1.1.1 空间向量及其线性运算
A级 必备知识基础练
1.下列说法错误的是( )
A.任意向量与它的相反向量不相等
B.和平面向量类似,任意两个空间向量都不能比较大小
C.如果|a|=0,则a=0
D.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
2.给出下列命题:
①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点,则它们的终点构成一个圆;
②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有;
④若空间向量a,b,c满足a=b,b=c,则a=c;
⑤空间中任意两个单位向量必相等.
其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3. 如图,在四面体ABCD中,点M,N分别是棱AD,CD的中点,则)-)化简的结果是 ( )
A. B.
C. D.
4. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点.若=a,=b,=c,则=( )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b+c
D.a-b+c
5.(多选题)下列命题中,是真命题的为( )
A.若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同
B.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=±b
C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p
D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有
6.(多选题)下列说法正确的是( )
A.向量的长度相等
B.在空间四边形ABCD中,是相反向量
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.向量方向相同且模相等,则这两个向量是相等向量
7.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且+x,则实数x的值为 .
8.如图,在正方体OABC-O1A1B1C1中,点G为△ACO1的重心,若=a,=b,=c,=xa+yb+zc,则x+y+z= .
B级 关键能力提升练
9.如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,若=a,=b,=c,则= .(用a,b,c表示)
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CD的中点.
(1)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示;
(2)设=a,=b,=c,用向量a,b,c表示.
11.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=2=3.
(1)求证:A,F,E三点共线.
(2)若点G是平行四边形B1BCC1的中心,求证:D,F,G三点共线.
参考答案
第一章 空间向量与立体几何
学习单元1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.A 对于A,零向量的相反向量是它本身,故A错误;
对于B,空间向量是有向线段,不能比较大小,故B正确;
对于C,如果|a|=0,则a=0,故C正确;
对于D,两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同,故D正确.故选A.
2.C ①假命题.若将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点,则它们的终点将构成一个球面,而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义,要保证两向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同.③真命题.根据正方体的定义,上下底面的对角线长度必定相等,结合向量的方向,所以.④真命题.向量的相等具有传递性.⑤假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,所以不一定相等.故选C.
3.C 如图所示,连接BM,BN.因为M,N分别是棱AD,CD的中点,所以)-)=.故选C.
4.A 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,所以=a+b+c.
故选A.
5.CD 当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个相等向量的起点、终点不一定相同,故A错误;
模相等的两个向量的方向是任意的,即模相等的两个向量的方向不一定相同,也不一定相反,故B错误;
由相等向量的传递性,知若m=n,n=p,则m=p,故C正确;
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ACC1A1是矩形,向量的方向相同,模也相等,即,故D正确.故选CD.
6.AD 向量是相反向量,长度相等,故选项A正确;
在空间四边形ABCD中,的模不一定相等,方向也不一定相反,故选项B错误;
空间向量可以用空间中的一条有向线段表示,但不能说空间向量就是有向线段,故选项C错误;
由相等向量的概念易知选项D正确.故选AD.
7.-1 根据向量共面定理,可得+x+=1,即x=-1.
8.1 在正方体中,易知△ACO1为正三角形.如图,连接BO交AC于点M,连接O1M,显然点G在线段O1M上,且满足=2,即=2(),整理得,所以)+a+b+c,所以x=y=z=,则x+y+z=1.
9.c+a-b 由题可得D为棱A1B1中点,)=,
则)==c+a-b.
10.解(1)如图,=-=b+a-c.
(2)由(1)得=-.
因为所以a+b-c,a+c-b,b+c-a,
所以=-=-a-b+c+b+c-a+a+c-b=c-a+a+c-b=-a-b+c.
11.证明(1)由题意,=2=3,
故)=,,故.
由于有公共点A,故A,F,E三点共线.
(2)由题意,点G是平行四边形B1BCC1的中心,
故)=,,故.
因为有公共点D,故D,F,G三点共线.1.1.2 空间向量的数量积运算
A级 必备知识基础练
1. 如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=3,AD=4,E为棱BC的中点,则=( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=( )
A.2 B.4
C.2 D.4
3.已知四面体ABCD的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,则=( )
A.- B.
C.- D.
4.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
5.(多选题)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两互相垂直,则下列结论中,一定成立的是( )
A.||=||
B.||2=||2+||2+||2
C.()·=0
D.
6.(多选题)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,则下列向量的数量积可以为0的是( )
A. B.
C. D.
7.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1所有棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=,点E,F满足,则||= .
8.已知MN是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的一条直径,则= .
9. 在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.
B级 关键能力提升练
10.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点.记=a,=b,=c,则下列说法正确的是( )
A.=a+b+c B.a-b+c
C.=0 D.||=
11.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量在向量上的投影向量为 (用向量来表示).
12.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=ND,求MN的长.
13.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=2,AD1=2,∠BAD=60°,∠BAA1=45°,AC与BD相交于点O.
(1)求;
(2)求∠DAA1;
(3)求OA1的长.
参考答案
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.D 由题可得=0.
