命题新趋势5 新定义——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、选择题
1．（2023七下·庐阳期末）定义一种新运算，当时，．若，则的值为（ ）
A． B．4 C．4或 D．4或
【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】由题意得，当x＞2时，2※x=2x2-x=4，解得x=43；
当x＜2时，2※x=2xx-2=4，解得x=4.
故x的值为4或43.
【分析】对于新定义的题目，需要紧扣题干的意思，按照定义的每一步正确代入计算即可.
2．（2024七下·凤翔月考）定义一种新运算，那么的运算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据新运算的定义直接计算即可求解.
3．（2023七下·衡阳期末）定义，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得方程可化为2×3+x=2×4+2，
∴6+x=10，
∴x=4.
故答案为：A.
【分析】根据已知定义得到关于x的一元一次方程，解方程即可得答案.
4．（2024七下·高州月考）设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
；
；
；
．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
则，故正确；
则，
；故错误；
则，
，故正确；
则，
，故错误，
故正确的为．
故答案为：D．
【分析】根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案．
5．（2023七下·萧山期中）若定义表示，表示，则运算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：原式=(2×2mn)3÷(-4m3n2)=64m3n3÷(-4m3n2)=-16n.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得原式=(2×2mn)3÷(-4m3n2)，然后利用积的乘方法则以及单项式与单项式的除法法则进行计算.
6．（2024七下·高州月考）设a、b是有理数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：①a*b＝b*a；②（a*b）2＝a2*b2；③（﹣a）*b＝a*（﹣b）；④a*（b+c）＝a*b+a*c．其中正确推断的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】解：①a*b=（a-b）2，b*a=（b-a）2=（a-b）2，①正确；
②（a*b）2=[（a-b）2]2=（a-b）4，a2*b2=（a2-b2）2=（a+b）2（a-b）2，②错误；
③（-a）*b=（-a-b）2=（a+b）2，a*（-b）=（a+b）2，③正确；
④a*（b+c）=（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc，a*b+a*c=（a-b）2+（a-c）2=a2-2ab+b2+a2-2ac+c2=2a2+b2+c2-2ab-2ac，④错误；
即正确的为①③，
故答案为：A.
【分析】根据新运算和完全平方公式分别计算等号的左边和右边，即可判断，得出答案.
7．（2023七下·永安期中）若定义表示xyz，表示，则运算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】单项式除以单项式；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得结果为：4m3n2÷2mn，然后根据单项式与单项式的除法法则进行计算.
8．（2023七下·西安月考）定义，例如.则的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算可得(x-2)(x+2)=(x-2)(x+2+1)，然后根据多项式与多项式的乘法法则进行计算.
9．（2022七下·浦北期末）对任意两个实数a，b定义两种运算：a b，a b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2） 3＝3，（﹣2） 3＝﹣2，[（﹣2） 3] 2＝2，那么（ 2） 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．3
【答案】B
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解： ∵>2，
∴ 2=，
∵，3>，
∴ 3=，
即（ 2） =.
故答案为：B.
【分析】根据新定义的运算法则，分步进行计算，即可求出结果.
10．（2022七下·盂县期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行于l1的直线l3、l4，到l2的距离为1的点是两条平行于l2直线l5、l6，
∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．
故答案为：D．
【分析】根据两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，结合图形求解即可。
11．（2022七下·定远期末）我们定义一个新运算：，如，那么为（ ）
A． B． C． D．32
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：=104×108=1012；
故答案为：A.
【分析】利用新运算可得=104×108，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可.
