命题新趋势8 综合与实践——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、实践探究题
1．（2024七下·佛山期中）综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.
如图1，已知两直线a，b且和，，，.
（1）在图1中，，求的度数；
（2）【深入探究】
如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
（3）【拓展应用】
缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系.
【答案】（1）解：如答图1，
∵，，∴，
∵，∴；
（2）解：理由如下：
如答图2，过点B作，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴；
（3）解：
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
2．（2024七下·江南月考） 综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
（1）【知识初探】王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则 ▲ ；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）【拓展延伸】李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：①由题意可知，点、、、共线，
，
由折叠的性质可知，，
，即，
故答案为：90；
②王玲的说法正确，证明如下：
由①得：，
同理可得，，
，
；
（2）解：如图，过点作，
，
，
，
，
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①根据折叠前后两图形的对应角相等即可求解；
②根据折叠前后两图形的对应角相等可得，，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，根据平行于同一直线的两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，即可求解.
3．（2022七下·梅里斯期末）课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作DEBC．
∵DEBC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC．
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
（1）解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有 的功能．
（2）方法运用：
如图2，已知ABDE，试说明：∠D+∠BCD-∠B=180°．（提示：过点C作CFAB）
（3）解决问题：
如图3，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1= 度．
（4）【拓展发现】
①如图4，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系： ；
②如图5，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系： ．
【答案】（1）等角转化
（2）解：过点C作CFAB，
∵ABDE，
∴ABCFDE，
∴∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°，
∴∠D+∠BCD-∠B=180°；
（3）15
（4）∠C=∠B+∠D；∠B+∠D+∠C=360°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】（1）由题意得平行线具有等角转化的功能，
故答案为：等角转化
（3）由（2）可知∠2+∠3-∠1=180°，
∴∠1=15°
故答案为：15
（4）①根据（2）可知∠C=∠B+∠D，
故答案为：∠C=∠B+∠D
②由（2）可知∠B+∠D+∠C=360° ，
故答案为： ∠B+∠D+∠C=360°
【分析】（1）根据题意即可得到平行线具有等角转化的功能；
（2）先由平行线的性质得到∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°，进而即可求解；
（3）先根据（2）中的结论得到∠2+∠3-∠1=180°，进而即可求解。
（4）①根据（2）中的结论结合题意即可求解；②根据（2）中的结论结合题意即可求解。
4．（2024七下·新昌期中）阅读下列素材，完成相应的任务.
平衡多项式
素材一： 定义：对于一组多项式：，，(，，都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二： 例如：对于多项式，，， 因为=， 所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三： 若多项式，，(为非零常数）是一组平衡多项式，求的值.
【答案】解：任务一：该组平衡多项式的平衡因子为4．
任务二：
该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为9．
任务三：①当为常数时，则，得；
②当为常数时，则，得；
③当为常数时，则，得（舍去）；（1分）综上所述，的值为6或-6．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】任务一：由题目给出的新信息，进行混合运算得出结果；
任务二：直接去计算并判断结果是否为平衡因式.
任务三：由题意 ，分别验证(x+2)、（x-2）、（x+p）为第一个完全平方式，直接计算进行验证即可.
5．（2024七下·深圳期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围.
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使.请根据小明的方法思考：
（1）请证明
（2）请直接写出的取值范围 ；
（3）【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题.
如图2，已知，，，P为的中点.若A，C，D共线，求证：平分；
【答案】（1）解：为边上的中线，
，
在和中，，
，
（2）1；7
（3）证明：如图1，交延长线于点F，
，，，，
为的中点，，，
，，
又，，
在和中，，
（全等三角形的对应角相等），
即平分；
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）由(1)知BE=AC，AE=2AD，在ABE中，AB-BE
【分析】（1）倍长AD，再加上BD=DC，还有一组对顶角便可证明全等；
（2）全等对应边相等，再利用三角形三边的关系可求得线段AD的取值范围；
(3)利用倍长中线法构造全等三角形，再找到第二组全等三角形的条件即可证得.
