8．6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
1. 理解两条异面直线所成角的定义及两条异面直线互相垂直的概念．
2. 掌握异面直线所成的角的计算方法．
活动一 巩固空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数
思考1
分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
练习 在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：
(1) 平行直线；(2) 相交直线；(3) 异面直线．
活动二 了解异面直线所成的角的概念
思考2
如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，直线A′C′与直线AB，直线A′D′与直线AB都是异面直线，直线A′C′与A′D′相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
异面直线所成的角：
定义 前提 两条异面直线a，b
作法 经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b
结论 我们把直线a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围 记异面直线a与b所成的角为θ，则0°< θ ≤90°
特殊情况 当θ＝90°时，异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b
例1 已知多面体ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体．
(1) 正方体中哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线？
(2) 求异面直线AA1与BC所成的角的大小；
(3) 求异面直线BC1与AC所成的角的大小．
1. 直线a与b所成的角的大小只由a，b的位置关系来确定，与点O的选择无关，为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．
2. 两条异面直线所成的角θ∈.
3. 当两条异面直线a，b所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.
4. 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形．
5. 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，求AA1的长．
活动三 两条直线垂直
例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为平面A1B1C1D1的中心．求证：AO1⊥BD.
证明两条直线垂直的常用方法：
1. 利用平面几何的结论，如矩形，等腰三角形的三线合一，勾股定理等．
2. 定义法：证明两条直线的夹角是90°.
3. 利用一些事实：已知a∥b，若a⊥c，则b⊥c.
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，P为A1B的中点，Q为棱C1C的中点，求证：PQ⊥AB.
1. (2023全国高一专题练习)如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M，N分别是BC，AD的中点，设AM和CN所成角为α，则cos α的值为( )
A. B. C. D.
2. 和两条异面直线都垂直的直线( )
A. 有无数条 B. 有两条 C. 只有一条 D. 不存在
3. (多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论中正确的是( )
A. AC⊥B1D1
B. AC1⊥BC
C. 直线AB1与BC1所成的角为60°
D. 直线AB与AC1所成的角为45°
4. 如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．
5. 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝5，AD＝6，BC＝8.求直线AD与BC所成的角的大小．
【答案解析】
8．6 空间直线、平面的垂直
8．6.1 直线与直线垂直
【活动方案】
活动一
位置关系 共面情况 公共点个数
相交 在同一平面内 有且只有一个
平行 在同一平面内 没有
异面 不同在任何一个平面内 没有
思考1：不一定，可能异面、平行或相交．
练习：略
思考2：不同，我们可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系．
例1 (1) 与BC1是异面直线的有AA1，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1.
(2) 因为DA∥BC，所以∠A1AD即为异面直线AA1与BC所成的角，
所以异面直线AA1与BC所成的角为90°.
(3) 连接A1C1，A1B.
因为AA1∥BB1∥CC1，AA1＝BB1＝CC1，
所以四边形AA1C1C是平行四边形，
所以AC∥A1C1，
所以异面直线BC1与AC所成的角就是直线BC1与A1C1所成的角.
因为A1B＝A1C1＝BC1，
所以异面直线BC1与AC所成的角为60°.
跟踪训练 如图，连接CD1，AC.
由题意得在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角．
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
所以∠AD1C＝90°.
因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，且AD＝DC，
所以△ACD1是等腰直角三角形，
所以AD1＝AC.
因为底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
所以AC＝2×sin 60°×2＝6，
所以AD1＝AC＝3，
所以AA1＝＝＝.
例2 如图，连接B1D1，AD1，AB1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥DD1，且BB1＝DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD，
所以直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．
易证AB1＝AD1，O1为B1D1的中点，
所以AO1⊥B1D1，所以AO1⊥BD.
跟踪训练 如图，取AB的中点D，连接CD，DP.
因为P为A1B的中点，
所以PD＝AA1，且PD∥AA1.
因为Q为CC1的中点，
所以CQ＝AA1，且CQ∥AA1，
所以PD∥CQ，且PD＝CQ，
所以四边形CDPQ为平行四边形，
所以CD∥PQ.
又因为CA＝CB，D为AB的中点，
所以CD⊥AB，所以PQ⊥AB.
【检测反馈】
1. A 解析：如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON，OC，则ON＝AM且ON∥AM，所以∠ONC为异面直线AM与CN所成的角(或其补角).由题意，得AM＝CN＝DM＝，所以ON＝AM＝，MO＝DM＝，OC＝＝＝.在△CON中，由余弦定理，得cos ∠ONC＝＝＝，即cos α＝.
