8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面(1)
1. 借助现实事物，直观的认识空间的点、线、面的关系．
2. 了解3个基本事实，并能解决一些简单的问题．
活动一 背景引入
问题：生活中的课桌面、黑板面、平静的水面，它们呈现出怎样的形象？
活动二 平面的概念及表示方法
1. 平面的概念：光滑的桌面、平静的水面等都是我们熟悉的平面形象，几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的．
2. 平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面在空间是无限延伸的．
3. 平面的画法：
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向，如图1；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向，如图2.
图1 图2
4. 平面的表示：
常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图1、图2的平面可记作：平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD、平面β.
例1 已知命题：
①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来要厚；
②有一个平面的长是50m，宽是20m；
③平面没有大小，没有厚度，可以无限延展．
其中正确命题的序号是________．
活动三 三个基本事实及应用
思考1
我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面(如图).
思考2
平面几何中，两点可以确定一条直线，那基本事实1，说明了空间中的什么问题？
直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合．点A在直线l上，记作A∈l；点B在直线l外，记作B l；点A在平面α内，记作A∈α；点P在平面α外，记作P α.
思考3
如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内(如图).
基本事实2用符号表示：
平面内有无数条直线，平面可以看成是直线的集合．如果直线l上所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l α；否则，就说直线l不在平面α内，记作l α.
思考4
基本事实2说明了空间中的什么问题？它可以帮助我们解决哪些几何问题？
思考5
如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(如图).
基本事实3用符号表示：
思考6
基本事实3说明了空间中的什么问题？它可以帮助我们解决哪些空间问题？
例2 根据下列符号语言画出相应图形．
α∩β＝l，A∈l，AB α，AC β.
1. 借助集合中的符号，把空间的点看成元素，把直线与平面看成点的集合，但表示两直线或直线与平面的交点时，点的字母外不加集合的符号．
2. 对于空间中的符号语言和图形语言及文字语言要灵活转换．
用数学符号表示图中的点、直线、平面之间的位置关系．
例3 已知D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E 两点．
(1) 求作直线AB 与平面α的交点P；
(2) 求证：D，E，P三点共线．
依据基本事实3，要证明三点共线，只要说明这三个点是两个平面的公共点即可．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点Q在线段A1C上，且点Q在平面ABC1D1 内，求证：B，Q，D1 三点共线．
1. 下列关于平面的说法中，正确的个数为( )
①平面是绝对平的且是无限延展的；
②平面的形状是平行四边形；
③三角形可以表示平面；
④某一个平面的面积为1 m2；
⑤8个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2023铜川高一期中)如图，用符号语言可表达为( )
A. α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B. α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C. α∩β＝m，n α，A m，A n
D. α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
3. (多选)下图中图形的画法正确的选项是( )
4. 给出下列命题：
①A，B，C三点确定一个平面；
②若直线a∩直线b＝A，则直线a与b能够确定一个平面；
③已知平面α，直线l和点A，B，若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l α.
其中正确的是________．(填序号)
5. 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．
(1) A∈α，B α；
(2) l α，A∈α，A l；
(3) 平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.
【答案解析】
8．4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8．4.1 平面(1)
【活动方案】
问题：略
例1 ③
思考1：不共线的三点．
思考2：不共线的三点确定一个平面．
思考3：不一定 一定
基本事实2用符号表示：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α.
思考4：基本事实2说明平面是平的，并且是无限延展的．基本事实2可以帮助我们判断直线是否在平面内．
思考5：不是，想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面．可以想象，两个平面相交于一条直线．
基本事实3用符号表示： α∩β＝l，且P∈l.
思考6：基本事实3使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”．两个相交平面只有一条交线．基本事实3可以帮助我们证明两个平面相交和点在直线上．
例2
跟踪训练 α∩β＝l，a β，a∩l＝A，A∈l.
例3 (1) 如图，连接DE并延长，交AB的延长线于点P，则P为直线AB与平面α的交点．
(2) 因为D∈平面ABC，E∈平面ABC，
所以DE 平面ABC.
因为D∈α，E∈α，所以DE α，
所以平面α∩平面ABC＝DE.
又P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，
所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上，
所以D，E，P三点共线．
跟踪训练 如图，连接A1B，CD1.
