命题新趋势7 阅读理解——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、选择题
1．（2024七下·吴兴期中） 请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如上图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线和书本所在平面所成角度不可能为以下哪个角度（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得，，，过 C作，
，，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】如图，由题意得，过作，由平行线的性质可得，，根据，求出的取值范围即可．
二、作图题
2．（2023七下·小店期中）阅读下列材料，回答问题．
如图1，小明将三角形纸片折叠，使点和重合，折痕为，连接，展开纸片后小明认为和的面积相等．理由如下：
由折叠知，．
过点作于点，，，所以．
请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．
【答案】解：如图，即为所作
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意结合作图-垂直平分线即可求解。
三、解答题
3．（2024七下·高州月考）阅读下列各式：，……．
请回答下列问题：
（1）计算： ， ．
（2）通过上述规律，归纳得出： ； ．
（3）请应用上述性质计算：．
【答案】（1）1；1
（2）；
（3）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：（1），
，
故答案为：1；1；
（2）由题意得，，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据积的乘方法则，计算求解即可；
（2）根据积的乘方法则进行求解即可；
（3）把同底数幂的乘法法则及积的乘方运算法则将原式变形为，据此求解即可．
4．（2024七下·秦都月考）阅读下面的材料：
；
；
……
利用上面材料中的方法解答下列各题：
（1）① ；
② ；
（2）计算：．
【答案】（1）；；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1） ①；
②，
故答案为：，，.
【分析】（1）根据阅读材料中的规律，分别求解即可.
（2）利用（1）中的规律可得到，再求出，依次计算，可求出结果.
5．（2024七下·禅城月考）阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点在直线上，点在直线上，，．
求证：
证明：（已知）
（ ），
（等量代换），
▲ ▲ （ ），
▲ （ ），
又（已知），
（等量代换），
▲ ▲ （ ），
（ ）．
【答案】证明：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由∠1=∠2，∠2=∠DCG，根据等量代换可以得到：∠1=∠DCG，再根据同位角相等，两直线平行可得：BD∥CE，由两直线平行，同旁内角互补可得：∠3+∠C=180°，再结合已知∠3=∠4可以得到∠4+∠C=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：AC∥DF，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可以得到∠A=∠F.
6．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明一些等式成立，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明。
（1）根据图②写出一个等式：
（2）已知等式：(x+1)(x+3)=x2+4x+3，请你画出一个相应的几何图形加以说明．(仿照图①或图②画出图形即可)．
【答案】（1）
（2）解：如图：
其中一条边可看作x+1，另一条边可看作x+3，四个区域面积的和即为计算结果.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）由题意及图，等式为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；
故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2.
【分析】（1）仿照图①计算面积的方法进行计算可得结果；
（2）类比图①进行画图即可求解.
四、综合题
7．（2023七下·槐荫期中）阅读下列材料，并补充完整，然后解答问题
（1）试比较的大小，并完成填空
解：（ ）11，同理：（ ）11，（ ）11
因为：当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大．所以： ＜ ＜ ．
（2）请利用上述解题思路比较的大小．
【答案】（1）243；256；125；；；
（2）解：∵，，，
且，
∴，
所以．
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，，
∴＜＜，
故答案为：243；256；125；；；；
【分析】（1）根据有理数的乘方结合题意即可求解；
（2）根据（1）中的思路即可直接求解。
8．（2023七下·徐州月考）阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
（1）归纳得（ab）n＝ ；（abc）n＝ ；
（2）计算4100×0.25100＝ ；（）5×35×（）5＝ ；
（3）应用上述结论计算：的值.
【答案】（1）；
（2）1；1
（3）解：
.
