2023-2024学年广东省深圳市平湖外国语学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市平湖外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，且，则( )
A. B. C. D.
3.在中，角、、的对边分别为、、，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，，则等于( )
A. B. 或 C. D. 或
5.已知某圆锥的底面半径是高的一半，则其侧面展开图的圆心角的大小为( )
A. B. C. D.
6.平面向量与的夹角为，，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，已知，，则的面积是( )
A. B. C. D.
8.中国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等上述原理在中国被称为祖暅原理一个上底面边长为，下底面边长为，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则在上的投影向量为
D. 若，，则在上的投影向量为
10.在正方体中，，，分别为，，的中点，则( )
A. 直线与直线异面
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面是等腰梯形
D. 三棱锥的体积是正方体体积的
11.已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论正确的是( )
A. 点的坐标为 B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则边的实际长度为______．
13.若为虚数单位是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数 ______．
14.如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
复平面内表示复数的点为．
当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部；
当点位于第四象限时，求实数的取值范围；
当点位于直线上时，求实数的值．
16.本小题分
如图，已知圆锥的底面半径，高，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱．
若圆柱的底面半径，求剩余部分体积；
试求圆柱侧面积的最大值．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面．
18.本小题分
如图，在锐角中，点为边上一点，，且，．
求边的长；
若点为边的中点，求的面积；
若为的平分线，求的面积．
19.本小题分
已知，是平面内任意两个非零不共线向量，过平面内任一点作，，以为原点，分别以射线、为、轴的正半轴，建立平面坐标系，如图我们把这个由基底，确定的坐标系称为基底坐标系当向量，不垂直时，坐标系就是平面斜坐标系，简记为对平面内任一点，连结，由平面向量基本定理可知，存在唯一实数对，使得，则称实数对为点在斜坐标系中的坐标．
今有斜坐标系长度单位为米，如图，且，，设
计算的大小；
质点甲在上距点米的点处，质点乙在上距点米的点处，现在甲沿的方向，乙沿的方向同时以米小时的速度移动．
若过小时后质点甲到达点，质点乙到达点，请用，，表示；
若时刻，质点甲到达点，质点乙到达点，求两质点何时相距最短，并求出最短距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，故其虚部为．
故选：．
利用复数乘法法则化简，再求虚部即可．
本题考查了复数的乘法运算，复数虚部的定义，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：平面向量，，且，
，
解得，
则，
故选：．
先根据向量的共线求出的值，再根据向量的数量积求出即可
本题考查了向量的坐标运算和向量的共线和向量的数量积公式，属于基础题
3.【答案】
【解析】解：，又，
解得．
故选：．
根据余弦定理得到，求出答案．
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：在中，，
所以，
由正弦定理，，
所以，则，
因为，所以或．
故选：．
利用正弦定理求解角度，再利用内角和定理判断结果是否符合题意．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设圆锥的底面半径为，则高为，所以母线长为，
所以圆锥侧面展开图扇形的半径为，
又圆锥侧面展开图扇形的弧长为圆锥的底面周长，即，
所以侧面展开图的圆心角的大小为．
故选：．
弧长为的扇形的半径为，则圆心角为弧度角．
本题考查圆锥侧面展开图问题，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知，
，
．
故选：．
根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．
本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
7.【答案】
【解析】解：因为 ，所以 ，
所以 ，可得 ，又，所以，
所以 ，
又，所以，
所以 ．
故选：．
利用正弦定理化角，解出，然后结合余弦定理求出的乘积，即可求出三角形的面积．
本题考查正余弦定理与面积公式的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，
正六棱台的上下底面边长分别为和，
则，
，
所以．
故选：．
由已知求出正六棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解．
本题考查棱台体积的求法，考查祖暅原理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：向量，，，
则，A正确，B错误．
若，且，
则，解得，
故，，则在上的投影向量为，C正确，D错误．
故选：．