2. A 解析：因为和两条异面直线都垂直相交的直线只有一条，所以所有与这条直线平行的直线都与这两条异面直线垂直，而与这条直线平行的直线有无数条，故和两条异面直线都垂直的直线有无数条．
3. AC 解析：如图，因为AC⊥BD，BD∥B1D1，所以AC⊥B1D1，故A正确；因为BC∥B1C1，所以∠AC1B1是异面直线AC1与BC所成的角．因为在△AB1C1中，∠AB1C1＝90°，所以∠AC1B1不是直角，故B错误；因为BC1∥AD1，所以∠B1AD1是异面直线AB1与BC1所成的角，而△AB1D1是等边三角形，所以∠B1AD1为60°，故C正确；在Rt△ABC1中，∠ABC1＝90°，但AB≠BC1，所以Rt△ABC1不是等腰直角三角形，所以AB与AC1所成的角不为45°，故D错误．故选AC.
4. 5 解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则PM∥BD，PN∥AC，所以∠MPN(或其补角)为异面直线AC与BD所成的角，所以∠MPN＝90°.因为PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，所以MN＝＝5.
5. 取BD的中点H，连接EH，FH.
因为E，F分别为AB，CD的中点，
所以EH∥AD，FH∥BC，
所以∠EHF(或其补角)为直线AD与BC所成的角，且EH＝AD＝3，FH＝BC＝4.
因为在△EFH中，EF＝5，EH＝3，FH＝4，
所以EF2＝EH2＋HF2，
所以∠EHF＝90°，
所以直线AD与BC所成的角为90°.8．6.2 直线与平面垂直(1)
1. 了解直线与平面垂直的定义．
2. 掌握直线和平面垂直的判定定理．
3. 能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理解决问题．
活动一 直线与平面垂直的定义
1. 在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面”等的位置关系，你能举出一些类似的例子吗？
2. 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在不断地变化，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角是否发生变化，为多少？
3. 直线和平面垂直的定义及相关概念(如图).
(1) 直线l与平面α互相垂直：_________________________________________
_____________________________________________________________________
(2) 平面α的垂线：__________________________________________________
(3) 直线l的垂面：__________________________________________________
(4) 垂足：_________________________________________________________
思考1
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．那么，在空间中：
(1) 过一点有几条直线与已知平面垂直？
(2) 过一点有几个平面与已知直线垂直？
4. 垂线段和点到平面的距离的概念．
(1) 垂线段：_______________________________________________________
____________________________________________________________________
(2) 点到平面的距离：_______________________________________________
_____________________________________________________________________
活动二 直线和平面垂直的判定定理
探究：请同学们准备一块如图所示的三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
思考2
(1) 如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
(2) 如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
(3) 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，此直线是否和平面垂直？
(4) 上述三个问题能得到什么结论？
5. 直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
用符号表示为：
6. 概念辨析：
下列命题中，正确的是________．(填序号)
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
活动三 直线与平面垂直的判定定理的应用
例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
要证明一条直线与一个平面垂直，可以用定义，也可以用判定定理，但在用定义时，平面内的任意一条直线比较难说清楚．
已知直线l和平面α内的两条直线m，n，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点，求证：PC⊥平面BEF.
一般情况下，要证明一条直线垂直于一个平面，都是用线面垂直的判定定理，只要在这个平面内找两条相交直线和已知直线垂直即可．
如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的任意一点，过点A作AE⊥PC，垂足为E，求证：AE⊥平面PBC.
巩固直线与平面垂直的定义及判定定理．
(1) 直线与平面垂直的定义：
定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直
记法 a⊥α
有关概念 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点P称为垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
(2) 直线与平面垂直的判定定理：
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 若a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝A，则a⊥α
图形语言
1. 若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边； ②梯形的两边；
③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．
A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④
2. (2022福州期末)已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①若m⊥n，m∥α，α∥β，则n⊥β； ②若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n⊥β；③若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β.其中正确的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
3. (多选)如图，在下列四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
4. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1与AC的位置关系是________，BD1与B1C的位置关系是________，进而可得BD1与平面ACB1的关系是________．(填“垂直”“平行”或“相交”)
5. (2022中山期末)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，D是AB的中点．
(1) 求证：BC1∥平面CA1D；
(2) 若底面ABC是边长为2的正三角形，BB1＝，求三棱锥B1-A1DC的体积．
【答案解析】
8．6.2 直线与平面垂直(1)
【活动方案】
1～2：略
3. (1) 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线l与平面α互相垂直．
(2) 直线l叫作平面α的垂线．
(3) 平面α叫作直线l的垂面．
(4) 直线l与平面α垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足．
思考1：(1) 1条 (2) 1个
4. (1) 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫作这个点到该平面的垂线段．
(2) 垂线段的长度．
探究：当折痕AD是BC边上的高时，折痕AD与桌面所在平面垂直．
思考2：(1) 不一定 (2) 不一定 (3) 垂直
(4) 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
5. 若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m α，n α，则a⊥α.
6. ④⑤ 解析：当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．
例1 已知：如图，a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
证明：如图，在平面α内取两条相交直线m，n.
因为直线a⊥α，所以a⊥m，a⊥n.
因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.