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）解：根据已知等式可归纳出，，
故答案为：，；
（2）解：，
，
故答案为：1，1；
【分析】（1）由积的乘方法则可求解；
（2）逆用积的乘方法则可求解；
（3）逆用积的乘方法则和幂的乘方法则“（am）n=amn”可求解
9．（2022七下·沈北新期中）阅读下面的材料，并解决问题
（1）已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，
请直接写出下列角度的度数，
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
（2）如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A
（3）如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
【答案】（1）120°；30°；60°
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90°+∠A．
（3）解：设∠ABO2=∠O2BO1=∠O1BC=α，∠ACO2=∠BCO2=β，
∴2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°
解得：α=20°，β=25°
∴∠ABC+∠ACB=3α+2β=60°+50°=110°，
∴∠A=70°．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①在图1中：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
=（∠ABC+∠ACB）
=（180°-∠BAC）
=（180°-60°）
=60°
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°；
②在图2中：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A
∴∠OCD=（∠ABC+∠A）
∵∠OCD=∠OBC+∠O
∴∠O=∠OCD-∠OBC
=∠ABC+∠A-∠ABC
=∠A
=30°．
③在图3中：
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC=∠EBC，∠OCB=∠BCD
∴∠OBC+∠OCB
=（∠EBC+∠BCD）
=（∠A+∠ACB+∠BCD）
=（∠A+180°）
=（60°+180°）
=120°
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=60°．
故答案为：120°，30°，60°．
【分析】（1）利用角平分线的定义、角的运算及等量代换求解即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再利用角的运算和等量代换求出∠O=90°+∠A即可；
（3）设∠ABO2=∠O2BO1=∠O1BC=α，∠ACO2=∠BCO2=β，利用角的运算可得∠ABC+∠ACB=3α+2β=60°+50°=110°，再求出∠A=70°即可。
10．（2023七下·兴宁期末）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴cm，，
∴(cm)，
即的长为0.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴B点坐标为（4，1）．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用垂线的定义证得∠ADC=∠CEB=90°，再由同角的余角相等可得∠DAC=∠ECB，进而通过AAS判定△ADC≌△CEB；
（2）先利用垂线的定义证得得∠ADC=∠CEB=90°，再由同角的余角相等可得∠ACD=∠CBE，进而通过AAS判定△ADC≌△CEB，得AD=CE=2.5cm，CD=BE，的长度，然后根据线段的和差可求得BE的长；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，由由同角的余角相等可得∠EAC=∠FCB，再通过AAS判定△AEC≌△CFB，得到AE=CF=3，BF=CE=2，然后根据线段的和差算出FG、BH的长，进而求得点B坐标.
11．（2022七下·剑阁期末）阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作， ， ．
．
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数．
（3）深化拓展：如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请你直接写出的度数．（用含的代数式表示）.
【答案】（1）∠EAB；∠DAC
（2）解：如图2，过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥AB∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，∠B+∠BCF=180°，
∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°.
（3）解：①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF=n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=n°+30°；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°-∠ABE，∠CDE＝∠DEF
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF＝180°-n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=180°-n°+30°=-n°+210°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC.
故答案为：∠EAB，∠DAC.
【分析】（1）过点A作ED∥BC，根据平行线性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，据此填空即可；
（2）如图2，过C作CF∥AB，易得CF∥AB∥DE，从而得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠BCF=180°，等量换即可得∠B+∠BCD+∠D＝360°；
（3）分两种情况：①如图3，过点E作EF∥AB；②如图4，过点E作EF∥AB，根据平行线性质分别表示出∠BEF与∠ABE的关系，∠DEF与∠CDE的关系，再根据角平分线定义得∠ABE＝n°，∠CDE＝30°，从而求得∠BEF和∠DEF的度数，再由∠BED＝∠BEF+∠DEF，代入数据计算，即可求解.
12．（2020七下·江阴期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°.判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B.若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数.
【答案】（1）36°或18°
（2）解：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”.
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°.
故答案为：18°或36°.
【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可.
五、实践探究题
13．（2024七下·江南月考） 阅读下列材料，解决相应问题．
（1）【学科融合】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，反射角入射角，这就是光的反射定律．
在图1中，证明；
（2）【问题解决】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由可知，光线经过平面镜反射时，有，；
①请问和有什么关系？并说明理由；
②请问光线和是否平行？并说明理由．
【答案】（1）证明 ：∵，，
∴.
（2）解：①∠2=∠5，理由如下：
∵，
∴；
②平行，理由如下：
由材料可知，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；
（2）①根据两直线平行，内错角相等即可求解；
②结合题意推得∠3=∠6，根据内错角相等，两直线平行即可求解.
