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专题20 任意角和弧度制及三角函数的概念（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】象限角及终边相同的角 4
【考点2】弧度制及其应用 5
【考点3】三角函数的定义及应用 7
【分层检测】 9
【基础篇】 9
【能力篇】 11
【培优篇】 13
考试要求：
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
4．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
5．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
6．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【考点1】象限角及终边相同的角
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）集合，，，则集合中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高一上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件
B．“，”是“”的充要条件
C．设，，则“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
4．（22-23高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为
B．若，则
C．已知为锐角，，角的终边上有一点，则
D．在范围内，与角终边相同的角是和
三、填空题
5．（2024·北京东城·一模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， .
6．（2024·全国·模拟预测）已知是第二象限角，且其终边经过点，则 ．
反思提升：
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
【考点2】弧度制及其应用
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合，集合，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）质点A，B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线（）与圆O的交点处，点A的角速度为，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．在末时，点B的坐标为
B．在末时，劣弧的长为
C．在末时，点A与点B重合
D．当点A与点B重合时，点A的坐标可以为
4．（2024·全国·模拟预测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且所对的圆心角，所在圆的半径为4，，则（ ）
A．的长为
B．
C．若与所在两圆的圆心距为，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若与所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小
三、填空题
5．（2023·上海青浦·二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 .
6．（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 .
反思提升：
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【考点3】三角函数的定义及应用
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：.对于函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上单调递增
C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．方程在区间上有两个不同的实数解
4．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B．若为第一象限角，则
C．在中，若，则为锐角三角形
D．已知，且，则
三、填空题
5．（20-21高二·全国·课后作业）已知，则 .
6．（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= .
反思提升：
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．（2022·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多选题
5．（23-24高一上·四川眉山·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．存在，使得
B．函数的最小正周期为
C．函数的一个对称中心为
D．若角的终边经过点，则角是第三象限角
6．（21-22高一下·辽宁沈阳·阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．函数在定义域内是单调增函数
B．函数的表达式可以改写为
C．是最小正周期为的偶函数
D．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为
7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（ ）
A．在末，点的坐标为
B．在末，扇形的弧长为
C．在末，点在单位圆上第二次重合
D．面积的最大值为
三、填空题
8．（2023·江西赣州·二模）已知为锐角，满足，则 ．
9．（2024·山东·二模）在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 ．
10．（2023·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，且．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则 ；
四、解答题
11．（2023·贵州·模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.
(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
12．（2021·山东枣庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作，即；
②把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作，即；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作，即；
④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.
下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的定义域为
D．
三、填空题
3．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
四、解答题
4．（2024·河南·二模）已知圆锥的顶点为，底面圆的直径的长度为4，母线长为.
(1)如图1所示，若为圆上异于点的任意一点，当三角形的面积达到最大时，求二面角的大小；
(2)如图2所示，若，点在线段上，一只蚂蚁从点出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段的长度.（上坡表示距离顶点越来越近）
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·模拟预测）在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
3．（2021·上海·模拟预测）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是
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专题20 任意角和弧度制及三角函数的概念（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 7
【考点1】象限角及终边相同的角 7
【考点2】弧度制及其应用 12
【考点3】三角函数的定义及应用 18
【分层检测】 22
【基础篇】 22
【能力篇】 28
【培优篇】 33
考试要求：
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义
前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y
余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x
正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0)
三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0).
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
3.象限角
4.轴线角
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
4．（2023·全国·高考真题）若，则 ．
5．（2021·北京·高考真题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ．
6．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案.
【详解】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，
故选：D.
2．B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
3．
【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．
【详解】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．
4．
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
5．（满足即可）
【分析】根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
6．
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
【考点1】象限角及终边相同的角
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）集合，，，则集合中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高一上·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件
B．“，”是“”的充要条件
C．设，，则“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
4．（22-23高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（ ）
A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为
B．若，则
C．已知为锐角，，角的终边上有一点，则
D．在范围内，与角终边相同的角是和
三、填空题
5．（2024·北京东城·一模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， .
6．（2024·全国·模拟预测）已知是第二象限角，且其终边经过点，则 ．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意，分为第一象限角和第三象限角时，求出的取值集合再求并集.
【详解】
根据题意，角的终边在直线上，为第一象限角时，；
为第三象限角时，；
综上，角的取值集合是.
故选：D.
2．B
【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解.
【详解】解不等式，可得，
所以，整数的取值有、、，
又因为集合，，
则，即集合中的元素个数为.