又m α，n α，m，n是两条相交直线，
所以b⊥α.
跟踪训练 C 解析：充分性：因为l⊥α，所以l必垂直于平面α内的所有直线，所以l⊥m且l⊥n；必要性：由l⊥m且l⊥n，若m∥n，则l不一定垂直于平面α.综上可得，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分不必要条件．
例2 如图，连接PE，EC.
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AB.
在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
因为F是PC的中点，所以EF⊥PC.
在Rt△ABP中，BP＝＝2＝BC.
又F是PC的中点，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF 平面BEF，EF 平面BEF，所以PC⊥平面BEF.
跟踪训练 因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE.
因为PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC 平面PBC，BC 平面PBC，所以AE⊥平面PBC.
【检测反馈】
1. A 解析：由线面垂直的判定定理可知，①③能判定直线与平面垂直；②中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直；④中正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直．
2. D 解析：若m⊥n，m∥α，α∥β，则n∥β或n与β相交或n β，故①错误；若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥β或n β，故②错误；若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n，故③正确；若m⊥α，m∥n，α∥β，则n⊥β，故④正确．
3. BD 解析：对于A，由AB与CE所成的角为45°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于B，由AB⊥CE，AB⊥ED，CE∩ED＝E，CE 平面CDE，DE 平面CDE，可得AB⊥平面CDE；对于C，由AB与CE所成的角为60°，可得直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB.又ED∩EC＝E，DE 平面CDE，EC 平面CDE，所以AB⊥平面CDE.故选BD.
4. 垂直 垂直 垂直
5. (1) 如图，连接AC1交A1C于点E，连接DE.
因为多面体ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点．
因为D是AB的中点，所以DE∥BC1.
又DE 平面CA1D，BC1 平面CA1D，
所以BC1∥平面CA1D.
(2) 因为AC＝BC，D是AB的中点，
所以AB⊥CD.
又因为AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，
所以AA1⊥CD.
因为AA1∩AB＝A，AA1 平面AA1B1B，AB 平面AA1B1B，
所以CD⊥平面AA1B1B，
所以三棱锥C-B1A1D的底面B1A1D上的高为CD＝.
因为BD＝1，BB1＝，
所以A1D＝B1D＝A1B1＝2，所以S△B1A1D＝，
所以三棱锥B1-A1DC的体积V三棱锥B1-A1DC＝V三棱锥C-B1A1D＝××＝1.8．6.2 直线与平面垂直(2)
1. 了解直线和平面所成角的概念和范围．
2. 能熟练地运用直线和平面垂直的定义和判定定理解决问题．
活动一 了解直线和平面所成的角
填表：
有关概念
斜线
斜足
射影
直线与平面所成的角
直线与平面所成角的取值范围
思考
斜线与平面内过斜足的其他直线所成的角和斜线与这个平面所成的角的大小关系如何？
活动二 线面垂直的应用
例1 如图，已知AC，AB分别是平面α的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，a α，a⊥BC.求证：a⊥AB.
要证明两条直线垂直，通常是把其中的一条直线放在一个平面内，然后证明另一条直线垂直于这个平面，再用线面垂直的定义即可证得．
求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线在这个平面内的射影垂直．
已知A为△BCD所在平面外的一点，点O为点A在平面BCD上的射影，若AC⊥BD，AD⊥BC，求证：AB⊥CD.
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：
(1) 直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值；
(2) 直线EF与平面A1B1C1D1所成的角的大小．
空间中的线面角，还是转化为平面中的角来解决，利用线面角的定义即可．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD.
(1) 指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；
(2) 若PA＝AD＝AB，试求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．
1. (2022漳州期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A. 8 B. 6 C. 8 D. 8
2. 下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是0°<θ<90°；②直线与平面所成的角的取值范围是0°<θ≤90°；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是( )
A. ①④ B. ①②④ C. ③④ D. ②③④
3. (多选)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论中正确的是( )
A. AC⊥BP
B. B1D⊥平面EFPQ
C. BC1∥平面EFPQ
D. 直线A1D和AC所成的角的余弦值为
4. 一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点到平面的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成角的大小是________．
5. (2022天津东丽区期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是棱PD，CD的中点．
(1) 求证：EF∥平面PAC；
(2) 求证：EF⊥BD.
(3) 已知正方形ABCD的边长为2，PA＝1，求：
①异面直线AD，PC所成角的余弦值；
②直线CP与平面PAD所成角的正弦值．
【答案解析】
8．6.2 直线与平面垂直(2)
【活动方案】
填表略
思考：斜线与平面所成的角小于这条斜线与平面内过斜足的其他直线所成的角．
例1 因为AC⊥α，a α，所以AC⊥a.
因为BC⊥a，AC∩BC＝C，BC 平面ABC，AC 平面ABC，所以a⊥平面ABC.
因为AB 平面ABC，所以a⊥AB.
跟踪训练1 已知：AC⊥平面α，直线a α，AB∩平面α＝B，AB⊥a，求证：BC⊥a.
