2023-2024学年浙江省强基联盟高二(下)期中数学试卷(含解析)

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名称 2023-2024学年浙江省强基联盟高二(下)期中数学试卷(含解析)
格式 docx
文件大小 57.4KB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2024-06-04 08:26:38

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文档简介

2023-2024学年浙江省强基联盟高二(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
2.双曲线:的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知向量,,若,则的值为( )
A. B. C. D.
4.为虚数单位,则( )
A. B. C. D.
5.已知正数,满足,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.圆台的上底面面积为,下底面面积为,母线长为,则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.对于数列,设甲:为等差数列,乙:,则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.袋子中装有张编号分别为,,,,的卡片,从袋子中随机选择张卡片,记抽到的张卡片编号之和为,编号之积为,则下列说法正确的是( )
A. 是的倍数的概率为 B. 是的倍数的概率为
C. 是的倍数的概率为 D. 是的倍数的概率为
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.若直线与圆相交于,两点,则的长度可能等于( )
A. B. C. D.
10.已知,,则下列等式成立的是( )
A.
B.
C.
D.
11.下列定义在上的函数中,满足,的有( )
A. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.的展开式中含项的系数为______.
13.如图,已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点,交椭圆于点,若是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为______.
14.若不等式对任意满足的正实数,,均成立,则实数的最大值为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数.
求函数在处的切线方程;
求函数的单调区间和极值.
16.本小题分
已知盒中有个黑球和个白球,每次从盒中不放回地随机摸取个球,只要摸到白球就停止摸球.
求摸球三次后刚好停止摸球的概率;
记摸球的次数为随机变量,求的分布列和期望.
17.本小题分
如图,在正三棱柱中,为侧棱的中点.
求证:平面平面;
若,求平面与平面所成二面角的大小.
18.本小题分
如图,抛物线:,是抛物线内一点,过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线,,设与抛物线相交于点,,与抛物线相交于点,,当恰好为线段的中点时,.
求抛物线的方程;
求的最小值.
19.本小题分
对于正整数,,存在唯一的自然数,,使得,其中,,,我们记,对任意正整数,定义的生成数列为,其中.
求和.
求的前项.
存在,使得,且对任意,成立考虑的值:
当时,
定义数列的变换数列的通项公式为
当时,
定义数列的变换数列的通项公式为
若数列和数列相同,则定义函数,其中函数的定义域为正整数集.
Ⅰ求证:函数是增函数.
Ⅱ求证:.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:,

故A.
故选:.
解出集合,,再结合交集的定义,即可求解.
本题主要考查交集及其运算,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:由双曲线的方程可得,,,,
双曲线的渐近线方程为.
所以选:.
根据双曲线渐近线方程即可计算.
本题主要考查双曲线的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:向量,,
则,

则,解得.
故选:.
根据已知条件,结合向量垂直的性质,即可求解.
本题主要考查向量垂直的性质,属于基础题.
4.【答案】
【解析】解:因为.
故选:.
由已知结合复数的四则运算及等比数列的求和公式即可求解.
本题主要考查了复数的四则运算,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:因为,
所以,
故的取值范围是.
故选:.
根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可求解.
本题主要考查基本不等式的公式,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:根据题意,圆台的上底面面积为,下底面面积为,
则该圆台的上、下底面的半径分别为和,
又由其母线长为,
则圆台的侧面积为.
故选:.
根据题意,求出圆台的上、下底面的半径,由圆台的侧面积公式计算可得答案.
本题考查圆台的侧面积计算,涉及圆台的结构特征,属于基础题,
7.【答案】
【解析】解:若是等差数列,
则,充分性成立,
若,则,两式相减得,即,
所以是等差数列,必要性成立.
故选:.
根据已知条件,依次判断充分性、必要性,即可求解.
本题主要考查等差数列的性质,属于基础题.
8.【答案】
【解析】解:首先,
是的倍数的情况包括,,,,
所以概率为,故A正确,B错误;
是的倍数的情况数为,
所以概率为,故CD均错误.
故选:.
利用古典概率、列举法求解.
本题考查古典概率、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
9.【答案】
【解析】解:根据题意,可得直线经过原点,
圆:,圆心为,半径.
当直线经过点时,直线被圆截得的弦长为圆的直径,此时弦长达到最大值;
,当直线与垂直时,
直线被圆截得的弦长为,此时弦长达到最小值.
综上所述,直线被圆截得弦长的取值范围是,对照各项,可知符合题意.
故选:.
因为直线经过原点,圆的圆心为,所以当直线与垂直时,直线被圆截得的弦最短,直线经过圆心时,直线被圆截得的弦最长,由此算出弦长的取值范围,进而可得正确答案.
本题主要考查直线的方程、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.
10.【答案】
【解析】解:对于,取,左边,
右边,故错误;
对于,取,左边右边,故错误;
对于,左边
右边,故正确;
对于,左边
右边,故正确.
故选:.
对于,取,即可判断;
对于,取,即可判断;
对于,利用两角和与差的余弦公式,同角三角函数基本关系式即可求解;
对于,利用两角和与差的正弦公式,同角三角函数基本关系式即可求解.
本题考查了两角和与差的余弦公式,同角三角函数基本关系式以及两角和与差的正弦公式的应用,考查了转化思想,属于中档题.
11.【答案】
【解析】解:对于,,则,当且仅当时,等号成立,满足条件;
对于,,则,
当且仅当时,等号成立,不满足条件;
对于,,,所以,显然成立;
对于,,因为,
所以,.
所以,当且仅当时,等号成立,满足条件.
故选:.
利用函数性质与基本不等式判断,,;利用余弦函数的性质判断.
本题考查了指数函数、幂函数、余弦函数的性质,考查了基本不等式的应用,属于中档题.
12.【答案】
【解析】解:二项式的展开式的通项为,
令,可得含的项的系数是.
故答案为:.
利用二项展开式的通项公式求出第项,令,可得含的项的系数
本题考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具,是基础题.
13.【答案】
【解析】解:是等腰三角形,.
设,,
,解得.
代入椭圆方程得,化为.

