2024高考数学密训卷参考答案（一） 3又 a，b， c成等差数列，则 a c 2b，所以b a2
一．单项选择题 9 2 2 2
cos A b
2 c2 a2 a 4a a 7
于是 4
1. C 2bc 2 2 3 a2 8
2
因为M N {x | 0 x 2} N 故选：D．
所以“ x N ”是“ x M N ”的充要条件
故选：C． 5. D
由题可得，复数 z 1 3 1 31 i， z2 2 2
i
2 2
2. B
z z b c由韦达定理可知 1 2 1， z z2 1 2
1
由题意知，即从5人中选出三人，分配到三个舱内 2
所以b c 2，故 A，B错误
共有C35A
3
3 60种不同的安排方案
1 3
故选：B． 解方程可得 z2 i z
2 1 3，则 2 i z1 ，则 z
2
2 z1 z2 ，故 C 错误2 2 2 2
因为 x3 1 x 1 x2 x 1 0，而 z1与 z 22 为方程 x x 1 0的两根
3. D
则 z1与 z
3
2 也为方程 x 1的根，故 D正确
因为 f (x)是偶函数，所以它的定义域关于原点对称
故选：D．
所以m 1，此时定义域为 ( 1,1)
y ln 1 x 易求得 是奇函数 6. D
1 x
V 1花口盏体积： 1 π 6 42 52 4 5 122π cm3
所以 y sin(x )是奇函数，于是 k （ k Z ） 3
V π 42 6 1盏托体积： 2 π 6 42 62 4 63 248π cm
3
此时 cos 1，于是 cos m 0或 2
所以组合体的体积V V1 V2 370π cm
3
故选：D．
故选：D．
4. D
7. C
由 c sin B 2bsin A b a，及正弦定理
sin B sin A
f (x) cos x a
可得bc 2ba，即 c 2a
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当 a 1时， f (x) 0， f (x)单调递减，无极值点 如图1，设直线 l ： y x 2 2 ，过点O作OH 直线 l于点H，作OH 直线 l 于点H
当 a 1时， f (x) 0， f (x)单调递增，无极值点
当 1 a 1时，因为 f (0) 1 a 0， f (π) 1 a 0
而 f (x)在 (0, )单调递减
所以存在 x0 (0, π)，使 f (x0 ) 0
在 (0, x0)上， f (x) 0， f (x)单调递增
(x0 , π)上， f (x) 0， f (x)单调递减
于是 x0是 f (x)在 (0, )上的极大值点
则OH H O
此时 f (x0 ) cos x0 a 0，即 a cos x0
可知如图 2，当点C在点H处，点G在线段OH 上时， OG OC 取得最小值
由题意， f (x0 ) 1，即 f (x0 ) sin x0 ax0 sin x0 x0 cos x0 1
此时 OG 2 2 OC H 'G ，最小值为 3 2 3
设 g(x) sin x x cos x，则 g (x) x sin x 0 12 12
于是 g(x)在 (0, )上单调递增，又 g π 1 所以T 2 3
2
故选：B．
所以 x0 , ， a cos x0 ( 1,0)
2
故选：C． 二．多项选择题
9. CD
8. B 由题可知，圆Q的半径为 |m |，且圆与 x轴相切
因为OA与OB为单位向量， OA OB 3 OB 由题意，3 |m | 3 ( 2)，即 |m |的取值范围是 (3,5]，故 A错误2
1
所以 cosáOA,OB ，即OA，OB的夹角为 设圆Q与 x轴的切点为C，根据切割线定理 |OA | |OB | |OC |2 9
2 3
易知点 A， B π为以原点为圆心的单位圆上的动点，且 AOB 于是 |OA | |OB | 2 |OA | |OB | 6，当且仅当 |OA | |OB | 3时等号成立
3
令OG OA OB，则 OG OA OB 3 若 |OA |和 |OB |相等，则圆Q与 y轴相切，与题意不符，故无法取得最小值，故 B错误
易知点G为以原点为圆心， 3为半径的圆上的动点
则 OA OB OC OG OC
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易求得此时 cos 2 5 2 5 ，于是 x0 a，于是 B 正确5 5
