡中余额元
…… ……
32．（2024七下·龙岗期中）综合实践小组探究香燃烧时剩余长度（cm）与燃烧时间（分）的关系下面是他们实验过程的示意图以及相关数据，请利用图中信息解答下列问题：
（1）将表格中空缺的数据补充完整；
燃烧时间/分
剩余长度/
（2）根据表中信息，分析香燃烧过程中剩余长度y（cm）随燃烧时间（分）的变化规律（写出一个结论即可）；
（3）香的剩余长度（cm）与燃烧时间（分）之间的关系式为______．
33．（2023七下·高陵期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为520元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价x（元）与日销量y（件）之间的关系如下表：
降价x/元 0 10 20 30 40 50 60
日销量y/件 150 155 160 165 b 175 180
（1）上表中的自变量是什么？因变量是什么？
（2）求表中b的值；
（3）若该商品的售价为440元，求该商品的日销量为多少件？
34．（2023七下·宝安期中）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系（其中0≤x≤30）
提出概念所用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少时，学生的接受能力最强？
（3）学生对一个新概念的接受能力在什么时间段内逐渐增强？在什么时间段内逐渐减弱？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000008=8×10 8
故答案为：C.
【分析】本题考查了指数小于1的科学记数法，化成a×10-n (1≤a<10，n为正整数)的形式即可。
2．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
3．【答案】C
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图可知，图甲中阴影部分的面积为：a2-b2，
图乙中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b），
两个图形中阴影部分的面积相等，
同学们可以验证等式为： .
故答案为：C.
【分析】分别表示出图甲、图乙中阴影部分的面积，根据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到可以验证等式.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
5．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：∵ ，
∴被墨水侵染部分内容可能是 ：，
故答案为：C.
【分析】利用整式的乘除法则计算求解即可。
6．【答案】；1或5
【知识点】整式的混合运算
7．【答案】3xy
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】根据题意，得
故答案为：3xy。
【分析】根据单项式乘多项式的法则进行计算，把所得结果与等号邮编的多项式进行对比，即可得出答案。
8．【答案】2xy
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：由题意得：（x+y）2-x2-y2=x2+2xy+y2-x2-y2=2xy.
∴ 第三天老人给出去的糖果比前两天给出去的糖果多 2xy个.
故答案为：2xy.
【分析】由题意可知：第一天共给出x2个糖果；第二天给出y2个糖果；第三天给出（x+y）2个糖果。所以用第三天给出的糖果数量减去前两天给出的糖果数量，就是第三天比前两天多给出去的糖果数量.
9．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵AB=xm，
∴AD=m，
∴y=AB.AD
=x.
=
【分析】由AB=xm，篱笆周长为60m，所以AD=m。由菜园面积为长方形=长×宽，可知：y=.即可.
10．【答案】（1）a+b；（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）解：∵ 长方形纸板C的周长为12 ，长为a，宽为b，
∴a+b=6，
∵ 正方形A和正方形B的面积之和为26，
∴a2+b2=26，
∴2ab=(a+b)2-(a2+b2)=36-26=10，
∴ab=5，即长方形纸板C的面积为5.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由拼图可知，大正方形的边长为a+b，
大正方形的面积为(a+b)2，组成大正方形的4个部分面积和为a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2；
故答案为：a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）由拼图可知，大正方形的边长为a+b，大正方形的面积为(a+b)2，组成大正方形的4个部分面积和为a2+2ab+b2，根据两种算法表示的是同一个图形的面积可得等式；
（2）由题意易得a+b=6，a2+b2=26，根据（1）所得等式可得2ab=(a+b)2-(a2+b2)，从而整体代入计算可得ab的值.
11．【答案】解：小聪的说法正确，理由如下：
∵2x(x-1)-(x+1)(2x-4)=2x2-2x-2x2+4x-2x+4=4，
∵计算的结果不含字母x，
∴原式的值与字母x的取值无关，
∴小聪的说法正确.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先根据单项式乘以多项式及多项式乘以多项式的法则分别去小括号，再合并同类化简，即可发现计算的结果不含字母x，可得原式的值与字母x的取值无关，从而即可得出结论.
12．【答案】解：任务一：该组平衡多项式的平衡因子为4．
任务二：
该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为9．
任务三：①当为常数时，则，得；
②当为常数时，则，得；
③当为常数时，则，得（舍去）；（1分）综上所述，的值为6或-6．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】任务一：由题目给出的新信息，进行混合运算得出结果；
任务二：直接去计算并判断结果是否为平衡因式.
任务三：由题意 ，分别验证(x+2)、（x-2）、（x+p）为第一个完全平方式，直接计算进行验证即可.
13．【答案】（1）（x+y）2-2xy=x2+y2
（2）解：①∵，
∴(a+b)2=36，
∴a2+2ab+b2=36，
∵a2+b2=10，
∴10+2ab=36，
解得
②，且，
根据（1）中的等式，得
.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）两种方式表示阴影部分的面积：①用一大一小两正方形的面积和表示阴影部分的面积为x2+y2②用大正方形的面积减去两长方形的面积即(x+y)2-2xy，故（x+y）2-2xy=x2+y2
（x+y）2-2xy=x2+y2
【分析】（1）用两种方式求阴影部分的面积即为所求等式；
（2）利用完全平方公式即可求解；
（3）把2021-c和c-2019当作整体，再利用完全平方公式的关系即可求解.
14．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等，
故答案为：D.