6．（2024七下·光明月考）【综合实践活动】
【问题背景】
小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的的绳子，小亮寻求哥哥的帮助．
【理论准备】
哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因；
【实际操作】
小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下：
⑴在房屋M墙边找一点C，使得；
⑵在院子里找一点E，使得：此时发现；
⑶测量出B到房屋M墙的距离，即：，；
⑷测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现；
经过以上的方法可以计算出的长度．
请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度：
解：如图4，延长至F，使得，连接．
……
（1）【成果迁移】
如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离．
【答案】（1）解：（理论准备）：在和中
，
，
；
（实际操作）：
证明：由题意可得，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
；
（成果迁移）：延长并截取，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
海里．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】 【理论准备】由题意知DC=AC，EC=BC，∠DCE=∠ACB，利用“SAS”可证△ABC≌△DEC，则可得AB=DE即可解答；
【实际操作】易得∠D=∠AEC=∠CEF=90°，利用“SAS”可证△CDB≌△CEF，则可得∠ECF=∠DCB，EF=DB，CB=CF，从而可求得∠ACF=∠ACB，然后利用“SAS”可证△ACB≌△ACF，再根据全等三角形的性质可求AB的长即可解答；
【成果迁移】延长EC并截取CF=BD，先证∠B=∠ACF，然后利用“SAS”可得△ABD≌△ACF，得出AD=AF，∠BAD=∠CAF，然后证得∠EAF=∠DAE，从而可证△DAE≌△FAE，再根据全等三角形的性质定理可求出DE的长即可解答．
7．（2024七下·黄石月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含60°角的直角三角尺”为背景开展数学探究活动.
（1）如图1，三角尺的60°角的顶点在上.若，则的度数为 .
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点在上.若，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）并说明理由.
【答案】（1）40°
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，即，
故答案为：40°.
【分析】（1）设，则，由平行线的性质求得，根据平角的性质列式计算即可求解；
（2）过点作，利用平行线的性质即可求解；
（3）由平行线的性质结合平角的性质，列式计算即可求解.
8．（2023七下·巩义期末）综合与实践
问题背景：
数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边 ， ， ，点 为线段AD上一动点 ，将纸片折叠，使点B和点 重合，产生折痕EF，点E是折痕与边AD的交点，点F是折痕与边BC的交点．
动手操作：
（1）如图1，若点E与点A重合时，则 的度数为 ．
实践探究：
（2）如图2，移动点 ，其余条件不变．
①小静发现图中无论点 如何移动， 始终成立，请说明理由；
②小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若 ，求 的大小．
【答案】（1）45°
（2）解：①∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴；
②，，
∴，
由①知，
由折叠可知，
又∵，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）根据折叠的性质可得∠B'AF=∠BAB'=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠B'AF=45°；故答案为：45°；
【分析】（1）根据折叠的性质得可得∠B'AF=∠BAB'=45°，进而根据二直线平行，内错角相等得∠AFB=∠B'AF=45°；
（2）①根据平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；可得∠A'EB'=∠EB'F ，∠B'FC=∠EB'F ，由等量代换得∠A'EB'=∠B'FC；
②利用角的和差关系可得∠EB'F=30°，根据折叠的性质可求得∠BFE=75°，再由平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即可得出答案．
9．（2023七下·上城期末）综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源：提供长度不同的两种木棒各根如图
入项任务：运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形，且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究．
问题探究过程
（1）发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是 ；请用简洁的语言描述
（2）提出问题：
请用代数式表示你的发现设两种木棒的长度分别为，其中，四种图形面积分别为，，，．
例如：小明的结论是．
小张的结论是，
你的结论是： ；
（3）分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：，，
，
你的证明： ；
（4）拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图： ；
你的关系式： ．
（5）迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答： ．
【答案】（1）丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和
（2）
（3）证明：，． ．又， ．
（4）；．
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图，连接各点，
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和.
（2）根据（1）中的发现， 得S丙= S乙 + S丁；
故答案为：S丙= S乙 + S丁.
（4）示意图如图，
图中每个矩形的面积为S矩形= ab，
小正方形的面积为S小正方形= (a- b)2，
大正方形的面积为S大正方形=(a + b)2，
∵S大正方形= S小正方形+ 4S矩形，
∴(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
故答案为：(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
（5）∵，
根据(a+b)2=(a-b)2 + 4ab可得
(x+y)2= (x-y)2 + 4xy，
即31 = (x- y)2+4×7，
解得（x- y）2=3，
则；
故答案为：.
