命题新趋势6 开放型问题——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、选择题
1．（2023七下·黄浦期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020七下·凤县期末）一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可
3．（2023七下·成都期末）如图，和相交于点E，，请添加一个条件（只添加一个即可），使，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2023七下·双鸭山期末）如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）.
5．（2022七下·通州期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，请你写出一个能使成立的条件： ．（只写一个即可，不添加任何字母或数字）
6．（2024七下·清城期中）如图，直线，被直线所截，若要证明直线，需要添加条件 ．（填一个条件即可）
7．（2023七下·市北区期末）如图，，现要添加一个条件使，可以添加 ．（只添一个即可）．
8．（2023七下·佳木斯期末）如图，已知四边形，要使，添加的条件是 填一个即可．
9．（2023七下·礼泉期末）如图，请写出一个能使得DE∥BC的条件： .(只写一个即可)
10．（2023七下·顺义期末）①，②，③，④，⑤，任选两个作为题设，一个作为结论，构成一个真命题．你的选择是：题设是 ，结论是 ．（填写编号）
11．（2023七下·顺义期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是 （写出一组满足题意的序号）．
①；②和互余；③；④．
12．（2022七下·太原期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，点D在AB边上（不与A、B重合），连接CD，将△ACD沿CD所在直线折叠得到△A′CD，A′C交AB于点E．
请从A、B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．如图1，若A′D∥BC，则∠ACD的度数为 ．
B．如图2，若A′E＝A′D，则∠ACD的度数为 ．
13．（2022七下·子洲期末）已知某三角形的两条边长分别为4和9，则其第3三边的长可能是 ．（写出一个即可）
14．（2023七下·大兴期中）如图，点C在射线上，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．（2024七下·青秀月考） 如图，，在不添加其他辅助线的情况下，若要使直线，则需要添加的条件为 （写出一个即可）．
16．（2021七下·石景山期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 ，则有CE∥DF，理由是 ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
17．（2023七下·禅城期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；
三、作图题
18．（2023七下·莲湖月考）在的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形，画出符合条件的小正方形（最少两种）．
19．（2023七下·北京市期中）如图，点A、C在∠MON的一边OM上，AB⊥ON于点B，CD⊥OM交射线ON于点D．按要求画图并猜想证明：
（1）过点C画ON的垂线段CE，垂足为点E；
（2）过点E画EF∥OC，交CD于点F．请你猜想∠OAB与∠CEF的数量关系，并证明你的结论．
四、解答题
20．（2022七下·乐亭期中）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
21．（2023七下·崆峒期中）如图，，分别探讨下面四个图形中与、的关系，请你从（3）或（4）中任选一个加以说明．
22．（2023七下·姜堰期中）如图，在中，线段是的高．给出下列三个选项：①；②；③．从上述三个选项中任选两个作为条件，另一个作为结论，使结论成立，并说明理由．
已知： ▲ ，结论： ▲ ．（填序号）
理由：
23．（2022七下·四平期中）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
已知： ▲ ．结论： ▲ ．
理由：
24．（2023七下·高要期末）如图，，点是直线之间的一点，连接．
探究猜想：
①若，则 ▲ ；
②若，则 ▲ ；
③猜想图中的关系，并证明你的结论．
25．（2023七下·杨浦期末）如图，已知点是线段上一点，，．猜想、、之间的数量关系并证明．
26．（2022七下·泗洪期末）如图，有三个条件：①，②，③，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：
以③作为结论的命题是：如图，已知，，求证：
（1）请按要求写出命题：
以①作为结论的命题是： ；
以②作为结论的命题是： ；
（2）请证明以②作为结论的命题．
27．（2023七下·长春期末）【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分、于D，猜想、、的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）
10 30 30 20 20
70 70 60 60 80
30 a 15 20 30
上表中a＝ ，猜想与、的数量关系并证明 ．
（2）【变式应用】
小明继续研究，在图②中，，，其它条件不变，若把“于D”改为“点F是线段上任意一点，于D”，则 （直接写出结果）．
（3）小明提出问题，在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于D，试探究与、的数量关系 （直接写出结论，不需证明）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：四条木棒任选三根，有以下几种组合方式：①2、3、5；②2、3、6；③2、5、6；④3、5、6。其中①②不能组成三角形，③④可以组成三角形。
故答案为：B。
【分析】首先把任选三根木棒的组合方式找出来，然后根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形即可。
2．【答案】D
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，
带①、④可以用“角边角”确定三角形，
带②④可以延长还原出原三角形，
故选D．
【分析】②④虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带①、④可以用“角边角”确定三角形；带③、④也可以用“角边角”确定三角形．
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在△ABE和△CDE中：已知BE=DE，且对顶角∠AEB=∠CED，
∴可增加的条件为：①AE=CE，根据SAS；②∠B=∠D，根据ASA；③∠A=∠C，根据AAS；
∴B，C，D均正确；
A：添加AB=CD，满足的是两边和其中一边的对角对应相等，这样不能判定三角形全等。
故答案为：A。
【分析】根据三角形全等的判定进行判断即可得出答案。
4．【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：根据“同位角相等，两直线平分”，可添：∠A=∠EDC；根据“同旁内角互补，两直线平行”，可添：∠A+∠ADC=180°或∠B+∠C=180°.