因为B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
所以BD1 平面A1BCD1.
同理BD1 平面ABC1D1，
所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.
因为A1C 平面A1BCD1，Q∈A1C，
所以Q∈平面A1BCD1.
又因为Q∈平面ABC1D1，
所以Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．
【检测反馈】
1. B 解析：对于①，由平面的概念可得平面是绝对平的且是无限延展的，故①正确；对于②，由平面的概念可判断②错误；对于③，可以用三角形表示平面，故③正确；对于④，平面是无限延展的，故④错误；对于⑤，平面没有厚度，故⑤错误．综上，说法正确的有2个．
2. A 解析：由图可知两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n α，m∩n＝A.
3. ACD 解析：A，D显然正确；直线l应画在表示平面的平行四边形内，故B错误，C正确．故选ACD.
4. ②③ 解析：对于①，只有不共线的三点才可以确定一个平面，故①错误；对于②，因为两条直线相交，所以必然确定一个平面，故②正确；对于③，因为点A，B既在直线l上又在平面α内，即直线l上的两点在平面α内，所以直线l在平面α内，即l α，故③正确．综上，正确命题的序号是②③.
5. (1) 点A在平面α内，点B不在平面α内，如图1.
(2) 直线l在平面α内，点A在平面α内，且点A不在直线l上，如图2.
(3) 平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图3.
图1 图2 图38．4.1 平面(2)
1. 了解由基本事实1和基本事实2得到的3个推论．
2. 能运用3个基本事实及其推论解决一些简单的问题．
活动一 了解确定平面的依据
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，即不共线的三点确定一个平面．
用图形表示：
过不共线的三点A，B，C的平面通常记作“平面ABC”．
思考1
自行车的撑脚一般安装在自行车的什么位置？能不能安装在前后轮一条直线的地方？
思考2
照相机支架需要几条腿？两条行不行？
回顾基本事实1，体会确定一个平面的条件．
思考3
分别经过三点、四点能确定唯一的平面吗？为什么？
思考4
过一条直线l和直线l外一点A的平面有几个？
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
已知：直线l，点A l.
求证：过直线l和点A有且只有一个平面．
证明：
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
已知：直线a，b相交．
求证：过直线a，b有且只有一个平面．
证明：
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
已知：直线a∥b.
求证：过直线a，b有且只有一个平面．
证明：
思考5
下图是一张倒置的课桌，你能用所学的知识检查一下桌子的四条腿的底端是否在同一个平面内吗？
活动二 平面的基本事实及其推论的简单应用
例1 已知A∈l，B∈l，C∈l，D l.求证：直线AD，BD，CD共面．
确定一个平面，只要根据基本事实1和基本事实2及其3个推论即可．
如图，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
例2 如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．
在证明共面问题时，先根据条件确定平面，再证明其他的点或线在这个平面内．
如图，在空间四边形ABCD中，已知H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且＝＝.求证：
(1) E，F，G，H四点共面；
(2) 直线EH，BD，FG相交于同一点．
1. 下列说法中，正确的是( )
①一条直线和一个点确定一个平面； ②三角形一定是平面图形；
③空间中两两相交的三条直线确定一个平面；④梯形一定是平面图形．
A. ①④ B. ①② C. ②④ D. ③④
2. 已知平面α∩平面β＝l，M∈α，N∈α，P∈β，且P l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ等于( )
A. PR B. MR C. PM D. NR
3. (多选)下列说法中，正确的是( )
A. 不共面的四点中，其中任意三点不共线
B. 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C. 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D. 过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
4. 如图，A，B，C，D为不共面的四点，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上.
(1) 如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上；
(2) 如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
5. 已知平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．
【答案解析】
8.4.1 平面(2)
【活动方案】
思考1：略
思考2：3条 不行
思考3：不能．因为如果这三点、四点在同一条直线上就不能确定一个平面．
思考4：一个
推论1证明：在直线l上任取两点B，C.因为点A不在直线l上，根据基本事实1，经过不共线三点A，B，C有一个平面α.
因为B∈l，C∈l，且B∈α，C∈α，所以根据基本事实2，得l α，即平面α 经过直线l和点A.
因为点B，C在直线l上，所以经过直线l和点A的平面一定经过点A，B，C.