对于 C， f ( ) 2a cos a sin 5a sin( ) （ 0且 tan 2）
g( ) a sin 2a cos 5a sin( ) （ 0且 tan 2）
若将 f ( )的图象向右平移 个单位可得到 g( )的图象，则 2 2kπ（ k Z ）
tan tan 2 2 tan 4则 2 ，于是 C正确1 tan 3
当圆Q与直线 l相切时， |m | 5，过Q作 y轴垂线QD（D为垂足），连接QA π，如图1 对于 D，若 | AB | a，则易求得 AOB
3
π
则△QAD为直角三角形，于是 | AD | |QA |2 |QD |2 4 要求 | y0 yB |的最大值，不妨设以OB为终边的角为 3
此时 |OA | |OD | | AD | 5 4 1，故 C 正确
于是 | y0 yB | a sin
π π
a sin a sin
3 3
对于 D，连接 SQ，TQ，易知△SQT 为直角三角形，如图 2
5π当 时， | y0 yB |取得最大值 a，所以 D错误
于是 | ST | | SQ |2 |TQ |2 | SQ |2 16 6
故选：BC．
当QS与 l垂直时， | SQ |最小，即 | ST |最小
此时 | SQ | 5， | ST | 52 16 3
11. AC
所以 | ST |的最小值为3，故 D正确
A 1V 1 1
2
π 3 1 π对于 ，所求几何体体积为 圆锥MA ，故 A正确4 4 3 4
故选：CD．
对于 B，点 P在底面的轨迹为以 A为圆心， AP为半径的圆
10. BC
由题意， x0 a cos ， y0 a sin
所以 f ( ) 2a cos a sin ， g( ) a sin 2a cos
对于 A，若 f ( ) 2a，则 2cos sin 2
故线段 A1P的轨迹为以 AP为底面半径的圆锥 A1A的侧面3 3
结合 sin2 sin2 1可解得 cos 或 cos 1，即 x0 a或 x5 5 0
a，于是 A错误
2 1
对于 B， f ( ) 2a cos a sin 可看成向量 (2a,a)与向量 (cos ,sin ) tan AA P 的数量积 1 2 2 2
当且仅当 (2a,a)与 (cos ,sin )同向时 f ( )取最大值 连结 BD， A1B， A1D， AC，记 AC BD E
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记圆锥 A1A在正方形 ABCD内与 AC相交于点 F ，连 A1C1， A1F
易判断在长方体中， A1B∥D1C，BD∥ B1D1
易知圆锥、长方体均关于平面 A1ACC1对称，若取到完全能放入的最大球，则只需考虑球心
故平面 A1BD∥平面 B1CD1
在平面 A1ACC1内的情况
同时 A1E BD， AE BD， BD AC 3 2
取截面四边形 A1FCC1，延长 A1F ，C1C交于点M
故 A1EA为二面角 A1 BD A的平面角
又因为 A1A 平面 ABD，故△A1AE为直角三角形，则 AA1E即为直线 A1A与平面 B1CD1所
成夹角
3 2
tan AA AE 2 3 11E tan AA1PAA1 2 2 4 2
故平面 A1BD与圆锥 A1A侧面无交线，即所有的直线 A1P均不与平面 A1BD平行
显然 F 为 AC中点，故直角三角形 A1C1M 中， A1C1 3 2 ，C1M 4 2
则不存在点 P，使得 A1P∥平面 B1CD1，故 B错误
AM 5 2 AC M 3 2 4 2对于 C，设圆锥MA的底面半径为 r，高为 h 母线长MP a 故 1 ，故直角三角形， 1 1
的内切圆半径为 2
3 2 4 2 5 2
1 6
则其表面积为 πr 2 2πr a 6π， h a2 r 2 可得 a r 内切圆直径为 2 2 ，恰与梯形 A FCC 上下底同时相切
2 ， r 1 1
1
则V 2 1 2 2 2圆锥MA πr h πr a r 则半径为 2 的圆为梯形 A1FCC1内能放入的最大圆3 3
V 1 π r 4 36 12 r 2 r 2 1可得 圆锥MA 2 π 12 3r
2 r 4 此时半径为 2 的小球与圆锥侧面上直线 A1F ，长方体侧棱CC1相切，且与长方体上下底面
