2023-2024学年浙江省强基联盟高二(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
2.双曲线:的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知向量,,若,则的值为( )
A. B. C. D.
4.为虚数单位,则( )
A. B. C. D.
5.已知正数,满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.圆台的上底面面积为,下底面面积为,母线长为,则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.对于数列,设甲:为等差数列,乙:,则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.袋子中装有张编号分别为,,,,的卡片,从袋子中随机选择张卡片,记抽到的张卡片编号之和为,编号之积为,则下列说法正确的是( )
A. 是的倍数的概率为 B. 是的倍数的概率为
C. 是的倍数的概率为 D. 是的倍数的概率为
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.若直线与圆相交于,两点,则的长度可能等于( )
A. B. C. D.
10.已知,,则下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
11.下列定义在上的函数中,满足,的有( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.的展开式中含项的系数为______.
13.如图,已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点,交椭圆于点,若是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为______.
14.若不等式对任意满足的正实数,,均成立,则实数的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数.
求函数在处的切线方程;
求函数的单调区间和极值.
16.本小题分
已知盒中有个黑球和个白球,每次从盒中不放回地随机摸取个球,只要摸到白球就停止摸球.
求摸球三次后刚好停止摸球的概率;
记摸球的次数为随机变量,求的分布列和期望.
17.本小题分
如图,在正三棱柱中,为侧棱的中点.
求证:平面平面;
若,求平面与平面所成二面角的大小.
18.本小题分
如图,抛物线:,是抛物线内一点,过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线,,设与抛物线相交于点,,与抛物线相交于点,,当恰好为线段的中点时,.
求抛物线的方程;
求的最小值.
19.本小题分
对于正整数,,存在唯一的自然数,,使得,其中,,,我们记,对任意正整数,定义的生成数列为,其中.
求和.
求的前项.
存在,使得,且对任意,成立考虑的值:
当时,
定义数列的变换数列的通项公式为
当时,
定义数列的变换数列的通项公式为
若数列和数列相同,则定义函数,其中函数的定义域为正整数集.
Ⅰ求证:函数是增函数.
Ⅱ求证:.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:,
,
故A.
故选:.
解出集合,,再结合交集的定义,即可求解.
本题主要考查交集及其运算,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:由双曲线的方程可得,,,,
双曲线的渐近线方程为.
所以选:.
根据双曲线渐近线方程即可计算.
本题主要考查双曲线的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:向量,,
则,
,
则,解得.
故选:.
根据已知条件,结合向量垂直的性质,即可求解.
本题主要考查向量垂直的性质,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:因为.
故选:.
由已知结合复数的四则运算及等比数列的求和公式即可求解.
本题主要考查了复数的四则运算,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:因为,
所以,
故的取值范围是.
故选:.
根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可求解.
本题主要考查基本不等式的公式,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:根据题意,圆台的上底面面积为,下底面面积为,
则该圆台的上、下底面的半径分别为和,
又由其母线长为,
则圆台的侧面积为.
故选:.
根据题意,求出圆台的上、下底面的半径,由圆台的侧面积公式计算可得答案.
本题考查圆台的侧面积计算,涉及圆台的结构特征,属于基础题,
7.【答案】
【解析】解:若是等差数列,
则,充分性成立,
若,则,两式相减得,即,
所以是等差数列,必要性成立.
故选:.
根据已知条件,依次判断充分性、必要性,即可求解.
本题主要考查等差数列的性质,属于基础题.
8.【答案】
【解析】解:首先,
是的倍数的情况包括,,,,
所以概率为,故A正确,B错误;
是的倍数的情况数为,
所以概率为,故CD均错误.
故选:.
利用古典概率、列举法求解.
本题考查古典概率、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
9.【答案】
【解析】解:根据题意,可得直线经过原点,
圆:,圆心为,半径.
当直线经过点时,直线被圆截得的弦长为圆的直径,此时弦长达到最大值;
,当直线与垂直时,
直线被圆截得的弦长为,此时弦长达到最小值.
综上所述,直线被圆截得弦长的取值范围是,对照各项,可知符合题意.
故选:.
因为直线经过原点,圆的圆心为,所以当直线与垂直时,直线被圆截得的弦最短,直线经过圆心时,直线被圆截得的弦最长,由此算出弦长的取值范围,进而可得正确答案.
本题主要考查直线的方程、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.
10.【答案】
【解析】解:对于,取,左边,
右边,故错误;
对于,取,左边右边,故错误;
对于,左边
右边,故正确;
对于,左边
右边,故正确.
故选:.
对于,取,即可判断;
对于,取,即可判断;
对于,利用两角和与差的余弦公式,同角三角函数基本关系式即可求解;
对于,利用两角和与差的正弦公式,同角三角函数基本关系式即可求解.