14．阅读材料，并解答下列问题：
我们知道，利用图形面积的不同计算方法，有些几何图形能直观地反应某些恒等式的对应关系．
例如：
（1）如图1，反应的是a2+2ab+b2= ．
（2）如图2，反应的是a2-b2= ．
（3）如图3，反应的是2a2+3ab+b2= ．
【答案】（1）（a+b）2
（2）（a+b）（a-b）
（3）（a+b）（2a+b）
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图1可得，四块的面积和等于边长为（a+b）的正方形面积，
即，a2+2ab+b2=（a+b）2，
故答案为：（a+b）2.
（2）图2左图剩余的面积为a2-b2，拼成右图的面积为，
故答案为：（a+b）（a-b）.
（3）图3中六块的面积和是长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形面积，即（2a+b）（a+b），
故答案为：（a+b）（2a+b）.
【分析】（1）图1中四块图形的面积和为边长为（a+b）的正方形的面积，进而可得出答案，
（2）图2左图与右图的关系，分别表示出来，可以得出答案，
（3）图3中六块的面积和是长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形面积，从而得出答案.
15．阅读材料：
我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明(a+n)(b+m)=ab+am+nb+mn.实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如： 就可以用图1的面积关系来说明。
解答问题：
（1）根据图2写出一个等式： .
（2）已知等式： 请你画出一个相应的几何图形加以说明(仿照图1或图2画出图形即可).
【答案】（1）(2a+b)(a+2b)=2a2+2b2+5ab
（2）解：如图，可画出的几何图形如下：其中一条边看成x+1，另一条边看成x+3，四个小矩形的面积和就是两个多项式乘积的计算结果.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）利用整体法可得图2的面积为(2a+b)(a+2b)，
根据部分法可得图2的面积为2a2+2b2+5ab，
∴可得等式为(2a+b)(a+2b)=2a2+2b2+5ab；
故答案为：(2a+b)(a+2b)=2a2+2b2+5ab；
【分析】（1）利用整体法及部分法分别表示出图2的面积，根据面积相等即可建立等式；
（2）仿照图1画出一个一条边看成x+1，另一条边看成x+3，四个小矩形的面积和就是两个多项式乘积的计算结果的图形即可.
16．（2024七下·潜山期中） 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题：
（1）【类比应用】①若，，则的值为 ；
②若，则 ；
（2）【迁移应用】两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
【答案】（1）20；13
（2）解：设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是22．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，，
，，
，
故答案为：20；
②令，，
，，
，
故答案为：13；
【分析】（1）①利用完全平方公式及变式分析求解即可；
②令，，可得，，再利用完全平方公式及变式分析求解即可；
（2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，再结合求出，最后求出即可.
17．（2024七下·深圳期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围.
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使.请根据小明的方法思考：
（1）请证明
（2）请直接写出的取值范围 ；
（3）【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题.
如图2，已知，，，P为的中点.若A，C，D共线，求证：平分；
【答案】（1）解：为边上的中线，
，
在和中，，
，
（2）1；7
（3）证明：如图1，交延长线于点F，
，，，，
为的中点，，，
，，
又，，
在和中，，
（全等三角形的对应角相等），
即平分；
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）由(1)知BE=AC，AE=2AD，在ABE中，AB-BE
【分析】（1）倍长AD，再加上BD=DC，还有一组对顶角便可证明全等；
（2）全等对应边相等，再利用三角形三边的关系可求得线段AD的取值范围；
(3)利用倍长中线法构造全等三角形，再找到第二组全等三角形的条件即可证得.
18．（2024七下·桂林月考） 阅读理解：
若x满足，试求的值，
解：设，，则，且a＋b＝(210－x)＋(x－200)＝10，
∵，
∴，即的值为．
解决问题
（1）若x满足，则 ；
（2）若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x ，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？
【答案】（1）100
（2）解：设，，则a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，
∵，
∴，解得，即的值为
（3）解：由图及题中条件可知正方形CFGH 的边长为，正方形CEMN的边长为，则由长方形CEPF的面积为40平方单位得到，
阴影部分面积为，
设，，则，且a＋b＝(10－x)＋(x－6)＝4，
∵，
∴，
，
阴影部分面积为．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）设，，则，且a＋b＝(2022－x)＋(x－2010)＝12，
∵，
∴，即的值为；
故答案为：100；
【分析】（1）根据材料解法，设，，则，且a＋b＝(2022－x)＋(x－2010)＝12，根据，代值求解即可得到答案；
（2）根据材料解法，设，，则a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，根据，代值得到关于的方程，即可得到答案；
（3）由图及题中条件得到正方形CFGH 的边长为，正方形CEMN的边长为，由长方形CEPF的面积为40平方单位得到，根据阅读材料及（1）（2）的解法即可求出阴影部分面积．
19．（2023七下·盐湖期末）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
（1）任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是 ， ；
（2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
（3）应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
【答案】（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或）；全等三角形的对应边相等
（2）解：……
，
，
（3）解：延长、交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的判定方法求解即可；
（2）结合，再利用等量代换可得；
（3）延长、交于点，先证出，可得，再求出，再证出，可得，从而得解.