故答案为：∠A=∠EDC(答案不唯一).
【分析】根据相应的平行线的判定，可填入相应的角之间的关系.
5．【答案】或或
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当或或时，，
故答案为：或或．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
7．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：
在△ABD和△ACD中
故答案为： （答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案。
8．【答案】答案不唯一
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）即可确定答案.
9．【答案】∠ADE=∠B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵DE和BC被AB所截，
∴当∠ADE=∠B时，AD平行BC（同位角相等，两直线平行）
故答案为：∠ADE=∠B.
【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补写出结论.
10．【答案】①④；②
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：题设：①AB//CD，④∠3=∠4，结论：②∠1=∠2.
证明如下：如图所示：
∵AB//CD，
∴∠AGF= ∠3，
∵∠3= ∠4，
∴∠AGF= ∠4，
∴EF//MN，
∴∠FGB= ∠2，
∵∠FGB= ∠1，
∴∠1= ∠2，
故答案为：①④，②.
【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形证明求解即可。
11．【答案】①③（答案不唯一）
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【解答】解：选择 ①；③；
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
故答案为：①③（答案不唯一） .
【分析】根据垂线的定义，余角的性质计算求解即可。
12．【答案】A（或B）；25；15°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：任意选择A或B解答．
A．∵A′D∥BC，
∴∠A′CB=A′=∠A=40°，
∴∠A′CA=90°-40°=50°，
∵∠A′CD=∠ACD，
∴∠ACD=25°，
故答案为：25°；
B．∵A′E＝A′D，∠A′＝∠A=40°，
∴∠A′ED＝∠A′DE=70°，
∴∠BEC=∠A′ED=70°，
∵∠B=90°-∠A=50°，
∴∠BCE=180°-∠B-∠BEC=60°，
∴∠A′CA=30°，
∴∠ACD=15°，
故答案为：15°．
【分析】若选A：由平行线的性质及折叠可得∠A′CB=A′=∠A=40°，∠A′CD=∠ACD，从而求出∠A′CA=90°-40°=50°，继而得出∠ACD的度数；若选B：由等腰三角形的性质可求出∠A′ED＝∠A′DE=70°，由对顶角相等可得∠BEC=∠A′ED=70°，根据三角形内角和求出∠BCE的度数，从而求出∠A′CA的度数，根据折叠的性质即可求解.
13．【答案】9(答案不唯一)
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长为x，
∴5＜x＜13，
∴第三边的长可能是9，
故答案为：9（答案不唯一）．
【分析】根据三边法则，得出第三边的范围，即5＜x＜13，写出一个符合值即可，如9.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴AB∥CE（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：
【分析】根据平行线的判定方法进行添加即可（答案不唯一）.
15．【答案】或∠4=108°（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∠1=72°，
当∠5=72°，
∠1=∠5， （内错角相等，两直线平行）.
当∠4=108°，
∠1+∠4=180°，（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：∠5=72°或∠4=108°（答案不唯一，填一个即可.）
【分析】根据平行线的判定定理判定即可.
