湖北省襄阳市鄂北六校联考2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·襄阳期中）已知向量，，若，则（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
2．（2024高一下·襄阳期中）已知点落在角的终边上，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024高一下·襄阳期中）函数（，，）的部分图象如图示，则图象解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一下·襄阳期中）若两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
5．（2024高一下·襄阳期中）化简得（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·襄阳期中）我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A． B． C． D．9
7．（2024高一下·襄阳期中）已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ）
A．64 B．32 C．24 D．8
8．（2024高一下·襄阳期中）如图，在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，过点A作与垂直的单位向量j，将j与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·襄阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．已知两个非零向量，，若，则与同向
C．在△ABC中，若，，则△ABC为等边三角形
D．若向量，满足，则存在唯一实数，使得
10．（2024高一下·襄阳期中）把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．当时，的值域为
D．若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为
11．（2024高一下·襄阳期中）在△ABC中，，，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ）
A．若CD是中线，则
B．若CD是高，则
C．若CD是角平分线，则
D．若，则D是线段AB的三等分点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高一下·襄阳期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 （用坐标表示）．
13．（2024高一下·襄阳期中）已知，则 ．
14．（2024高一下·襄阳期中）定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高一下·襄阳期中） 已知，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若，求值．
16．（2024高一下·襄阳期中） 已知，，且，，，，求：
（1）的值；
（2）的值．
17．（2024高一下·襄阳期中） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c．
18．（2024高一下·襄阳期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
（1）令，，用，表示；
（2）证明：；
19．（2024高一下·襄阳期中） 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若且，求的值；
（2）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，， 且
所以 ，
所以
故选：B.
【分析】本题考查平面向量的坐标运算.先利用平面向量的坐标运算求出，再根据，可求出的值.
2．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：点在角的终边上，则，
.
故选：C.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义，二倍角的余弦公式.先利用任意角三角函数的定义先求出的值，再利用二倍角的余弦公式进行展开，代入数据可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：通过观察图象可得，，
所以，所以，
又因为函数过点，
所以，
而，所以当时，满足要求，
所以函数，
故选：D.
【分析】本题考查根据三角函数图象求函数解析式.根据函数图象可得，再求出周，根据可求出，将点代入函数解析式可求出的值，据此可求出函数的解析式.
4．【答案】B
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：依题意得.
故选：B.
【分析】根据平面向量的模长公式可得：，利用完全平方公式进行展开，再结合平面向量的数量积，代入数据可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
；
故选：C
【分析】先利用同角三角函数的基本关系化简可得：，再进行统分，利用两角差的正弦公式化简，再利用二倍角的正弦公式化简可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得劣弧的长为6，半径如图所示：
设，则，即，
则扇形的面积为，
过点作，则，
则，所以
，所以
，则，
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于，
故选：A.
【分析】先根据题意求出圆心角，利用扇形面积公式可求出扇形的面积，利用锐角三角函数正弦和余弦的定义可求出，利用三角形面积公式结合二倍角的正弦公式可求出，进而求出阴影部分的面积.
7．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：由，得.
又因为，所以，即，
所以，所以为等腰三角形.
设的中点为D，根据，可得
所以
又因为为等腰三角形.
因此
故选：B.
【分析】先利用平面向量的线性运算化简式子可推出，再结合可推出，设的中点为D，应用中线向量公式结合平面向量的数量积可推出，再利用平面向量的数量积公式进行计算可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，
，
又，，即.
故选：A.
【分析】将题目等式两边应用平面向量数量积的定义进行展开，再结合图形找出向量的夹角进行计算，结合可得：，变形后可求出答案.
9．【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：A.由，为平面内两个不共线的向量，
设，所以，则不存在，
所以与不共线，则可作为平面的一组基底，A正确；
B.因为两个非零向量，，设与夹角为，
由，平方得，，
所以，又，所以，则与共线且反向，B正确；
C.在中，，所以，，所以，
由，得，即，则为等边三角形，C正确.
D.只有当时，若，则存在唯一实数，使得，D错误；
故选：ABC
【分析】先，据此可列出方程组，解方程组可推出不存在，根据平面向量基底的定义可判断A选项；对式子进行平方，利用完全平方公式进行展开，再结合平面向量数量积的定义可推出，据此可得据此可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可推出，利用平方差公式可推出，进而推出为等边三角形，判断C选项；根据平面向量共线定理可得当时结论成立，据此可判断D选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意函数 ，
函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，
即，函数为偶函数，
则 则.