故选：B.
3．AC
【分析】对于A，利用象限角，求得角的范围，可判定充分性，取，验证必要性即可；对于B，考查时，的取值范围，可判定必要性不成立；对于C，根据集合，的关系即可判定；对于D，根据条件求得的取值范围即可判断.
【详解】对于A,因为为第一象限角，
所以，
则,
当为偶数时，为第一象限角，
当为奇数时，为第三象限角，
所以充分性成立；
当时，为第一象限角，则，为第二象限角，
即必要性不成立，故A正确；
对于B，当，时，
成立，则充分性成立；
当时，或，,
故必要性不成立，则B错误；
对于C，，
而，
则 ，故则“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D,当时，,
则，
则，故充分性成立，
当时，，
则，
则成立，
所以“”是“”的充要条件，故D错误，
故选：AC.
4．ABD
【分析】对于A，根据扇形相关知识计算即可；
对于B，根据角的范围判断正弦值和余弦值的符号，结合诱导公式和同角三角函数的平方关系化简即可；
对于C，通过同角三角函数关系和三角函数定义求得，，再通过两角和的正切公式代入计算即可；
对于D，根据终边相同的角的概念直接判断.
【详解】对于A，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，设其母线长为，则其底面圆的直径为，
则圆锥侧面展开图的半径（即圆锥母线长）为，弧长（即底面周长）为，
所以其侧面展开图的圆心角的弧度数为，故A正确；
对于B，若，则，则，
则
，故B正确；
对于C，若为锐角，，则，则，
角的终边上有一点，则，
则，故C错误；
对于D，在范围内，与角终边相同的角是和，故D正确.
故选：ABD
5． （答案不唯一，符合题意即可） （答案不唯一，符合题意即可）
【分析】由角的终边关于直线对称，可得，再由可得或，即可求出答案.
【详解】因为角的终边关于直线对称，
则，，则，
因为，所以，
所有或，，
解得：或，，
取，的一个值可以为，的一个值可以为.
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；（答案不唯一，符合题意即可）.
6．
【分析】根据题意，求得，得到，再结合三角函数的定义和正切的倍角公式，即可求解.
【详解】因为是第二象限角，可得，
则，所以，
又因为的终边经过点，可得，可得，
解得或（舍去）．
故答案为：.
反思提升：
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置.
【考点2】弧度制及其应用
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合，集合，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）质点A，B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆上同时出发做逆时针匀速圆周运动，点A的起点在射线（）与圆O的交点处，点A的角速度为，点B的起点在圆O与x轴正半轴的交点处，点B的角速度为，则下列说法正确的是（ ）
A．在末时，点B的坐标为
B．在末时，劣弧的长为
C．在末时，点A与点B重合
D．当点A与点B重合时，点A的坐标可以为
4．（2024·全国·模拟预测）通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且所对的圆心角，所在圆的半径为4，，则（ ）
A．的长为
B．
C．若与所在两圆的圆心距为，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若与所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小
三、填空题
5．（2023·上海青浦·二模）已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 .
6．（2024·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形，且满足与轴平行，点在轴上.现将三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动，设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为 ；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为 .
反思提升：
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
参考答案：
1．A
【分析】根据给定条件把集合B写成用形式表示的集合，再与集合A求交集即可.
【详解】依题意，，
而，
所以，.
故选：A
2．C
【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得.
【详解】显然为等腰三角形，，
则，，又，
所以，于是，
所以璜身的面积近似为.
故选：C
3．BD
【分析】根据旋转的弧度数，结合三角函数的定义以及弧长公式判断AB；设时刻点A与点B重合，求出则可以判断CD.
【详解】由题意，末时，射线逆时针旋转了，则点B的坐标为，A错；
点A的初始位置为，后，射线逆时针旋转了，
则，所以劣弧的长为，B对；
设时刻点A与点B重合，则，
令，所以在末时，点A与点B不重合，C错；
由C知，时，点A与点B第一次重合，此时射线逆时针旋转了，
射线逆时针旋转了，可得A与点B重合于，
此时点A的坐标为．D对，
故选：BD．
4．ACD
【分析】结合图形特征，利用两角差的正弦正切公式，弧长公式和三角函数，求解选项中的数据.
