重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·荣昌期中）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有( )
A．90种 B．30种 C．14种 D．11种
2．（2024高二下·荣昌期中）二项式的各项系数之和为( )
A．512 B． C．2 D．
3．（2024高二下·深圳期中） 若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2024高二下·荣昌期中）从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·荣昌期中）某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为( )
A． B． C． D．
6．（2024高二下·荣昌期中）已知(为常数)在上有最大值3，则函数在上的最小值为( )
A．-3 B．-5 C．-37 D．-39
7．（2024高二下·荣昌期中）质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”；事件“这两个数不是孪生素数”，则( )
A． B． C． D．
8．（2024高二下·荣昌期中）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．（2024高二下·荣昌期中）已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则( )
A．函数在区间上单调递增
B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极大值
10．（2024高二下·荣昌期中）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.设“从甲罐取出的球是红球”，“从甲罐取出的球是白球”，“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( )
A．为对立事件 B．
C． D．
11．（2024高二下·荣昌期中）设函数，则( )
A．当时，直线不是曲线的切线
B．当时，函数有三个零点
C．若有三个不同的零点，则
D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．（2024高二下·荣昌期中）已知函数在点处的切线方程为，则 .
13．（2024高二下·荣昌期中）若，则 .
14．（2024高二下·荣昌期中）已知A，B分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·荣昌期中）已知函数，且.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
16．（2024高二下·金华月考） 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项；
17．（2022高三上·吉林月考）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，E，F分别是棱PC，AB的中点.
（1）证明：平面.
（2）求平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
18．（2024高二下·荣昌期中）已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线MN的方程.
19．（2024高三下·贵阳模拟）英国数学家泰勒发现了如下公式：
其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．
故答案为：C．
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
2．【答案】B
【知识点】二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：令，得二项式的各项系数之和为，
故答案为：B
【分析】赋值法令求解即得.
3．【答案】A
【知识点】导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：A.
【分析】求导，代入即可得结果.
4．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步，选出两名男选手，有种方法；
第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有种.故有种.
故答案为：B.
【分析】先选后分：先选出两名男选手，再从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对.
5．【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记服用金花清感颗粒为事件，服用莲花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件D，
依题意可得，，，，，，
所以.
故答案为：C
【分析】根据全概率公式计算即可；
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由得，
故当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，
故当时，取得最大值，即，此时，
当，，当时，故最小值为，
故答案为：C
【分析】通过导函数判断其单调性和最值，根据最大值为求出，进而根据单调性可得其最小值.
7．【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，17和19，共组.
所以，，所以.
故答案为：D
【分析】根据题意列出所有质数及孪生素数，结合条件概率公式计算可得得正确答案.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由于函数，定义域为R，满足，故是奇函数，且在R上为增函数.
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，则，当时，，故在上单调递减，
当时，，在上单调递增，，即a的取值范围为，
故答案为：D.
【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.
9．【答案】B,C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，，当时，，
故在、上单调递增，在、上单调递减，在、处取得极大值，在取得极小值.
故A、D错误，B、C正确.
故答案为：BC.
【分析】借助图象的正负即可得原函数的单调性及极值点，逐项判断即可.
10．【答案】A,B
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：A、因为甲罐中只有红球和白球，故A正确；
B、当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；
C、由全概率公式得，故 C不正确；
D、当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确.
故答案为：AB
【分析】注意到事件B是在事件或发生之后，结合条件概率、全概率公式即可求解.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，，则，则，
则曲线在点处的切线方程为，故选项错误；
B、当时，，则，当和时，，单调递增，时，，单调递减.又因为，，结合三次函数的图象特征，此时，有三个零点，故B选项正确.
C、设的三个零点分别为，，，则有，展开后比对含项的系数，
得，故选项C正确.
D、当时，易知在上单调递增，结合图像知不符合题意，故.因为，
因此函数的图像关于点成中心对称图形.则此正方形必以为中心，
不妨设正方形的四个顶点分别为A，，，，其中一条对角线的方程为，则，
即，解得，则，
同理可得.由得，根据题意，方程只有一个正解，
当时，显然不成立.
故，则，因为，则，设，则.设，
根据题意，只需要直线与函数的图像只有唯一的公共点即可.结合双勾函数的图象可得，
解得.所以选项D正确.