证明：因为AC⊥平面α，a α，所以AC⊥a.
因为AB⊥a，AB∩AC＝A，AB 平面ABC，AC 平面ABC，所以a⊥平面ABC.
因为BC 平面ABC，所以a⊥BC.
跟踪训练2 如图，连接OA，OC，OB.
因为点O为点A在平面BCD上的射影，
所以AO⊥平面BCD，
所以AO⊥BC，AO⊥BD，AO⊥CD.
因为AC⊥BD，AC∩AO＝A，AC 平面OAC，AO 平面OAC，所以BD⊥平面OAC.
又CO 平面OAC，所以BD⊥CO.
同理由AD⊥BC，可证BC⊥DO，
所以点O为△BCD的垂心，所以CD⊥OB.
又OB∩AO＝O，OB 平面AOB，AO 平面AOB，所以CD⊥平面AOB.
因为AB 平面AOB，所以AB⊥CD.
例2 (1) 连接DB.
易知D1D⊥平面ABCD，
所以DB是D1B在平面ABCD上的射影，
则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角．
因为DB＝AB，D1B＝AB，
所以cos ∠D1BD＝＝，
即直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值为.
(2) 因为A1A⊥平面A1B1C1D1，
所以∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△EA1F中，
因为F是A1D1的中点，E是A1A的中点，
所以A1E＝A1F，
所以△EA1F为等腰直角三角形，
所以∠EFA1＝45°，
即直线EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.
跟踪训练 (1) △PAB，△PAD，△PBC，△PCD是直角三角形．理由如下：
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CD，PA⊥BC，
所以△PAB，△PAD均为直角三角形．
因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥AB.
因为PA⊥BC，PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
因为PB 平面PAB，所以BC⊥PB，
所以△PBC为直角三角形．
同理可得△PCD为直角三角形．
(2) 连接AC.
因为PA⊥平面ABCD，
所以AC是PC在平面ABCD上的射影，
所以∠PCA即为PC与平面ABCD所成的角．
因为PA＝AB＝AD，所以AC＝AB，
所以tan ∠PCA＝＝，
即直线PC与平面ABCD所成角的正切值为.
【检测反馈】
1. C 解析：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°.因为AB＝2，所以BC1＝2，所以CC1＝2，所以该长方体的体积为V＝2×2×2＝8.
2. A 解析：①正确；②直线与平面所成角的取值范围是0°≤θ≤90°，故②错误；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错误；④正确．
3. ACD 解析：对于A，如图1，连接BD1.因为AB＝BC＝1，所以四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为几何体为长方体，所以DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1.因为BD∩DD1＝D，BD 平面BDD1，DD1 平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1.又因为BP 平面BDD1，所以AC⊥BP，故A正确；对于B，如图2，假设B1D⊥平面EFPQ，因为PQ 平面EFPQ，所以B1D⊥PQ，显然B1D⊥PQ不成立，故假设错误，故B错误；对于C，如图3，连接AD1.由条件可知FP∥AD1，AD1∥BC1，所以FP∥BC1.又因为FP 平面EFPQ，BC1 平面EFPQ，所以BC1∥平面EFPQ，故C正确；对于D，如图4，连接CB1，AB1.因为DA1∥CB1，所以A1D和AC所成的角即为∠B1CA或其补角．由条件可知B1C＝2，AB1＝2，AC＝，所以cos ∠B1CA＝＝，故D正确．故选ACD.
图1 图2 图3 图4
4. 30° 解析：如图，作AC⊥α，BD⊥α，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于点O.因为AB＝10，AC＝3，BD＝2，所以AO＝6，BO＝4，所以∠AOC＝∠BOD＝30°，即线段AB与平面α所成的角是30°.
5. (1) 因为E，F分别是棱PD，CD的中点，
所以EF∥PC.
又EF 平面PAC，PC 平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
(2) 因为底面ABCD为正方形，所以AC⊥BD.
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.
因为PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.
又由(1)得EF∥PC，所以EF⊥BD.
(3) ①因为底面ABCD为正方形，
所以AD∥BC，BC⊥AB，
所以∠PCB为异面直线AD，PC所成的角．
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥AC，PA⊥BC.
因为PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.
因为正方形ABCD的边长为2，PA＝1，
所以AC＝2，PC＝＝3，
所以cos ∠PCB＝＝.
②因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥PA.
因为PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
所以∠CPD为直线CP与平面PAD所成的角，
所以sin ∠CPD＝＝.8．6.2 直线与平面垂直(3)
1. 巩固直线与平面垂直的定义及判定定理．
2. 掌握直线和平面垂直的性质定理．
3. 能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决问题．
活动一 探究直线与平面垂直的性质定理
思考
(1) 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆. 一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
(2) 命题“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”正确吗？若正确，请证明；若不正确，请说明理由．
1. 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
符号语言：
图形语言：
2. 概念辨析：
已知直线l，m，n与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由：
(1) 若l⊥α，则l与α相交；
(2) 若m α，n α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；
(3) 若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
活动二 直线与平面垂直的性质定理的应用
例1 已知l∥α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等．
1. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离．
2. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离．
3. 直线与平面之间的距离及平行平面之间的距离，归结为点面之间的距离，其实就是找过点到平面的垂线，点和垂足之间的距离就是所求线面、面面之间的距离．
已知长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1) 求证：A1A∥平面BB1D1D；
(2) 若AB＝4，AD＝3，求直线A1A和平面BB1D1D间的距离．
推导棱台的体积公式V棱台＝h(S′＋＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h是高．
例2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
利用线面垂直的性质定理，如果两条直线垂直于同一个平面，可以得到两直线平行，反之，若两条平行直线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，结论正确，但不可以作为定理使用．
若本例的条件不变，求证：M是AB的中点．
1. 从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 异面
2. (2022襄阳期末)如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面PAC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是( )
A. ①② B. ①②③
C. ① D. ②③
3. (多选)已知a，b表示两条不重合的直线，α表示平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若a⊥α，b∥α，则a⊥b B. 若a⊥α，a⊥b，则b∥α
C. 若a∥α，a⊥b，则b⊥α D. 若a⊥α，b⊥α，则a∥b
4. 已知矩形ABCD的边AB＝a，BC＝3，PA⊥平面ABCD.若BC边上有且只有一点M，使PM⊥DM，则a的值为________．
5. (2022东莞期末)如图，在圆柱O1O2中，AB是圆O2的直径，CD和EF分别是圆柱轴截面上的母线．
(1) 求证：O1D∥平面ABF；
(2) 若DE＝EF＝4，AF＝BF，证明：AB⊥平面CDEF，并求点D到平面ABF的距离．
【答案解析】
8．6.2 直线与平面垂直(3)
【活动方案】
思考：(1) 平行 (2) 正确，证明略
1. 符号语言： a∥b.
图形语言：
2. (1) 正确，理由略． (2) 不正确，理由略． (3) 正确，理由略．
例1 如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′.
因为AA′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′.
设直线AA′和BB′确定的平面为β，
则α∩β＝A′B′.
因为l∥α，所以l∥A′B′，
所以四边形A′B′BA是矩形，所以AA′＝BB′，
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等．
跟踪训练1 (1) 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AA1∥BB1.
因为BB1 平面BB1D1D，AA1 平面BB1D1D，
所以A1A∥平面BB1D1D.
(2) 由(1)知A1A∥平面BB1D1D，
则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等，
所以只需求直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离．
在平面ABCD中过点A，作AH⊥BD交BD于点H.
因为BB1⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
所以BB1⊥AH.
因为BB1∩BD＝B，BB1 平面BB1D1D，BD 平面BB1D1D，
所以AH⊥平面BB1D1D，
即线段AH的长为直线A1A和平面BB1D1D间的距离．
在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝5.
由等面积法得AH＝＝＝，
所以直线A1A和平面BB1D1D间的距离为.
跟踪训练2 如图，延长棱台各侧棱交于点P，得到截得棱台的棱锥．过点P作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点O′，O，则PO垂直于棱台的上底面，从而O′O＝h.
设截得棱台的棱锥的体积为V，去掉的棱锥的体积为V′，高为h′，则PO′＝h′，于是V′＝S′h′，V＝S(h′＋h)，
所以棱台的体积V棱台＝V－V′＝S(h′＋h)－S′h′＝[Sh＋(S－S′)h′].①
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且＝，
所以h′＝.
代人①，得V棱台＝h[S＋(S－S′)]＝h(S′＋＋S).
例2 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，A1D 平面A1DC，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.
因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
跟踪训练 连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，
所以ON∥CD∥AB，ON＝CD＝AB，
所以ON∥AM.
由例2可得MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形，
所以ON＝AM.
因为ON＝AB，所以AM＝AB，
所以M是AB的中点．
【检测反馈】
1. B
2. B 解析：对于①，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC.因为PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又PC 平面PAC，所以BC⊥PC，故①正确；对于②，因为M为线段PB的中点，O为AB的中点，所以OM∥PA.因为PA 平面PAC，OM 平面PAC，所以OM∥平面PAC，故②正确；对于③，由①知BC⊥平面PAC，所以线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故③正确．
3. AD 解析：若a⊥α，b∥α，由线面垂直的性质得a⊥b，故A正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b α，故B不正确；若a∥α，a⊥b，则b α或b∥α或b与α相交，故C不正确；D显然成立．故选AD.
4. 解析：如图，因为PA⊥平面ABCD，DM 平面ABCD，所以PA⊥DM.因为BC边上存在点M，使PM⊥DM，且PM∩PA＝P，PM 平面PAM，PA 平面PAM，所以DM⊥平面PAM.因为AM 平面PAM，所以DM⊥AM，所以以AD为直径的圆和BC有公共点．因为AD＝BC＝3，所以圆的半径为.因为点M是唯一的，所以BC和半径为的圆相切，所以AB＝，即a＝.