本题考查了两角和与差的余弦公式,同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦公式的应用,考查了转化思想,属于中档题.
11.【答案】
【解析】解:对于,,则,当且仅当时,等号成立,满足条件;
对于,,则,
当且仅当时,等号成立,不满足条件;
对于,,,所以,显然成立;
对于,,因为,
所以,.
所以,当且仅当时,等号成立,满足条件.
故选:.
利用函数性质与基本不等式判断,,;利用余弦函数的性质判断.
本题考查了指数函数、幂函数、余弦函数的性质,考查了基本不等式的应用,属于中档题.
12.【答案】
【解析】解:二项式的展开式的通项为,
令,可得含的项的系数是.
故答案为:.
利用二项展开式的通项公式求出第项,令,可得含的项的系数
本题考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具,是基础题.
13.【答案】
【解析】解:是等腰三角形,.
设,,
,解得.
代入椭圆方程得,化为.
.
故答案为.
利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点的坐标,再代入椭圆方程即可.
熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键.
14.【答案】
【解析】解:因为不等式对任意满足的正实数,,均成立,
所以,
因为,当且仅当时取等号,
所以.
故答案为:.
由已知不等恒成立先分离参数,然后结合基本不等式可求.
本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化,属于中档题.
15.【答案】解:函数,导函数,
当时,,,
则切点为,切线斜率为,
所以切线方程为.
函数,导函数,
当或时,,当时,,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为,.
所以当时,函数取得极小值为,当时,函数取得极大值为.
【解析】求出函数解析式,求导,求出切点及切线斜率,从而可得切线方程;
求出函数的解析式,利用导数与单调性的关系可得单调区间,进而可得极值.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值,利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查运算求解能力,属于基础题.
16.【答案】解:由题当且仅当前两次摸到个黑球即可停止,
故所求概率为;
由题,的所有可能取值为,,,
则,
,
,
所以的分布列为:
则.
【解析】由题当且仅当前两次摸到个黑球即可满足题意,然后结合题目所给数据即可求解;
由题,的所有可能取值为,,,然后结合题意求出每个取值对应的概率即可得解.
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望,属于基础题.
17.【答案】证明:连接,交于点,再连接,
则为的中点,
因为为的中点,所以,
所以,同理可证,
又因为,,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面;
解:由知,,,
,,平面,
故AC平面,即为平面的一个法向量,
又显然为平面的一个法向量,
由可知,,
由图可知,平面与平面所成二面角为锐二面角,
所以平面与平面所成二面角的大小为.
【解析】连接,交于点,再连接,可证平面,由面面垂直的判定定理即可证得结论;
可判定为平面的一个法向量,为平面的一个法向量,由向量夹角即可得二面角大小.
本题考查面面垂直的判定,考查二面角的求法,属中档题.
18.【答案】解:由题意,设直线:,,,
联立,得,
所以,,
又因为是线段中点,所以,
故,
代入化简得,解得,
故抛物线的方程为;
由题意,
,
因为
,
同理可得,
所以,
当且仅当时,等号成立,
即的最小值为.
【解析】设直线:,联立直线方程与抛物线方程,由韦达定理结合弦长公式列方程求得值即可;
根据平面向量的数量积运算,结合弦长公式及基本不等式,即可求得结论.
本题考查直线与抛物线的综合应用,属中档题.
19.【答案】解:对于正整数,,存在唯一的自然数,,使得,其中,,,
记,,
,
,.
即和的值分别为和.
对任意正整数,定义的生成数列为,其中,
,
,
.
的前项分别为,,.
证明:Ⅰ存在,使得,且对任意,成立,
当时,数列的变换数列的通项公式为
当时,数列的变换数列的通项公式为
数列和数列相同,则定义函数,其中函数的定义域为正整数集,
对任意正整数,总有,且一定存在,使得,
此时有,即当时,.
,,”,
又,,,
,,
,
.
和的变换数列分别为和,且,
数列满足,且当时,,
数列满足,且当时,.
当时,
则,
当时,若,
,
,
,
,
则.
若,
,
,
,
.
,是增函数.
若,,
则,与矛盾,这种情况不存在.
若,,则,
函数是增函数.
Ⅱ数列的变换数列为,数列的变换数列为
证明,即证.
数列满足,且当时,.
若
则.
.
若,
则,
,
,
综上,.
【解析】由,利用新定义能求出,.
利用新定义能求出的前项.
Ⅰ对任意正整数,总有,且一定存在,使得,当时,由,得,”,推导出,和的变换数列分别为和,且,数列满足,且当时,,数列满足,且当时,由此能证明是增函数.
Ⅱ若数列的变换数列为,数列的变换数列为即证数列满足,且当时,由此能证明.
本题考查新定义、数列的应用、变换数列、数列的单调性、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,是难题.
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