注意到，则 ，
所以，
A. 的最小正周期为，错误；
B.：因为时，，
所以函数在上时，函数是增函数，
所以在区间上是单调递增，正确；
C.当时，的值域为[0，1]，正确；
D.函数的周期为的图象如图，
在区间上至少存在六个零点，则实数的取值范围为，正确
故选：BCD.
【分析】先利用降幂升角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用图象关于轴对称可列出方程，解方程可求出 ，由此得到的解析式为：，利用周期公式求出周期可判断A选项；根据正弦函数的单调性可列出不等式，解不等式可求出在上单调递增，根据集合的关系可判断B选项；根据x的范围可变形出，利用正弦函数的性质可求出的值域判断C选项；作出函数的图象，根据图象结合题意可求出实数a的取值范围判断D选项.
11．【答案】A,C
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题，，所以，
A.若CD是中线，，所以，
所以，A正确；
B.若CD是高，，得，B错误；
C.若CD是角平分线，则，
即，得，C正确；
D.若D为线段AB的三等分点，或，
，或，
所以或，D错误.
故选：AC.
【分析】先利用余弦定理求出角；利用三角形的中线向量公式可得：，对式子两边同时进行平方，利用平面向量的数量积可求出的长度，据此可判断A选项；利用三角形的面积公式结合等面积法可求出的长度，据此可判断B选项和C选项；若D为线段AB的三等分点，利用平面向量基本定理可求出或，对式子两边同时进行平方，利用平面向量的数量积可求出的长度，据此可判断D选项；
12．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：根据题意可知，
，；由投影向量公式可得， 向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
【分析】先利用平面向量的坐标运算求出，据此可求出，利用平面向量投影向量的定义可得：向量在向量上的投影向量为，代入数据可求出答案.
13．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意， ，
所以 ，
解得 ，
所以.
【分析】先利用同角三角函数的基本关系，求出，根据完全平方公式可得： ，代入数据可求出答案.
14．【答案】
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】解：由题可知，
化简得，
C为三角形内角，解得.
所以，
所以，解得：.
故答案为：.
【分析】根据新定义可列出方程，解方程可求出的值，再代入余弦定理公式可表示，利用基本不等式可求出的最小值，据此可求出答案.
15．【答案】（1）解：，
∴，
（2）解：
∴
所以
解方程可求出：
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】本题考查平面向量的夹角公式，平面向量垂直的坐标转化.
(1)先利用平面向量的坐标运算求出，∴据此可求出，，将数据代入平面向量的夹角计算公式可求出答案.
(2)先利用平面向量的坐标运算求出，再根据平面向量垂直的坐标转化公式可列出关于的方程，解方程可求出的值.
16．【答案】（1）解：∵，，
∴
，
∴
（2）解：由（1）可得
∴
又∵
∴
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)先根据同角三角函数的基本关系求出，的值，再根据平面向量的数量积公式求出的表达式，代入数据可求出答案.
(2)观察题意可得：，利用两角差的余弦公式进行展开，代入数据可求出的值，据此可反推出的值 .
17．【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理可得，
即，
所以，
因为，所以
（2）解：设（），
则，
所以，
解得，
所以，
由正弦定理，，
所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理可求出，据此可反推出角A；
(2)设，利用二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系可求出，，利用两角和的正弦公式可求出，利用正弦定理可求出的值.
18．【答案】（1）解：连接MN，
则MN平行于AB且MN为中位线，
所以
（2）证明：△ABC中，由余弦定理得
△ABM中，由余弦定理得
【知识点】平面向量的基本定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接MN，利用三角形的中位线定理可推出，利用平面向量基本定理可得，再利用平面向量的线性运算可求出答案.
（2）先利用余弦定理可求出，在△ABM中，利用余弦定理可得：，再进行化简可证明结论.
19．【答案】（1）解：由题意知，向量的相伴函数为
由题意，且，，，
故
（2）解：因为，
其相伴特征向量，
故，
所以，
则，
设点，
又，，
所以，，
若，
则，
即，，
因为，，
故，
又，
故当且仅当时，成立
故在的图象上存在一点，使得
【知识点】两角和与差的余弦公式；辅助角公式；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意再利用辅助角公式可求出相伴函数为的解析式，据此可求出，利用同角三角函数的基本关系可求出，观察可得，利用两角差的正弦公式进行展开，代入数据可求出答案.
(2)利用两角差的正弦公式化简函数，根据题意可求出的值，进而可求出，根据题意可设点，求出，，利用平面向量垂直的坐标转化公式可得，利用三角函数的有界性可求出，据此可求出点的坐标.
1 / 1湖北省襄阳市鄂北六校联考2023-2024学年高一下学期数学期中考试试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·襄阳期中）已知向量，，若，则（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为，， 且
所以 ，
所以
故选：B.