20．（2023七下·晋安期末）阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶三角形.
解决问题：如图，与是对顶三角形.
（1）试说明：；
（2）试利用上述结论解决下列问题：
若、分别平分与，，，
①求的度数（用含m、n的代数式表示）；
②若、分别平分与，，求的取值范围.
【答案】（1）解：在中，，
在中，，
又，
.
（2）解：①、分别平分与，
，.
与是对顶三角形，
①.
与是对顶三角形，
②
由①+②，得
，
，
②、分别平分与，
，，
同理可求得
在四边形中，
，，.
由（1）①证得，则
，
，解得.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由内角和定理可得∠DAO+∠D+∠AOD=180°，∠OBC+∠C+∠BOC=180°，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，据此证明；
（2）①由角平分线的概念可得∠DAG=∠GAH，∠GBP=∠HBC，由对顶三角形的概念可得∠DAG+∠D=∠GBP+∠P，∠HBC+∠C=∠GAH+∠P，两式相加并化简可得∠D+∠C=2∠P，据此解答；
②由角平分线的概念可得∠PAC=∠DAC，∠CAQ=∠CAE，则∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=(∠DAC+∠CAE)=90°，同理可得∠PBQ=90°， 结合四边形内角和为360°可得∠Q=180°-∠P，由①可得∠P，代入可得∠Q，然后结合120°≤∠Q≤150°就可求出m+n的范围.
21．（2023七下·东丽期中）【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
理由如下：
过点P作PQ∥AB．
∴∠BAP+∠APQ=180°．
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∴∠PCD+∠CPQ=180°．
∴∠BAP+∠APC+∠PCD
=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD
=180°+180°
=360°．
【问题解决】
（1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）
（2）如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；
（3）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）
【答案】（1）解：∠APC=∠BAP+∠PCD；
过P作PM∥AB，
∴∠BAP=∠APM，DC∥PM，
∴∠PCD=∠MPC，
∵∠APC=∠APM+∠MPC，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD．
（2）解：∠AEC=∠APC，理由如下：
过点P作PM∥AB，过点E作EN∥AB．
根据（1）可得：∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，
∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，
∴∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP．
∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC．
∴∠AEC=∠APC．
（3）解：如图④中，设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，
由题意可得：∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°，
∴∠APC+3∠AEC=360°，
故答案为：∠APC+3∠AEC=360°．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）∠APC=∠BAP+∠PCD；过P作PM∥AB，先根据平行线的性质结合题意即可得到∠PCD=∠MPC，进而等量代换即可求解；
（2）∠AEC=∠APC，理由如下：过点P作PM∥AB，过点E作EN∥AB．先根据（1）即可得到∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，再根据角平分线的性质即可得到∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，进而结合题意等量代换即可求解；
（3）设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，根据“∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°”结合题意即可求解。
22．（2024七下·万秀期中）请解答下列各题：
（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，．
①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ．
②反射光线与平行，依据是 ．
（2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ．
【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
1 / 1命题新趋势7 阅读理解——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、选择题
1．（2024七下·吴兴期中） 请阅读以下“预防近视”知识卡
已知如上图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线和书本所在平面所成角度不可能为以下哪个角度（ ）
A． B． C． D．
二、作图题
2．（2023七下·小店期中）阅读下列材料，回答问题．
如图1，小明将三角形纸片折叠，使点和重合，折痕为，连接，展开纸片后小明认为和的面积相等．理由如下：
由折叠知，．
过点作于点，，，所以．
请你根据以上信息，利用无刻度的直尺和圆规将图2中的三角形分为面积相等的两个三角形．
三、解答题
3．（2024七下·高州月考）阅读下列各式：，……．
请回答下列问题：
（1）计算： ， ．
（2）通过上述规律，归纳得出： ； ．
（3）请应用上述性质计算：．
4．（2024七下·秦都月考）阅读下面的材料：
；
；
……
利用上面材料中的方法解答下列各题：
（1）① ；
② ；
（2）计算：．
5．（2024七下·禅城月考）阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点在直线上，点在直线上，，．
求证：
证明：（已知）
（ ），
（等量代换），
▲ ▲ （ ），
▲ （ ），
又（已知），
（等量代换），
▲ ▲ （ ），
（ ）．
6．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明一些等式成立，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明。
（1）根据图②写出一个等式：
（2）已知等式：(x+1)(x+3)=x2+4x+3，请你画出一个相应的几何图形加以说明．(仿照图①或图②画出图形即可)．
四、综合题
7．（2023七下·槐荫期中）阅读下列材料，并补充完整，然后解答问题
（1）试比较的大小，并完成填空
解：（ ）11，同理：（ ）11，（ ）11
因为：当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大．所以： ＜ ＜ ．
（2）请利用上述解题思路比较的大小．
8．（2023七下·徐州月考）阅读下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
（1）归纳得（ab）n＝ ；（abc）n＝ ；
（2）计算4100×0.25100＝ ；（）5×35×（）5＝ ；
（3）应用上述结论计算：的值.