∵)=)=-2),,∴-2)·()=.
∵DB=DC,∴,∴=0.故选D.
2.D 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知||=2,||=2.
因为的夹角为,所以向量的夹角为,
则=||||cos=2×2=4.故选D.
3.D 因为E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,所以.
因为=||||cos<>=2×2×cos60°=2,
=||||cos<>=2×2×cos60°=2,
=||||cos<>=2×2×cos120°=-2,
所以×2+2+×(-2)=.故选D.
4.A 在正四面体ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠CAD=.
因为M,N分别为棱BC,AD的中点,
所以),,
所以)·==×-1=-.
由题可得,AM=CN=,
所以|cos<>|=,
即直线AM和CN夹角的余弦值为.故选A.
5. ABD 作如图所示的长方体,则四面体ABCD为长方体的一部分,设||=a,||=b,||=c.
由题可得,,||=,
,||=,故A正确;
||2=||2=a2+b2+c2=||2+||2+||2,故B正确;
∵AD⊥平面ACEB,BC 平面ACEB,∴AD⊥BC,即=0,
∴()·=()·,但无法判断直线AE和BC是否垂直,故C不一定正确;
由图易知,,故=0,故D正确.故选ABD.
6.ABC 如图所示,若AA1=AD,则AD1⊥B1C,故A正确;
若AB=AD,则AC⊥BD.
又BB1⊥平面ABCD,则BB1⊥AC.
∵BB1∩BD=B,BB1,BD 平面B1BDD1,
∴AC⊥平面B1BDD1.
又BD1 平面B1BDD1,
∴BD1⊥AC,故B正确;
∵AB⊥平面AA1D1D,AD1 平面AA1D1D,
∴AB⊥AD1,故C正确;
∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边,
∴直线BD1和BC不可能垂直,故D错误.故选ABC.
7. 由题可得=2.
∵=-)=,
∴=2==2,故||=.
8.2 因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以其内切球的半径r=×2=1.
球心一定在该正方体的体对角线的中点处,且体对角线长为=2.
设该正方体的内切球的球心为O,则AO=,OM=ON=1,易知,所以=()·()=||2+·()+=3+0-1=2.
9.解因为,所以||2=()2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos120°=61-12=49,所以||=7,即PC=7.
10.AC =a+b+c,故A正确;
因为M为线段A1C1的中点,所以)=)=)=-a+b+c,故B错误;
因为=b-a,所以=c·(b-a)=c·b-c·a=1×1×cos60°-1×1×cos60°=0,故C正确;
||=,故D错误.故选AC.
11. 在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,.
∵BC 平面ABC,
∴PA⊥BC,=0.
在△ABC中,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,
∴=36,=||||cos(180°-∠ABC)=6×6cos(180°-120°)=18,
∴向量在向量上的投影向量为
=
=.
12.解∵+()+)=-,
∴||2=|2+|2+|2-a2-a2cos60°-a2cos60°+a2cos60°=a2,
故||=a,
即MN=a.
13.解(1)=||||cos∠BAD=4×2×cos60°=4.
(2)因为ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,所以四边形AA1D1D为平行四边形,则A1D1∥AD,A1D1=AD=2.
在△AA1D1中,AA1=2,A1D1=2,AD1=2,所以cos∠D1A1A==-,所以∠D1A1A=135°.
又A1D1∥AD,所以∠DAA1=45°.
(3)由题意知,=-,则=4+1+8+×4×2×-4×2-2×2=3,所以||=.所以OA1=.空间向量基本定理
A级 必备知识基础练
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若,则=( )
A. B.-
C.- D.
2.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为平行四边形,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.a-b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.-a+b+c
3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,P分别是棱AA1,C1D1的中点,则=( )
A.a+b+c B.a+c
C.a+b+c D.a+b+c
4.在三棱锥O-ABC中,M,N分别是棱AB,OC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示,则=( )
A.(-a+b+c)
B.(a+b-c)
C.(a-b+c)
D.(-a-b+c)
5.(多选题)下列关于空间向量的命题中,是真命题的是( )
A.若三个非零向量能构成空间的一个基底,则它们不共面
B.不相等的两个空间向量的模可能相等
C.模为3的空间向量大于模为1的空间向量
D.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R且λ·μ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底
6.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱BA,BC,BB1上的点,且满足=3=4=5,则( )
A.
B.=3+4+5
C.=0
D.
7.在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为棱BC的中点,E为线段AD的中点,则= .(用a,b,c表示)
8.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,||=||=1,||=,∠BAA'=∠DAA'=45°,∠BAD=60°,则||= .
B级 关键能力提升练
9.在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )
A. B.
C. D.
10.在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC与BD交于点O,G为BD上一点,BG=3GD,=a,=b,=c,= .(用基底{a,b,c}表示向量)
11.在如图所示平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,设=a,=b,=c,试用基底{a,b,c}表示向量.
12.在棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,求直线EF与AB所成角的余弦值.
参考答案
学习单元2 空间向量基本定理
1. B 由图知,=-.故选B.
2.C 由题意,根据空间向量的运算法则,可得)=)==-a-b+c.故选C.
