内蒙古名校联盟2023-2024学年高二下学期教学质量检测数学试题（含解析）

高二数学考试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册、选择性必修第三册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若服从0-1分布、且，则（ ）
A.0.75 B.1.25 C.0.25 D.0.5
2.某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有（ ）
A.17种 B.34种 C.35种 D.70种
3.已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则（ ）
A. B.6 C. D.8
4.某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45，0.55，且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8.现从甲、乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀方案的概率为（ ）
A.0.69 B.0.7 C.0.71 D.0.72
5.函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.在立体图形中，与某顶点相连的边的数量，称为该顶点的度数.从五棱锥的6个顶点中任取3个顶点，则度数为5的顶点被取到的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.有8名志愿者参加周六、周日的公益活动，每名志愿者只参加其中一天.这8人中甲、乙、丙三人精通日语，丁、戊两人精通英语，公益活动每天需要4名志愿者，且每天至少需要一名精通日语和一名精通英语的志愿者，则分配方法的总数为（ ）
A.32 B.36 C.48 D.56
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若，则下列说法正确的是（ ）
A.的展开式中奇数项的二项式系数之和为
B.
C.
D.除以10的余数为9
10.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（ ）
A.可能为等差数列 B.不可能为等比数列
C.是等差数列 D.是等比数列
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.存在，使得在上单调递减
B.对任意，在上单调递增
C.对任意，在上恒成立
D.存在，使得在上恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若数列的前项和为，且，则______.
13.设随机变量，若，则______，______.
14.用4种不同颜色的颜料给图中五个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有______
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性、随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：
男学生 女学生 合计
喜欢运动 40 20 60
不喜欢运动 20 20 40
合计 60 40 100
（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？
（2）按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
16.（15分）
为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.
（1）计算样本平均数和样本方差；
（2）若这次环保知识竞赛的得分服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差.若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据：）
附：若随机变量服从正态分布，则，，.
17.（15分）
在数列中，，，且.
（1）证明：是等差数列.
（2）求的通项公式.
（3）求数列的前项和.
18.（17分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，恒成立，求的取值范围.
19.（17分）
在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.
（1）求的分布列与期望；
（2）证明为等比数列，并求关于的表达式.
高二数学考试参考答案
1.C 因为服从0-1分布，所以.因为，所以，，故.
2.A 甲不同的选择情况共有种.
3.C 由题意得，得.
4.C 用，分别表示选到的方案来自甲部门、乙部门，用表示选到的方案是优秀方案.由题意得，，，，
所以由全概率公式得.
5.B 由题可知，所以，又，所以所求的切线方程为，即.
6.C 由题意可知，在五棱锥的6个顶点中，1个顶点的度数为5，其他5个顶点的度数均为3，所以度数为5的顶点被取到的概率为.
7.D 设函数，则，所以在上单调递增.
由，得，所以得.
8.B 周六分配一名精通日语的志愿者有种不同的分配方法，周六分配两名精通日语的志愿者有种不同的分配方法，故分配方法的总数为36.
9.BC 的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误；
令，可得，令，，则，故B正确；，故C正确；，故除以10的余数为1，故D错误.
10.AC 当为常数列时，为等差数列，A正确.当为常数列，且时，为等比数列，B错误.设的公差为，则，得，因为，所以数列是等差数列，C正确.设的公比为，则，当时，不是常数，所以不是等比数列，D错误.
11.BCD ，因为，所以不存在，使得在上单调递减，故A错误；，因为，，所以，即，故B正确；当，时，，设，，则，所以在上单调递增，所以，即，故C正确；
当时，令，则，令，则，又，所以在上单调递减，在上单调递增，即，故D正确.
12. .
13.；5 ，则，因为，所以，故，.
14. 72 1，2，3三个区域有种涂法，当1和5区域同色时，有种涂法，当1和5区域不同色时，有种涂法.综上，共有72种涂法.
15.解：（1）零假设为：学生的性别与是否喜欢运动无关，
根据列联表中的数据，计算得到，
根据的独立性检验，我们推断不成立，即学生的性别与是否喜欢运动有关.
（2）由题意得选取的喜欢运动的男学生人数为，则不喜欢运动的男学生、喜欢运动的女学生、不喜欢运动的女学生的人数之和为，
则至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率为.
16.解：（1），
.
（2）该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布.
①设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，则，，，.
因为，所以.
因为，所以.
因为，所以.
综上，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.
17.（1）证明：因为，
所以是首项为，公差为2的等差数列.
（2）解：由（1）得，
则
得，即.
又符合，所以（或）.
（3）解：因为，
所以.
18.解：（1）由题意知函数的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题可知，
故.
令，则，，所以在上单调递减，在上单调递增.
又时，，且，
所以的解集为，所以，即，
故的取值范围为.
19.解：（1）的可能取值为2，3，4.
，
，
，
则的分布列为
2 3 4
故.
（2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为；
②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为.
故，
则，所以为等比数列.
故，即.