9．（2022七下·沈北新期中）阅读下面的材料，并解决问题
（1）已知在△ABC中，∠A=60°，图1-3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，
请直接写出下列角度的度数，
如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；
（2）如图4，点O是△ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A
（3）如图5，在△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
10．（2023七下·兴宁期末）阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，cm，cm，求的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．
11．（2022七下·剑阁期末）阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作， ， ．
．
．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）方法运用：如图2，已知，求的度数．
（3）深化拓展：如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请你直接写出的度数．（用含的代数式表示）.
12．（2020七下·江阴期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”.反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°.判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B.若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数.
五、实践探究题
13．（2024七下·江南月考） 阅读下列材料，解决相应问题．
（1）【学科融合】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，反射角入射角，这就是光的反射定律．
在图1中，证明；
（2）【问题解决】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由可知，光线经过平面镜反射时，有，；
①请问和有什么关系？并说明理由；
②请问光线和是否平行？并说明理由．
14．阅读材料，并解答下列问题：
我们知道，利用图形面积的不同计算方法，有些几何图形能直观地反应某些恒等式的对应关系．
例如：
（1）如图1，反应的是a2+2ab+b2= ．
（2）如图2，反应的是a2-b2= ．
（3）如图3，反应的是2a2+3ab+b2= ．
15．阅读材料：
我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明(a+n)(b+m)=ab+am+nb+mn.实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如： 就可以用图1的面积关系来说明。
解答问题：
（1）根据图2写出一个等式： .
（2）已知等式： 请你画出一个相应的几何图形加以说明(仿照图1或图2画出图形即可).
16．（2024七下·潜山期中） 【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式． 例如图1可以得到 ，基于此，请解答下列问题：
（1）【类比应用】①若，，则的值为 ；
②若，则 ；
（2）【迁移应用】两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，求一块三角板的面积．
17．（2024七下·深圳期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围.
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使.请根据小明的方法思考：
（1）请证明
（2）请直接写出的取值范围 ；
（3）【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题.
如图2，已知，，，P为的中点.若A，C，D共线，求证：平分；
18．（2024七下·桂林月考） 阅读理解：
若x满足，试求的值，
解：设，，则，且a＋b＝(210－x)＋(x－200)＝10，
∵，
∴，即的值为．
解决问题
（1）若x满足，则 ；
（2）若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x ，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？
19．（2023七下·盐湖期末）阅读与思考
下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题
在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决．比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三角形的性质解决问题．
例：如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．
该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，
平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
（1）任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是 ， ；
（2）任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
（3）应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．
20．（2023七下·晋安期末）阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶三角形.
解决问题：如图，与是对顶三角形.
（1）试说明：；
（2）试利用上述结论解决下列问题：
若、分别平分与，，，
①求的度数（用含m、n的代数式表示）；
②若、分别平分与，，求的取值范围.