【分析】（1）将丙图用辅助线进行分割，判断其面积与其它摆法面积之间的数量关系；
（2）根据（1）中的发现，写出各面积之间的关系即可；
（3）按照例子，直接证明即可；
（4）画出示意图，根据总面积等于各组成图形面积之和，得到a和b之间的数量关系式；
（5）根据完全平方公式的变形得(x+y)2=(x-y)2 + 4xy， 将x+y和xy的值分别代入，求得x-y值.
10．（2023七下·孝义期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线，直角三角板中，，．
（1）如图1，若，则 ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
【答案】（1）
（2）解：结论正确，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵m//n，
∴∠1+∠ABC=∠2，
∵∠ABC=45°，∠2=65°，
∴∠1=∠2-∠ABC=65°-45°=20°，
故答案为：20°.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1+∠ABC=∠2，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，再结合，可得；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再结合，可得.
11．（2023七下·柳州期末）综合与实践
【课题学习】：平行线的“等角转化”功能.
如图1，已知点是BC外一点，连接AB，AC.求的度数.
解：过点作， ____， 又 ____.
（1）【问题解决】
阅读并补全上述推理过程.
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）【方法运用】
如图2所示，已知交于点，在图2的情况下求的度数.
（3）【拓展探究】
如图3所示，已知分别平分和，且BF、CG所在直线交于点，过作，若，在图3的情况下求的度数.
【答案】（1）解：补全推理过程如下，
解：过点作，
∠EAB，
又
180°.
（2）如图，过点作
（3）如图，过点E作，
，
又分别平分和，
，
又
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用“两直线平行，内错角相等”性质定理，将∠B等量转化为∠EAB，将∠C等量转化为∠DAC.
（2）通过过点E作AB（CD）的平行线，将∠B等量转化为180°-∠BEM，将∠C等量转化为∠MEC.过E作平行线的目的就是将∠B和∠C通过转化，和∠BEC产生数量上的关系；
（3）通过目标角∠BEC的顶点E，作AB的平行线，将∠BEC和∠ABE、∠DCE建立数量关系；然后根据角平分线的性质，得∠ABE=2∠ABF，∠DCE=2∠DCG；最后利用AB∥FH，CD∥FH，将∠ABF等量转化为∠BFH，∠DCG等量转化为∠HFG，而∠BFH-∠HFG=∠BFC=36°，形成具体的角度数值.
12．（2023七下·平南期末）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线AB，CD和一副直角三角板”开展数学探究活动.即：已知直线和一副直角三角板.
（1）【操作判断】
如图1，小华把一个三角板角的顶点F、G分别放在直线AB、CD上，请直接写出与的数量关系 .
（2）【迁移探究】
如图2，小睿把一个三角板角的顶点F放在直线AB上，若，求的度数.
（3）【拓展应用】
在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线EP，EQ分别交AB，CD于点P，Q，将含角的三角板绕点E转动，使EG始终在的内部，请问：的值是否发生变化 若不变，求出它的值；若变化，请说明理由.
【答案】（1）
（2）解：如图2，过点E作
，
，，
，，
（3）解：不变，
理由如下：过点E作
，
，
设，则，
EP、EQ分别平分、
，
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1)如图，过点作，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：.
【分析】(1)结合条件构造平行线是本题的解题关键，利用平行线的性质得到角之间的数量关系.
(2)先利用平行线的性质得到角之间的数量关系，再通过比例计算的度数.
(3)先通过平行线的性质用代数式表示出角之间的数量关系，再利用角平分线的性质计算两角之和.
13．（2023七下·龙岗期末）综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.
已知：如图1，在中，点是BC边上的中点，连接AD.求证：.
证明：过点作于
（1）【拓展探究】
如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点中，点是BC边上的中点，若，则 .
（2）如图3，在中，点是BC边上的点且和存在怎样的数量关系 请模仿写出证明过程.
（3）【问题解决】
现在有一块四边形土地ABCD（如图4)，能大和都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙.