【分析】利用补角的性质：同角的补角相等分析求解即可.
15．【答案】A
【知识点】平行线的判定
16．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：同一平面内，同位角相等，两直线平行，A，B，D不符合题意，∠4与∠1为同位角，所以C符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，两直线平行，判定即可.
17．【答案】B
【知识点】平行线的性质
18．【答案】A
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠ADE=125°，
∴∠ADF=180°125°=55°，
因为长方形对边平行
∴∠DBC=∠ADF=55°（两直线平行，内错角相等）；
故答案为：A．
【分析】先利用邻补角的性质求出∠ADF=180°125°=55°，再根据平行线的性质可得∠DBC=∠ADF=55°。
19．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
20．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解： 这样做的依据是 “垂线段最短”.
故答案为：“垂线段最短”.
【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”可求解.
21．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
22．【答案】（1）
（2）解：三角板的位置如下图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】（1）∵，．
∴．
（3）两三角板没有重合部分时，如（2）图，
∵，，
∴．
当两三角板有重合部分时，如下图，
∵，，
∴，
综上：．
故答案为：．
【分析】（1）利用平角的定义，结合，即可求解；
（2）利用平行的性质，得出，求得的值，再由已知条件，利用平角的定义，结合，即可求得，得到答案．
（3）分两种情况，当两三角板没有重合部分时和当两三角板有重合部分时，利用角的和差关系分别表示出和，然后相减运算，即可得出答案．
23．【答案】（1）解：由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）解：根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
⑴连结，，交于点，则为所求的蓄水池点．
⑵过作于，沿开挖，可使开挖的渠最短，依据是：“点与直线的连线中，垂线段最短”．（如图）
【知识点】垂线段最短及其应用；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）利用垂线段最短的性质求解即可。
24．【答案】（1）解：∵，∴，，
∵，∴．
（2）解：①100°
②过E作
∵，∴，
∴，，
∴，
∵，∴，
∴．
（3）
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）①过点作，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）过点作，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据平行线的性质和平角的定义，即可证明结论；
（2）①过点作，由平行线的性质，得出，，由，即可求解；
②根据平行线的性质，得出，，即可得到答案；
（3）根据平行线的性质，得出，，即可得到答案．
25．【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意，得．
故选：A．
【分析】本题考查一次函数的实际应用．根据题意，结合总费用为学生的费用加上老师的费用，列出函数关系式，即可求解．
26．【答案】D
【知识点】用表格表示变量间的关系
27．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、第9分钟时汽车的速度是60千米/时，说法正确，故选项A不符合题意；
B、从第3分钟到第6分钟，汽车匀速运动，速度是40千米/时，说法错误，故选项B符合题意；
C、从第9分钟到第12分钟，汽车的速度逐渐减小，说法正确，故选项C不符合题意；
D、第12分钟时汽车的速度是0千米/时，说法正确，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据图象，逐项判断即得到答案.
28．【答案】C
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、通过观察数据可知：每增加0.5秒，飞行的高度增加的高度并不相同且不一定为5.5米，故此选项错误，不符合题意；
B、通过观察数据可知：每增加0.5秒，飞行的高度减少的高度并不相同且不一定为5.5米，故此选项错误，不符合题意；
C、由数据的变化可知在5秒时的飞行高度为11.8米，故此选项正确，符合题意；
D、0-2秒花弹飞行的高度为16米，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】通过观察时间和高度的变化去判断选项中的结论是否正确.
29．【答案】95度
【知识点】用表格表示变量间的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，海拔每增加，沸点就降低1度，
即，
当，地水的沸点（度．
故答案为：95度．
【分析】本题考查了函数关系式及其应用，根据表格中两个变量变化关系可知，海拔每增加，沸点就降低1度，据此作答，即可得到答案．
30．【答案】冰的厚度
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的一个变化过程，在该变化过程中因变量是冰的厚度．
故答案为：冰的厚度．
【分析】根据变量与常量的定义进行判断即可.
31．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：
每租一本书，少0.8元，设租书x本，则减少0.8x元
则
【分析】每租一本书，少0.8元，设租书x本，则减少0.8x元即可求出答案。
32．【答案】（1）4
（2）香燃烧过程中剩余长度y（cm）随燃烧时间x（分）的增加而减少
（3）
【知识点】用表格表示变量间的关系
33．【答案】（1）解：上表中的自变量是该商品降价（元），因变量是日销量（件）．
（2）解：根据表格信息可得：；
（3）解：该商品的日销量为（件）．
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）由表格数据可得日销售量y件随降价x元的变化而变化，从而由自变量和因变量的定义求解即可；
（2）根据表格中的数据可得商品每降价10元，日销量增加5件 ，即可求出b的值；
（3）用原来每天的售价加上因为将价而增加的销售数量，列式计算求即可.
34．【答案】（1）解：上表反映了提出概念所用时间与学生对概念的接受能力之间的关系，其中提出概念所用的时间x是自变量，学生对概念接受能力y是因变量
（2）解：当x＝13时，y的值最大是59.9，所以提出概念13分钟时，学生的接受能力最强
（3）解：由表中数据可知：当0＜x＜13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；
当13＜x＜20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱．
【知识点】常量、变量；用表格表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可得表中反映的是新概念的接受能力与提出概念所用的时间之间的关系，然后利用自变量、因变量的概念进行判断；
（2）根据表格中的数据，找出y最大时，对应的x的值即可；
（3）根据表格中数据的变化情况进行解答.
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