12．（2022七下·番禺期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是常用的乘法和减法运算．规定，若，，则的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－7 D．－11
【答案】A
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
由②得，③，
将③代入①得，
，
将代入 ③得，，
即，
则，
故答案为：A．
【分析】先求出，再计算求解即可。
13．（2023七下·江都期中）设，是实数，定义@的一种运算如下：@ ，则下列结论：①若@=0，则或；②@(+z)=@+@z；③不存在实数，，满足@；④设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵x@y=（x+y）2-（x-y）2，
∴（x+y）2-（x-y）2=0，
∴4xy=0，
解得x=0或y=0，故①正确；
②∵x@（y+z）=（x+y+z）2-（x-y-z）2=4xy+4xz，
x@y+x@z=（x+y）2-（x-y）2+（x+z）2-（x-z）2=4xy+4xz，
∴x@（y+z）=x@y+x@z，故②正确；
③∵x@y=（x+y）2-（x-y）2，
令x2+5y2=（x+y）2-（x-y）2，
解得x=0，y=0，故③错误；
④∵x@y=（x+y）2-（x-y）2=4xy，（x-y）2≥0，
∴x2-2xy+y2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴x2+2xy+y2≥4xy，
∴4xy的最大值是x2+2xy+y2，
此时4xy=x2+2xy+y2，
解得x=y，
∴当x=y时，x@y最大，故④正确，
故其中正确的是①②④.
故答案为：B.
【分析】根据题目中规定的运算法则及完全平方公式分别运算与化简，并结合偶数次幂的非负性及有理数的乘法法则一一判断即可得出答案.
二、填空题
14．（2024七下·揭西月考） 现定义一种运算“ ”，对任意有理数m，n规定：，如：，则的值是 ．
【答案】
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：.
【分析】根据新运算的定义列出式子，进而先根据去括号法则去掉中括号内的小括号，再合并中括号内的同类项，接着利用平方差公式计算乘法，最后利用单项式乘以多项式法则算出答案.
15．定义新运算“※”：A※.例如(2)※按照这种运算法则，若(x+2)※(2-x)=20，则 x= .
【答案】3
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得到：
∵
∴
∴
故答案为：3.
【分析】根据新运算的定义得到：根据题意得到进而即可求出x的值.
16．（2023七下·马鞍山期末）定义一种运算：若，则称；计算 ．
【答案】1
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵23=8，2-2=，且 ，
∴，
∴，
故答案为：1.
【分析】根据定义新运算先求出L(8)，L()的值，再代入计算即可.
17．（2023七下·东阳期末）定义运算，若，则的值为 ．
【答案】1或4
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中新定义可得，
∵m-1＞m-3
∴
∴m-1=0或m-3=1或m-3=-1且m-1为偶数，
∴m=1或4
故答案为：1或4.
【分析】先判断m-1和m-3的大小，再根据新定义写出等式，然后根据0指数幂的性质、“1”的任何次幂都等于1，“-1”的偶数次幂等于1，进行思考即可求出m的值.
18．（2023七下·温州期中）定义一种新运算： a★b=ab-a2，则x★(x+y)= ．
【答案】xy
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ a★b=ab-a2，
∴ x★(x+y) =x（x+y）-x2=x2+xy-x2=xy.
故答案为：xy.
【分析】根据新定义运算法则列出式子，进而计算单项式与多项式的乘法，最后合并同类项即可.
19．（2023七下·福田期末）定义一种新的运算：规定，则 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：
故答案为：-1.
【分析】先根据新定义的运算列出算式，再利用平方差公式进行简便运算.
20．定义运算：a b=(a+b)(a-3)，下面给出这种运算的四个结论：①4 5=9；②a b=b a；③若a b=0，则a+b=0；④若a+b=0，则a b=0．其中正确的结论是 (把所有正确结论的序号都填在横线上)
【答案】①④
【知识点】多项式乘多项式；定义新运算
【解析】【解答】解： a b=(a+b)(a-3)，
①4 5=（4+5)(4-3）=9，故正确，
②∵a b=(a+b)(a-3)，b a=(a+b)(b-3) ，
∴ a b≠b a，故错误；
③若a b=0，则 a b=(a+b)(a-3)=0，
∴a+b=0 或a=3，故错误；
④若a+b=0，则a b=(a+b)(a-3)=0， 即a b=0，故正确．
故答案为：①④.
【分析】由a b=(a+b)(a-3)逐项列式计算，再判断即可.