5. (1) 连接CF，DE，FO2.
因为CD和EF是圆柱轴截面上的母线，
所以四边形CDEF是平行四边形，
所以CF∥DE且CF＝DE.
因为CF，DE分别经过圆心O1，O2，
所以O1F∥O2D且O1F＝O2D，
所以四边形O1DO2F是平行四边形，
所以O1D∥O2F.
因为O1D 平面ABF，O2F 平面ABF，
所以O1D∥平面ABF.
(2) 因为EF是圆柱的母线，
所以EF⊥平面AEBD.
因为AB 平面AEBD，所以AB⊥EF.
因为AF＝BF，O2是AB的中点，所以AB⊥O2F.
因为O2F∩EF＝F，O2F 平面CDEF，EF 平面CDEF，所以AB⊥平面CDEF.
因为DE 平面CDEF，所以AB⊥DE，
所以S△ABD＝·AB·O2D＝×4×2＝4.
因为AB＝DE＝EF＝4，
所以O2F＝＝＝2，
所以S△ABF＝·AB·O2F＝×4×2＝4，
由等体积法可得VD-ABF＝VF-ABD，
设点D到平面ABF的距离为d，则·S△ABF·d＝·S△ABD·EF，
所以d＝＝＝，
即点D到平面ABF的距离为.8．6.3 平面与平面垂直(1)
1. 了解二面角及其平面角的概念，能确定二面角的平面角．
2. 初步掌握面面垂直的定义．
活动一 了解二面角的概念
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”与“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？
思考1
观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，如何刻画门所在的平面与墙面所在的平面所成的角？
思考2
在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
1. 二面角及其平面角的概念．
(1) 二面角：
①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
②画法：
直立式 平卧式
③记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.
(2) 二面角的平面角：
①定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角．
②表示方法：若O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l，则二面角αlβ的平面角是∠AOB.
(3) 二面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫作直二面角．
活动二 掌握简单几何体中二面角的求解方法
例1 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：
(1) 二面角A1-AB-D的大小；
(2) 二面角D1-AB-D的大小．
根据二面角的平面角的定义，在图形中先找到此平面角，然后放在三角形中解决．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C1-BD-C的正切值．
活动三 理解两个平面垂直的定义
2. 平面与平面垂直．
(1) 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2) 画法：
(3) 记作：α⊥β.
例2 如图，边长为2的正三角形ABC以它的高AD为折痕，折成一个二面角B′-AD-C.
(1) 指出这个二面角的面、棱、平面角；
(2) 若二面角B′-AD-C为直二面角，求B′，C两点之间的距离；
(3) 求AB′与平面B′CD所成的角；
(4) 若二面角B′-AD-C的平面角为120°，求二面角A-B′C-D的正切值.
当图形中不能直接找到二面角的平面角时，一般先找一个平面的垂线，再过垂足在另一个平面内作两个平面交线的垂线，根据连线从而证得平面角．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD.
(1) 求证：BD⊥PC；
(2) 若∠BAD＝∠BPA＝60°，求二面角P-CD-A的余弦值．
1. (2022聊城期末)下列条件中，不能确定两个平面垂直的是( )
A. 两个平面相交，所成二面角是直二面角
B. 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C. 一个平面经过另一个平面的一条垂线
D. 平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的
2. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是( )
A. 30° B. 30°或150°
C. 45° D. 45°或135°
3. (多选)(2022宁德期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列说法中正确的是( )
A. 直线BD1⊥平面A1C1D
B. 二面角B1-CD-B的大小为
C. 三棱锥P-A1C1D的体积为定值
D. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
4. 在Rt△ABC中，两直角边AC＝b，BC＝a，CD⊥AB，垂足为D，将△ABC沿CD折成直二面角A-CD-B，则∠ACB的余弦值为________．
5. 已知A为正三角形BCD所在平面外的一点，且点A到△BCD三个顶点的距离都等于正三角形BCD的边长，求二面角A-BC-D的余弦值．
【答案解析】
8．6.3 平面与平面垂直(1)
【活动方案】
问题1：在平面几何中，有公共端点的两条射线组成的图形叫作角．
问题2：若a与b是异面直线，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角．
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线与这个平面所成的角．
共同特征：均是转化为平面上直线与直线所成的角．
思考1：略 思考2：略
例1 (1) 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥AB，AD⊥AB，
所以∠A1AD就是二面角A1-AB-D的平面角，则大小为90°.
(2) 因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面A1D1DA，D1A 平面A1D1DA，
所以AB⊥D1A.
又因为AB⊥AD，所以∠D1AD就是二面角D1-AB-D的平面角．
又因为∠D1AD＝45°，
所以二面角D1-AB-D的大小为45°.