故答案为.
利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点的坐标,再代入椭圆方程即可.
熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键.
14.【答案】
【解析】解:因为不等式对任意满足的正实数,,均成立,
所以,
因为,当且仅当时取等号,
所以.
故答案为:.
由已知不等恒成立先分离参数,然后结合基本不等式可求.
本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化,属于中档题.
15.【答案】解:函数,导函数,
当时,,,
则切点为,切线斜率为,
所以切线方程为.
函数,导函数,
当或时,,当时,,
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为,.
所以当时,函数取得极小值为,当时,函数取得极大值为.
【解析】求出函数解析式,求导,求出切点及切线斜率,从而可得切线方程;
求出函数的解析式,利用导数与单调性的关系可得单调区间,进而可得极值.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值,利用导数研究曲线上某点的切线方程,考查运算求解能力,属于基础题.
16.【答案】解:由题当且仅当前两次摸到个黑球即可停止,
故所求概率为;
由题,的所有可能取值为,,,
则,


所以的分布列为:
则.
【解析】由题当且仅当前两次摸到个黑球即可满足题意,然后结合题目所给数据即可求解;
由题,的所有可能取值为,,,然后结合题意求出每个取值对应的概率即可得解.
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望,属于基础题.
17.【答案】证明:连接,交于点,再连接,
则为的中点,
因为为的中点,所以,
所以,同理可证,
又因为,,平面,
所以平面,又平面,
所以平面平面;
解:由知,,,
,,平面,
故AC平面,即为平面的一个法向量,
又显然为平面的一个法向量,
由可知,,
由图可知,平面与平面所成二面角为锐二面角,
所以平面与平面所成二面角的大小为.
【解析】连接,交于点,再连接,可证平面,由面面垂直的判定定理即可证得结论;
可判定为平面的一个法向量,为平面的一个法向量,由向量夹角即可得二面角大小.
本题考查面面垂直的判定,考查二面角的求法,属中档题.
18.【答案】解:由题意,设直线:,,,
联立,得,
所以,,
又因为是线段中点,所以,
故,
代入化简得,解得,
故抛物线的方程为;
由题意,

因为

同理可得,
所以,
当且仅当时,等号成立,
即的最小值为.
【解析】设直线:,联立直线方程与抛物线方程,由韦达定理结合弦长公式列方程求得值即可;
根据平面向量的数量积运算,结合弦长公式及基本不等式,即可求得结论.
本题考查直线与抛物线的综合应用,属中档题.
19.【答案】解:对于正整数,,存在唯一的自然数,,使得,其中,,,
记,,

,.
即和的值分别为和.
对任意正整数,定义的生成数列为,其中,



的前项分别为,,.
证明:Ⅰ存在,使得,且对任意,成立,
当时,数列的变换数列的通项公式为
当时,数列的变换数列的通项公式为
数列和数列相同,则定义函数,其中函数的定义域为正整数集,
对任意正整数,总有,且一定存在,使得,
此时有,即当时,.
,,”,
又,,,
,,


和的变换数列分别为和,且,
数列满足,且当时,,
数列满足,且当时,.
当时,
则,
当时,若,




则.
若,




,是增函数.
若,,
则,与矛盾,这种情况不存在.
若,,则,
函数是增函数.
Ⅱ数列的变换数列为,数列的变换数列为
证明,即证.
数列满足,且当时,.

则.

若,
则,


综上,.
【解析】由,利用新定义能求出,.
利用新定义能求出的前项.
Ⅰ对任意正整数,总有,且一定存在,使得,当时,由,得,”,推导出,和的变换数列分别为和,且,数列满足,且当时,,数列满足,且当时,由此能证明是增函数.
Ⅱ若数列的变换数列为,数列的变换数列为即证数列满足,且当时,由此能证明.
本题考查新定义、数列的应用、变换数列、数列的单调性、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,是难题.
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