要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述.可利用带刻度的直尺.
【答案】（1）3
（2）；理由如下：
过点A作AE⊥BC于E
∵CD=2BD
∴AC=3BD
∴
（3）方法一：如图，连接BD，取BD的中点，连接AE，BE，则四边形ADEC就是四边形ABCD的一半。
方法二：如图，取AD的中点H、取BC的中点F，连接AF，CH，则四边形AFCH就是四边形ABCD的一半。
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：（1）∵点D是BC边上的中点，
∴AD是 △ ABC的中线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3.
（2），
理由如下：作AE⊥BC于E，如下图：
∵CD+BD=BC，CD=2BD，
∴2BD+BD=BC，
∴，
∵，
∴.
（3）连接BD，取BD的中点Q，连接AQ，CQ，如下图：
∵Q为BD的中点，
∴AQ是 △ ABD的中线，CQ是 △ CDB的中线，
∴，，
∴，
∴折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
【分析】（1）由D是BC边上的中点，得AD是 △ABC的中线，，即可得到答案；
（2）作AE⊥BC于E，由CD+BD=BC，CD=2BD，得2BD+BD=BC，则，则可求出和，便可得到答案；
（3）连接BD，取BD的中点Q，连接AQ，CQ，则AQ是 △ ABD的中线，CQ是 △ CDB的中线，，，则，则可得到结论.
1 / 1命题新趋势8 综合与实践——2024年北师大版数学七（下）期末复习
一、实践探究题
1．（2024七下·佛山期中）综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动.
如图1，已知两直线a，b且和，，，.
（1）在图1中，，求的度数；
（2）【深入探究】
如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
（3）【拓展应用】
缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系.
2．（2024七下·江南月考） 综合与实践：折纸中的数学
【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？
（1）【知识初探】王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在纸上画出一条直线，在外取一点．过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图2），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平．则 ▲ ；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，就是的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；
（2）【拓展延伸】李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段上任取一点，连接，请你猜想与这三个角之间的数量关系，并说明理由．
3．（2022七下·梅里斯期末）课题学行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．
解：过点A作DEBC．
∵DEBC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC．
又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．
（1）解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有 的功能．
（2）方法运用：
如图2，已知ABDE，试说明：∠D+∠BCD-∠B=180°．（提示：过点C作CFAB）
（3）解决问题：
如图3，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1= 度．
（4）【拓展发现】
①如图4，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系： ；
②如图5，若ABDE，∠B、∠C、∠D有怎样的关系： ．
4．（2024七下·新昌期中）阅读下列素材，完成相应的任务.
平衡多项式
素材一： 定义：对于一组多项式：，，(，，都是非零常数），当其中一个多项式的平方与另外两个多项式的乘积的差是一个常数时，称这样的三个多项式是一组平衡多项式，的值是这组平衡多项式的平衡因子.
素材二： 例如：对于多项式，，， 因为=， 所以多项式，，是一组平衡多项式，其平衡因子为1.
任务一： 小明发现多项式，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子.
任务二： 判断多项式，，是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由.
任务三： 若多项式，，(为非零常数）是一组平衡多项式，求的值.
5．（2024七下·深圳期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，，，求边上的中线的取值范围.
经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使.请根据小明的方法思考：
（1）请证明
（2）请直接写出的取值范围 ；
（3）【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决问题.
如图2，已知，，，P为的中点.若A，C，D共线，求证：平分；
6．（2024七下·光明月考）【综合实践活动】
【问题背景】
小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的的绳子，小亮寻求哥哥的帮助．
【理论准备】
哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明的长度等于水塘两个端点长度的原因；
【实际操作】
小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出长度（如图3），方法如下：
⑴在房屋M墙边找一点C，使得；
⑵在院子里找一点E，使得：此时发现；
⑶测量出B到房屋M墙的距离，即：，；
⑷测量出A到的距离，即：AE⊥CE，，同时发现；
经过以上的方法可以计算出的长度．
请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出的长度：
解：如图4，延长至F，使得，连接．
……
（1）【成果迁移】
如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（），可疑船只沿北偏东的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为，（），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离．
7．（2024七下·黄石月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含60°角的直角三角尺”为背景开展数学探究活动.
