10.5 分式方程（第2课时）课件（共25张PPT）-八年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

(共25张PPT)
第10章 · 分式
10.5　分式方程（2）
第2课时　分式方程的增根
学习目标
1.会判断所求得的根是不是分式方程的根，进一步掌握分式方程的解法步骤;
2.了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性；
3.分式方程的增根与无解的区别与联系.
知识回顾
解分式方程的一般步骤：
1.化：方程两边同乘以各分母的最简公分母, 将分式方程转化为整式方程.
2.解：解这个整式方程
3.验：将所求得的整式方程的解代入原方程检验
4.结：写出原分式方程的解
一化二解三验四结论
探索与交流
解分式方程 =
解：方程两边同乘3(x-2)，得
3(5x-4)=4x+10-(3x-6)
解这个一元一次方程，得
x=2
把x=2代入原方程，分式、的分母都为0.
为什么x=2不适合原分式方程？
探索与交流
解分式方程 =
解：方程两边同乘3(x-2)，得
3(5x-4)=4x+10-(3x-6)
解这个一元一次方程，得
x=2
分式方程在化为整式方程的过程中，未知数允许的范围扩大了.
方程的两边同乘了一个不能保证分式方程的分母不为0的整式．
分式方程的增根：
概念学习
将分式方程变形为整式方程，若整式方程的根使得原分式方程的分母为0，则这个根称为原分式方程的增根.
增根产生的原因：
去分母时，在分式方程的两边同乘了使分母为0的代数式.
讨论与交流
1. 你认为在解分式方程的过程中，哪一步的变形可能会产生增根？
分式方程去分母时可能会引起增根.
2. 为什么解分式方程必须检验？如何检验比较简便？
因为解分式方程的过程中可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
将解得的根代入最简公分母, 看最简公分母的值是不是0, 若为0, 则是增根．
例题讲解
例1　解下列方程：
(1) = ；
解：(1)方程两边同乘x(x+1)，得
30(x+1)=2x.
解这个一元一次方程，得
x=-3.
检验：当x=-3时，x(x+1)=6≠0，
x=-3是原方程的解.
一化(化分式方程为整式方程)
二解(得到的整式方程)
三检验(代入最简公分母检验)
四结论
例题讲解
例1　解下列方程：
(3) = .
(2)方程两边同乘2(3x-1)，得
1=3x-1+4.
解这个一元一次方程，得
x=-.
检验：当x=-时，2(3x-1)=-12≠0，
(2) = +；
(3)方程两边同乘(x+2)(x-2)，得
=16.
解这个一元一次方程，得
x=-2.
检验：当x=-2时，(x+2)(x-2)=0，
x=-2是增根，原方程无解.
x=-是原方程的解.
新知巩固
解下列方程：
(1) = ；
解：(1)方程两边同乘x-1，得
4+x-5(x-1)=2x.
解这个一元一次方程，得
x=.
检验：当x=时，x-1=≠0，
x=是原方程的解.
(2) =；
(2)方程两边同乘x-2，得
1=x-1-3(x-2).
解这个一元一次方程，得
x=2.
检验：当x=2时，x-2=0，
x=2是增根，原方程无解.
新知巩固
解下列方程：
(3) = ；
(4) =.
(3)方程两边同乘(x+1)(x-1)，得
3(x-1)=6.
解这个一元一次方程，得
x=3.
检验：当x=3时，(x+1)(x-1)=8≠0，
x=3是原方程的解.
(4)方程两边同乘(x+1)(x-1)，得
(x+1)2-(x2-1)=4.
解这个一元一次方程，得
x=1.
检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，
x=1是增根，原方程无解.
归纳总结
(1)去分母时，原方程的整式部分不要漏乘；
(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号；(分数线有括号的作用)
解分式方程注意点:
(3)增根不能舍掉；
(4)由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须对解得的根进行检验.
例题讲解
例2 若解关于x的分式方程=会产生增根，求m的值.
解：去分母，得2x+4+mx=3x-6.
由分式方程有增根，得到(x+2)(x-2)=0，
解得x=2或x=-2.
当x=2时，4+4+2m=0，即m=-4；
当x=-2时，-2m=-12，即m=6.
综上，m的值是-4或6.
分式方程中最简公分母=0，求得x
代入整式方程求待定字母的值
思维提升
例3 已知关于x的方程= 1无解，求m的值.
解：两边同乘(x 3)得：(3 2x) (2+mx)=3 x，
整理，(m+1)x= 2，
当m+1=0(即m=-1)时，此方程无解，所以原分式方程无解.
当m+1≠0时，解得x=.
若此解是原分式方程的增根，则原分式方程无解.
原方程的增根为x 3=0，即x=3
所以，即m=
综上所述，m=或m= 1，原分式方程无解.
思维提升
分式方程的增根与无解的区别与联系:
(2)原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解.
分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为0的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.
分式方程无解则指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等.
它包含两种情形:
(1)原方程化去分母后的整式方程无解；
新知巩固
1. 若方程=2+有增根，则增根是_______.
方程要产生增根，最简公分母必须为零.
x=3
2. 解关于x的方程=产生增根，则常数m的值等于_______.
-2
3.若关于x的方程＝无解，则m的值为_______.
0或4
新知巩固
4.若关于x的方程＝－1的解是负数，则a的取值范围是_______________.
a＞－2且a≠4
注意分母不能为0
5.若关于x的分式方程＋＝的解大于1，则m的取值范围是 ______________.
m＞0且m≠1
课堂小结
10.4 分式方程(2)
分式方程的增根
确定有增根的分式方程中的待定字母
当堂检测
1.下列说法：
①解分式方程一定会产生增根；
②方程=0的解为x=2；
③方程 =的最简公分母是2x(2x-4)；
④ =1+ 是分式方程．
其中正确的个数是 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
当堂检测
2.关于分式方程＝的解，下列说法正确的是(　　)A.解是x＝2 B.解是x＝4 C.解是x＝－4 D.无解
D
3. 如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是(　　)A.m＞－1 B.m＞－1且m≠0C.m＜－1 D.m＜－1且m≠－2
D
当堂检测
4.若关于x的分式方程＝1有增根，则m的值为_________.
－6
5. 若关于x的方程＝无解，则m的值为_________.
0或4
6. 关于x的分式方程＝2-的解为非正数，则m的取值范围是________________．
m≤6且m≠3
当堂检测
7. 若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所
有整数a的和为_______.
3
当堂检测
8. 解下列方程：
(2) ；
(1) ；
解：(1)方程两边同乘(x－2)，
得－1－x－3x＋6＝1，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，x－2≠0，
x＝1是分式方程的解．
(2)方程两边同乘(x+1)(x－1)，得
4+x2-1=x2-2x+1，
解得x=-1.
检验：当x=-1时，(x+1)(x-1)=0，
x=-1是增根，原分式方程无解.
当堂检测
9.k取何值时，代数式的值比的值小1？
解：根据题意，得＋1＝，
去分母，得2k＋2＋6＝9k＋3，
解得k＝.
当堂检测
10.当a为何值时，关于x的方程=无解？
解：方程两边同乘(x+2)(x-2)，得2(x+2)+ax=3(x-2)
整理得(a-1)x=-10①
若原方程无解，则有两种情形：
(1)当a-1=0(即a=1)时，此方程无解，所以原方程无解.
(2)如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解.
原方程若有增根，增根为x=2或-2，把x=2或-2代入方程①中，
得a=-4或6.
综上所述，a=1或a=-4或a=6时，原分式方程无解.