21．（2023七下·东丽期中）【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
理由如下：
过点P作PQ∥AB．
∴∠BAP+∠APQ=180°．
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∴∠PCD+∠CPQ=180°．
∴∠BAP+∠APC+∠PCD
=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD
=180°+180°
=360°．
【问题解决】
（1）如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）
（2）如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；
（3）如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）
22．（2024七下·万秀期中）请解答下列各题：
（1）阅读并回答：科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，．
①由条件可知：，依据是 ，，依据是 ．
②反射光线与平行，依据是 ．
（2）解决问题：如图2，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜反射，若射出的光线平行于，且，则 ； ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得，，，过 C作，
，，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】如图，由题意得，过作，由平行线的性质可得，，根据，求出的取值范围即可．
2．【答案】解：如图，即为所作
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意结合作图-垂直平分线即可求解。
3．【答案】（1）1；1
（2）；
（3）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：（1），
，
故答案为：1；1；
（2）由题意得，，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据积的乘方法则，计算求解即可；
（2）根据积的乘方法则进行求解即可；
（3）把同底数幂的乘法法则及积的乘方运算法则将原式变形为，据此求解即可．
4．【答案】（1）；；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1） ①；
②，
故答案为：，，.
【分析】（1）根据阅读材料中的规律，分别求解即可.
（2）利用（1）中的规律可得到，再求出，依次计算，可求出结果.
5．【答案】证明：（已知），
（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
又（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由∠1=∠2，∠2=∠DCG，根据等量代换可以得到：∠1=∠DCG，再根据同位角相等，两直线平行可得：BD∥CE，由两直线平行，同旁内角互补可得：∠3+∠C=180°，再结合已知∠3=∠4可以得到∠4+∠C=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：AC∥DF，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可以得到∠A=∠F.
6．【答案】（1）
（2）解：如图：
其中一条边可看作x+1，另一条边可看作x+3，四个区域面积的和即为计算结果.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）由题意及图，等式为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；
故答案为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2.
【分析】（1）仿照图①计算面积的方法进行计算可得结果；
（2）类比图①进行画图即可求解.
7．【答案】（1）243；256；125；；；
（2）解：∵，，，
且，
∴，
所以．
【知识点】有理数的乘方法则；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，，
∴＜＜，
故答案为：243；256；125；；；；
【分析】（1）根据有理数的乘方结合题意即可求解；
（2）根据（1）中的思路即可直接求解。
8．【答案】（1）；
（2）1；1
（3）解：
.
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：（1）解：根据已知等式可归纳出，，
故答案为：，；
（2）解：，
，
故答案为：1，1；
【分析】（1）由积的乘方法则可求解；
（2）逆用积的乘方法则可求解；
（3）逆用积的乘方法则和幂的乘方法则“（am）n=amn”可求解
9．【答案】（1）120°；30°；60°
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90°+∠A．
（3）解：设∠ABO2=∠O2BO1=∠O1BC=α，∠ACO2=∠BCO2=β，
∴2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°
解得：α=20°，β=25°
∴∠ABC+∠ACB=3α+2β=60°+50°=110°，
∴∠A=70°．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）①在图1中：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB
∴∠OBC+∠OCB
=（∠ABC+∠ACB）
=（180°-∠BAC）
=（180°-60°）
=60°
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°；
②在图2中：
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD
∵∠ACD=∠ABC+∠A
∴∠OCD=（∠ABC+∠A）
∵∠OCD=∠OBC+∠O
∴∠O=∠OCD-∠OBC
=∠ABC+∠A-∠ABC
=∠A
=30°．
③在图3中：
∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC=∠EBC，∠OCB=∠BCD
∴∠OBC+∠OCB
=（∠EBC+∠BCD）
=（∠A+∠ACB+∠BCD）
=（∠A+180°）
=（60°+180°）
=120°
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=60°．
故答案为：120°，30°，60°．
【分析】（1）利用角平分线的定义、角的运算及等量代换求解即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再利用角的运算和等量代换求出∠O=90°+∠A即可；
（3）设∠ABO2=∠O2BO1=∠O1BC=α，∠ACO2=∠BCO2=β，利用角的运算可得∠ABC+∠ACB=3α+2β=60°+50°=110°，再求出∠A=70°即可。
10．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴cm，，
∴(cm)，
即的长为0.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，
则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴B点坐标为（4，1）．
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用垂线的定义证得∠ADC=∠CEB=90°，再由同角的余角相等可得∠DAC=∠ECB，进而通过AAS判定△ADC≌△CEB；
（2）先利用垂线的定义证得得∠ADC=∠CEB=90°，再由同角的余角相等可得∠ACD=∠CBE，进而通过AAS判定△ADC≌△CEB，得AD=CE=2.5cm，CD=BE，的长度，然后根据线段的和差可求得BE的长；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，由由同角的余角相等可得∠EAC=∠FCB，再通过AAS判定△AEC≌△CFB，得到AE=CF=3，BF=CE=2，然后根据线段的和差算出FG、BH的长，进而求得点B坐标.
