北京市东直门中学2024届高三考前练习数学试卷（含解析）

高三数学考前练习试题
学校：______姓名：______班级：______考号：______
一、单选题
1.已知集合，，则集合的元素个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如果实数，，满足：，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ）
A.1 B. C. D.
4.二项式的展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A. B.56 C. D.28
5.已知抛物线：的焦点为，是上一点，，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象恰好关于直线对称，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7.已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.2
8.在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数（，为常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中（单位：克）代表分钟末未溶解糖块的质量，则（ ）
A. B. C. D.
9.设，均为非零向量，则“”是“对于任意的实数，都有”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.函数的定义域为______.
12.设等差数列的前项和为.若，，则______；______.
13.已知双曲线的焦点为，，实轴长为2，则双曲线的离心率是______；若点是双曲线的渐近线上一点，且，则的面积为______.
14.设函数.
①若存在最大值，则实数的一个取值为______.
②若无最大值，则实数的取值范围是______.
15.如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论：
①存在点，存在点，满足平面；
②任意点，存在点，满足平面；
③任意点，存在点，满足；
④任意点，存在点，满足.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题
16.在中，，.
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：的周长为.
17.人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数
“一个” 6
“一些” 4
“一穷” 2
“一条” 2
其他
假设用频率估计概率.
（1）求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为，求的分布列和期望；
（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要求证明）
18.如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.
（1）求证：；
（2）若.
（i）求直线与直线所成角的余弦值；
（ii）求点到平面的距离；
（iii）设点为线段上任意一点（不包含端点），证明：直线与平面相交.
19.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的长轴长为4，焦距为2，直线与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若以线段为直径的圆经过点.
（i）求证：直线过定点，并求出的坐标；
（ii）求三角形面积的最大值.
20.已知函数.
（1）若，求在处切线方程；
（2）求的极大值与极小值；
（3）证明：存在实数，当时，函数有三个零点.
21.已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.
（1）若，求的值；
（2）设是由3个正实数组成的集合且，；证明：为定值；
（3）若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式.
参考答案：
1.B
【来源】【全国百强校】宁夏石嘴山市第三中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题
【分析】根据集合交集的运算可得答案.
【详解】解集合得
根据集合交集运算可得，即由2个元素
所以选B
【点睛】本题考查了集合交集的基本运算，属于基础题.
2.D
【来源】北京市海淀区首都师范大学附属中学2022届高三下学期三模练习数学试题
【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果.
【详解】对于选项A，当时，，故选项A错误；
对于选项B，当时，错误；
对于选项C，当时，错误；
对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出，故选项D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.
3.B
【来源】北京市首都师范大学附属中学2023届高三下旬阶段性检测数学试题
【分析】由对应点坐标写出复数，结合复数除法运算化简复数即得虚部.
【详解】由题意可得：，则，
所以复数的虚部是.
故选：B.
4.D
【来源】江苏省连云港市赣榆区2020-2021学年高二下学期期中数学试题
【分析】二项式展开式的第项的二项式系数为，进而得到答案.
【详解】二项式展开式第三项的二项式系数为.
故选：D.
5.A
【来源】北京市中关村中学2023届高三三模数学练习试题
【分析】解方程即得解.
【详解】解：由题得抛物线的准线方程为，则有，即有，解得.
故选：A
6.A
【来源】北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题
【分析】由三角函数的相位变换可得变换后的图象对应的解析式，再根据正弦函数的对称轴可得以及的最小值.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为，
因为其图象关于直线对称，所以，
解得，，则正数的最小值为，
故选：A.
【点睛】本题考查了三角函数的图象的相位变换，考查了正弦函数的对称轴.属于基础题.
7.C
【来源】北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题
【分析】由题意求出切线长的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题可知圆的圆心为，半径为，
设，则，有，
得，
当时，.
故选：C.
8.C
【来源】北京市第二中学2023届高三校模数学试题
【分析】利用题干数据代入，待定系数求解即可
【详解】由题意，当时，；当时，
，，
故选：C
9.C
【来源】北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题
【分析】根据向量的运算法则和公式进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由，则，即，
当时，可得，此时恒成立，
即充分性成立；
当对于任意的实数恒成立时，
可得，又，
所以，即必要性成立，
综上可得，“”是“对于任意的实数，都有”的充分必要条件.
故选：C.
10.B
【来源】北京市师大附属中学2023届高三适应性练习数学试题
【分析】由条件转化为有解，求出与的切点，数形结合求解即可.
【详解】由题意，
即有解，
先求与相切时，
过定点，的导数，
设切点为，则由导数可知，
所以，解得，
即切点为，此时切线斜率，
作出函数图象，如图，
由图象可知，当时，存在，使得成立.
故选：B
11.
【来源】北京市第十中学2023届高三三模数学试题
【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案
【详解】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为，
故答案为：
12.6
【来源】北京市丰台区第二中学2023届高三三模数学试题
【分析】设公差为，根据等差数列求和公式求出，即可求出通项公式及前项和公式
【详解】设公差为，由，，所以，即，解得，所以，
则，
故答案为：6；
13.2
【来源】北京市丰台区第二中学2023届高三三模数学试题
【分析】易得，，再结合，可知，然后由求出离心率；可求出经过一、三象限的渐近线方程为，设点，分别求出和，根据列出方程，求出的值，然后可得点到轴的距离，，最后计算的面积.
【详解】易知，，所以，
又，，所以；
所以双曲线的方程为：，其中经过一、三象限的渐近线方程为，
故可设点，所以，
因为，所以，即，
解之得：，所以点到轴的距离为，又，所以：
故答案为：2；.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化思想，属于常考题.
