21.1 一元二次方程 课件（共23张PPT）-九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

(共23张PPT)
第21章
一元二次方程
九年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
九年级 上册
21.1
一元二次方程
复习引入
等式，没有未知数
2.下列式子哪些是方程？
2+5=7
x+3
2x+6=12
2x+3y=18
3x-5＜36
代数式，不是等式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
1.什么是方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程。
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程。
思考：什么叫一元二次方程呢？
含有一个未知数，且未知数的次数
是1的整式方程叫做一元一次方程.
情景引入
解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为 尺,
长为 尺,
依题意得方程：
化简得
从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
4尺
2尺
x
x－4
x－2
数学化
(x－2)
(x－4)
x2-12x+20=0
新知探究
思考：
把面积为4平方米的一张纸分割成如图的正方形和长方形两部分，求正方形的边长.
设正方形的边长为x，可列出方程
x
x
x
3
x2+3x=4
新知探究
思考：
有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3000 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
100 cm
50cm
3600 cm2
x
解：设切去的正方形的边长为 x cm，
则盒底的长为 (100 2x) cm，
化简，得
3000
500
新知探究
思考：
以下三个方程有什么共同点？
(1) 方程的两边都是整式；
(2) 都只含一个未知数；
(3) 未知数的最高次数都是 2.
x2-12x+20=0
x2+3x=4
500
一元二次方程
新知探究
等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做
一元二次方程.
ax2 + bx + c = 0 (a≠0).
ax2 是二次项， a 是二次项系数；
bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项.
一元二次方程的一般形式是
新知探究
思考：
一元二次方程的一般形式：
(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？
等号的左、右分别是什么？
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时，
当b=0时，
当b=0,c=0时，
新知探究
思考：
判断下列方程是一元二次方程吗
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
√
√
√
√
√
×
×
×
×
×
新知探究
思考：
把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方　　程 一般形式 二次项 系　数 一次项 系　数 常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x -1)=6
4-7x2=0
3x2－5x＋1＝0
x2 ＋ x－8＝0
3
1
3
－5
1
1
1
－8
－7
0
4
－7x2 ＋4＝0
典例精析
例1
若关于x的方程 是一元二次方程，求m的值.
解：
是一元二次方程，
典例精析
例2
常数项是 .
一次项系数是 ，
已知关于x的方程(m-2)x2+mx-1=0
⑴当m取什么值时，这个方程是一元一次方程？
⑵当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？这时
它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少？
解：
⑴当m-2=0，即m=2时，这个方程是一元一次方程.
⑵当m-2≠0, 即m≠2时，这个方程是一元二次方程，
它的二次项系数是 ,
m-2
m
-1
⑶若关于x的方程(m-2)x2+mx-1=0的一个根是 2，
你能求出m的值吗？
一元二次方程的根
典例精析
例3
下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2， 0．
解：将x=-4代入原方程，
不是
将x=-3代入原方程，
是
将x=-2代入原方程，
是
将x=0代入原方程，
不是
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
典例精析
例4
已知关于x的一元二次方程 的一个根是x=0，则a的值为_________
解：把x=0代入原方程得，
-1
例5
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）
(1)满足a+b+c=0 时，有根x=_________.
(2)满足a-b+c=0 时，有根x=_________.
(3)满足c=0 时，有根x=_________.
1
-1
0
典例精析
例6
已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，
求 2a2 + 4a + 2022 的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解.
典例精析
例7
有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m,
宽为(x＋2) m，依题意得方程：
(x＋5) (x＋2) ＝54
即
x2 ＋ 7x－44 ＝0
2
5
x
x
X＋5
X＋2
54m2
审→设→找→列
归纳总结
一元二次方程
概念
等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程
一般形式
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件
根(解)
使方程左右两边相等的未知数的值
建立一元二次方程模型
审→设→找→列
当堂检测
1.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0
③（x-2）（x+5）=x2-1 ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
2. (1) 已知方程 5x + mx 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的值为 ；
(2) 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 = 0
有一个根为 0，求 m 的值.
解：将 x = 0 代入方程得 m2 4 = 0，
解得 m = ±2.
∵ m + 2 ≠ 0，
∴ m ≠ 2.
综上可知 m = 2.
_____
当堂检测
3. 已知方程x2+bx+a=0有一根为-a，（a≠0） 则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A.ab B. C. a+b D.a-b
解：因为方程x2+bx+a=0有一根为-a，
D
当堂检测
4.判断下列方程是不是关于x的一元二次方程，如果是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x(x+2)=4(x-1)+7 （2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程；
二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-3.
（2）原方程整理得：9x+10=0，
因此它不是一元二次方程.
当堂检测
5.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、常数项：
方程 一般形式 二次项系数 常数项
3x2=5x-1
(x+2)(x-1)=6
3x2-5x+1 =0
x2+x-8 =0
3
1
1
-8
当堂检测
6.若关于x的方程 是一元二次方程，求m的取值范围.
解：原方程整理得
因其是一元二次方程，所以m-2≠0，
即m≠2.