10.2 事件的相互独立性 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

10．2　事件的相互独立性
1. 理解两个事件相互独立的概念．
2. 能进行一些与事件独立性有关的概念的计算．
3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用．
活动一 背景引入
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
试验2：一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A＝“第一次摸到球的标号小于3”，B＝“第二次摸到球的标号小于3”．
在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点．
因为A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)} .由古典概型概率计算公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B).
积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积．
在试验2中，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
因为A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)}，
B＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
AB ＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
所以也有P(AB)＝P(A)P(B).
活动二 相互独立事件的定义
1. 相互独立事件的定义：
2. A，B相互独立事件的充要条件是什么？
思考
如果事件A与事件B相互独立，以试验2为例，分别验证A与，与B，与是否独立？
　　
活动三 相互独立事件的应用
例1　一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？
判断两个事件是否相互独立，可以利用概率公式检验P(AB)与P(A)P(B)是否相等．
一个不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球．
(1) 记事件A＝“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”，B＝“从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”；
(2) 记事件A＝“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”，B＝“从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”．
试分别判断(1)(2)中的A，B是否为相互独立事件．
例2　甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1) 两人都中靶；
(2) 恰好有一人中靶；
(3) 两人都脱靶；
(4) 至少有一人中靶．
相互独立事件同时发生的概率．
解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则A与，与B，与也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．
甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．
1. 下列事件A，B是独立事件的是(　　)
A. 一枚硬币抛掷两次，事件A＝“第一次正面向上”，B＝“第二次反面向上”
B. 袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，事件A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C. 掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“出现的点数为奇数”，B＝“出现的点数为偶数”
D. 事件A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
2. (2022三明期末)甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为(　　)
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38
3. (多选)如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论中正确的是(　　)
A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为
B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为
C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为
D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为
4. 设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次测到次品的概率为________．
5. 互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机，张三与李四购买某品牌手机的概率分别为0.7，0.5，购买价位在5 000元以上的手机的概率分别为0.4，0.6，假设张三与李四购买什么款式的手机相互独立．
(1) 求恰好有一人购买该品牌手机的概率；
(2) 求至少有一人购买价位在5 000元以上的该品牌手机的概率．
【答案解析】
10．2　事件的相互独立性
【活动方案】
1. 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，那么称事件A与事件B相互独立，简称独立．
2. P(AB)＝P(A)P(B)
思考：对于A与 ，因为A＝AB∪A，AB与A互斥，
所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，
所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B))＝P(A)P().
由事件的独立性定义，A与相互独立．
同理可证事件与B，与也都相互独立．
例1　因为样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}，且m≠n}，
A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}，B＝{(1，2)，(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝＝，P(AB)＝＝.此时P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A与事件B不独立．
跟踪训练　(1) 记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3，则样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)}．
由题意得A＝ {(1，1)，(1，2)，(1，3)}，
B＝ {(1，2)，(2，2)，(3，2)}，AB＝{(1，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
即P(AB)＝P(A)P(B)，所以A，B是相互独立事件．
(2) 记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3，则样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，(3，1)，(3，2)}．
由题意得A＝ {(1，2)，(1，3)}，
B＝ {(1，2)，(3，2)}，AB＝{(1，2)}，
所以P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝，
所以P(AB)≠P(A)P(B)，
所以A，B不是相互独立事件．
例2　设A＝“甲中靶”，B＝“乙中靶”，则＝“甲脱靶”，＝“乙脱靶”．
由于两个人射击的结果互不影响，所以A与B相互独立，A与，与B，与都相互独立．
由已知可得，P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.1.
(1) AB＝ “两人都中靶”，由事件独立性的定义，得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2) “恰好有一人中靶” ＝A∪B，且A与B互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
(3) 事件“两人都脱靶”＝，
所以P()＝P()P()＝(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02.
(4) 方法一：事件“至少有一人中靶”＝AB∪A∪B，且AB，A与B两两互斥，
所以P(AB∪A∪B)＝P(AB)＋P(A)＋P(B)＝P(AB)＋P(A∪B)＝0.72＋0.26＝0.98.
方法二：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，
根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为1－P()＝1－0.02＝0.98.
跟踪训练　设A1，A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1，B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立性假定，得
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝＝.
P(B1)＝2××＝，P(B2)＝＝.
设A＝“ 两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则A＝A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，
所以P(A)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝×＋×＝.
故“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
【检测反馈】
1. A　解析：对于A，A，B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件；对于B，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件；对于C，由于掷的是一枚骰子，A，B是对立事件，所以不是相互独立事件；对于D，能活到50岁的，一定能活到20岁，故A，B不是相互独立事件．
2. D　解析：因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7，所以在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为P＝0.8×(1－0.7)＋(1－0.8)×0.7＝0.38.
3. ACD　解析：由题意知P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，P(E)＝，所以A，B两个盒子畅通的概率为×＝，故A正确；D，E两个盒子并联后畅通的概率为1－×＝，故B错误；A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为1－×＝1－＝，故C正确；根据上述分析可知，当开关合上时，整个电路畅通的概率为×＝，故D正确．故选ACD.
4. 　解析：因为第3次首次测到次品，所以第1次和第2次测到的都是正品，第3次测到的是次品，所以第3次首次测到次品的概率为××＝.
5. (1) 设事件A＝“张三购买该品牌手机”，事件B＝“李四购买该品牌手机”，
则恰好有一人购买该品牌手机的概率P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.7×0.5＋0.3×0.5＝0.5.
(2) 设事件C＝“张三购买5 000元以上的手机”，事件D＝“李四购买5 000元以上的手机”，事件E＝“张三购买5 000元以上的该品牌手机”，事件F＝“李四购买5 000元以上的该品牌手机”，
则P(E)＝P(AC)＝0.7×0.4＝0.28，P(F)＝P(BD)＝0.5×0.6＝0.3，
所以至少有一人购买价位在5 000元以上的该品牌手机的概率P＝P(F)＋P(E)＋P(EF)＝0.72×0.3＋0.28×0.7＋0.28×0.3＝0.496.