故答案为：BCD
【分析】求导即可判断A，由函数的单调性结合三次函数的图象特征即可判断B，结合零点的定义代入计算，即可判断C，由正方形的特点结合导数的运算即可判断D
12．【答案】0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由函数，可得，，
因为函数在点处的切线方程为，可得，解得，所以.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义列出方程组，求得的值，即可求解.
13．【答案】2555
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解：因为，
令，得，
即，
令，可得，
即，
所以
，
故答案为：2555.
【分析】赋值法分别赋值和即可求得答案.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点到直线的距离，则，
又，由知，和在上单调递增，
所以在上单调递增，其值域为，又，令，
令，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，因为对任意的，都有恒成立，
所以，所以实数的最大值为.
故答案为：.【分析】先求出到直线的距离，则，转化问题为求函数的最小值，构造函数求导即可得解.
15．【答案】（1）解： 由已知可得，
所以，解得，
所以，所以.
根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解： 由(1)知.
令，得或.
解可得，或，
所以在上单调递增，在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对函数求导可得，根据已知求出，代入可得.根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；
（2）由（1）知，.解以及，即可得出函数的单调区间.
16．【答案】（1）解：，，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以；
（2）解：，，
当为整数时为有理项，即，
则的取值集合为；
（3）解：设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第项和第项.
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【分析】本题考查二项式定理的展开式公式.
（1）利用二项式定理求出通项为：，二项式系数最大的项为中间项，找出r的值，反代回通项可求出最大项；
（2）通过分析可知当为整数时为有理项，依次求出r的值，可求出k的取值集合；
（3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组，解方程组可求出r的值，进而求出答案.
17．【答案】（1）解：因为是等边三角形， F是AB的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，底面是正方形，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以，即，
又平面，
所以平面；
（2）解：因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面PBC与平面PDF夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量数量积的公式可推出， 可证得 平面；
（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
18．【答案】（1）解： 由题意椭圆的上、下顶点分别为，故，点在上，故，又，即，即，解得，
结合可得，
故椭圆的标准方程为.
（2）解： 由题意知直线PM斜率存在，故设为如图所示：
则直线PM的方程为，联立，可得，
由题意知该方程有一根为，设，
则，
则，
因为直线PM与PN的斜率互为相反数，设，故以代换，
可得，
由题意可得，故，
所以直线MN的斜率为，
即直线MN的斜率为，则设其方程为，联立，
可得，需满足，
则，
故，
原点到直线MN的距离为，
故的面积为
，
当，即时，的面积取到最大值，
此时直线MN的方程.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程，可得，利用，得出，联立可求得椭圆方程；
（2）设直线的方程，和椭圆方程联立，求出M点坐标，以代换k， 可得N点坐标，从而确定直线的斜率，设直线的方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合点到直线的距离，表示出的面积，结合二次函数知识，即可求得答案.
19．【答案】（1）解：设，则.
当时，：当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）解：由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3）解：，
则
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在.单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增（这是因为当时，）
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而证出不等式成立；
（2）利用已知条件结合泰勒公式得出①和②，再联立①和②得出函数f(x)和函数g(x)的解析式，再结合放缩法证出不等式成立；
（3）利用分类讨论的方法，再利用结合求导的方法得出函数的导函数，再结合均值不等式求最值的方法得出当时的导函数的最小值，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而由奇函数的性质和函数F(x)的单调性得出函数F(x)的极小值点；再利用偶函数的性质和奇函数的性质以及函数的单调性，进而判断出函数F(x)的单调性，从而得出当时，不是的极小值点，进而得出实数a的取值范围.
1 / 1重庆市荣昌中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·荣昌期中）某学校开设5门球类运动课程、6门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有( )
A．90种 B．30种 C．14种 D．11种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：根据分类加法计数原理，不同的选法共有种．
故答案为：C．
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
2．（2024高二下·荣昌期中）二项式的各项系数之和为( )
A．512 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】二项展开式；二项式系数
【解析】【解答】解：令，得二项式的各项系数之和为，
故答案为：B
【分析】赋值法令求解即得.
3．（2024高二下·深圳期中） 若函数，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的加法与减法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：A.
【分析】求导，代入即可得结果.