3 r 3
相切
当 r 2 3 r 6 ，即 时，圆锥体积取得最大值，最大值为 3π，故 C 正确
2 2 但同时，长方体内完全放入的小球必不能与侧棱相切，故 D错误
对于 D，此时圆锥MA即圆锥 A1A 故选：AC．
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14. n 1；16
三．填空题 2n的正因数为1,21, 22 , 2n，共 n 1个
12. 2 故 d 2n n 1
C1 1 45 m C2
3
5 1 15 2024 2 2 2 11 23
解得m 2 ①从中选1个数相乘，有 2,11,23共3种情况
故答案为： 2． ②从中选 2个数相乘，有 2 2,2 11,2 23,11 23共 4种情况
③从中选3个数相乘，即有 2个不选，同②为 4种情况
13. n2 4
n 1
n ④从中选 4个数相乘，即有1个不选，同①为3种情况
3 3
2 ⑤从中选5个数相乘，有 2024以及1这个因数，共 2种情况 an 1 an
2 故 d (2024) 3 4 4 3 2 16 lnan 1 lnan 2lnan
故答案为： n 1；16．
数列{lnan}为首项为 lna1 1，公比为 2的等比数列
lna 2n 1n
四．解答题
n2 n数列{bn}前 n项和为 2 15. （1） f (x) ae x 1， f (1) a， f (1) a
2 2
b 1 n n n n 1 n 12 b n b 1 所以 f (x)在 x 1处的切线为 y a a(x 1)，即 y ax1 ，且当 时， n ，2 2 1 符合
由题意， ae g(e) e
bn n
所以 a 1
2n 1,n为奇数
cn
n,n为偶数 （2） h(x) e x 1 x ln x的定义域为 (0, )
S 2 4 2n 20 2 2 2 2 n 22n h (x) e x 1 ln x 1
2n 2 n 1 1 4n n2 n 4
n 1
记 h (x) l(x)，则 l
(x) e x 1 1
2 1 4 3 3 x
易得 l '(x)在 (0, )上单调递增，且 l (1) 0
4n
故答案为： n2 n 1 ．
3 3 于是在 (0,1)上， l (x) 0， l(x)单调递减
在 (1, )上， l (x) 0， l(x)单调递增
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所以 l(x) l(1) 0，即 h (x) 0 17．如图，取DC 中点M ，连接 AM ， FM
所以 h(x)在 (0, )单调递增
即 h(x)的单调递增区间为 (0, )，无单调递减区间
（3）当0 x 1时， ex 1 0， x ln x 0，所以 h(x) e x 1 x ln x 0
当 x 1时，因为 h(x)在 (0, )单调递减
所以 h(x) h(1) 1 0
综上， h(x) 0
AB∥CD，DC 2AB 2
MC∥ AB，MC AB
16. （1）由题意可得
四边形 ABCM 为平行四边形
a2n anan 1 an 1an （ n 2）
AM ∥ BC
所以 a2n an (an 1 an 1)
又 AM 平面 BEC ， BC 平面BEC
因为 an 0
AM∥平面 BEC
所以 an an 1 an 1
EC∥ PD， F ，M 分别是腰 PE，DC的中点
即 an 1 an an 1 （ n 2）
FM ∥ EC
所以 a3 a1 a2 2 b1
又 FM 平面 BEC ， EC 平面BEC
a6 a4 a5 a2 a3 a3 a4 a2 a3 a3 a2 a3 2a2 3a3 8 b3
FM∥平面 BEC
设等比数列{bn}的公比为 q（ q 0）
又 AM FM M
则 q2 b 3 8 4， q 2，b n
b 2 n
2
1 平面 AFM ∥平面 BEC
2 c 1 1 1 1 1（ ） n
AF∥平面 BEC
22n 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
（2）连接 BD
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 c 1 c2 c3 cn 2
1