11．【答案】（1）∠EAB；∠DAC
（2）解：如图2，过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥AB∥DE，
∴∠D+∠FCD=180°，∠B+∠BCF=180°，
∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BCD+∠D＝360°.
（3）解：①如图3，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF=n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=n°+30°；
②如图4，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝180°-∠ABE，∠CDE＝∠DEF
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝60°，
∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝30°，
∴∠BEF＝180°-n°，∠DEF＝30°，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=180°-n°+30°=-n°+210°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）过点A作ED∥BC，
∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC.
故答案为：∠EAB，∠DAC.
【分析】（1）过点A作ED∥BC，根据平行线性质可得∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，据此填空即可；
（2）如图2，过C作CF∥AB，易得CF∥AB∥DE，从而得∠D+∠FCD=180°，∠B+∠BCF=180°，等量换即可得∠B+∠BCD+∠D＝360°；
（3）分两种情况：①如图3，过点E作EF∥AB；②如图4，过点E作EF∥AB，根据平行线性质分别表示出∠BEF与∠ABE的关系，∠DEF与∠CDE的关系，再根据角平分线定义得∠ABE＝n°，∠CDE＝30°，从而求得∠BEF和∠DEF的度数，再由∠BED＝∠BEF+∠DEF，代入数据计算，即可求解.
12．【答案】（1）36°或18°
（2）解：△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”.
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝ .
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°.
故答案为：18°或36°.
【分析】（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可.
13．【答案】（1）证明 ：∵，，
∴.
（2）解：①∠2=∠5，理由如下：
∵，
∴；
②平行，理由如下：
由材料可知，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等角的余角相等即可证明；
（2）①根据两直线平行，内错角相等即可求解；
②结合题意推得∠3=∠6，根据内错角相等，两直线平行即可求解.
14．【答案】（1）（a+b）2
（2）（a+b）（a-b）
（3）（a+b）（2a+b）
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图1可得，四块的面积和等于边长为（a+b）的正方形面积，
即，a2+2ab+b2=（a+b）2，
故答案为：（a+b）2.
（2）图2左图剩余的面积为a2-b2，拼成右图的面积为，
故答案为：（a+b）（a-b）.
（3）图3中六块的面积和是长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形面积，即（2a+b）（a+b），
故答案为：（a+b）（2a+b）.
【分析】（1）图1中四块图形的面积和为边长为（a+b）的正方形的面积，进而可得出答案，
（2）图2左图与右图的关系，分别表示出来，可以得出答案，
（3）图3中六块的面积和是长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形面积，从而得出答案.
15．【答案】（1）(2a+b)(a+2b)=2a2+2b2+5ab
（2）解：如图，可画出的几何图形如下：其中一条边看成x+1，另一条边看成x+3，四个小矩形的面积和就是两个多项式乘积的计算结果.
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：（1）利用整体法可得图2的面积为(2a+b)(a+2b)，
根据部分法可得图2的面积为2a2+2b2+5ab，
∴可得等式为(2a+b)(a+2b)=2a2+2b2+5ab；
故答案为：(2a+b)(a+2b)=2a2+2b2+5ab；
【分析】（1）利用整体法及部分法分别表示出图2的面积，根据面积相等即可建立等式；
（2）仿照图1画出一个一条边看成x+1，另一条边看成x+3，四个小矩形的面积和就是两个多项式乘积的计算结果的图形即可.
16．【答案】（1）20；13
（2）解：设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，
，，即，
，
，
，
一块三角板的面积是22．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）①由题意可知，，
，，
，
故答案为：20；
②令，，
，，
，
故答案为：13；
【分析】（1）①利用完全平方公式及变式分析求解即可；
②令，，可得，，再利用完全平方公式及变式分析求解即可；
（2）设三角板的两条直角边，，则一块三角板的面积为，再结合求出，最后求出即可.