3. C 由题意,M,P分别是棱AA1,C1D1的中点,如图,所以+()=+=a+b+c.故选C.
4.B +()+
=
=)-()
=
=a+b-c=(a+b-c).故选B.
5.AB 因为三个非零向量能构成空间的一个基底,所以三个向量不共面,故A正确;
向量既有大小又有方向,所以不相等的两个空间向量的模可能相等,故B正确;
因为向量既有大小又有方向,所以向量不能比较大小,故C错误;
由a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R且λ·μ≠0)可知,向量c与向量a,b共面,所以{a,b,c}不能构成空间的一个基底,故D错误.故选AB.
6.AB 对于A选项,,故A正确;
对于B选项,=3+4+5,故B正确;
对于C选项,由题图可知不共线,则≠0,故C错误;
对于D选项,,故D错误.
故选AB.
7.a+b+c 连接OD,如图所示.
由题可得,=a+b+c.
8.3 由题得,.
+2()=1+1+2+2×1×1×+1×+1×=9,所以||=3.
9. A 如图所示,连接AG1并延长,交BC于点E,则E为BC的中点,)=-2),-2).
因为=3=3(),所以.
则)=.
10.a-b+c 在四棱锥P-ABCD中,)=)=a-b+c.
11.解因为多面体ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,
所以=a+b+c,
=-=-a+b+c,
=a+b-c,
=-=a-b+c.
12.解 设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=a2.
∴(a+b)-c,
∴a2+a·b-a·c=a2,||=a.
∴cos<>=.
故直线EF与AB所成角的余弦值为.空间向量及其运算的坐标表示
A级 必备知识基础练
1.已知平行四边形ABCD,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为( )
A.(1,12,-6) B.(3,7,-5)
C.(-1,-12,6) D.(5,13,-3)
2.已知空间中两个点A(-2,0,2),B(-1,1,2),则向量的模是( )
A.2 B. C. D.1
3.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.已知向量a=(1,2,3),b=(0,1,2),则2a-b=( )
A.(2,3,4) B.(2,3,3)
C.(2,5,8) D.(2,4,6)
5.(多选题)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=,则下列结论正确的是( )
A.若|c|=3,且c∥,则c=(2,1,-2)
B.a和b的夹角的余弦值为-
C.若ka+b与ka-b互相垂直,则k的值为2
D.若λ(a+b)+μ(a-b)与向量(0,0,1)垂直,则λ,μ应满足λ-μ=0
6.(多选题)下面四个结论正确的是( )
A.空间向量a=(1,-1,2)关于x轴对称的向量为(1,1,-2)
B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面
C.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底
D.任意向量a,b,c,满足(a·b)·c=a·(b·c)
7.已知向量a=(2,0,1),b=(0,2,-1),c=(2,4,m),若向量a,b,c共面,则实数m的值为 .
8.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是 .
B级 关键能力提升练
9.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则 ( )
A.点B1的坐标为(4,5,3)
B.点B关于点D对称的点为(-4,-5,0)
C.=(4,-5,3)
D.点B1关于x轴对称的点为(-4,5,3)
10.设O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,0,1),点P是线段AB上的一个动点,且满足=λ,若,则实数λ的取值范围是 .
11.已知向量a=(2,-1,2),b=(1,4,1).
(1)求|2a-b|的值;
(2)求向量a+2b与a-b夹角的余弦值.
12.已知向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3).
(1)当λa+b与3a+2b平行时,求实数λ的值;
(2)当a+μb与3a+b垂直时,求实数μ的值.
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知DA=DC=4,DD1=3,连接A1B,B1C,A1C,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求的坐标;
(2)求向量在平面ABCD上的投影向量.
参考答案
学习单元3 空间向量及其运算的坐标表示
1.D 设D(x,y,z),则=(2,-5,1)-(4,1,3)=(-2,-6,-2),=(3-x,7-y,-5-z),
由题意得,即解得
故顶点D的坐标为(5,13,-3).故选D.
2.C 因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),所以=(1,1,0),则||=.故选C.
3.A 由已知可得a·b=x+2=3,可得x=1,则|a|=,|b|=,
所以cos
=.
因为0°≤≤180°,所以=30°.故选A.
4.A 因为a=(1,2,3),所以2a=(2,4,6),则2a-b=(2-0,4-1,6-2)=(2,3,4).故选A.
5.BD 因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2),=(-2,-1,2).
对于A,||=3=|c|,又c∥,于是得c==(-2,-1,2)或c=-=(2,1,-2),故A不正确;
对于B,cos==-,故B正确;
对于C,由ka+b与ka-b互相垂直得,(ka+b)·(ka-b)=k2a2-b2=2k2-5=0,解得k=±,故C不正确;
对于D,λ(a+b)+μ(a-b)=λ(0,1,2)+μ(2,1,-2)=(2μ,λ+μ,2λ-2μ).因为λ(a+b)+μ(a-b)与向量(0,0,1)垂直,所以2λ-2μ=0,即λ-μ=0,故D正确.故选BD.