14.0（答案不唯一，满足即可）
【来源】北京市第十中学2023届高三三模数学试题
【分析】利用导数可求得的单调性和极值，由此可得与的图象，结合图象分析即可得到结果.
【详解】令，则，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为；
令，即，解得：或；
由此可作出与图象如下图所示，
对于①，结合图象可知：若存在最大值，则，的一个取值为0；
对于②，若无最大值，只需，解得：，即；
故答案为：0（答案不唯一，满足即可）； .
15.①③
【来源】北京大兴精华学校2023届高三高考适应性测试数学试题
【分析】
对①②，举例判断说明即可；对③④，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则，其中，根据满足分析即可.
【详解】对①，当，分别为，的中点时，取中点，连接，，则根据中位线的性质可得，
又平面，平面，故平面，同理平面，又，，平面，故平面平面.
又平面，故平面.故①正确.
对②，当在时，平面不成立，故②错误；
对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，，.
设，，则，其中，故
则当时，即.
故对任意的，存在满足条件，即任意点，存在点，满足.
故③正确；
当，即在点时，若，则，不满足，即不在上，故④错误.
故答案为：①③
16.（1）
（2）选择条件②，；选择条件③.
【来源】北京市清华大学附属中学2022届高三下学期数学统练6试题
【分析】（1）利用余弦定理求解即可；
（2）根据条件①②③逐一计算，满足三角形只有一个解即可，再求面积.
【详解】（1）由余弦定理知，，
因为，所以.
（2）选择条件①：
把，代入中，化简得，解得，
所以存在两个，不符合题意；
选择条件②：
因为，，所以，
由正弦定理知，，所以，
因为，
所以的面积.
选择条件③：
因为的周长为，且，所以，
又，所以，解得，
所以的面积.
17.（1）16；
（2）分布列见解析；
（3）“一个”在前更合适
【来源】北京市海淀区北京大学附属中学2023届高三三模数学试题
【分析】（1）根据表中数据即可求得的值；根据古典概型的概率公式可求得甲类题材中“一”出现的概率；
（2）确定，根据二项分布的概率计算即可求得答案；
（3）计算样本语料库，中“一个”和“一格”出现的概率，比较大小，可得结论.
【详解】（1）由题意可得；
故甲类题材中“一”出现的概率为；
（2）由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为，
则，则，
，
，
故的分布列为：
0 1 2
则.
（3）由题意知样本语料库中“一格”出现的概率为，
甲类题材中“一个”出现的概率为，
由于，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.
18.（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）；（iii）证明见解析
【来源】北京市第一零一中学2023届高三三模数学统考四试题
【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系用坐标法计算即可.
【详解】（1）因为底面是正方形，所以，
又因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）（i）如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设直线与直线所成角为，则
（ii），，
设平面的法向量为，则，
所以，
令，则，
于是.
所以点到平面的距离
（iii）设是线段上一点，设.
则
因为，
所以直线与平面相交.
19.（1）
（2）（i）证明见解析，；（ii）
【来源】北京市第二中学2023届高三校模数学试题
【分析】（1）设椭圆的方程为，然后通过求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程；
（2）（i）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，通过可得出、所满足的关系式，即可求得直线所过定点的坐标；
（ii）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：设椭圆的方程为，
因为椭圆的长轴长为4，焦距为2，则，可得，，则，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：（i）因为椭圆过点，设点、，
若轴，则且，，，
此时，，不合乎题意；
设直线的方程为，
联立可得，
，
由韦达定理可得，
，
所以，
，
因为直线不过点，则，整理可得，解得，
所以，直线的方程为，所以，直线过定点；
（ii）直线的方程为，
所以，点到直线的方程为，
，
所以，
，
令，则，
因为时，故当时，取最大值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.
20.（1）
（2）见解析
（3）证明见解析
【来源】北京市海淀区北京大学附属中学2023届高三三模数学试题
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出函数导数，分类讨论得函数单调性，根据单调性求函数极值即可；
（3）根据（2）判断函数大致变化趋势，由函数零点个数即函数图象与轴交点个数可证明.
【详解】（1）当时，，
所以，
又，
所以切线方程为，即.
（2），
当时，，解得，
故时，，单调递减；时，，单调递增，
故时，的极小值为，无极大值；
当时，令，解得，
故当或时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故的极大值为，极小值为；
当时，令，解得，
故当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的极大值为，极小值为；
综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为.
（3）当时，由（2）知，在和上单调递增，
在上单调递减，且时，恒成立，
时，，
又的极大值为，极小值为，
所以存在实数时，函数有三个零点.
21.（1）
（2）证明见解析
（3）
【来源】北京市海淀区北京大学附属中学2023届高三三模数学试题
【分析】（1）根据题中的定义，列举出，即可；
（2）先列举，，，中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可；
（3）类比（1）（2）当数列由到，为保证，成立，则必有其成等差数列，故猜想，可用数学归纳法给予证明.
【详解】（1）当时，，，
，所以；
（2）设，其中，
则，
，
因，
，
因，
所以，，，，
又，
，
所以，
因，，，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以为定值；
（3），
若，
则，
，
故，
，
此时，不符合题意，
故，
猜想，下面给予证明，
当时，显然成立，
假设当，时，都有成立，即，
此时，
故，
，符合题意，
，
则，
若，
的元素个数小于的元素个数，
则有，
不符合题意，故，
综上，对于任意的，都有，
故数列的通项公式.
【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到集合的元素个数.