跟踪训练 连接AC交BD于点O，连接OC1.
因为BC1＝DC1，BC＝DC，BO＝DO，
所以C1O⊥BD，CO⊥BD，
所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角．
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
在Rt△C1OC中，tan ∠C1OC＝＝，
所以二面角C1-BD-C的正切值为.
例2 (1) 面：平面AB′D和平面ACD；棱：AD；
平面角：∠B′DC.
(2) B′C＝ (3) 60°
(4) 由题意，得∠B′DC＝120°.
取B′C的中点E，连接AE，DE.
因为AB′＝AC，B′D＝CD，B′E＝CE，
所以DE⊥B′C，AE⊥B′C，
所以∠AED为二面角A-B′C-D的平面角．
因为∠B′CD＝30°，所以DE＝CD＝，
所以tan ∠AED＝＝＝2，
故二面角A-B′C-D的正切值为2.
跟踪训练 (1) 连接AC.
因为PA⊥底面ABCD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥PA.
因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又因为PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
又PC 平面PAC，所以BD⊥PC.
(2) 如图，作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，连接PE.
因为AE⊥CD，PA⊥CD，AE∩PA＝A，AE 平面PAE，PA 平面PAE，
所以CD⊥平面PAE.
因为PE 平面PAE，所以PE⊥CD，
所以二面角P-CD-A的平面角是∠PEA.
设PA＝1，
因为∠BAD＝∠BPA＝60°，且底面ABCD是菱形，所以BA＝AD＝，∠DAE＝30°，
所以AE＝AD＝，PE＝＝，
所以cos ∠PEA＝＝，
所以二面角P-CD-A的余弦值为.
【检测反馈】
1. D 解析：A，B，C可以确定两个平面垂直；对于D，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直，故D错误．
2. D 解析：如图，作AD⊥β，交平面β于点D，连接BD，过点A作AC⊥BC，交l于点C，连接CD.因为AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，所以∠ABC＝45°，∠ABD＝30°.设AD＝1，则AB＝2，AC＝，BC＝.因为△ACD为直角三角形，所以CD＝1，所以∠ACD＝45°，与它互补的角为135°，所以二面角α-l-β的大小为45°或135°.
3. AC 解析：对于A，因为A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1 平面BB1D1，BB1 平面BB1D1，所以A1C1⊥平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，因为A1C1∩DC1＝C1，A1C1 平面A1C1D，DC1 平面A1C1D，所以直线BD1⊥平面A1C1D，故A正确；对于B，由正方体可知平面B1CD不垂直平面ABCD，故B错误；对于C，因为A1D∥B1C，A1D 平面A1C1D，B1C 平面A1C1D，所以B1C∥平面 A1C1D，因为点P在线段B1C上运动，所以点P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，所以三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故C正确；对于D，当点P与线段B1C的端点重合时， 异面直线AP与A1D所成角取得最小值为，故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]，故D错误．故选AC.
4. 解析：在Rt△ACB中，由题意得AB＝，所以CD＝，所以在几何体ABCD中，AB2＝AD2＋BD2＝AC2－CD2＋BC2－CD2＝a2＋b2－＝，所以根据余弦定理可得cos ∠ACB＝＝.
5. 设正三角形BCD的边长为2，
则AB＝AC＝AD＝2.
取BC的中点E，连接AE，DE.
因为AB＝AC，所以AE⊥BC.
因为BD＝CD，所以ED⊥BC，
所以∠AED即为二面角ABCD的平面角．
因为AB＝2，BE＝BC＝1，所以AE＝.
同理可知DE＝，
在△AED中，AE＝DE＝，AD＝2，
由余弦定理可得cos ∠AED＝＝，
故二面角ABCD的余弦值为.8．6.3 平面与平面垂直(2)
1. 进一步理解两个平面垂直的定义．
2. 掌握两个平面垂直的判定与性质定理及其应用．
活动一 巩固二面角的概念及两个平面垂直的定义
1. 二面角的概念．
(1) 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
(2) 画法：
直立式 平卧式
(3) 记法：二面角α-l-β或α-AB-β或P- l-Q 或P-AB-Q.
2. 二面角的平面角．
(1) 定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角．
(2) 画法：
(3) 表示方法：若O∈l，OA α，OB β，OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.
3. 平面与平面垂直．
(1) 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2) 画法：
(3) 记作：α⊥β.
活动二 探究两个平面垂直的判定定理与性质定理
思考1
如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？
4. 平面与平面垂直的判定定理：
文字语言
符号语言
图形语言
思考2
如图，设α⊥β，α∩β＝a，则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地，b与α
有什么位置关系？
5. 平面与平面垂直的性质定理：
文字语言
符号语言
图形语言
活动三 两个平面垂直的判定定理与性质定理的应用
例1 如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求证：平面A′BD⊥平面ACC′A′.