4．（2024高二下·荣昌期中）从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步，选出两名男选手，有种方法；
第二步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有种.故有种.
故答案为：B.
【分析】先选后分：先选出两名男选手，再从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对.
5．（2024高二下·荣昌期中）某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒.若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记服用金花清感颗粒为事件，服用莲花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件D，
依题意可得，，，，，，
所以.
故答案为：C
【分析】根据全概率公式计算即可；
6．（2024高二下·荣昌期中）已知(为常数)在上有最大值3，则函数在上的最小值为( )
A．-3 B．-5 C．-37 D．-39
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由得，
故当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，
故当时，取得最大值，即，此时，
当，，当时，故最小值为，
故答案为：C
【分析】通过导函数判断其单调性和最值，根据最大值为求出，进而根据单调性可得其最小值.
7．（2024高二下·荣昌期中）质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”；事件“这两个数不是孪生素数”，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，17和19，共组.
所以，，所以.
故答案为：D
【分析】根据题意列出所有质数及孪生素数，结合条件概率公式计算可得得正确答案.
8．（2024高二下·荣昌期中）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由于函数，定义域为R，满足，故是奇函数，且在R上为增函数.
在上恒成立，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立.
令，则，当时，，故在上单调递减，
当时，，在上单调递增，，即a的取值范围为，
故答案为：D.
【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．（2024高二下·荣昌期中）已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则( )
A．函数在区间上单调递增
B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值
D．函数在处取得极大值
【答案】B,C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，，当时，，
故在、上单调递增，在、上单调递减，在、处取得极大值，在取得极小值.
故A、D错误，B、C正确.
故答案为：BC.
【分析】借助图象的正负即可得原函数的单调性及极值点，逐项判断即可.
10．（2024高二下·荣昌期中）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球.设“从甲罐取出的球是红球”，“从甲罐取出的球是白球”，“从乙罐取出的球是红球”.则下列结论正确的是( )
A．为对立事件 B．
C． D．
【答案】A,B
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：A、因为甲罐中只有红球和白球，故A正确；
B、当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；
C、由全概率公式得，故 C不正确；
D、当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确.
故答案为：AB
【分析】注意到事件B是在事件或发生之后，结合条件概率、全概率公式即可求解.
11．（2024高二下·荣昌期中）设函数，则( )
A．当时，直线不是曲线的切线
B．当时，函数有三个零点
C．若有三个不同的零点，则
D．若曲线上有且仅有四点能构成一个正方形，则
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；对勾函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、当时，，则，则，
则曲线在点处的切线方程为，故选项错误；
B、当时，，则，当和时，，单调递增，时，，单调递减.又因为，，结合三次函数的图象特征，此时，有三个零点，故B选项正确.
C、设的三个零点分别为，，，则有，展开后比对含项的系数，
得，故选项C正确.
D、当时，易知在上单调递增，结合图像知不符合题意，故.因为，
因此函数的图像关于点成中心对称图形.则此正方形必以为中心，
不妨设正方形的四个顶点分别为A，，，，其中一条对角线的方程为，则，
即，解得，则，
同理可得.由得，根据题意，方程只有一个正解，
当时，显然不成立.
故，则，因为，则，设，则.设，
根据题意，只需要直线与函数的图像只有唯一的公共点即可.结合双勾函数的图象可得，
解得.所以选项D正确.
故答案为：BCD
【分析】求导即可判断A，由函数的单调性结合三次函数的图象特征即可判断B，结合零点的定义代入计算，即可判断C，由正方形的特点结合导数的运算即可判断D
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．（2024高二下·荣昌期中）已知函数在点处的切线方程为，则 .
【答案】0
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由函数，可得，，
因为函数在点处的切线方程为，可得，解得，所以.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义列出方程组，求得的值，即可求解.
13．（2024高二下·荣昌期中）若，则 .
【答案】2555
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解：因为，
令，得，
即，
令，可得，
即，
所以
，
故答案为：2555.
【分析】赋值法分别赋值和即可求得答案.
14．（2024高二下·荣昌期中）已知A，B分别是函数和图象上的动点，若对任意的，都有恒成立，则实数的最大值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：点到直线的距离，则，
又，由知，和在上单调递增，
所以在上单调递增，其值域为，又，令，
令，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，因为对任意的，都有恒成立，
所以，所以实数的最大值为.