17．【答案】（1）解：为边上的中线，
，
在和中，，
，
（2）1；7
（3）证明：如图1，交延长线于点F，
，，，，
为的中点，，，
，，
又，，
在和中，，
（全等三角形的对应角相等），
即平分；
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）由(1)知BE=AC，AE=2AD，在ABE中，AB-BE【分析】（1）倍长AD，再加上BD=DC，还有一组对顶角便可证明全等；
（2）全等对应边相等，再利用三角形三边的关系可求得线段AD的取值范围；
(3)利用倍长中线法构造全等三角形，再找到第二组全等三角形的条件即可证得.
18．【答案】（1）100
（2）解：设，，则a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，
∵，
∴，解得，即的值为
（3）解：由图及题中条件可知正方形CFGH 的边长为，正方形CEMN的边长为，则由长方形CEPF的面积为40平方单位得到，
阴影部分面积为，
设，，则，且a＋b＝(10－x)＋(x－6)＝4，
∵，
∴，
，
阴影部分面积为．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）设，，则，且a＋b＝(2022－x)＋(x－2010)＝12，
∵，
∴，即的值为；
故答案为：100；
【分析】（1）根据材料解法，设，，则，且a＋b＝(2022－x)＋(x－2010)＝12，根据，代值求解即可得到答案；
（2）根据材料解法，设，，则a＋b＝(2022－x)＋(x－2002)＝20，根据，代值得到关于的方程，即可得到答案；
（3）由图及题中条件得到正方形CFGH 的边长为，正方形CEMN的边长为，由长方形CEPF的面积为40平方单位得到，根据阅读材料及（1）（2）的解法即可求出阴影部分面积．
19．【答案】（1）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或）；全等三角形的对应边相等
（2）解：……
，
，
（3）解：延长、交于点，
平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的判定方法求解即可；
（2）结合，再利用等量代换可得；
（3）延长、交于点，先证出，可得，再求出，再证出，可得，从而得解.
20．【答案】（1）解：在中，，
在中，，
又，
.
（2）解：①、分别平分与，
，.
与是对顶三角形，
①.
与是对顶三角形，
②
由①+②，得
，
，
②、分别平分与，
，，
同理可求得
在四边形中，
，，.
由（1）①证得，则
，
，解得.
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）由内角和定理可得∠DAO+∠D+∠AOD=180°，∠OBC+∠C+∠BOC=180°，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，据此证明；
（2）①由角平分线的概念可得∠DAG=∠GAH，∠GBP=∠HBC，由对顶三角形的概念可得∠DAG+∠D=∠GBP+∠P，∠HBC+∠C=∠GAH+∠P，两式相加并化简可得∠D+∠C=2∠P，据此解答；
②由角平分线的概念可得∠PAC=∠DAC，∠CAQ=∠CAE，则∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=(∠DAC+∠CAE)=90°，同理可得∠PBQ=90°， 结合四边形内角和为360°可得∠Q=180°-∠P，由①可得∠P，代入可得∠Q，然后结合120°≤∠Q≤150°就可求出m+n的范围.
21．【答案】（1）解：∠APC=∠BAP+∠PCD；
过P作PM∥AB，
∴∠BAP=∠APM，DC∥PM，
∴∠PCD=∠MPC，
∵∠APC=∠APM+∠MPC，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD．
（2）解：∠AEC=∠APC，理由如下：
过点P作PM∥AB，过点E作EN∥AB．
根据（1）可得：∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，
∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，
∴∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP．
∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC．
∴∠AEC=∠APC．
（3）解：如图④中，设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，
由题意可得：∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°，
∴∠APC+3∠AEC=360°，
故答案为：∠APC+3∠AEC=360°．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）∠APC=∠BAP+∠PCD；过P作PM∥AB，先根据平行线的性质结合题意即可得到∠PCD=∠MPC，进而等量代换即可求解；
（2）∠AEC=∠APC，理由如下：过点P作PM∥AB，过点E作EN∥AB．先根据（1）即可得到∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，再根据角平分线的性质即可得到∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，进而结合题意等量代换即可求解；
（3）设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，根据“∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°”结合题意即可求解。
22．【答案】（1）①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行．（2）84°；90°；
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理
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