【分析】本题考查平面向量的坐标运算.先利用平面向量的坐标运算求出，再根据，可求出的值.
2．（2024高一下·襄阳期中）已知点落在角的终边上，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：点在角的终边上，则，
.
故选：C.
【分析】本题考查任意角三角函数的定义，二倍角的余弦公式.先利用任意角三角函数的定义先求出的值，再利用二倍角的余弦公式进行展开，代入数据可求出答案.
3．（2024高一下·襄阳期中）函数（，，）的部分图象如图示，则图象解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：通过观察图象可得，，
所以，所以，
又因为函数过点，
所以，
而，所以当时，满足要求，
所以函数，
故选：D.
【分析】本题考查根据三角函数图象求函数解析式.根据函数图象可得，再求出周，根据可求出，将点代入函数解析式可求出的值，据此可求出函数的解析式.
4．（2024高一下·襄阳期中）若两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】向量的模
【解析】【解答】解：依题意得.
故选：B.
【分析】根据平面向量的模长公式可得：，利用完全平方公式进行展开，再结合平面向量的数量积，代入数据可求出答案.
5．（2024高一下·襄阳期中）化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：
；
故选：C
【分析】先利用同角三角函数的基本关系化简可得：，再进行统分，利用两角差的正弦公式化简，再利用二倍角的正弦公式化简可求出答案.
6．（2024高一下·襄阳期中）我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（ ）
A． B． C． D．9
【答案】A
【知识点】扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得劣弧的长为6，半径如图所示：
设，则，即，
则扇形的面积为，
过点作，则，
则，所以
，所以
，则，
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于，
故选：A.
【分析】先根据题意求出圆心角，利用扇形面积公式可求出扇形的面积，利用锐角三角函数正弦和余弦的定义可求出，利用三角形面积公式结合二倍角的正弦公式可求出，进而求出阴影部分的面积.
7．（2024高一下·襄阳期中）已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ）
A．64 B．32 C．24 D．8
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：由，得.
又因为，所以，即，
所以，所以为等腰三角形.
设的中点为D，根据，可得
所以
又因为为等腰三角形.
因此
故选：B.
【分析】先利用平面向量的线性运算化简式子可推出，再结合可推出，设的中点为D，应用中线向量公式结合平面向量的数量积可推出，再利用平面向量的数量积公式进行计算可求出答案.
8．（2024高一下·襄阳期中）如图，在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，过点A作与垂直的单位向量j，将j与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，，
，
又，，即.
故选：A.
【分析】将题目等式两边应用平面向量数量积的定义进行展开，再结合图形找出向量的夹角进行计算，结合可得：，变形后可求出答案.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·襄阳期中）下列说法正确的是（ ）
A．已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底
B．已知两个非零向量，，若，则与同向
C．在△ABC中，若，，则△ABC为等边三角形
D．若向量，满足，则存在唯一实数，使得
【答案】A,B,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：A.由，为平面内两个不共线的向量，
设，所以，则不存在，
所以与不共线，则可作为平面的一组基底，A正确；
B.因为两个非零向量，，设与夹角为，
由，平方得，，
所以，又，所以，则与共线且反向，B正确；
C.在中，，所以，，所以，
由，得，即，则为等边三角形，C正确.
D.只有当时，若，则存在唯一实数，使得，D错误；
故选：ABC
【分析】先，据此可列出方程组，解方程组可推出不存在，根据平面向量基底的定义可判断A选项；对式子进行平方，利用完全平方公式进行展开，再结合平面向量数量积的定义可推出，据此可得据此可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可推出，利用平方差公式可推出，进而推出为等边三角形，判断C选项；根据平面向量共线定理可得当时结论成立，据此可判断D选项.
10．（2024高一下·襄阳期中）把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．当时，的值域为
D．若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为
【答案】B,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题意函数 ，
函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，
即，函数为偶函数，
则 则.
注意到，则 ，
所以，
A. 的最小正周期为，错误；
B.：因为时，，
所以函数在上时，函数是增函数，
所以在区间上是单调递增，正确；
C.当时，的值域为[0，1]，正确；
D.函数的周期为的图象如图，
在区间上至少存在六个零点，则实数的取值范围为，正确
故选：BCD.
【分析】先利用降幂升角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用图象关于轴对称可列出方程，解方程可求出 ，由此得到的解析式为：，利用周期公式求出周期可判断A选项；根据正弦函数的单调性可列出不等式，解不等式可求出在上单调递增，根据集合的关系可判断B选项；根据x的范围可变形出，利用正弦函数的性质可求出的值域判断C选项；作出函数的图象，根据图象结合题意可求出实数a的取值范围判断D选项.