三、实践探究题
21．（2024七下·金沙月考）对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如．
（1）当，时，的值为 ；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：因为，，
所以，即，所以，
所以，
所以
．
【知识点】定义新运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）由题意得．
【分析】（1）根据定义新运算结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到，即，进而得到，，再进行定义新运算即可求解。
22．（2020七下·衢州期中）定义新运算 =ad+3b-2c，如 =1×7+3×5-2×3=7+15-6=16。
（1）计算 的值。
（2）化简： 。
【答案】（1）解： =2×4+3×3-2×(-1)=19
（2）解： =(x+y)(-3x-y)+3(7xy-x )-2(2xy-3x +1)
=-3x2-4xy-y2+21xy-3x2-4xy+6x2-2
=-y2+13xy-2
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义新运算列出算式，进而根据有理数的混合运算法则即可算出答案；
（2）根据定义新运算列出代数式，再根据整式的混合运算顺序算出结果.
23．（2023七下·镇海区期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”．
（1）若，，求，的“和积数”；
（2）若，，求，的“和积数”；
（3）已知，且，的“和积数”，求用含的式子表示并计算的最小值．
【答案】（1）解：由题意得，．
即所求，的“和积数”为
（2）解：由题意得，．
，，
．
．
或．
或．
（3）解：由题意，，
，，
．
若，式子变为．
为任何数，不存在最小值．
若，又，
．
．
．
当时，有最小值为．
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】 （1）由题意得，根据“和积数”的定义，代入数据得出答案；
（2）由题意得，根据“和积数”的定义，展开括号得出代数式，由条件求出a+b的值，最后代入得出答案；
（3）把a、c的值代入化简整理，分情况讨论得出答案.
24．（2023七下·榆林期末）【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规定：．
例如：．
（1）【问题推广】
先化简，再求值：，其中，；
（2）【拓展提升】
若，求p，q的值
【答案】（1）解：
．
当，时，原式．
（2）解：
．
又因为，所以，．
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据规定先列式再整理，最后将a、b值代入计算即可；
（2）根据规定，可得，据此即可求解.
25．（2024七下·深圳开学考）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：
（1）①下列两位数：50，44，35中，“互异数”为 ；②计算： ；
（2）一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，且，求的值；
（3）如果一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，且，求“互异数”的值．
【答案】（1）35；7
（2）解：一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，
所以==m+n.
因为，
所以.
（3）解：一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，
所以
.
又因为，
所以，解得k=3.
所以，，
所以“互异数”c的值为71.
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①根据定义，因为“互异数”的个位数字和十位数字互不相同，且都不为0，
所以50不是“互异数”，它的个位数字是0，44不是“互异数”，它的个位数字和十位数字相同，35是“互异数”.
②==7.
故答案为：35；7；
【分析】（1）①根据“互异数”的定义逐个判断即可得到答案；②根据“互异数”的定义进行计算即可得到答案；
(2)根据“互异数”的定义表示出，再结合即可得出答案；
(3)根据“互异数"的定义表示出，再根据得到关于k的方程，求出k的值即可得到答案.
26．（2024七下·揭西月考） 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
（1）根据上述规定，填空：＝ ；（ ，16）＝4；
（2）计算＝ ，并说明理由；
（3）利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立．
【答案】（1）3；±2
（2）
（3）解：设，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，对于任意自然数n都成立．
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）
∴
∵
∴
故答案为：3，±2；
（2）设
∴
∴
∵
∴
故答案为：；
【分析】（1）根据雅对的定义即可求解；
（2）设利用雅对的定义得到：进而即可求解；
（3）设，，利用雅对的定义得到：，，然后根据幂的乘方得到：，即可得到进而即可求证.