6.ABC 对于A,空间向量a=(1,-1,2)关于x轴对称的向量为(1,1,-2),故A正确;
对于B,若对空间中任意一点O,有,因为=1,所以P,A,B,C四点共面,故B正确;
对于C,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c不共面,若m=a+c,则向量a,c,m共面,所以向量a,b,m不共面,故{a,b,m}也是空间的一个基底,故C正确;
对于D,(a·b)·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,而a,c的方向不确定,所以不成立,故D错误.故选ABC.
7.-1 因为向量a,b,c共面,所以存在实数x,y使得c=xa+yb,即(2,4,m)=(2x,2y,x-y).
所以解得
8.kk>-且k≠ 因为a=(2,1,0),b=(-1,0,2),
所以a+kb=(2-k,1,2k),2a+3b=(1,2,6).
因为向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,所以(a+kb)·(2a+3b)=2-k+2+12k=11k+4>0,解得k>-.
当a+kb∥2a+3b时,,解得k=.
所以实数k的取值范围为kk>-且k≠.
9.ABC 根据题意知,点B1的坐标为(4,5,3),故选项A正确;
点B1关于x轴对称的点为(4,-5,-3),故选项D错误;
点B的坐标为(4,5,0),故点B关于点D对称的点为(-4,-5,0),故选项B正确;
点C的坐标为(0,5,0),点A1的坐标为(4,0,3),所以=(4,-5,3),故选项C正确.故选ABC.
10.1-,1 ∵O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,0,1),设P(x,y,z),∴=(1,-1,0).
∵=λ,∴(x,y-1,z-1)=(λ,-λ,0),
∴即P(λ,1-λ,1).
∴=(λ,1-λ,1),=(-λ,λ,0),=(1-λ,λ-1,0),
∴=2λ-1,=2λ2-2λ.
∵,∴2λ-1≥2λ2-2λ.
整理可得2λ2-4λ+1≤0,解得1-≤λ≤1+.
又点P是线段AB上的一个动点,且满足=λ,∴0≤λ≤1,∴1-≤λ≤1.
11.解(1)∵a=(2,-1,2),b=(1,4,1),
∴2a=(4,-2,4),2a-b=(3,-6,3),
∴|2a-b|==3.
(2)设a+2b与a-b的夹角为θ,则cosθ=.
由题得a+2b=(4,7,4),|a+2b|=9,a-b=(1,-5,1),|a-b|=3,∴cosθ==-,∴向量a+2b与a-b夹角的余弦值为-.
12.解(1)因为向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3),
所以λa+b=(2λ-1,-3λ+5,-2λ-3),3a+2b=(4,1,-12).因为λa+b与3a+2b平行,
所以,解得λ=.
(2)因为向量a=(2,-3,-2),b=(-1,5,-3),
所以a+μb=(2-μ,-3+5μ,-2-3μ),3a+b=(5,-4,-9).
因为a+μb与3a+b垂直,所以5(2-μ)-4(-3+5μ)-9(-2-3μ)=0,解得μ=-20.
13.解(1)由题意得,A1(4,0,3),B(4,4,0),B1(4,4,3),C(0,4,0),
所以=(0,4,-3),=(-4,0,-3).
(2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,连接AC,因此线段AC是线段A1C在平面ABCD上的射影,如图,
即向量在平面ABCD上的投影向量为.
因为A(4,0,0),=(-4,4,0),
所以向量在平面ABCD上的投影向量为(-4,4,0).第2课时 空间中直线、平面的垂直
A级 必备知识基础练
1.已知直线l的方向向量为a=(1,1,2),平面α的法向量为n=(2,2,4),则( )
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α相交
2.已知m=(-2,2,5),n=(3,-2,2)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系为( )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.重合
3.已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m),平面α的一个法向量n=(-1,-2,3),若l⊥α,则m= ( )
A.-3 B.-1
C.0 D.1
4.若空间两直线l1与l2的方向向量分别为a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3),则两直线l1与l2垂直的充要条件为( )
A.a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
B.存在实数k,使得a=kb
C.a1b1+a2b2+a3b3=0
D.a·b=±|a||b|
5.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是( )
A.AB⊥AC
B.与同向的单位向量是,0
C.夹角的余弦值是
D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
6.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的有( )
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一个法向量
D.
7.已知三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),则α,β两个平面的位置关系是 ,α,γ两个平面的位置关系是 ,γ,β两个平面的位置关系是 .
8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为棱C1D1的中点,M为棱BC的中点,则直线AM与PM的位置关系是 .
B级 关键能力提升练
9.(多选题)如图所示,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则( )
A.EF⊥A1D
B.EF⊥AD1
C.EF∥BD1
D.EF与BD1是异面直线
10.(多选题)给出下列命题,其中是真命题的是( )
A.若a=(-1,1,-2)是直线l的方向向量,b=-2,-1,是直线m的方向向量,则直线l与m垂直
B.若a=(1,1,-1)是直线l的方向向量,n=(0,-1,-1)是平面α的法向量,则l⊥α
C.若n1=(1,0,3),n2=(0,1,2)分别为平面α,β的法向量,则α⊥β
D.若存在实数x,y,使=x+y,则P,M,A,B四点共面
11.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,且AA1=AD=DC=2,M∈平面ABCD,当D1M⊥平面A1C1D时,DM= .
12. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.
(1)求EF的长;
(2)证明:EF⊥平面A1CD.
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:
(1)EF⊥DA1;
(2)DA1⊥平面ABC1.
参考答案
第2课时 空间中直线、平面的垂直
1.B 因为n=(2,2,4),a=(1,1,2),故可得n=2a,即n∥a,则直线l⊥α.故选B.
2.B 因为m=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×(-2)+5×2=0,故m⊥n,所以α⊥β.故选B.
3.A ∵l⊥α,∴a∥n,则=-1,∴m=-3.故选A.
4.C 由l1⊥l2可得a⊥b,则a·b=0,即a1b1+a2b2+a3b3=0.
同理,由a1b1+a2b2+a3b3=0可得a·b=0,进一步可得l1⊥l2,所以a⊥b,所以a1b1+a2b2+a3b3=0是l1⊥l2的充要条件,C正确.故选C.
5.ABD 空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),
对于A,=(2,1,0),=(-1,2,1),∴=2×(-1)+1×2+0×1=0,∴,即AB⊥AC,故A正确;
对于B,=(2,1,0),=,0,故B正确;
对于C,=(2,1,0),=(-3,1,1),
∴夹角的余弦值cos<>==-,故C错误;
对于D,设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则取x=1,则y=-2,z=5,得n=(1,-2,5),故D正确.故选ABD.
6.ABC ∵=-2-2+4=0,∴,
∴AP⊥AB,故A正确;
∵=-4+4+0=0,
∴,∴AP⊥AD,故B正确;
∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,
∴是平面ABCD的一个法向量,故C正确;
=(2,3,4),设=λ,
即方程组无解,故D错误.故选ABC.
7.α∥β α⊥γ β⊥γ 三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),
所以m=-2n,即m∥n,所以α∥β.又m·k=(2,-4,6)·(-1,4,3)=-2-16+18=0,则m⊥k,所以α⊥γ.
同理,n·k=(-1,2,-3)·(-1,4,3)=1+8-9=0,则n⊥k,所以β⊥γ.
8.PM⊥AM 以D点为原点,所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0),
∴=(,1,-),=(-,2,0).
=(,1,-)·(-,2,0)=-+1×2+0×(-)=0,即,可得AM⊥PM.
9.AC 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),D1(0,0,3),A(3,0,0),A1(3,0,3),B(3,3,0),E(1,0,1),F(2,1,0),
=(1,1,-1),=(-3,0,-3),=(-3,0,3),=(-3,-3,3).
对于A,=-3+0+3=0,则,即EF⊥A1D,故A正确;
对于B,=-3+0-3≠0,故B错误;
对于C,=-,则,故C正确,D错误.故选AC.
10.AD 对于A,因为a·b=(-1)×(-2)+1×(-1)+(-2)×=0,可知a⊥b,所以直线l与m垂直,故A正确;
对于B,因为a·n=1×0+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,可知a⊥n,所以l α或l∥α,故B错误;
对于C,因为n1·n2=1×0+0×1+3×2=6≠0,所以平面α,β不相互垂直,故C错误;
对于D,若存在实数x,y,使=x+y,则为共面向量,所以P,M,A,B四点共面,故D正确.故选AD.
11.2 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).
由题意可设M(a,b,0),则=(a,b,-2),=(2,0,2),=(0,2,2).
若D1M⊥平面A1C1D,则解得即M(2,2,0),则=(2,2,0),
故DM==2.
12.(1)解以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0).
∵E,F分别为AB,A1C的中点,∴E(2,1,0),F(1,1,1),则=(-1,0,1),∴||=,即EF的长为.
(2)证明由(1)可得=(0,-2,0),=(-2,0,-2).
∵=0,=0,∴EF⊥CD,EF⊥A1D.
又CD∩A1D=D,CD,A1D 平面A1CD,∴EF⊥平面A1CD.
13. 证明(1)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则D(0,0,0),E(2,2,1),F(1,1,2),A1(2,0,2),所以=(-1,-1,1),=(2,0,2),则=-1×2+(-1)×0+1×2=0,故,即EF⊥DA1.
(2)由(1)知,A(2,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),则=(0,2,0),=(-2,0,2).
设平面ABC1的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,则y=0,z=1,即n=(1,0,1).