（1）如图1，三角尺的60°角的顶点在上.若，则的度数为 .
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索与之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点在上.若，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）并说明理由.
8．（2023七下·巩义期末）综合与实践
问题背景：
数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边 ， ， ，点 为线段AD上一动点 ，将纸片折叠，使点B和点 重合，产生折痕EF，点E是折痕与边AD的交点，点F是折痕与边BC的交点．
动手操作：
（1）如图1，若点E与点A重合时，则 的度数为 ．
实践探究：
（2）如图2，移动点 ，其余条件不变．
①小静发现图中无论点 如何移动， 始终成立，请说明理由；
②小东发现折叠后所形成的角，只要知道其中一个角的度数，就能求出其它任意一角的度数，若 ，求 的大小．
9．（2023七下·上城期末）综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源：提供长度不同的两种木棒各根如图
入项任务：运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形，且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究．
问题探究过程
（1）发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是 ；请用简洁的语言描述
（2）提出问题：
请用代数式表示你的发现设两种木棒的长度分别为，其中，四种图形面积分别为，，，．
例如：小明的结论是．
小张的结论是，
你的结论是： ；
（3）分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：，，
，
你的证明： ；
（4）拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图： ；
你的关系式： ．
（5）迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答： ．
10．（2023七下·孝义期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线，直角三角板中，，．
（1）如图1，若，则 ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
11．（2023七下·柳州期末）综合与实践
【课题学习】：平行线的“等角转化”功能.
如图1，已知点是BC外一点，连接AB，AC.求的度数.
解：过点作， ____， 又 ____.
（1）【问题解决】
阅读并补全上述推理过程.
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）【方法运用】
如图2所示，已知交于点，在图2的情况下求的度数.
（3）【拓展探究】
如图3所示，已知分别平分和，且BF、CG所在直线交于点，过作，若，在图3的情况下求的度数.
12．（2023七下·平南期末）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线AB，CD和一副直角三角板”开展数学探究活动.即：已知直线和一副直角三角板.
（1）【操作判断】
如图1，小华把一个三角板角的顶点F、G分别放在直线AB、CD上，请直接写出与的数量关系 .
（2）【迁移探究】
如图2，小睿把一个三角板角的顶点F放在直线AB上，若，求的度数.
（3）【拓展应用】
在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线EP，EQ分别交AB，CD于点P，Q，将含角的三角板绕点E转动，使EG始终在的内部，请问：的值是否发生变化 若不变，求出它的值；若变化，请说明理由.
13．（2023七下·龙岗期末）综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.
已知：如图1，在中，点是BC边上的中点，连接AD.求证：.
证明：过点作于
（1）【拓展探究】
如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点中，点是BC边上的中点，若，则 .
（2）如图3，在中，点是BC边上的点且和存在怎样的数量关系 请模仿写出证明过程.
（3）【问题解决】
现在有一块四边形土地ABCD（如图4)，能大和都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他们谁都没法平分，请你来帮帮忙.
要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述.可利用带刻度的直尺.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如答图1，
∵，，∴，
∵，∴；
（2）解：理由如下：
如答图2，过点B作，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴，∴；
（3）解：
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的概念
2．【答案】（1）解：①由题意可知，点、、、共线，
，
由折叠的性质可知，，
，即，
故答案为：90；
②王玲的说法正确，证明如下：
由①得：，
同理可得，，
，
；
（2）解：如图，过点作，
，
，
，
，
【知识点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①根据折叠前后两图形的对应角相等即可求解；
②根据折叠前后两图形的对应角相等可得，，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明；
（2）过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，根据平行于同一直线的两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，即可求解.