再根据基本事实1，经过不共线的三点A，B，C的平面有且只有一个，所以经过直线l和点A的平面只有一个．
推论2证明：设直线a，b相交于点C，在直线a上取不同于点C的点A，点A在直线b外．由推论1，得过直线b和点A有一个平面α.因为直线a上的两点A，C在α内，所以a α，因此经过a，b有一个平面α.
经过a，b的平面一定经过点A和直线b，由推论1，这样的平面只有一个，所以经过两条相交直线a，b的平面有且只有一个．
推论3证明：根据平行线的定义(同一平面内没有公共点的两条直线)可知，直线a和直线b一定在同一个平面内．
在直线a上任取一点A，因为a∥b，所以点A不在直线b上，由推论1可知，经过点A和直线b的平面只有一个．
因为经过直线a和直线b的平面一定经过点A和直线b，所以经过直线a和直线b的平面只有一个．
思考5：用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，若这两根细绳相交，则说明桌子四条腿的底端在同一平面内，否则就不在同一平面内，说明桌子有问题，依据的是推论2.
例1 因为D l，所以直线l与点D可以确定平面α.
因为A∈l，所以A∈α.
因为D∈α，所以AD α.同理BD α，CD α，
所以直线AD，BD，CD在同一平面α 内，即它们共面．
跟踪训练 因为l1∩l2＝A，
所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α，
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
例2 因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为l∩a＝A，l∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又因为A∈l，B∈l，所以l α.
因为b∥c，所以b，c确定一个平面β.
同理可证l β.
于是b α，l α，b β，l β，即α∩β＝b，α∩β＝l.
又因为b与l不重合，所以α与β重合，
所以a，b，c，l共面．
跟踪训练 (1) 如图，连接EF，HG.
因为在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，
所以HG∥AC，且HG＝AC.
又＝＝，
所以EF∥AC，且EF＝AC，
所以EF∥HG，即E，F，G，H四点共面．
(2) 由(1)知EF∥HG，且EF≠HG，
所以设EH与FG交于点P，如图，延长EH，FG相交于点P.
因为EH 平面ABD，P∈EH，
所以P∈平面ABD.
同理点P∈平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以点P在直线BD上，
所以直线EH，BD，FG相交于一点．
【检测反馈】
1. C 解析：因为一条直线和该直线上的一个点可确定无数个平面，所以①不正确；因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以②正确；因为长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确定三个平面，所以③不正确；因为梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以④正确．综上，正确的是②④.
2. A 解析：如图，由题意，得MN γ，R∈MN，所以R∈γ.因为R∈l，l β，所以R∈β.因为P∈γ，P∈β，所以β∩γ＝PR.
3. AD 解析：在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，故A正确；在B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但点A，B，C，D，E不共面，故B不正确；选项C显然不正确；在D中，过直线与直线外一点可确定一个平面，设为α，因此这三条直线都在平面α内，即三条直线共面，故D正确．故选AD.
4. (1) BD 解析：连接BD.若EH∩FG＝P，则P∈平面ABD，且P∈平面BCD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.
(2) AC 解析：连接AC.若EF∩GH＝Q，则Q∈平面ABC，且Q∈平面ACD.因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.
5. 如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.
因为l1 β，l2 β，且l1，l2不平行，
所以l1与l2必相交．
设l1∩l2＝P，则P∈l1，P∈l2.
因为l1 α，所以P∈α.
因为l2 γ，所以P∈γ.
因为α∩γ＝l3，所以P∈l3，
所以l1，l2，l3相交于一点P.8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
借助长方体，直观认识空间点、直线、平面之间的位置关系．
活动一 背景引入
1. 我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面.12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面．观察如图所示的长方体ABCD-A′B′C′D′，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？
2. 观察你所在的教室，你能找到上述位置关系的一些实例吗？你能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗？
活动二 空间中直线与直线的位置关系
3. 异面直线的定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．
4. 空间两条直线的位置关系有三种：
空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的，即首先这两条直线在同一平面内，其次是它们不相交．如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示．
注：如无特殊说明，“两条直线”指不重合的两条直线，“两个平面”指不重合的两个平面．
例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中．
(1) 与AB平行的直线有哪些？
(2) 与AB相交的直线有哪些？
(3) 直线AA1和C1D1平行吗？相交吗？
如图，AB∩α＝B，A α，a α，B a，直线AB与a具有怎样的位置关系？为什么？
思考
如何判定两条直线是否异面？
判断异面直线的方法：
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线
图象法 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
反证法 判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线
活动三 空间中直线与平面的位置关系
问题1：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面分别有哪些位置关系？
直线与平面的位置关系有且只有三种：
(1) 直线在平面内——有无数个公共点；
(2) 直线与平面相交——有且只有一个公共点；
(3) 直线与平面平行——没有公共点．
当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．
直线与平面的三种位置关系如下：
注：直线在平面外，记为a α；直线a与平面α相交于点A，记作a∩α＝A；直线a与平面α平行，记作a∥α.