16．【答案】∠3=∠F；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：若∠3=∠F，则CE∥DF，
理由是：同位角相等，两直线平行，
故答案为：∠3=∠F，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
17．【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加：∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
故答案为：∠A=∠D.
【分析】已知，， 欲使，可根据ASA、AAS、SAS进行添加即可.
18．【答案】解：如图所示，
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
19．【答案】（1）解：按要求画图如下图：
（2）解：∠OAB与∠CEF的数量关系是：∠OAB=∠CEF．
证明：
∵AB⊥ON，CE⊥ON（已知），
∴∠OBA=∠OEC=90°（垂直定义）．
∴AB∥CE（同位角相等，两条直线平行）．
∴∠OAB=∠OCE（两直线平行，同位角相等）．
∵EF∥OC，
∴∠OCE=∠CEF（两直线平行，内错角相等）．
∴∠OAB=∠CEF（等量代换）．
【知识点】平行线的性质；尺规作图-垂线
【解析】【分析】 (1)作图，作已知直线的垂线；(2)作已知直线的平行线，根据平行线性质进行等量代换即可得知∠OAB与∠CEF的数量关系是：∠OAB=∠CEF．
20．【答案】解：已知：，
求证：
证明：如图，
∵
又
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【分析】利用命题的定义，平行线的判定方法和性质求解即可。
21．【答案】解：图结论；图结论；图结论；图结论，理由如下：
如图1：过点作，
即：，
∴，，
∵，
即 ；
如图2：过点作 ，
即：，
，，
两式相加得： ，
即；
如图，延长与交于点.
，
（两直线平行，同位角相等），
又(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
；
如图：
，
（两直线平行，同位角相等），
又(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ．
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质，结合图形计算求解即可。
22．【答案】解：已知：①②，结论：③；
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】已知①②；结论③；根据∠B=∠ADG可得DG∥BC，由平行线的性质可得∠2=∠DCB，结合∠1=∠2可得∠1=∠DCB，推出EF∥CD，结合CD⊥AB可得结论.
23．【答案】解：∠1=∠2；∠B=∠C；
求证：，
理由：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【分析】利用命题的定义及平行线的判定方法和性质求解即可。
24．【答案】解：作，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
①若，则；
故答案为：；
②若，则；
故答案为：；
③的关系是：，
作，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】①作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，则∠AEC=∠A+∠C，据此计算；
②同①可得∠AEC=∠A+∠C，据此计算；
③同①进行解答.
25．【答案】解：，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 ，理由：根据AAS证明△ACD≌△BEC，可得AD=BCC，AC=BE，从而得出 ， 继而得解.
26．【答案】（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．
（2）解：∵∠1＝∠2
∴DB//EC
∴∠DBA=∠C
∵∠A＝∠F
∴DF//AC
∴∠D=∠DBA
∴∠C=∠D．
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．
如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．
【分析】（1）以①作为结论的命题是：已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；以②作为结论的命题是：已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D；
（2）根据∠1＝∠2可得DB//EC，由平行线的性质可得∠DBA=∠C ，根据∠A＝∠F可得DF//AC， 由平行线的性质可得∠D=∠DBA，据此可得结论.