故答案为：.【分析】先求出到直线的距离，则，转化问题为求函数的最小值，构造函数求导即可得解.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·荣昌期中）已知函数，且.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）解： 由已知可得，
所以，解得，
所以，所以.
根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解： 由(1)知.
令，得或.
解可得，或，
所以在上单调递增，在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）对函数求导可得，根据已知求出，代入可得.根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；
（2）由（1）知，.解以及，即可得出函数的单调区间.
16．（2024高二下·金华月考） 在的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）若第项是有理项，求的取值集合.
（3）系数的绝对值最大的项是第几项；
【答案】（1）解：，，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以；
（2）解：，，
当为整数时为有理项，即，
则的取值集合为；
（3）解：设第项的系数的绝对值最大，
则，所以，解得，
故系数的绝对值最大的项为第项和第项.
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【分析】本题考查二项式定理的展开式公式.
（1）利用二项式定理求出通项为：，二项式系数最大的项为中间项，找出r的值，反代回通项可求出最大项；
（2）通过分析可知当为整数时为有理项，依次求出r的值，可求出k的取值集合；
（3）设第项的系数的绝对值最大，列方程组，解方程组可求出r的值，进而求出答案.
17．（2022高三上·吉林月考）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，E，F分别是棱PC，AB的中点.
（1）证明：平面.
（2）求平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
【答案】（1）解：因为是等边三角形， F是AB的中点，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，底面是正方形，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以，即，
又平面，
所以平面；
（2）解：因为，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面PBC与平面PDF夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，求出所需点的坐标和向量的坐标，求出平面的法向量，利用向量数量积的公式可推出， 可证得 平面；
（2）求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求出平面PBC与平面PDF夹角的余弦值.
18．（2024高二下·荣昌期中）已知椭圆的上、下顶点分别为，点在上，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设坐标原点为，若不经过点的直线与相交于两点，直线与的斜率互为相反数，当的面积最大时，求直线MN的方程.
【答案】（1）解： 由题意椭圆的上、下顶点分别为，故，点在上，故，又，即，即，解得，
结合可得，
故椭圆的标准方程为.
（2）解： 由题意知直线PM斜率存在，故设为如图所示：
则直线PM的方程为，联立，可得，
由题意知该方程有一根为，设，
则，
则，
因为直线PM与PN的斜率互为相反数，设，故以代换，
可得，
由题意可得，故，
所以直线MN的斜率为，
即直线MN的斜率为，则设其方程为，联立，
可得，需满足，
则，
故，
原点到直线MN的距离为，
故的面积为
，
当，即时，的面积取到最大值，
此时直线MN的方程.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）将代入椭圆方程，可得，利用，得出，联立可求得椭圆方程；
（2）设直线的方程，和椭圆方程联立，求出M点坐标，以代换k， 可得N点坐标，从而确定直线的斜率，设直线的方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合点到直线的距离，表示出的面积，结合二次函数知识，即可求得答案.
19．（2024高三下·贵阳模拟）英国数学家泰勒发现了如下公式：
其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设，则.
当时，：当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，，即.
（2）解：由泰勒公式知，①
于是，②
由①②得
所以
即.
（3）解：，
则
由基本不等式知，，当且仅当时等号成立.
所以当时，，所以在.单调递增.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
因此，是的极小值点.
下面证明：当时，不是的极小值点.
当时，，
又因为是上的偶函数，且在上单调递增（这是因为当时，）
所以当时，.
因此，在上单调递减.
又因为是奇函数，且，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此，是的极大值点，不是的极小值点.
综上，实数的取值范围是.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，从而证出不等式成立；
（2）利用已知条件结合泰勒公式得出①和②，再联立①和②得出函数f(x)和函数g(x)的解析式，再结合放缩法证出不等式成立；
（3）利用分类讨论的方法，再利用结合求导的方法得出函数的导函数，再结合均值不等式求最值的方法得出当时的导函数的最小值，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而由奇函数的性质和函数F(x)的单调性得出函数F(x)的极小值点；再利用偶函数的性质和奇函数的性质以及函数的单调性，进而判断出函数F(x)的单调性，从而得出当时，不是的极小值点，进而得出实数a的取值范围.
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