又=(2,0,2),显然=2n,则∥n,故DA1⊥平面ABC1.1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 距离问题
A级 必备知识基础练
1.若O为坐标原点,=(1,1,-2),=(3,2,8),=(0,1,0),则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A. B.2
C. D.
2.两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是( )
A. B.
C. D.3
3.已知直线l过点P(1,3,1),且方向向量为m=(1,0,-1),则点A(1,-1,-1)到直线l的距离为 ( )
A.3 B.4
C.2 D.3
4.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1=2,则点C到直线AB1的距离为( )
A. B.
C. D.
5.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E是棱A1B1的中点,P在正方体内部且满足,则下列说法正确的是 ( )
A.点A到直线BE的距离是
B.点A到直线BE的距离是
C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D.点P到直线AB的距离为
6.已知平面α内一点P(8,9,5),点Q(1,2,2)在平面α外,若α的一个法向量为n=(4,3,-12),则点Q到平面α的距离为 .
7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D间的距离是 .
8.如图所示,四边形ABCD为正方形,ABEF为矩形,且它们所在的平面互相垂直,AB=2BE=4,M为对角线AC上的一个定点,且3AM=MC,则M到直线BF的距离为 .
B级 关键能力提升练
9.在空间直角坐标系中,定义:平面α的一般方程为Ax+By+Cz+D=0(A,B,C,D∈R,且A,B,C不同时为零),点P(x0,y0,z0)到平面α的距离d=,则在底面边长与高都为2的正四棱锥P-ABCD中,底面中心O到侧面PAB的距离d等于( )
A. B.
C.2 D.5
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=1,AA1=2,直线AD与A1C1所成的角为,E为棱BB1的中点,则点D1到平面ACE的距离为 .
11.如图,多面体ABC-A1B1C1是由长方体一分为二得到的,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,点D是棱BB1的中点,则异面直线DA1与B1C1的距离是 .
12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离;
(2)求点F到平面AEC1的距离.
13.如图,在四棱锥A-BCDE中,AB=AC=CD=2BE=4,BE∥CD,CD⊥CB,AB⊥AC,O为BC中点,且AO⊥平面BCDE.
(1)求点B到平面ADE的距离.
(2)线段AC上是否存在一点Q,使OQ∥平面ADE 如果不存在,请说明理由;如果存在,求的值.
参考答案
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 距离问题
1.D ∵)=(4,3,6)==(0,1,0),
∴,
∴||=.
2.A ∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(1,2,3),则=(1,2,3).
又两平面的一个法向量n=(-1,0,1),
∴两平面间的距离d=.故选A.
3.A 由题得,=(0,-4,-2),||=2,则点A到直线l的距离为=3.故选A.
4.D 由题意知,BC=AC=AB=2,BB1=.
取棱AC的中点O,则BO⊥AC,BO=.
建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B1(,0,),C(0,1,0),所以=(,1,),=(0,-2,0),所以上的投影的长度为,故点C到直线AB1的距离为d=.
故选D.
5. BC 如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E,0,1,所以=(-1,0,0),=-,0,1.
设∠ABE=θ,则cosθ=,
sinθ=.
故点A到直线BE的距离d1=||sinθ=1×,故A错误,B正确.
由图易证得平面A1BD∥平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.
则=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
则所以令z=1,得y=1,x=1,
所以n=(1,1,1).
所以点D1到平面A1BD的距离d2=.
即平面A1BD与平面B1CD1间的距离为,故C正确.
因为,所以=.
又=(1,0,0),则,所以点P到AB的距离d3=,故D错误.
6.1 因为P(8,9,5),Q(1,2,2),所以=(-7,-7,-3).
又α的一个法向量为n=(4,3,-12),所以点Q到平面α的距离为=1.
7. 以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1).
设平面AB1C的法向量为m=(x1,y1,z1),=(1,0,1),=(1,1,0),由取x1=1,则y1=-1,z1=-1,可得m=(1,-1,-1).
设平面A1C1D的法向量为n=(x2,y2,z2),=(0,-1,1),=(1,0,1),由取x2=1,则y2=-1,z2=-1,可得n=(1,-1,-1).
因为m=n,平面AB1C与平面A1C1D不重合,故平面AB1C∥平面A1C1D.
因为=(0,1,0),所以平面AB1C与平面A1C1D间的距离为d=.
8. 以B为原点,BA,BE,BC所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),F(4,2,0),C(0,0,4),A(4,0,0),=(4,0,0),=(4,2,0),=(-4,0,4).
因为3AM=MC,所以,
则=(4,0,0)+(-4,0,4)=(3,0,1).
令a==(3,0,1),u==,0,所以a2=10,a·u=,则点M到直线BF的距离为.
9.B
以底面中心O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,
则O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,1,0),P(0,0,2).
设平面PAB的方程为Ax+By+Cz+D=0,将A,B,P三点的坐标代入计算得A=0,B=-D,C=-D,所以方程可化为-Dy-Dz+D=0,
即2y+z-2=0,所以d=.
10. 根据题意可得A1C1∥AC,故直线AD与A1C1所成的角即为直线AD与AC所成的角,即∠DAC=,则∠DCA=,
∴△CDA为等腰直角三角形,
∴CD=AD=1.
以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),B1(1,1,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),=(-1,1,0),=(0,1,1),=(1,0,-2),设平面ACE的法向量n=(x,y,z),
则令y=1,则x=1,z=-1,得n=(1,1,-1),
故点D1到平面ACE的距离为.