27．【答案】（1）20；解：，，， ， ．
（2）20
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1） ， ，
，
中， ，
平分 ，
，
，
；
（2）过点A作 于G，如图所示：
， ，
，
，
， ，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：20．
（3）过A作 于G，而 ，如图所示：
，
，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：
【分析】（1）先根据三角形内角和定理即可得到 ，再结合题意运用角平分线的性质即可求解；
（2）过点A作 于G，先根据平行线的判定与性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解；
（3）过A作 于G，而 ，先根据平行线的性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解。
1 / 1命题新趋势6 开放型问题——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、选择题
1．（2023七下·黄浦期末）现有2cm，3cm，5cm，6cm长的四根木棒，任选其中的三根组成三角形，那么可以组成三角形的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：四条木棒任选三根，有以下几种组合方式：①2、3、5；②2、3、6；③2、5、6；④3、5、6。其中①②不能组成三角形，③④可以组成三角形。
故答案为：B。
【分析】首先把任选三根木棒的组合方式找出来，然后根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形即可。
2．（2020七下·凤县期末）一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可
【答案】D
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：带③、④可以用“角边角”确定三角形，
带①、④可以用“角边角”确定三角形，
带②④可以延长还原出原三角形，
故选D．
【分析】②④虽没有原三角形完整的边，又没有角，但延长可得出原三角形的形状；带①、④可以用“角边角”确定三角形；带③、④也可以用“角边角”确定三角形．
3．（2023七下·成都期末）如图，和相交于点E，，请添加一个条件（只添加一个即可），使，下列不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在△ABE和△CDE中：已知BE=DE，且对顶角∠AEB=∠CED，
∴可增加的条件为：①AE=CE，根据SAS；②∠B=∠D，根据ASA；③∠A=∠C，根据AAS；
∴B，C，D均正确；
A：添加AB=CD，满足的是两边和其中一边的对角对应相等，这样不能判定三角形全等。
故答案为：A。
【分析】根据三角形全等的判定进行判断即可得出答案。
二、填空题
4．（2023七下·双鸭山期末）如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）.
【答案】
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：根据“同位角相等，两直线平分”，可添：∠A=∠EDC；根据“同旁内角互补，两直线平行”，可添：∠A+∠ADC=180°或∠B+∠C=180°.
故答案为：∠A=∠EDC(答案不唯一).
【分析】根据相应的平行线的判定，可填入相应的角之间的关系.
5．（2022七下·通州期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，请你写出一个能使成立的条件： ．（只写一个即可，不添加任何字母或数字）
【答案】或或
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当或或时，，
故答案为：或或．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
6．（2024七下·清城期中）如图，直线，被直线所截，若要证明直线，需要添加条件 ．（填一个条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
7．（2023七下·市北区期末）如图，，现要添加一个条件使，可以添加 ．（只添一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：
在△ABD和△ACD中
故答案为： （答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定定理即可求出答案。
8．（2023七下·佳木斯期末）如图，已知四边形，要使，添加的条件是 填一个即可．
【答案】答案不唯一
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】根据平行线的判定（同旁内角互补，两直线平行）即可确定答案.
9．（2023七下·礼泉期末）如图，请写出一个能使得DE∥BC的条件： .(只写一个即可)
【答案】∠ADE=∠B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵DE和BC被AB所截，
∴当∠ADE=∠B时，AD平行BC（同位角相等，两直线平行）
故答案为：∠ADE=∠B.
【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补写出结论.
10．（2023七下·顺义期末）①，②，③，④，⑤，任选两个作为题设，一个作为结论，构成一个真命题．你的选择是：题设是 ，结论是 ．（填写编号）
【答案】①④；②
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：题设：①AB//CD，④∠3=∠4，结论：②∠1=∠2.
证明如下：如图所示：
∵AB//CD，
∴∠AGF= ∠3，
∵∠3= ∠4，
∴∠AGF= ∠4，
∴EF//MN，
∴∠FGB= ∠2，
∵∠FGB= ∠1，
∴∠1= ∠2，
故答案为：①④，②.
【分析】根据平行线的判定与性质，结合图形证明求解即可。
11．（2023七下·顺义期末）如图，点O在直线上，过点O作射线，，．从下面的四个条件中任选两个，可以推出的是 （写出一组满足题意的序号）．
①；②和互余；③；④．
【答案】①③（答案不唯一）
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念
【解析】【解答】解：选择 ①；③；
∴∠1+∠2=∠3+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
故答案为：①③（答案不唯一） .