结合向量垂直、平行的性质，以及投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直、平行的性质，以及投影向量的公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：如图，
对于选项A，根据异面直线的判定定理可知与异面，故选项A正确；
对于选项B，取的中点为，连接、，则，，
易证平面平面，从而平面，故选项B正确；
对于选项C，连接，，易知平面截正方体所得的截面为等腰梯形，故选项C正确；
对于选项D设正方体棱长为，则三棱锥的体积为，故选项D错误．
故选：．
根据异面直线定义、面面平行的判定定理以及性质定理以及三棱锥的体积求解方法可求得正确选项．
本题考查异面直线的判定定理的应用，线面平行的判定定理的应用，正方体的截面问题，三棱锥的体积的求解，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为复数为虚数单位在复平面内对应的点为，所以点的坐标为，故A正确；
因为，所以，故B正确；
设，在复平面内对应的点为，设，因为，所以点到点的距离为，
因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，表示圆上的点到点的距离，因此，，故C正确，不正确．
故选：．
根据复数与复平面内的点的对应关系即可判断的正误；
根据共轭复数的定义即可判断的正误；
根据的几何意义即可判断，的正误．
本题考查了复数与复平面内的点的对应关系，共轭复数的定义，的几何意义，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：将直观图还原为原图形，如图所示，
则，，
所以．
故答案为：．
将直观图还原为原图形，得到原图形中线段的长度，由勾股定理求解即可．
本题主要考查了平面图形的直观图的画法及应用，其中熟记斜二测画法的规则，画出直观图的原图形是解答的关键，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，
所以，
整理得，，
故，即．
故答案为：．
由已知把代入方程，然后结合复数的四则运算进行化简，再由复数相等的条件即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数相等条件的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，
则，，，，
，，
由于就是，的夹角，
，
的余弦值为．
故答案为：．
如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，就是，的夹角，利用向量的夹角公式求解
本题考查向量数量积的应用，属于中档题．
15.【答案】解：由，解得，此时复数是纯虚数，虚部为；
由，解得，则当点位于第四象限时，的范围为；
当，即或时，点位于直线上．
【解析】根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部；
根据复数的几何意义列式计算；
根据点位于直线上，可得，从而可求．
本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
16.【答案】解：圆锥的底面半径，高．
圆锥的母线长，
圆锥体积．
设圆柱的高，则，所以，
则圆柱体积，
剩余部分体积为．
法一：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，
其中，，
设圆柱底面半径为，设，则，即，
设圆柱的侧面积为，
对称轴为，
当时，有最大值为．
法二：作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示，
其中，，，，
设圆柱底面半径为，则，即，
设圆柱的侧面积为．
对称轴，
当时，有最大值为．
【解析】计算出圆锥和圆柱的体积即可．
作出圆锥、圆柱的轴截面，计算出圆柱侧面积公式，利用二次函数的性质进行求解即可．
本题主要考查空间几何体的体积和侧面积的计算，根据圆锥，圆柱的体积公式和侧面积公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
17.【答案】证明：在四棱锥中，平面，
平面，
平面平面，
．
取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由可得，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
【解析】根据线面平行的性质定理即可证明；
取的中点，连接，，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明．
本题考查线面平行、线线平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是中档题．
18.【答案】解：由，可得，
所以，又，，
在中，由正弦定理，可得，
即，故AB边的长为；
由，可得，
所以，
在中，由正弦定理，可得，
即，又点为边的中点，
则；
若为的平分线，由角平分线定理，
可得，设，，
在中，由余弦定理可得，
整理得，解得或舍去，
故，，
由可知，此时仍为中点，
故．
【解析】首先求得，再由正弦定理即可求得；
首先求得，再由正弦定理求得，根据为中点，得，即可求得三角形的面积；
由角平分线定理，结合余弦定理，求得，即仍为中点，再根据的结果即可得三角形面积．
本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属中档题．
19.【答案】解：由题意，，，，，
，
如图所示，，，
由题意，甲沿的方向，乙沿的方向同时以米小时的速度移动，
则小时后，，，
．
由知，两质点运动小时后，，，
则，
，
当时，，
即两质点同时移动小时后，相距最短，最短距离为米．
【解析】斜坐标系可以类比直角坐标系得出向量坐标，在计算时注意基底的数量积不再是，夹角是，利用数量积的性质把向量模的问题转化为向量的数量积进行运算即可．
本题考查平面向量基本定理的应用，属基础题．
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