证明面面垂直的方法：
(1) 利用两平面垂直的定义，作出两相交平面所成二面角的平面角，并证明其大小为90°；
(2) 利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．
如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．求证：平面POD⊥平面PAC.
例2 如图，已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，a α，判断a与α的位置关系．
在线线垂直、线面垂直、面面垂直的位置关系中，只要添加一些其他条件，都可以得到线线、线面等平行关系．
求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
例3 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥平面PAB.
利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时的三要素：(1)两个平面垂直；(2)所求证的直线必须在其中一个平面内；(3)该直线必须垂直于它们的交线．
如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：
(1) BG⊥平面PAD；
(2) AD⊥PB.
1. (2022临湘期末)已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题中正确的是( )
A. 若α∥β，l α，m β，则l∥m B. 若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥m
C. 若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m D. 若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m
2. 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则下列结论中正确的是( )
A. BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C. BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
3. (多选)如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的有( )
A. 平面PAD⊥平面PAB B. 平面PAD⊥平面PCD
C. 平面PBC⊥平面PAB D. 平面PBC⊥平面PCD
4. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________．
5. (2022平江期末)如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB＝90°，PA⊥底面ABC.
(1) 求证：平面PAC⊥平面PBC；
(2) 若AC＝PA＝2，BC＝3，求AB与平面PBC所成角的正弦值．
【答案解析】
8．6.3 平面与平面垂直(2)
【活动方案】
思考1：这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．
4. 填表略
思考2：b与a平行或相交．当b∥a时，b∥α；当b与a相交时，b与α也相交，特别地当b⊥a时，b⊥α.
5. 填表略
例1 因为ABCD-A′B′C′D′是正方体，
所以AA′⊥平面ABCD.
因为BD 平面ABCD，所以AA′⊥BD.
又BD⊥AC，A′A∩AC＝A，A′A 平面ACC′A′，AC 平面ACC′A′，所以BD⊥平面ACC′A′.
又BD 平面A′BD，所以平面A′BD⊥平面ACC′A′.
跟踪训练 连接OC.
因为OA＝OC，D是AC的中点，
所以AC⊥OD.
又PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，
所以AC⊥PO.
因为OD∩PO＝O，PO 平面POD，OD 平面POD，所以AC⊥平面POD.
又AC 平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC.
例2 在平面α内作垂直于α与β交线的直线b.
因为α⊥β，所以b⊥β.
又a⊥β，所以a∥b.
又a α，b α，所以a∥α，
即直线a与平面α平行．
跟踪训练 已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β.
求证：a α.
证明：设α∩β＝l.
过点P在平面α内作直线b⊥l，
根据平面与平面垂直的性质定理，有b⊥β.
因为经过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与直线b重合，即a α.
例3 如图，在平面PAB内作AD⊥PB于点D.
因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD 平面PAB，
所以AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，所以AD⊥BC.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
因为PA∩AD＝A，PA 平面PAB，AD 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
跟踪训练 (1) 因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形．
因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，
所以BG⊥平面PAD.
(2) 因为△PAD是正三角形，G是AD的中点，所以PG⊥AD.
因为BG⊥AD，BG∩PG＝G，BG 平面PBG，PG 平面PBG，所以AD⊥平面PBG.
又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
【检测反馈】
1. B 解析：对于A，若α∥β，l α，m β，则l∥m或l，m异面，故A错误；对于B，若α∥β，l⊥β，则l⊥α.因为m∥α，所以l⊥m，故B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，m∥β，则l∥m或l，m相交或l，m异面，故D错误．
2. B 解析：如图，连接BD，过点E作EO⊥CD于点O，连接ON，过点M作MF⊥OD于点F，连接BF.因为平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，EO⊥CD，EO 平面ECD，所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥ON.同理MF⊥FB，所以△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形ABCD的边长为2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2，MF＝，BF＝，所以BM＝，所以BM≠EN.又因为BM与EN都是△EBD的中线，所以直线BM与EN相交．
3. ABC 解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥CD，PA⊥BC.又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD.因为CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD，同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，故选ABC.
4. 13 解析：取AB的中点E，连接PE，EC.因为∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，所以AB＝10，所以AE＝CE＝5.因为PA＝PB＝13，E是AB的中点，所以PE⊥AB，所以PE＝＝12.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE 平面PAB，PE⊥AB，所以PE⊥平面ABC.因为CE 平面ABC，所以PE⊥CE，所以在Rt△PEC中，PC＝＝13.
5. (1) 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.
因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC.
因为PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.
(2) 取PC的中点O，连接AO，BO.
因为PA＝AC，所以AO⊥PC.
因为平面PBC⊥平面PAC，平面PBC∩平面PAC＝PC，AO 平面PAC，
所以AO⊥平面PBC，
所以∠ABO为AB与平面PBC所成的角．
在Rt△AOB中，AB＝，AO＝，
所以sin ∠ABO＝＝.