3 3 5 7 9 2 n 1 2 n 1 PB 平面 ABCD， PB 3， PD 3EC 3 2 ， AD 10 ， AB 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 7 5 17 9 2 n 1 2
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BD PD 2 PB 2 3，所以 AB2 BD2 AD2 （2
26
）在定直线 x 上，证明如下
5
由勾股逆定理，可得 AB BD，以 B为坐标原点，分别以 BA，BD，BP为 x轴， y轴， z
轴建立如图所示空间直角坐标系
由题可得， A(2,0)， A1( 2,0)
有 B(0,0,0)， A(1,0,0)，D(0,3,0)，P(0,0,3)，C( 2,3,0)
2
设直线 l1： x my ，E(x1, y1)， F (x2 , y2 )
由DP 3CE ，得 E( 2,2,1) 5
直线 l 2 2 8 1921与椭圆C联立可得 (2m 1)y my 0
设m x, y, z 为平面 ACE的一个法向量 5 25
8m 192
m AC 3x 3y 0 显然 0， y1 y2 2 ， y1y2 2
则有 ，令 y 1，得m 1,1,1 5(2m 1) 25(2m 1)
m AE 3x 2y z 0 24
所以有 y1y2 (y1 y2 )①
cos m,BE m B E 2 2 1 3
5m
|m | | BE | 9 3 9 y 直线 l2： y 1 x
2
②
x1 2
5
3
所以直线 BE与平面 ACE所成夹角的正弦值为
9 直线 l yA F ： y 2 x 2 ③1 x2 2
y 2 y
②③联立，消去 y可得 1 x 218. （1）由题意可得 x 2 5
x 2
1 x2 2
c2 a2 2 2e2 b 1 2 2 ， a
2 b2 2 3 12 y1 x 2 ya a 2 即 8
2
12 x 2 my 5 1 my2 5 5
解得 a2 8，b2 4
y
2 2 即 1
y2 2 y1y2
y x x x 2
所以椭圆的标准方程为 1 my y 8 y 5 my y 128 4 1 2 2 1 2 y5 5 1
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my y 12y 1 x 2 8y2
n n 1 n
即 1 2 my1y2 x 2 设 g ln L3 a5 5 5 i ln n ln ai !，则 g ai n i 1 i 1 i 1
36 y 24 y x 2 24 16
n
将①代入得 1 2 y1 y
5 5 5 5 5 2
x 2 a
i令 g 0， i 1
x 2 24
n
y 161 y5 2 2 26则 5 5
x 2 36 24
，即 x 易证 为 g 极大值点
y1 y
3 5
5 5 2 n
26 a所以点G在定直线 x 上 i n
5 则 i 1 2，即 a S 2nn i ni 1
19. （1）（i） P 0.9
2
（ii）由题意得，似然函数 L p p181 1 p
L 1 p p17 p 1 20p 18
当 p 0,0.9 时， L 1 p 0， L1 p 单调递增
当 p 0.9,1 时， L 1 p 0， L1 p 单调递减
则当 p 0.9时，L1 p 取得最大值，即p的最大似然估计值为0.9，与（i）中的估计值相等
n n n3
（2） L2 x x2 1 2x 1 x 2 1 x
2
2
n2 x2n1 n 1 x 2n2 3 n2
令 f x ln L2 x 2n1 n2 ln x 2n3 n2 ln 1 x n2 ln 2
f x 2n1 n 2n n则 2 3 2 f x 0 x 2n1 n，令 ，解得 2
x 1 x 2n
易知 f x 在 x 0,1 上单调递减，则当 x 0, x 时，f x 0，f x 单调递增，当 x x ,1
时， f x 0， f x 单调递减
所以 L2 x 在 0, x 上单调递增，在 x ,1 上单调递减
x x 2n则 1 n2 时， L2 x 取得最大值，所以 x
2n n
的最大似然估计值为 1 2
2n 2n
n
ai
n a i 1i
（3） L3 P X a
n 1 1, ,X n an e n e
i 1 ai ! ai !