11. 以B为坐标原点,分别以BC,AB,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),A1(0,1,2),B1(0,0,2),C1(1,0,2),
∴=(0,1,1),=(1,0,0).
设m=(x,y,z)是的公垂线方向上的单位向量,
则·m=0,即y+z=0,①
·m=0,即x=0,②
易知x2+y2+z2=1,③
联立①②③,解得
不妨取m=0,,-,
又=(-1,0,-1),
则异面直线DA1与B1C1的距离d=.
12.解(1)以D1为原点,D1A1,D1C1,D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),C1(0,1,0),E1,,0,F1,,1,则=(0,1,0),=(-1,1,-1),=0,,-1,=-1,,0,=0,,0.
取a==(0,1,0),u=(-1,1,-1),则a2=1,a·u=,则点B到直线AC1的距离为.
(2)设点F到平面AEC1的距离为d,平面AEC1的法向量为n=(x,y,z),则
取z=1,则x=1,y=2,所以n=(1,2,1).
又=0,,0,故点F到平面AEC1的距离为d=.
13.解(1)∵AO⊥平面BCDE,BC 平面BCDE,
∴AO⊥BC.
∵O为BC中点,取ED中点M,∴OM∥CD.
∵CD⊥CB,∴OM⊥CB.
如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,∵AB⊥AC,且AB=AC,∴BC==4.则A(0,0,2),B(2,0,0),C(-2,0,0),E(2,2,0),D(-2,4,0),O(0,0,0),∴=(0,2,0),=(4,-2,0),=(2,2,-2).
设平面ADE的法向量n=(x,y,z),
则
令x=1,则y=2,z=3,即n=(1,2,3),
则点B到平面ADE的距离d=.
(2)存在.由(1)得=(-2,0,-2).
设=λ=(-2λ,0,-2λ),0≤λ≤1,则Q(-2λ,0,2(1-λ)),
∴=(-2λ,0,2(1-λ)).
若OQ∥平面ADE,则⊥n,
∴·n=-2λ+6(1-λ)=0,解得λ=,则.
故线段AC上存在一点Q,当时,OQ∥平面ADE.第2课时 夹角问题
A级 必备知识基础练
1.在直三棱柱ABC-A'B'C'中,侧棱长为4,底面是边长为4的正三角形,则异面直线AB'与BC'所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
2.若正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是棱A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为棱BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,SD⊥平面ABCD,棱AB,SC的中点分别为E,F.若直线EC与BF所成角的余弦值为,则SD=( )
A.2 B.
C.4 D.1
5.已知在菱形ABCD中,∠ABC=60°,将△ABC沿AC折起,使得平面B'AC⊥平面DAC,则二面角B'-CD-A的余弦值为( )
A.2 B.
C. D.
6.(多选题)在△ABC中,BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,将△ABC绕直线AB旋转至△ABP处,使平面ABP⊥平面ABC,则( )
A.在旋转的过程中,点C的运动轨迹长度为π
B.点B到平面PAC的距离为
C.直线AP与直线PC所成角为
D.直线AB与平面PBC所成角的正弦值为
7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,则异面直线AD1和DC1所成角的余弦值是 .
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,则平面AA1B1B与平面AD1E所成角的正弦值为 .
B级 关键能力提升练
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )
A.30° B.45° C.90° D.60°
10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积是底面积的6倍,E为四边形ABB1A1的中心,F为棱CC1的中点,则异面直线BF与CE所成角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°,若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,则平面APB与平面PBC夹角的余弦值为 .
12.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
13.如图,在五面体ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,CC1⊥平面ABC,AA1∥BB1.已知AB=AC=2,AA1=3,A1B1=A1C1,且BB1(1)证明:AA1⊥平面ABC;
(2)求平面A1B1C1与平面AA1C1C的夹角的余弦值的取值范围.
参考答案
第2课时 夹角问题
1. C 由题意,取线段AC的中点O,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,2,0),B'(0,2,4),C'(-2,0,4),
所以=(-2,2,4),=(-2,-2,4),所以cos<>=,
所以AB'与BC'所成角的余弦值为.
故选C.
2. D 取棱AC的中点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
令三棱柱的棱长为2,则OB=,A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(,0,2),所以=(0,1,2),=(0,-1,2),=(,-1,2).
设n=(x,y,z)为平面B1DC的法向量,由令z=1,则x=0,y=2,得n=(0,2,1).
设直线AD与平面B1DC所成的角为α,则sinα=|cos<,n>|=,
所以直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为.故选D.
3. B 以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则A1(0,0,1),E1,0,,D(0,1,0),
∴=(0,1,-1),=1,0,-.设平面A1ED的法向量为n1=(x,y,z),
则令x=1,则z=2,y=2.
∴n1=(1,2,2).
由图可知,平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),
∴cos=,则sin=,故平面A1ED与平面ABCD所成角的正弦值为.故选B.