【详解】记，所在圆的圆心分别为E，F，连接AE，AF，CF，EF，
则，，
选项A：根据弧长公式得的长为，故A正确．
选项B：，则，故B错误．(也可以在中利用余弦定理求解)
选项C：如图1，过点A，C分别作EF的平行线，与过点F的EF的垂线分别交于点D，G，∵，，∴，
∵，∴，．
由题易知AD﹣CG为半坡宽度，DG为坡屋面高度半径，
，，
，，
∴，不符合宋代建筑屋顶的第二个特点，C正确．
选项D：如图2，过点A作EF的垂直平分线，交EF于点M，过点C作，垂足为N，
，，当时，，
∴，∴．
易知CN为半坡宽度，AN为坡屋面高度半径，
∴，D正确．
故选：ACD
【点睛】方法点睛：
理解题目中坡屋面高度半径和半坡宽度的定义是解题关键，结合图形特征，利用三角函数知识求解.
5．
【分析】题中函数为圆的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一个只有唯一确定的与之对应，即图形与只有一个交点时旋转的角度符合题意.
【详解】画出函数的图象，如图1所示：
圆弧所在的圆方程为，，，在图象绕原点旋转的过程中，当从图1的位置旋转到点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：
此时绕着原点旋转弧度为；
若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点在轴上方，点在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：
此时转过的角度为，不满足题意；
若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：
此时转过的角度为；
故答案为：.
6．
【分析】根据题设条件可得的轨迹（如图所示），再根据轨迹可得的周期和相邻零点间的图象与轴所围区域的面积.
【详解】设，
如图，当三角形沿轴在平面直角坐标系内滚动时，
开始时，先绕旋转，当旋转到时，旋转到，此时，
然后再以为圆心旋转，旋转后旋转到，此时，
当三角形再旋转时，不旋转，此时旋转到，
当三角形再旋转后，必以为圆心旋转，旋转后旋转到，
点从开始到时是一个周期，故的周期为，
如图，为相邻两个零点，
在上的图像与轴围成的图形的面积为：
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：以图形旋转为背景的函数问题，应该通过前几次的旋转得到周期性，再在一个周期内讨论对应的函数性质即可.
【考点3】三角函数的定义及应用
一、单选题
1．（2024·湖北·模拟预测）在直角坐标系中，绕原点将轴的正半轴逆时针旋转角交单位圆于点、顺时针旋转角交单位圆于点，若点的纵坐标为，且的面积为，则点的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·浙江嘉兴·二模）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：.对于函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在区间上单调递增
C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象
D．方程在区间上有两个不同的实数解
4．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．“是第二象限角或第三象限角”，“”，则是的充分不必要条件
B．若为第一象限角，则
C．在中，若，则为锐角三角形
D．已知，且，则
三、填空题
5．（20-21高二·全国·课后作业）已知，则 .
6．（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= .
参考答案：
1．B
【分析】利用三角函数定义求出，利用三角形面积公式求出，进而求出，再利用差角的正弦求出即可得解.
【详解】由点的纵坐标为，得，，显然，
而，即，又，
因此， ，有，
，显然点在第四象限，
所以点的纵坐标为.
故选：B
2．C
【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
【详解】由题意可得、，，
对A：当时，，则，，
此时，故A错误；
对B：当时，，故B错误；
对C、D：，由，
故，则，即，
故C正确，D错误.
故选：C.
3．AB
【分析】由三角函数定义可得，根据题意，可得，利用正切函数的性质依次判断求解各个选项.
【详解】根据题意，，，
对于A，由正切函数的性质得，，解得，
所以函数的对称中心为，，故A正确；
对于B，，，由正切函数的性质可知在上单调递增，故B正确；
对于C，将的图象向左平移个单位可得，为奇函数，故C错误；
对于D，，，令，
由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且，
所以方程在区间上只有一个实数解，故D错误.
故选：AB.
4．ACD
【分析】对A，根据充分，必要条件的概念判断；对B，利用二倍角余弦公式化简求解；对C，将条件式切化弦结合三角变换求解判断；对D，利用二倍角余弦公式化简条件式，再弦化切求解.
【详解】对于A，若是第二象限角或第三象限角，则.若，取，
此时不是第二象限角或第三象限角，则是的充分不必要条件，故A正确；
对于B，由于为第一象限角，则，
，故B错误；
对于C，在中，若，则，所以，
故，所以，故为锐角三角形，故C正确；
对于D，由，所以，则，
由，知，故D正确.
故选：ACD.
5．
【分析】根据已知求出的范围，再利用二倍角公式化简原式可求解.
【详解】，，则，
.