1 / 1命题新趋势5 新定义——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、选择题
1．（2023七下·庐阳期末）定义一种新运算，当时，．若，则的值为（ ）
A． B．4 C．4或 D．4或
2．（2024七下·凤翔月考）定义一种新运算，那么的运算结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·衡阳期末）定义，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·高州月考）设，是实数，定义一种新运算：，下面有四个推断：
；
；
；
．
其中所有正确推断的序号是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·萧山期中）若定义表示，表示，则运算的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·高州月考）设a、b是有理数，定义一种新运算：a*b＝（a﹣b）2，下面有四个推断：①a*b＝b*a；②（a*b）2＝a2*b2；③（﹣a）*b＝a*（﹣b）；④a*（b+c）＝a*b+a*c．其中正确推断的序号是（ ）
A．①③ B．①② C．①③④ D．①②③④
7．（2023七下·永安期中）若定义表示xyz，表示，则运算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·西安月考）定义，例如.则的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022七下·浦北期末）对任意两个实数a，b定义两种运算：a b，a b，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2） 3＝3，（﹣2） 3＝﹣2，[（﹣2） 3] 2＝2，那么（ 2） 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．3
10．（2022七下·盂县期中）定义：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为的点的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2022七下·定远期末）我们定义一个新运算：，如，那么为（ ）
A． B． C． D．32
12．（2022七下·番禺期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有，等式右边是常用的乘法和减法运算．规定，若，，则的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－7 D．－11
13．（2023七下·江都期中）设，是实数，定义@的一种运算如下：@ ，则下列结论：①若@=0，则或；②@(+z)=@+@z；③不存在实数，，满足@；④设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
14．（2024七下·揭西月考） 现定义一种运算“ ”，对任意有理数m，n规定：，如：，则的值是 ．
15．定义新运算“※”：A※.例如(2)※按照这种运算法则，若(x+2)※(2-x)=20，则 x= .
16．（2023七下·马鞍山期末）定义一种运算：若，则称；计算 ．
17．（2023七下·东阳期末）定义运算，若，则的值为 ．
18．（2023七下·温州期中）定义一种新运算： a★b=ab-a2，则x★(x+y)= ．
19．（2023七下·福田期末）定义一种新的运算：规定，则 ．
20．定义运算：a b=(a+b)(a-3)，下面给出这种运算的四个结论：①4 5=9；②a b=b a；③若a b=0，则a+b=0；④若a+b=0，则a b=0．其中正确的结论是 (把所有正确结论的序号都填在横线上)
三、实践探究题
21．（2024七下·金沙月考）对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如．
（1）当，时，的值为 ；
（2）若，，求的值．
22．（2020七下·衢州期中）定义新运算 =ad+3b-2c，如 =1×7+3×5-2×3=7+15-6=16。
（1）计算 的值。
（2）化简： 。
23．（2023七下·镇海区期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”．
（1）若，，求，的“和积数”；
（2）若，，求，的“和积数”；
（3）已知，且，的“和积数”，求用含的式子表示并计算的最小值．
24．（2023七下·榆林期末）【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规定：．
例如：．
（1）【问题推广】
先化简，再求值：，其中，；
（2）【拓展提升】
若，求p，q的值
25．（2024七下·深圳开学考）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．根据以上定义，回答下列问题：
（1）①下列两位数：50，44，35中，“互异数”为 ；②计算： ；
（2）一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，且，求的值；
（3）如果一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，且，求“互异数”的值．
26．（2024七下·揭西月考） 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
（1）根据上述规定，填空：＝ ；（ ，16）＝4；
（2）计算＝ ，并说明理由；
（3）利用“雅对”定义说明：，对于任意非0整数n都成立．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】由题意得，当x＞2时，2※x=2x2-x=4，解得x=43；
当x＜2时，2※x=2xx-2=4，解得x=4.
故x的值为4或43.
【分析】对于新定义的题目，需要紧扣题干的意思，按照定义的每一步正确代入计算即可.
2．【答案】B
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：B.
【分析】根据新运算的定义直接计算即可求解.
3．【答案】A
【知识点】解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得方程可化为2×3+x=2×4+2，
∴6+x=10，
∴x=4.
故答案为：A.
【分析】根据已知定义得到关于x的一元一次方程，解方程即可得答案.
4．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
则，故正确；
则，
；故错误；
则，
，故正确；
则，
，故错误，
故正确的为．
故答案为：D．
【分析】根据定义，分别计算等号的左边和等号的右边，即可判断，得出答案．
5．【答案】A
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：原式=(2×2mn)3÷(-4m3n2)=64m3n3÷(-4m3n2)=-16n.