i 1
第 15 页 （共 16 页） 第 16 页 （共 16 页）绝密★启用前
m x
2024高考密训卷（一） 3. 若 f (x) sin(x ) ln 是偶函数，则 cos m （ ） 1 x
数学 A.1 B. 1 C. 1 D.0或 2
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
4. 已知△ABC的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．若 c sin B 2bsin A，
注意事项： 且 a，b， c成等差数列，则 cos A （ ）
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 11 3 3 7A. B. C. D.
16 12 12 8
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在
5. 已知复数 z1 cos
2π
i sin π和复数 z 为方程 2x22 bx c 0（b,c R ）的两根，则下3 3
本试卷上无效。
列说法正确的是（ ）
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A.b c 1 B. z1 z2 1
一．单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个 C. z22 也为该方程的根 D. z 31与 z2也为方程 x 1的根
选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合M {1}，集合N {x | 0 x 2}，则“ x N ”是“ x M N ”的（ ）
6. 宋代瓷器的烧制水平极高，青白釉出自宋代，又称影青瓷．宋蒋祁《陶记》中“江、湖、
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
川、广器尚青白，出于镇之窑者也”，印证了宋人把所说的“影青”瓷器叫做“青白瓷”的史
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
实．图 1为宋代的影青瓷花口盏及盏托，我们不妨将该花口盏及盏托看作是两个圆台与
一个圆柱的组合体，三个部分的高相同均为6 cm，上面的花口盏是底面直径分别为8 cm
2. 中国空间站又名天宫空间站，最大可扩展为 180吨级六舱组合体，以进行较大规模
和10 cm的圆台，下面的盏托由底面直径8 cm的圆柱和底面直径分别为12 cm和8 cm的
的空间应用，其主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验室．2024年 3月，
圆台组合构成，示意图如图 2，则该花口盏及盏托构成的组合体的体积为（ ）
中国空间站首批材料舱外暴露实验完成．在早前的某次模拟训练时共有5名航天员
参与，其中两人出舱完成任务，剩余三人各留守在一个舱内完成其他任务，则不同
的安排方案有（ ）
A.30种 B.60 种 C.72 种 D.114 种
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C.当圆Q与直线 l相切时， |OA | 1（ A在 B下方）