11．（2024高一下·襄阳期中）在△ABC中，，，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（ ）
A．若CD是中线，则
B．若CD是高，则
C．若CD是角平分线，则
D．若，则D是线段AB的三等分点
【答案】A,C
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题，，所以，
A.若CD是中线，，所以，
所以，A正确；
B.若CD是高，，得，B错误；
C.若CD是角平分线，则，
即，得，C正确；
D.若D为线段AB的三等分点，或，
，或，
所以或，D错误.
故选：AC.
【分析】先利用余弦定理求出角；利用三角形的中线向量公式可得：，对式子两边同时进行平方，利用平面向量的数量积可求出的长度，据此可判断A选项；利用三角形的面积公式结合等面积法可求出的长度，据此可判断B选项和C选项；若D为线段AB的三等分点，利用平面向量基本定理可求出或，对式子两边同时进行平方，利用平面向量的数量积可求出的长度，据此可判断D选项；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高一下·襄阳期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 （用坐标表示）．
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：根据题意可知，
，；由投影向量公式可得， 向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
【分析】先利用平面向量的坐标运算求出，据此可求出，利用平面向量投影向量的定义可得：向量在向量上的投影向量为，代入数据可求出答案.
13．（2024高一下·襄阳期中）已知，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】由题意， ，
所以 ，
解得 ，
所以.
【分析】先利用同角三角函数的基本关系，求出，根据完全平方公式可得： ，代入数据可求出答案.
14．（2024高一下·襄阳期中）定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】解：由题可知，
化简得，
C为三角形内角，解得.
所以，
所以，解得：.
故答案为：.
【分析】根据新定义可列出方程，解方程可求出的值，再代入余弦定理公式可表示，利用基本不等式可求出的最小值，据此可求出答案.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高一下·襄阳期中） 已知，．
（1）求与的夹角的余弦值；
（2）若，求值．
【答案】（1）解：，
∴，
（2）解：
∴
所以
解方程可求出：
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】本题考查平面向量的夹角公式，平面向量垂直的坐标转化.
(1)先利用平面向量的坐标运算求出，∴据此可求出，，将数据代入平面向量的夹角计算公式可求出答案.
(2)先利用平面向量的坐标运算求出，再根据平面向量垂直的坐标转化公式可列出关于的方程，解方程可求出的值.
16．（2024高一下·襄阳期中） 已知，，且，，，，求：
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴
，
∴
（2）解：由（1）可得
∴
又∵
∴
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)先根据同角三角函数的基本关系求出，的值，再根据平面向量的数量积公式求出的表达式，代入数据可求出答案.
(2)观察题意可得：，利用两角差的余弦公式进行展开，代入数据可求出的值，据此可反推出的值 .
17．（2024高一下·襄阳期中） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c．
【答案】（1）解：因为，
所以由正弦定理可得，
即，
所以，
因为，所以
（2）解：设（），
则，
所以，
解得，
所以，
由正弦定理，，
所以
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理可求出，据此可反推出角A；
(2)设，利用二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系可求出，，利用两角和的正弦公式可求出，利用正弦定理可求出的值.
18．（2024高一下·襄阳期中）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．
（1）令，，用，表示；
（2）证明：；
【答案】（1）解：连接MN，
则MN平行于AB且MN为中位线，
所以
（2）证明：△ABC中，由余弦定理得
△ABM中，由余弦定理得
【知识点】平面向量的基本定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接MN，利用三角形的中位线定理可推出，利用平面向量基本定理可得，再利用平面向量的线性运算可求出答案.
（2）先利用余弦定理可求出，在△ABM中，利用余弦定理可得：，再进行化简可证明结论.
19．（2024高一下·襄阳期中） 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若且，求的值；
（2）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，向量的相伴函数为
由题意，且，，，
故
（2）解：因为，
其相伴特征向量，
故，
所以，
则，
设点，
又，，
所以，，
若，
则，
即，，
因为，，
故，
又，
故当且仅当时，成立
故在的图象上存在一点，使得
【知识点】两角和与差的余弦公式；辅助角公式；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)根据题意再利用辅助角公式可求出相伴函数为的解析式，据此可求出，利用同角三角函数的基本关系可求出，观察可得，利用两角差的正弦公式进行展开，代入数据可求出答案.
(2)利用两角差的正弦公式化简函数，根据题意可求出的值，进而可求出，根据题意可设点，求出，，利用平面向量垂直的坐标转化公式可得，利用三角函数的有界性可求出，据此可求出点的坐标.
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