故答案为：.
6．/
【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．
【详解】始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，
则，
故．
故答案为：．
反思提升：
1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【基础篇】
一、单选题
1．（2023·安徽·模拟预测）已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．（2022·全国·模拟预测）已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多选题
5．（23-24高一上·四川眉山·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．存在，使得
B．函数的最小正周期为
C．函数的一个对称中心为
D．若角的终边经过点，则角是第三象限角
6．（21-22高一下·辽宁沈阳·阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．函数在定义域内是单调增函数
B．函数的表达式可以改写为
C．是最小正周期为的偶函数
D．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为
7．（22-23高一下·浙江杭州·期末）如图，质点和在单位圆上逆时针作匀速圆周运动.若和同时出发，的角速度为，起点位置坐标为，B的角速度为，起点位置坐标为，则（ ）
A．在末，点的坐标为
B．在末，扇形的弧长为
C．在末，点在单位圆上第二次重合
D．面积的最大值为
三、填空题
8．（2023·江西赣州·二模）已知为锐角，满足，则 ．
9．（2024·山东·二模）在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 ．
10．（2023·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，角以Ox为始边，且．把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则 ；
四、解答题
11．（2023·贵州·模拟预测）如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.
(1)求；
(2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.
12．（2021·山东枣庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
（1）求的值；
（2）若角满足，求的值.
参考答案：
1．C
【分析】根据终边相同角的定义即可求解.
【详解】已知角终边上有一点，即点，
，
为第三象限角.
故选：C.
2．A
【分析】写出象限角的取值范围，可求出是第一象限角或第三象限角，再由可得出选项.
【详解】因为角第二象限角，所以，
所以，所以角是第一象限角或第三象限角．
又因为，即，所以角是第一象限角，
故选：A．
3．D
【分析】根据三角函数的定义求出，，再由两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为，即，
即角的终边经过点，所以，，
所以.
故选：D
4．D
【分析】设母线长为，根据题意得到，即可求解．
【详解】设母线长为，由题意，可得，解得，即圆锥的母线长为．
故选：D.
5．ABC
【分析】利用立方差公式判断A的正误；二倍角公式化简求解周期即可判断B的正误；余弦函数的对称性判断C的正误；根据角的范围判定符号即可判断D 的正误；
【详解】在A中，,，，
，不存在，使得，故A错误；
在B中，函数的最小正周期为，故B错误，
在C中，由，，得，，
函数的对称中心为，，故不是函数的对称中心，故C错误；
在D中，，，
角的终边经过点，，则角是第三象限角，故D正确．
故选：ABC．
6．BD
【分析】利用正切函数的单调性可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数在定义域内不单调，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，设，
因为，，则，
所以，函数不是最小正周期为的函数，C错；
对于D选项，设扇形的半径为，则，可得，
因此，该扇形的面积为，D对.
故选：BD.
7．BCD
【分析】求出末点和的坐标可判断选项AB;求出末点和的坐标，结合诱导公式可判断C；根据三角形面积公式可判断D.
【详解】在末,点的坐标为，点的坐标为；，扇形的弧长为；
设在末，点在单位圆上第二次重合，
则，故在末，点在单位圆上第二次重合；
,经过s后，可得，面积的可取得最大值.
故选:BCD.
8．2
【分析】
根据齐次式法运算求解即可.
【详解】因为，
整理得，解得或，
又因为为锐角，则，所以.
故答案为：2.
9．/
【分析】先利用角的终边所经过的点求出，再求.
【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，
所以，；
.
故答案为：
10．
【分析】由已知可得，，然后根据诱导公式即可求解.
【详解】依题意.
因为，
所以．
故答案为：.
11．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式直接得解；
（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，进而可得面积.
【详解】（1）由题知，，
所以；
（2）由题知，，，
，且，所以，
而，则，故，
由正弦定理可知，整理得，
解得，
故，或.
12．（1）；（2）或.
【分析】（1）由角的终边经过点，结合三角函数的定义可求，，然后结合两角和的正弦公式可求；
（2）由，结合同角平方关系可求，然后根据，及两角差的余弦公式可求.
【详解】（1）∵角的终边经过点，∴.由三角函数的定义得，.
∴.
（2）∵，∴，
∴，
∴当时，；
当时，.
综上所述：或.