3．【答案】（1）等角转化
（2）解：过点C作CFAB，
∵ABDE，
∴ABCFDE，
∴∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°，
∴∠D+∠BCD-∠B=180°；
（3）15
（4）∠C=∠B+∠D；∠B+∠D+∠C=360°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】（1）由题意得平行线具有等角转化的功能，
故答案为：等角转化
（3）由（2）可知∠2+∠3-∠1=180°，
∴∠1=15°
故答案为：15
（4）①根据（2）可知∠C=∠B+∠D，
故答案为：∠C=∠B+∠D
②由（2）可知∠B+∠D+∠C=360° ，
故答案为： ∠B+∠D+∠C=360°
【分析】（1）根据题意即可得到平行线具有等角转化的功能；
（2）先由平行线的性质得到∠B=∠BCF，∠D+∠DCF=180°，进而即可求解；
（3）先根据（2）中的结论得到∠2+∠3-∠1=180°，进而即可求解。
（4）①根据（2）中的结论结合题意即可求解；②根据（2）中的结论结合题意即可求解。
4．【答案】解：任务一：该组平衡多项式的平衡因子为4．
任务二：
该组多项式是平衡多项式，其平衡因子为9．
任务三：①当为常数时，则，得；
②当为常数时，则，得；
③当为常数时，则，得（舍去）；（1分）综上所述，的值为6或-6．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【分析】任务一：由题目给出的新信息，进行混合运算得出结果；
任务二：直接去计算并判断结果是否为平衡因式.
任务三：由题意 ，分别验证(x+2)、（x-2）、（x+p）为第一个完全平方式，直接计算进行验证即可.
5．【答案】（1）解：为边上的中线，
，
在和中，，
，
（2）1；7
（3）证明：如图1，交延长线于点F，
，，，，
为的中点，，，
，，
又，，
在和中，，
（全等三角形的对应角相等），
即平分；
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（2）由(1)知BE=AC，AE=2AD，在ABE中，AB-BE【分析】（1）倍长AD，再加上BD=DC，还有一组对顶角便可证明全等；
（2）全等对应边相等，再利用三角形三边的关系可求得线段AD的取值范围；
(3)利用倍长中线法构造全等三角形，再找到第二组全等三角形的条件即可证得.
6．【答案】（1）解：（理论准备）：在和中
，
，
；
（实际操作）：
证明：由题意可得，
在和中
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
；
（成果迁移）：延长并截取，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
海里．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】 【理论准备】由题意知DC=AC，EC=BC，∠DCE=∠ACB，利用“SAS”可证△ABC≌△DEC，则可得AB=DE即可解答；
【实际操作】易得∠D=∠AEC=∠CEF=90°，利用“SAS”可证△CDB≌△CEF，则可得∠ECF=∠DCB，EF=DB，CB=CF，从而可求得∠ACF=∠ACB，然后利用“SAS”可证△ACB≌△ACF，再根据全等三角形的性质可求AB的长即可解答；
【成果迁移】延长EC并截取CF=BD，先证∠B=∠ACF，然后利用“SAS”可得△ABD≌△ACF，得出AD=AF，∠BAD=∠CAF，然后证得∠EAF=∠DAE，从而可证△DAE≌△FAE，再根据全等三角形的性质定理可求出DE的长即可解答．
7．【答案】（1）40°
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，即，
故答案为：40°.
【分析】（1）设，则，由平行线的性质求得，根据平角的性质列式计算即可求解；
（2）过点作，利用平行线的性质即可求解；
（3）由平行线的性质结合平角的性质，列式计算即可求解.
8．【答案】（1）45°
（2）解：①∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴；
②，，
∴，
由①知，
由折叠可知，
又∵，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）根据折叠的性质可得∠B'AF=∠BAB'=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠B'AF=45°；故答案为：45°；
【分析】（1）根据折叠的性质得可得∠B'AF=∠BAB'=45°，进而根据二直线平行，内错角相等得∠AFB=∠B'AF=45°；
（2）①根据平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；可得∠A'EB'=∠EB'F ，∠B'FC=∠EB'F ，由等量代换得∠A'EB'=∠B'FC；
②利用角的和差关系可得∠EB'F=30°，根据折叠的性质可求得∠BFE=75°，再由平行线的性质：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即可得出答案．
9．【答案】（1）丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和
（2）
（3）证明：，． ．又， ．
（4）；．
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图，连接各点，
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和.
（2）根据（1）中的发现， 得S丙= S乙 + S丁；
故答案为：S丙= S乙 + S丁.