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得原式=(2×2mn)3÷(-4m3n2)，然后利用积的乘方法则以及单项式与单项式的除法法则进行计算.
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算
【解析】【解答】解：①a*b=（a-b）2，b*a=（b-a）2=（a-b）2，①正确；
②（a*b）2=[（a-b）2]2=（a-b）4，a2*b2=（a2-b2）2=（a+b）2（a-b）2，②错误；
③（-a）*b=（-a-b）2=（a+b）2，a*（-b）=（a+b）2，③正确；
④a*（b+c）=（a-b-c）2=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc，a*b+a*c=（a-b）2+（a-c）2=a2-2ab+b2+a2-2ac+c2=2a2+b2+c2-2ab-2ac，④错误；
即正确的为①③，
故答案为：A.
【分析】根据新运算和完全平方公式分别计算等号的左边和右边，即可判断，得出答案.
7．【答案】A
【知识点】单项式除以单项式；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可得结果为：4m3n2÷2mn，然后根据单项式与单项式的除法法则进行计算.
8．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算可得(x-2)(x+2)=(x-2)(x+2+1)，然后根据多项式与多项式的乘法法则进行计算.
9．【答案】B
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解： ∵>2，
∴ 2=，
∵，3>，
∴ 3=，
即（ 2） =.
故答案为：B.
【分析】根据新定义的运算法则，分步进行计算，即可求出结果.
10．【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：如图1，
，
到l1的距离为2的点是两条平行于l1的直线l3、l4，到l2的距离为1的点是两条平行于l2直线l5、l6，
∵两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，
∴距离坐标为（2，1）的点的个数有4个．
故答案为：D．
【分析】根据两组直线的交点一共有4个：A、B、C、D，结合图形求解即可。
11．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算
【解析】【解答】解：=104×108=1012；
故答案为：A.
【分析】利用新运算可得=104×108，根据同底数幂的乘法法则进行计算即可.
12．【答案】A
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴
由②得，③，
将③代入①得，
，
将代入 ③得，，
即，
则，
故答案为：A．
【分析】先求出，再计算求解即可。
13．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：①∵x@y=（x+y）2-（x-y）2，
∴（x+y）2-（x-y）2=0，
∴4xy=0，
解得x=0或y=0，故①正确；
②∵x@（y+z）=（x+y+z）2-（x-y-z）2=4xy+4xz，
x@y+x@z=（x+y）2-（x-y）2+（x+z）2-（x-z）2=4xy+4xz，
∴x@（y+z）=x@y+x@z，故②正确；
③∵x@y=（x+y）2-（x-y）2，
令x2+5y2=（x+y）2-（x-y）2，
解得x=0，y=0，故③错误；
④∵x@y=（x+y）2-（x-y）2=4xy，（x-y）2≥0，
∴x2-2xy+y2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴x2+2xy+y2≥4xy，
∴4xy的最大值是x2+2xy+y2，
此时4xy=x2+2xy+y2，
解得x=y，
∴当x=y时，x@y最大，故④正确，
故其中正确的是①②④.
故答案为：B.
【分析】根据题目中规定的运算法则及完全平方公式分别运算与化简，并结合偶数次幂的非负性及有理数的乘法法则一一判断即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：.
【分析】根据新运算的定义列出式子，进而先根据去括号法则去掉中括号内的小括号，再合并中括号内的同类项，接着利用平方差公式计算乘法，最后利用单项式乘以多项式法则算出答案.
15．【答案】3
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得到：
∵
∴
∴
故答案为：3.
【分析】根据新运算的定义得到：根据题意得到进而即可求出x的值.
16．【答案】1
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵23=8，2-2=，且 ，
∴，
∴，
故答案为：1.
【分析】根据定义新运算先求出L(8)，L()的值，再代入计算即可.
17．【答案】1或4
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题中新定义可得，
∵m-1＞m-3
∴
∴m-1=0或m-3=1或m-3=-1且m-1为偶数，
∴m=1或4
故答案为：1或4.
