东北育才学校科学高中 2024 届高考适应性测试
数学学科试卷
命题人，校对人：高三数学组
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 2 4 ≤ 0}， = { |2 + ≤ 0}，且 ∩ = { | 2 ≤ ≤ 1}，则 =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
2
2.已知 > 0， > 0，且 2 + = 1 + ，则 的最小值为( )
A. 4 B. 4 2 C. 4 2 + 1 D. 2 2 + 1
3.将 5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少 1名，则不同的分配方法
数是( )
A. 300 B. 240 C. 150 D. 50
4.已知等比数列{ }的各项都为正数，且当 ≥ 2时有 2 1 +1 = ，则数列{ }的前
20项和为( )
A. 190 B. 210 C. 220 D. 420
5.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各
项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今
世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年
提出铅酸电池的容量 、放电时间 和放电电流 之间关系的经验公式： = ，
其中 为与蓄电池结构有关的常数(称为 常数)，在电池容量不变的条件下，当放
电电流为 15 时，放电时间为 30 ；当放电电流为 50 时，放电时间为 7.5 ，则该蓄
电池的 常数 约为(参考数据：lg 2 ≈ 0.301，lg 3 ≈ 0.477)( )
A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15
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6 ∈ (0, ) 2(sin + sin2 ) = sin2 tan(2 + + .已知 ， 2 ， tan ，则 6 ) =( )
A. 3 B. 3 C. 33 3 D. 3
7.已知函数 ( )的定义域为 ，且满足 ( ) + (3 ) = 4， ( )的导函数为 ( )，函数
= ( 1)的图象关于点(2,1) 3中心对称，则 ( 2 ) + (2024) =( )
A. 3 B. 3 C. 1 D. 1
8.函数 ( ) = + ( 1) ln ( ∈ ) .若对任意 > 0，都有 ( ) ≥ 0，则实数
的取值范围为 ( )
A. [ 1 , + ∞) B. [
2
, + ∞) C. [
2 , + ∞) D. [ , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为虚数单位，下列说法正确的是 ( )
A. = 1+ 若复数 1 ，则
30 = 1
B. 若| 1| > | |，则 22 1 > 22
C. ≠ 0 若 ，则 1 = 12 2 2
D. 复数 在复平面内对应的点为 ，若| + | + | | = 2，则点 的轨迹是一个椭圆
10.在△ 中，角 ， ， 所对的边依次为 ， ， ，已知 sin : sin : sin = 2: 3: 4，则
下列结论中正确的是 ( )
A. ( + ): ( + ): ( + ) = 5: 6: 7
B. △ 为钝角三角形
C. 若△ 的外接圆半径是 ，内切圆半径为 ，则 5 = 16
D. 若 + + = 18，则△ 的面积是 6 15
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11.点 在抛物线 2 = 4 上， 为其焦点， 是圆 : ( 3)2 + 2 = 1 上一点， (3,2)，则
下列说法正确的是( )
A. | |的最小值为 2 2
B. △ 周长的最小值为 4 + 2 2
C. 过 作圆 的切线，切点分别为 ， ，则当四边形 的面积最小时， 的横坐标是 1
D. 当∠ 最大时，直线 的方程为 + 5 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
n
12. 已知二项式 x 5x 的展开式中第 4项与第 8项的二项式系数相等， n
13. f (x) x(x a)2函数 的极小值点为 2，则实数 a的值为
14. 设 A,B是半径为 3的球体 O表面上两定点，且 AOB 60 ，球体O表面上动点 P
满足 PA 2 PB ，则点 P的轨迹长度为
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．如图，直线 PD垂直于梯形 ABCD所在的平面， ADC BAD 90 ，F 为线段 PA
1
的中点， PD 2,AB AD CD 1，四边形 PDCE为矩形.