【分析】根据垂线的定义，余角的性质计算求解即可。
12．（2022七下·太原期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，点D在AB边上（不与A、B重合），连接CD，将△ACD沿CD所在直线折叠得到△A′CD，A′C交AB于点E．
请从A、B两题中任选一题作答．我选择 题．
A．如图1，若A′D∥BC，则∠ACD的度数为 ．
B．如图2，若A′E＝A′D，则∠ACD的度数为 ．
【答案】A（或B）；25；15°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：任意选择A或B解答．
A．∵A′D∥BC，
∴∠A′CB=A′=∠A=40°，
∴∠A′CA=90°-40°=50°，
∵∠A′CD=∠ACD，
∴∠ACD=25°，
故答案为：25°；
B．∵A′E＝A′D，∠A′＝∠A=40°，
∴∠A′ED＝∠A′DE=70°，
∴∠BEC=∠A′ED=70°，
∵∠B=90°-∠A=50°，
∴∠BCE=180°-∠B-∠BEC=60°，
∴∠A′CA=30°，
∴∠ACD=15°，
故答案为：15°．
【分析】若选A：由平行线的性质及折叠可得∠A′CB=A′=∠A=40°，∠A′CD=∠ACD，从而求出∠A′CA=90°-40°=50°，继而得出∠ACD的度数；若选B：由等腰三角形的性质可求出∠A′ED＝∠A′DE=70°，由对顶角相等可得∠BEC=∠A′ED=70°，根据三角形内角和求出∠BCE的度数，从而求出∠A′CA的度数，根据折叠的性质即可求解.
13．（2022七下·子洲期末）已知某三角形的两条边长分别为4和9，则其第3三边的长可能是 ．（写出一个即可）
【答案】9(答案不唯一)
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三边的长为x，
∴5＜x＜13，
∴第三边的长可能是9，
故答案为：9（答案不唯一）．
【分析】根据三边法则，得出第三边的范围，即5＜x＜13，写出一个符合值即可，如9.
14．（2023七下·大兴期中）如图，点C在射线上，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴AB∥CE（同位角相等，两直线平行）.
故答案为：
【分析】根据平行线的判定方法进行添加即可（答案不唯一）.
15．（2024七下·青秀月考） 如图，，在不添加其他辅助线的情况下，若要使直线，则需要添加的条件为 （写出一个即可）．
【答案】或∠4=108°（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∠1=72°，
当∠5=72°，
∠1=∠5， （内错角相等，两直线平行）.
当∠4=108°，
∠1+∠4=180°，（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：∠5=72°或∠4=108°（答案不唯一，填一个即可.）
【分析】根据平行线的判定定理判定即可.
16．（2021七下·石景山期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，若满足条件 ，则有CE∥DF，理由是 ．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【答案】∠3=∠F；同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：若∠3=∠F，则CE∥DF，
理由是：同位角相等，两直线平行，
故答案为：∠3=∠F，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
17．（2023七下·禅城期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使得．添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）；
【答案】（答案不唯一）
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：添加：∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
故答案为：∠A=∠D.
【分析】已知，， 欲使，可根据ASA、AAS、SAS进行添加即可.
三、作图题
18．（2023七下·莲湖月考）在的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形，画出符合条件的小正方形（最少两种）．
【答案】解：如图所示，
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
19．（2023七下·北京市期中）如图，点A、C在∠MON的一边OM上，AB⊥ON于点B，CD⊥OM交射线ON于点D．按要求画图并猜想证明：
（1）过点C画ON的垂线段CE，垂足为点E；
（2）过点E画EF∥OC，交CD于点F．请你猜想∠OAB与∠CEF的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：按要求画图如下图：
（2）解：∠OAB与∠CEF的数量关系是：∠OAB=∠CEF．
证明：
∵AB⊥ON，CE⊥ON（已知），
∴∠OBA=∠OEC=90°（垂直定义）．
∴AB∥CE（同位角相等，两条直线平行）．
∴∠OAB=∠OCE（两直线平行，同位角相等）．
∵EF∥OC，
∴∠OCE=∠CEF（两直线平行，内错角相等）．
∴∠OAB=∠CEF（等量代换）．
【知识点】平行线的性质；尺规作图-垂线
【解析】【分析】 (1)作图，作已知直线的垂线；(2)作已知直线的平行线，根据平行线性质进行等量代换即可得知∠OAB与∠CEF的数量关系是：∠OAB=∠CEF．
四、解答题
20．（2022七下·乐亭期中）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【答案】解：已知：，
求证：
证明：如图，
∵
又
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【分析】利用命题的定义，平行线的判定方法和性质求解即可。
21．（2023七下·崆峒期中）如图，，分别探讨下面四个图形中与、的关系，请你从（3）或（4）中任选一个加以说明．
【答案】解：图结论；图结论；图结论；图结论，理由如下：
如图1：过点作，
即：，
∴，，
∵，
即 ；
如图2：过点作 ，
即：，
，，
两式相加得： ，
即；
如图，延长与交于点.