【分析】先判断m-1和m-3的大小，再根据新定义写出等式，然后根据0指数幂的性质、“1”的任何次幂都等于1，“-1”的偶数次幂等于1，进行思考即可求出m的值.
18．【答案】xy
【知识点】整式的混合运算；定义新运算
【解析】【解答】解：∵ a★b=ab-a2，
∴ x★(x+y) =x（x+y）-x2=x2+xy-x2=xy.
故答案为：xy.
【分析】根据新定义运算法则列出式子，进而计算单项式与多项式的乘法，最后合并同类项即可.
19．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：
故答案为：-1.
【分析】先根据新定义的运算列出算式，再利用平方差公式进行简便运算.
20．【答案】①④
【知识点】多项式乘多项式；定义新运算
【解析】【解答】解： a b=(a+b)(a-3)，
①4 5=（4+5)(4-3）=9，故正确，
②∵a b=(a+b)(a-3)，b a=(a+b)(b-3) ，
∴ a b≠b a，故错误；
③若a b=0，则 a b=(a+b)(a-3)=0，
∴a+b=0 或a=3，故错误；
④若a+b=0，则a b=(a+b)(a-3)=0， 即a b=0，故正确．
故答案为：①④.
【分析】由a b=(a+b)(a-3)逐项列式计算，再判断即可.
21．【答案】（1）3
（2）解：因为，，
所以，即，所以，
所以，
所以
．
【知识点】定义新运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）由题意得．
【分析】（1）根据定义新运算结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到，即，进而得到，，再进行定义新运算即可求解。
22．【答案】（1）解： =2×4+3×3-2×(-1)=19
（2）解： =(x+y)(-3x-y)+3(7xy-x )-2(2xy-3x +1)
=-3x2-4xy-y2+21xy-3x2-4xy+6x2-2
=-y2+13xy-2
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算；定义新运算
【解析】【分析】（1）根据定义新运算列出算式，进而根据有理数的混合运算法则即可算出答案；
（2）根据定义新运算列出代数式，再根据整式的混合运算顺序算出结果.
23．【答案】（1）解：由题意得，．
即所求，的“和积数”为
（2）解：由题意得，．
，，
．
．
或．
或．
（3）解：由题意，，
，，
．
若，式子变为．
为任何数，不存在最小值．
若，又，
．
．
．
当时，有最小值为．
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】 （1）由题意得，根据“和积数”的定义，代入数据得出答案；
（2）由题意得，根据“和积数”的定义，展开括号得出代数式，由条件求出a+b的值，最后代入得出答案；
（3）把a、c的值代入化简整理，分情况讨论得出答案.
24．【答案】（1）解：
．
当，时，原式．
（2）解：
．
又因为，所以，．
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据规定先列式再整理，最后将a、b值代入计算即可；
（2）根据规定，可得，据此即可求解.
25．【答案】（1）35；7
（2）解：一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，
所以==m+n.
因为，
所以.
（3）解：一个“互异数”的十位数字是，个位数字是，
所以
.
又因为，
所以，解得k=3.
所以，，
所以“互异数”c的值为71.
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）①根据定义，因为“互异数”的个位数字和十位数字互不相同，且都不为0，
所以50不是“互异数”，它的个位数字是0，44不是“互异数”，它的个位数字和十位数字相同，35是“互异数”.
②==7.
故答案为：35；7；
【分析】（1）①根据“互异数”的定义逐个判断即可得到答案；②根据“互异数”的定义进行计算即可得到答案；
(2)根据“互异数”的定义表示出，再结合即可得出答案；
(3)根据“互异数"的定义表示出，再根据得到关于k的方程，求出k的值即可得到答案.
26．【答案】（1）3；±2
（2）
（3）解：设，，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，对于任意自然数n都成立．
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）
∴
∵
∴
故答案为：3，±2；
（2）设
∴
∴
∵
∴
故答案为：；
【分析】（1）根据雅对的定义即可求解；
（2）设利用雅对的定义得到：进而即可求解；
（3）设，，利用雅对的定义得到：，，然后根据幂的乘方得到：，即可得到进而即可求证.
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