【点睛】思路点睛：先利用三角函数的定义求出，，再利用两角和与差的正余弦公式计算及凑角思想的应用.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·河北保定·二模）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫作的正弦函数，记作，即；
②把点P的横坐标x叫作的余弦函数，记作，即；
③把点P的纵坐标y的倒数叫作的余割，记作，即；
④把点P的横坐标x的倒数叫作的正割，记作，即.
下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．函数的定义域为
D．
三、填空题
3．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为 百米.
四、解答题
4．（2024·河南·二模）已知圆锥的顶点为，底面圆的直径的长度为4，母线长为.
(1)如图1所示，若为圆上异于点的任意一点，当三角形的面积达到最大时，求二面角的大小；
(2)如图2所示，若，点在线段上，一只蚂蚁从点出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段的长度.（上坡表示距离顶点越来越近）
参考答案：
1．C
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义题，解题关键是读懂题意，根据新定义，利用三角函数定义结合相似三角形相似比求解，注意有向线段.
2．ABD
【分析】根据正余弦函数及余割正割的定义逐一判断即可.
【详解】，A正确；
，B正确；
函数的定义域为，C错误；
，
当时，等号成立，D正确.
故选：ABD.
3．
【分析】设半圆步道直径为百米，连接，借助相似三角形性质用表示，结合对称性求出步道长度关于的函数关系，利用导数求出最大值即得.
【详解】设半圆步道直径为百米，连接，显然，
由点O为线段的中点，得两个半圆步道及直道都关于过点垂直于的直线对称，
则，又，则∽，有，
即有，因此步道长，，
求导得，由，得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
因此当时，，
所以步道的最大长度为百米.
故答案为：
4．(1)
(2)
【分析】（1）判断为钝角，当且仅当时最大，以为坐标原点建立空间直角坐标系求解.
（2）将圆锥的侧面展开成扇形，在中，过作的垂线，设垂足为由题意知，利用及向量运算求得的长度.
【详解】（1）由，易得圆锥的高
，所以，所以为钝角，
，当且仅当时取等号，
（满足条件的点有两种对称位置，只研究其中的一种）
此时易得，在直角三角形中，由勾股定理得，，
从而为等边三角形，
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量，
即
令，得，所以，
取平面的法向量，
设二面角的平面角为，显然为锐角，
，所以二面角的大小为；
（2）将圆锥的侧面展开成扇形如图，扇形的弧长为，扇形的半径，
则扇形的圆心角，
在中，过作的垂线，设垂足为
在段距离顶点越来越近为上坡，段为下坡，所以，
设，易得，
因为，所以，
即，得，
解得，即.
【培优篇】
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·模拟预测）在矩形ABCD中，，，点E在CD上，现将沿AE折起，使面面ABC，当E从D运动到C，求点D在面ABC上的射影K的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高三上·山东威海·期末）质点和同时出发，在以原点为圆心，半径为的上逆时针作匀速圆周运动.的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
3．（2021·上海·模拟预测）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是
参考答案：
1．D
【分析】在原平面矩形中,连接,由面面ABC知,故点的轨迹是以为直径的圆上一段弧,根据的位置求出此弧的长度.
【详解】
由题意，将沿折起，使平面平面，在平面内过点作垂足为在平面上的射影，连接,由翻折的特征知，
则，故点的轨迹是以为直径的圆上一段弧，根据长方形知圆半径是，
如图当与重合时，,所以，
取为的中点，得到是正三角形.
故，
其所对的弧长为；
故选：D.
2．BD
【分析】确定点的初始位置，由题意列出重合时刻的表达式，进而可得点的坐标，通过赋值对比选项即可得解.
【详解】依题意，点的起始位置，点的起始位置，
则，设当与重合时，用的时间为，
于是，即，
则，所以，
对于A，若，则或，，
解得，或，因为，这样的不存在，故A错误；
对于B，当时，，即，故B正确；
对于C，若，则或，，
解得，或，因为，这样的不存在，故C错误；
对于D，当时，，即，故D正确；
故选：BD.
【点睛】思路点睛：通过设两质点重合时所用时间，得到重合点坐标，结合角度差，根据三角函数周期性以及诱导公式判断选项即可.
3．
【分析】利用单位圆中的终边位置研究，可知，存在正整数,使得，，由此求得的最小值.
【详解】在单位圆中分析，由题意，
的终边要落在图中阴影部分区域
（其中），
必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内，
∴，
∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了），
故存在正整数,使得，即，，
同时，
∴的最小值为,
故答案为：.
【点睛】本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数,使得，是关键.
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