例2 下列说法：①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交；②一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行；③若直线a在平面α外，则a∥α.其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解决此类问题首先要搞清楚直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助空间想象能力进行细致的分析．
活动四 空间中平面与平面的位置关系
问题2：请同学们观察下图，这是一个二层楼房的简易图，在其中的四个平面中，两个平面可能有哪几种位置关系？你能根据公共点的情况进行分类吗？
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：
(1) 两个平面平行——没有公共点；
(2) 两个平面相交——有一条公共直线．
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行，如图所示：
平面α与平面β平行，记作α∥β.
例3 已知平面α与平面β平行，且a α，则下列四种说法：①a与β内的所有直线都平行；②a与β平行；③a与β内的无数条直线平行，其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
判断线线、线面、面面的位置关系，要牢牢地抓住其特征与定义、要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．常借助长方体模型进行判断．
1. 一条直线与两条平行线中的一条直线是异面直线，则它与另一条直线( )
A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 平行
2. (2023怀化高一阶段练习)设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是( )
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若α∥β，则α内的任何直线都与β平行
C. 若α∥β，m∥α，则m∥β D. 若m∥n，n∥α，则m∥α
3. (多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列结论中正确的是( )
A. 直线AM与CC1是相交直线
B. 直线AM与BN是平行直线
C. 直线BN与MB1是异面直线
D. 直线AM与DD1是异面直线
4. (2022廊坊期中)在底面为正六边形的六棱柱中，共有________对互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有________个．
5. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系.
【答案解析】
8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
【活动方案】
1～2：略
例1 (1) A1B1，CD，C1D1 (2) AD，AA1，BB1，BC
(3) 既不平行也不相交
跟踪训练 直线AB与a是异面直线．理由如下．
若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为β，则B∈β，a β.由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB α，进而A∈α，这与A α矛盾，所以直线AB与a是异面直线．
思考：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
问题1：直线BC1与平面ABCD、平面A1B1C1D1、平面ABB1A1、平面CDD1C1相交，直线BC1与平面ADD1A1平行，直线BC1在平面BCC1B1内．
例2 B 解析：由直线与平面的位置关系可知①正确；这条直线可能在经过另一条直线的平面内，故②不正确，对于③，包括两种情形，直线a∥α或直线a与α相交，故③不正确．故正确的个数为1.
问题2：两个平面有两种位置关系：相交、平行．
α与β没有公共点，则α与β平行；γ与δ有公共点A，B，则γ与δ相交．
例3 C 解析：因为α∥β，a α，所以a与β无公共点，所以a∥β，所以a与β内的所有直线都没有公共点，所以a与β内的直线平行或异面，故①不正确，②③正确．故正确的个数为2.
【检测反馈】
1. C 解析：一条直线与两条平行线中的一条直线异面，则它与另一条直线可能相交，也可能异面．
2. B 解析：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故A错误；由面面平行的性质可知，若α∥β，则α内的任何直线都与β平行，故B正确；若α∥β，m∥α，则m∥β或m β，故C错误；若m∥n，n∥α，则m∥α或m α，故D错误.
3. CD 解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN是异面直线，故A，B错误；直线BN与MB1是异面直线，直线AM与DD1是异面直线，故C，D正确．故选CD.
4. 4 6 解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其相对的侧面平行，故共有4对互相平行的面．六棱柱共有8个面，与其中一个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均相交．
5. 直线B1C 平面B1BCC1，直线B1C∥平面A1ADD1，直线B1C与正方体其余四个面相交；直线D1B与正方体六个面均相交．
