10.3 频率与概率 学案（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

10．3　频率与概率
1. 通过试验让学生理解当试验次数较大时，试验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的概率．
2. 理解随机模拟试验出现的意义．
3. 利用随机模拟试验求概率．
活动一 频率与概率的关系
问题：抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者抛掷一枚图钉，样本点是否等可能？是否还可以通过古典概型公式计算有关事件的概率？
思考1
当遇到样本点不是等可能事件时，应该采用什么方法解决它的概率问题？
探究：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计A出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较，我们研究一下有什么规律？
将硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，A＝{(1，0)，(0，1)}，所以P(A)＝.
利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)的记录如下表：
序号 n＝20 n＝100 n＝500
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.50 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
思考2
(1) 同一组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？
(2) 随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？为了说明以上两个问题，借助折线图表示频率的波动情况．
　　　　　　
思考3
从以上的试验结果看，你能得出什么结论？
活动二　频率与概率的应用　
例1　新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数．通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51.
(1) 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率，精确到0.001)；
(2) 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
1. 概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
2. 正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
(多选)给出下列四个命题，其中正确的命题有(　　)
A. 做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是
B. 随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
C. 抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是
D. 随机事件发生的频率不一定是这个随机事件发生的概率
例2　一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到 1 000 次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？
1. 游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．
2. 具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．
如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指向一个数字(直到指针指向一个数字，停止转动)，将指针所指的两个数字相加，若和是6，则甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？
A B
　　
活动三　随机模拟　
思考4
用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢？
例3　在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局 2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．
用计算器或计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组．例如，产生20组随机数：423，123，423，344，114，453，525，332，152，342，534，443，512，541，125，432，334，151，314，354.
相当于做了20次重复试验．
用随机模拟试验来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：
(1) 对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率．
(2) 对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率．
袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、华、民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232　321　230　023　123　021　132　220　001
231　130　133　231　031　320　122　103　233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为(　　)
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
1. 在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)
A. 0.45，0.45 B. 0.5，0.5　　C. 0.5，0.45 D. 0.45，0.5
2. 不透明的袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外其余完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色．用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0，1，2，3代表黑球，4，5，6，7，8，9代表白球，在下列随机数中表示结果为两白一黑的组数为(　　)
160　288　905　467　589　239　079　146　351
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. (多选)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
根据表中数据，下列结论中正确的是(　　)
A. 顾客购买乙商品的概率最大
B. 顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C. 顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D. 顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3
4. 假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93　28　12　45　85　69　68　34　31　25
73　93　02　75　56　48　87　30　11　35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为________．
5. 某教授为了测试A地区和B地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分，然后做了统计，下表是统计结果．
A地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率
B地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率
(1) 利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；(结果精确到0.001)
(2) 估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．
【答案解析】
10．3　频率与概率
【活动方案】
问题：不等可能，不能用古典概型公式计算有关事件的概率．
思考1：利用最原始的方法，通过大量重复试验，用频率去估计概率．
思考2：(1) 不一样．试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性．
(2) 从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小．但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大．
思考3：随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
例1　(1)2014年男婴出生的频率为≈0.537，
2015年男婴出生的频率为≈0.532.
由此估计，我国2014年男婴出生率约为0.537，2015年男婴出生率约为0.532.
(2) 由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度．因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论．
跟踪训练　CD　解析：对于A，B，混淆了频率与概率的区别，故A，B错误；对于C，抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是，符合频率定义，故C正确；对于D，频率是概率的估计值，故D正确．故选CD.
例2　当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了 1 000 次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对10次游戏，1 000 次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信 1 000 次时的频率离概率更近，而游戏玩到 1 000 次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的，因此，应该支持甲对游戏公平性的判断．
跟踪训练　列表如下：
B A 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种，所以甲获胜的概率为＝，乙获胜的概率为＝，
故甲、 乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．
思考4：可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了．
例3　设事件A＝“甲获得冠军”，事件B＝“单局比赛甲胜”，则P(B)＝0.6.
事件A发生了13次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率的近似值为＝0.65.
跟踪训练　C　解析：由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021，001，130，031，共4组随机数，则恰好抽取三次就停止的概率约为＝.
【检测反馈】
1. D　解析：根据频率和概率的概念，可知出现正面朝上的频率是45÷100＝0.45，出现正面朝上的概率是0.5.
2. B　解析：由题意可知，288，905，079，146表示两白一黑，所以有4组．
3. BCD　解析：对于A，根据表中数据，可知购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A错误；对于B，因为从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2，故B正确；对于C，因为从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3，故C正确；对于D，因为从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.3，故D正确．故选BCD.
4. 　解析：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1，2，3，4中的之一．它们分别是93，28，45，25，73，93，02，48，30，35共10个，因此所求的概率约为＝.
5. (1) 根据频率计算公式，可得如下表所示：
A地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503
B地区
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550
(2) 随着测试人数的增加，两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋近于0.5和0.55，故估计A地区和B地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.5和0.55.