，
（两直线平行，同位角相等），
又(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，
；
如图：
，
（两直线平行，同位角相等），
又(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ．
．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】利用平行线的判定与性质，结合图形计算求解即可。
22．（2023七下·姜堰期中）如图，在中，线段是的高．给出下列三个选项：①；②；③．从上述三个选项中任选两个作为条件，另一个作为结论，使结论成立，并说明理由．
已知： ▲ ，结论： ▲ ．（填序号）
理由：
【答案】解：已知：①②，结论：③；
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】已知①②；结论③；根据∠B=∠ADG可得DG∥BC，由平行线的性质可得∠2=∠DCB，结合∠1=∠2可得∠1=∠DCB，推出EF∥CD，结合CD⊥AB可得结论.
23．（2022七下·四平期中）如图，有三个论断：①；②；③，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
已知： ▲ ．结论： ▲ ．
理由：
【答案】解：∠1=∠2；∠B=∠C；
求证：，
理由：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【分析】利用命题的定义及平行线的判定方法和性质求解即可。
24．（2023七下·高要期末）如图，，点是直线之间的一点，连接．
探究猜想：
①若，则 ▲ ；
②若，则 ▲ ；
③猜想图中的关系，并证明你的结论．
【答案】解：作，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
①若，则；
故答案为：；
②若，则；
故答案为：；
③的关系是：，
作，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】①作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，则∠AEC=∠A+∠C，据此计算；
②同①可得∠AEC=∠A+∠C，据此计算；
③同①进行解答.
25．（2023七下·杨浦期末）如图，已知点是线段上一点，，．猜想、、之间的数量关系并证明．
【答案】解：，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 ，理由：根据AAS证明△ACD≌△BEC，可得AD=BCC，AC=BE，从而得出 ， 继而得解.
26．（2022七下·泗洪期末）如图，有三个条件：①，②，③，从中任选两个作为已知条件，另一个作为结论，可以组成3个命题，例如：
以③作为结论的命题是：如图，已知，，求证：
（1）请按要求写出命题：
以①作为结论的命题是： ；
以②作为结论的命题是： ；
（2）请证明以②作为结论的命题．
【答案】（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．
（2）解：∵∠1＝∠2
∴DB//EC
∴∠DBA=∠C
∵∠A＝∠F
∴DF//AC
∴∠D=∠DBA
∴∠C=∠D．
【知识点】平行线的判定与性质；定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：（1）如图，已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2．
如图，已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．
【分析】（1）以①作为结论的命题是：已知∠C＝∠D，∠A＝∠F，求证：∠1＝∠2；以②作为结论的命题是：已知∠1＝∠2，∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D；
（2）根据∠1＝∠2可得DB//EC，由平行线的性质可得∠DBA=∠C ，根据∠A＝∠F可得DF//AC， 由平行线的性质可得∠D=∠DBA，据此可得结论.
27．（2023七下·长春期末）【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分、于D，猜想、、的数量关系．
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）
10 30 30 20 20
70 70 60 60 80
30 a 15 20 30
上表中a＝ ，猜想与、的数量关系并证明 ．
（2）【变式应用】
小明继续研究，在图②中，，，其它条件不变，若把“于D”改为“点F是线段上任意一点，于D”，则 （直接写出结果）．
（3）小明提出问题，在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于D，试探究与、的数量关系 （直接写出结论，不需证明）．
【答案】（1）20；解：，，， ， ．
（2）20
（3）
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1） ， ，
，
中， ，
平分 ，
，
，
；
（2）过点A作 于G，如图所示：
， ，
，
，
， ，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：20．
（3）过A作 于G，而 ，如图所示：
，
，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：
【分析】（1）先根据三角形内角和定理即可得到 ，再结合题意运用角平分线的性质即可求解；
（2）过点A作 于G，先根据平行线的判定与性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解；
（3）过A作 于G，而 ，先根据平行线的性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解。
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