2
(1)求证： AC 平面DEF；
(2)求直线 AE与平面 BCP所成角的正弦值：
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16．“刷脸支付”给生活带来了便捷，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧．某
调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分
在 40～100分之间），并从参与者中随机抽取 200人．根据调查结果绘制出频率分布直方
图如下：
(1) 据此估计这 200人满意度的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )；
(2) 某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案．
方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动．从装有8
个形状、大小完全相同的小球 (其中红球3个，黑球5个 )的抽奖盒中，一次性摸出3个球，
若摸到3个红球，返消费金额的 20%；若摸到 2个红球，返消费金额的10%，除此之外
不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金
1 1
活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有 的概率享受8折优惠，有 的概率享
6 3
受9 1折优惠，有 952 的概率享受 折优惠．
现小张在该超市购买了总价为1000元的商品．
① 求小张选择方案一付款时实际付款额 X 的分布列与数学期望；
② 试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精
确到 0.1）
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f x m ln x 1 x 1 y h x f 17．已知曲线 在 处的切线方程为 ，且 2 0． e
（1）求 h x 的解析式；
h
2 g x x （ ）求函数 的极值；
ex
x 2
（3）若 x 0时，不等式 e ax h x 0恒成立，求实数 a的取值范围．
18．椭圆 E的焦点为 11,0 和 11,0 ，短轴长为 2．
(1) 求椭圆 E的标准方程；
1
(2) 设椭圆上、下顶点分别为 P1、P2，过点Q 0, 的直线 l1与椭圆 E交于 A、B两点（不 2
与 P1、P2两点重合）．
① 求证： AP1与 BP2 的交点的纵坐标为定值；
② 已知直线 l2 : x 2y 6 0 ，求直线 AP1、BP1、l2 围成的三角形面积最小值．
19．设数列 an 的前 n n 1 *项和为 Sn，已知 2Sn an 1 2 1 n N ，且 a2 5．
a
(1) 证明： nn 1 为等比数列，并求数列 an 的通项公式； 2
(2) 设b log a n nn 3 n 2 ，若对于任意的 n N*，不等式bn 1 n an 2 6 0恒成
立，求实数 的取值范围；
(3) 函数 f x x ，其中 x 表示不超过 x的最大整数，如 2.3 2， 1.9 2，设
a 2nn cn ，数列 c4 n 的前
n项和为Tn，求T2024除以 16的余数．
高三年级数学科试卷 第 5 页 共 5 页东北育才学校科学高中2024届高考适应性测试数学学科试卷答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.10 13. 2 14.
15．【详解】（1）设，连接，
因为四边形为矩形，所以为中点，
又为中点，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，的正方向分别为轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为：，
且，令，解得：；
设直线与平面所成角为，所以.
则直线与平面所成角的正弦值为.
【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为：
.
（2）①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为；
摸到个红球，返消费金额的，实际付款为，
所以的可能取值为，
因为，
所以，
的分布列为：
X 800 900 1000
P
所以（元）.
②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为，
因为，
所以，Y的分布列为：
Y 800 900 950
P
所以，（元）
因为，所以选择方案二付款更划算.
解：（1），∴，
，，，，
切线方程为,即,∴．
（2）由（1）知，函数定义域为，
所以，
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，极大值为，无极小值．
（3）令,
，，,
1．当时，，所以在上单调递增，所以，即符合题意；
2．当时，设，
①当，，，所以在上单调递增，
，所以在上单调递增，所以，
所以符合题意；
②当时，，，所以在上递增，
在上递减，，所以当，，
所以在上单调递减，，所以，，舍去.
综上：.
18． （1）根据题意，蒙日圆的半径为，所以．
因为，可知，则，
所以椭圆E的标准方程为，
（2）因为直线过点，可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交，
可设直线，，，
联立方程，消去y可得，
则，
由根与系数的关系可得：，
因为，，可得直线，直线，
所以
．
即，解得，
所以直线，的交点P在直线上．
（3）设直线与直线，的交点分别为，，
则由（1）可知：直线，直线．
联立方程，
解得，，
因为，
又因为点到直线的距离，
可得，只需求的最小值．
由弦长公式可得
．
令，则．
可得
，
当且仅当，即时等号成立．
即的最小值为，可得面积的最小值为．
故直线，，围成的三角形面积的最小值为.
19．（1）当时，，又，所以，
当时，①，
故②，
式子①-②得，，即，
又，故当时，，
故，即，
因为为首项为，公比为的等比数列，
故，故，
（2）由（1）知，，故，
对于任意的，不等式恒成立，
即恒成立，
设，于是，
当时，，即，
当时，，即，
故，所以，
综上，的取值范围是；
（3）由（1）知，，
因为
，
当为奇数时，，故，
当为偶数时，，故，
所以
，
，
考虑当时，能被16整除，另外也能被16整除，
故除以16的余数为除以16的余数，
，
故除以16的余数为8.