D.若m 4，过 l上一点 S作圆Q的切线 ST （T为切点），则切线长 | ST |的最小值为3
10. 已知 A(x , y )是圆O： x2 y2 a20 0 （a 0）上一点，以 x轴非负半轴为始边，射线
OA为终边的角记为 ，定义 f ( ) 2x0 y0， g( ) y0 2x0 ．则下列选项正确的
是（ ）
A.若 f 2a，则 x0 a
A. 248π cm3 B.274π cm3 C.354π cm3 D.370π cm3 B. f ( ) 2 5取得最大值时， x0 a5
C.若将 f ( )的图象向右平移
4
个单位可得到 g( )的图象，则 tan
7. 若 f (x) sin x ax在 (0, )上的极大值大于1，则 a的取值范围为（ ） 3
D. B(x
1
B , yB )是圆O上一点且 | AB | a，则 | y0 yB |的最大值为 a
A. ( ,0) π ,0 C. ( 1,0)B. D.
(0,1) 2
3
11. 长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 3， AA1 2 2 ，点M 为线段 A1A上的动点，且
8. 已知O为坐标原点，OA与OB 为单位向量， OA OB OB 3 ， C 在定直线 l： 不与点 A重合， P为平面 ABCD内一动点，将△MAP绕MA旋转，得到圆锥MA，则下2
y x 2 2 上，不等式 OA OB OC T 恒成立，则实数T的取值范围为（ ） 列说法正确的是（ ）
A. , 2 3 B. , 2 3 C. , 2 3 D. , 3 π A.若 AM 1， AP 3，则圆锥被长方体所截得几何体的体积为 4
B.若 AP 2 ，则存在点 P，使得直线 A1P ∥ 平面 B1CD1
二．多项选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项 C.若圆锥MA表面积为6π，则圆锥体积最大值为 3π
中，有多项符合题目要求．全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的 D.若 AM 2 2， AP 3 2，则长方体内还可完全放入一个半径为 2 的小球
2
得 0分．）
9. 已知圆Q：(x 3)2 (y m)2 m2 与 y轴相交于两点 A，B，且与直线 l : x 2不相交．则 三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．）
下列选项正确的是（ ）
12. x m x y
5
的展开式中 x2 y3的系数为 15，则m ________．
y
A. |m |的取值范围是 (3,5)
B.O为坐标原点，则 |OA | |OB |的最小值为6
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2 n2 n 16. （15分）已知各项均为正数的数列{an}满足 a a 1，数列{a
2}的前 n项和为 a a ．正
13. 数列 {an}满足 an 1 an ， a1 e，数列 {bn}的前 n 项和为 ，数列 {c }满足
1 2 n n n 1
2 n
项等比数列{bn}满足b1 a3 ，b3 a6 ．
ln an ,n为奇数cn ，则其前 2n项和 S ________．
bn ,n
2n
为偶数 （1）求数列{bn}的通项公式；
（2 1）若 cn ，证明： c1 c2 c3 c
1
b 1 n
．
2n 2
14. 除数函数（divisor function） y d (n)（ n N*）的函数值等于 n的正因数的个数，
例如 d (1) 1， d (4) 3，则 d 2n ________； d 2024 ________．
四．解答题（本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．）
15. （13分）已知 f (x) ae x 1， g(x) x ln x，且 f (x)在 x 1处的切线 l与 g(x)的交点横
坐标为 e．
17. （15分） 如图所示的多面体PABCDE中， PB 平面 ABCD， PB 3， AB∥CD，
（1）求 a；
EC∥ PD，DC 2AB 2， AD 10 ， EC 2， PD 3EC．
（2）记 h(x) f (x) g(x)，求 h(x)的单调区间；
（1）若点F 为PE中点，求证： AF∥平面 BEC；
（3）在（2）的条件下，证明： h(x) 0．
（2）求直线BE与平面 ACE所成角的正弦值．
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y2 x2 2 19. （17 分）“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估18. （17分）椭圆C： 2 2 1（ a b 0）中，离心率是 ，右顶点 A到上顶点B的距a b 2
计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法．最大似然估计是由高斯首次提出，费
离为 2 3．
尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有 n个值的采
（1）求椭圆C的标准方程；
样 X1, X 2 , , X n，求出似然函数 L p P X1 x1,X 2 x2 , ,X n x n ，似然函数 L p 表
2
（2）设椭圆C的左顶点为 A1，经过点D ,05
的直线 l1与椭圆C交于 E， F ，过点D作
示样本同时取得 x1, x2 , , xn 的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最
AE的平行线 l2，与 A1F 交于点G．判断G是否在定直线上？若在，求出该直线；若不 大似然估计值．
在，请说明理由． （1）已知一工厂生产产品的合格率为 p，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品
中随机抽取 20件进行检测，有 2件不合格；
（i）估计该批次产品合格率；
（ii）若用随机变量 X 表示产品是否合格，X 0表示不合格，X 1表示合格，求合格
率 p的最大似然估计值，并判断与（i）中估计值是否相等；
（2）设一次试验中随机变量Y 的概率分布如下：
Y 1 2 3
P x2 2x 1 x 1 x 2
现做 n次独立重复试验，Y 1出现了 n1次，Y 2出现了 n2次，Y 3出现了 n3次，求 x的
最大似然估计值；
k
（3）泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为 P X k e X 0,1,2, ,
k !
设一次试验中随机变量 X 的取值服从泊松分布，进行 n次试验后得到 X 的值分别为
a1,a2 , ,an，已知 的最大似然估计值为 2，求数列 an 的前 n项和 Sn．
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