（4）示意图如图，
图中每个矩形的面积为S矩形= ab，
小正方形的面积为S小正方形= (a- b)2，
大正方形的面积为S大正方形=(a + b)2，
∵S大正方形= S小正方形+ 4S矩形，
∴(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
故答案为：(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
（5）∵，
根据(a+b)2=(a-b)2 + 4ab可得
(x+y)2= (x-y)2 + 4xy，
即31 = (x- y)2+4×7，
解得（x- y）2=3，
则；
故答案为：.
【分析】（1）将丙图用辅助线进行分割，判断其面积与其它摆法面积之间的数量关系；
（2）根据（1）中的发现，写出各面积之间的关系即可；
（3）按照例子，直接证明即可；
（4）画出示意图，根据总面积等于各组成图形面积之和，得到a和b之间的数量关系式；
（5）根据完全平方公式的变形得(x+y)2=(x-y)2 + 4xy， 将x+y和xy的值分别代入，求得x-y值.
10．【答案】（1）
（2）解：结论正确，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵m//n，
∴∠1+∠ABC=∠2，
∵∠ABC=45°，∠2=65°，
∴∠1=∠2-∠ABC=65°-45°=20°，
故答案为：20°.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1+∠ABC=∠2，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，再结合，可得；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再结合，可得.
11．【答案】（1）解：补全推理过程如下，
解：过点作，
∠EAB，
又
180°.
（2）如图，过点作
（3）如图，过点E作，
，
又分别平分和，
，
又
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用“两直线平行，内错角相等”性质定理，将∠B等量转化为∠EAB，将∠C等量转化为∠DAC.
（2）通过过点E作AB（CD）的平行线，将∠B等量转化为180°-∠BEM，将∠C等量转化为∠MEC.过E作平行线的目的就是将∠B和∠C通过转化，和∠BEC产生数量上的关系；
（3）通过目标角∠BEC的顶点E，作AB的平行线，将∠BEC和∠ABE、∠DCE建立数量关系；然后根据角平分线的性质，得∠ABE=2∠ABF，∠DCE=2∠DCG；最后利用AB∥FH，CD∥FH，将∠ABF等量转化为∠BFH，∠DCG等量转化为∠HFG，而∠BFH-∠HFG=∠BFC=36°，形成具体的角度数值.
12．【答案】（1）
（2）解：如图2，过点E作
，
，，
，，
（3）解：不变，
理由如下：过点E作
，
，
设，则，
EP、EQ分别平分、
，
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：(1)如图，过点作，
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：.
【分析】(1)结合条件构造平行线是本题的解题关键，利用平行线的性质得到角之间的数量关系.
(2)先利用平行线的性质得到角之间的数量关系，再通过比例计算的度数.
(3)先通过平行线的性质用代数式表示出角之间的数量关系，再利用角平分线的性质计算两角之和.
13．【答案】（1）3
（2）；理由如下：
过点A作AE⊥BC于E
∵CD=2BD
∴AC=3BD
∴
（3）方法一：如图，连接BD，取BD的中点，连接AE，BE，则四边形ADEC就是四边形ABCD的一半。
方法二：如图，取AD的中点H、取BC的中点F，连接AF，CH，则四边形AFCH就是四边形ABCD的一半。
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：（1）∵点D是BC边上的中点，
∴AD是 △ ABC的中线，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3.
（2），
理由如下：作AE⊥BC于E，如下图：
∵CD+BD=BC，CD=2BD，
∴2BD+BD=BC，
∴，
∵，
∴.
（3）连接BD，取BD的中点Q，连接AQ，CQ，如下图：
∵Q为BD的中点，
∴AQ是 △ ABD的中线，CQ是 △ CDB的中线，
∴，，
∴，
∴折线AQ-QC将四边形ABCD分成面积相等的两部分.
【分析】（1）由D是BC边上的中点，得AD是 △ABC的中线，，即可得到答案；
（2）作AE⊥BC于E，由CD+BD=BC，CD=2BD，得2BD+BD=BC，则，则可求出和，便可得到答案；
（3）连接BD，取BD的中点Q，连接AQ，CQ，则AQ是 △ ABD的中线，CQ是 △ CDB的中线，，，则，则可得到结论.
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