4.C 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
设SD=t(t>0),则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,t),E(2,1,0),所以F0,1,,所以=(-2,1,0),=-2,-1,.
因为直线EC与BF所成角的余弦值为,所以|cos<>|=,解得t=4,即SD=4.故选C.
5.D 设菱形ABCD的边长为1,取线段AC的中点O,连接B'O,DO,因为∠AB'C=∠ADC=60°,所以B'O⊥AC,DO⊥AC.
又平面B'AC⊥平面DAC,平面B'AC∩平面DAC=AC,所以B'O⊥平面ACD,如图,建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),C,0,0,B'0,0,,D0,,0,所以=0,0,,=,0,-,=-,0.
设平面B'CD的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=1,得x=,y=1,则n=(,1,1).
易知平面CDA的一个法向量为=0,0,,所以|cos<,n>|=.故选D.
6.ABC 延长AB,过点C作CO⊥AB,交AB的延长线于点O,根据旋转的知识可知PO⊥AB,由于平面ABP⊥平面ABC,且交线为AB,PO 平面ABP,所以PO⊥平面ABC,由于CO 平面ABC,所以PO⊥CO,故AO,CO,PO两两相互垂直,由此建立如图所示空间直角坐标系,BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,所以tan∠CBO=2,∠CBO为锐角,解得cos∠CBO=,sin∠CBO=,
所以BO==1,CO=PO==2.
所以在旋转的过程中,点C的运动轨迹长度为×π×22=π,A选项正确.A(2,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),
=(-2,2,0),=(0,2,-2),=(1,0,0),
设平面PAC的法向量为m=(x1,y1,z1),
则取x1=1,则y1=1,z1=1,故m=(1,1,1),所以B到平面PAC的距离为,B选项正确.因为OA=OC=OP=2,则AP=PC=AC=2,所以△PAC是等边三角形,所以直线AP与PC所成角为,C选项正确.
=(1,0,-2),=(0,2,-2),设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2),则取x2=2,则y2=1,z2=1,故n=(2,1,1),设直线AB与平面PBC所成角为θ,则sinθ==,所以D选项错误.故选ABC.
7. 以A1为原点,A1B1,A1D1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,3),D1(0,2,0),D(0,2,3),C1(2,2,0),=(0,2,-3),=(2,0,-3),
故异面直线AD1和DC1所成角的余弦值为|cos<>|=.
8. 以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,则A(0,0,0),D(2,0,0),D1(2,0,2),E(0,2,1),则=(2,0,0),=(2,0,2),=(0,2,1).
由题可得是平面AA1B1B的一个法向量.
设平面AD1E的法向量n=(x,y,z),则取x=2,则y=1,z=-2,得n=(2,1,-2).
设平面AA1B1B与平面AD1E所成角为θ,所以平面AA1B1B与平面AD1E所成角的余弦值为cosθ=.
所以平面AA1B1B与平面AD1E所成角的正弦值为.
9.D
以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2,
∵M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,∴M(1,2,0),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),=(-1,0,1),=(-2,2,0),设异面直线AC和MN所成的角为θ,则cosθ=,又θ是锐角,
∴θ=60°.
∴异面直线AC和MN所成的角为60°.故选D.
10.B (方法1)如图所示,取A1B1的中点G,连接FG,EG.
因为E为四边形ABB1A1的中心,所以EG∥CF,且EG=CF,
所以四边形CFGE为平行四边形,所以FG∥CE,
所以∠BFG或其补角就是异面直线BF与CE所成的角.
设该三棱柱的底面边长为2,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积是底面积的6倍,
则3×2AA1=2××22×6,所以AA1=6.连接BG,
则BG=,BF=,FG==2.
在△BFG中,由余弦定理得,cos∠BFG==-,所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为.
(方法2)设AC=2,则由题得3×2CC1=2××22×6,
所以CC1=6.
以A为坐标原点,AC,AA1所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(,1,0),C(0,2,0),E,3,F(0,2,3),所以=(-,1,3),=,-,3,故|cos<>|=,
所以异面直线BF与CE所成角的余弦值为.
11. 在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.
因为∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB∥CD,故AB⊥PD.
又AP∩PD=P,AP 平面PAD,PD 平面PAD,
从而AB⊥平面PAD.
又PF 平面PAD,故AB⊥PF.
又PF⊥AD,AB∩AD=A,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,
可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点,取棱BC中点为E,以FA,FE,FP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
取PA=1,则AD=,PF=,所以A,0,0,P0,0,,B,1,0,C-,1,0.
所以=-,1,-,=(,0,0),=,0,-,=(0,1,0).
设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则取z=,则y=1,x=0,故n=(0,1,).
设m=(x1,y1,z1)是平面PAB的法向量,则
取z1=1,则x1=1,y1=0,故m=(1,0,1).
则cos=,
故平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.
12.解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),A(0,0,0),B(0,2,0),D(1,0,0),=(2,2,-2),
∵AB⊥平面ASD,故平面ASD的一个法向量为=(0,2,0),设SC与平面ASD所成的角为θ,则sinθ=|cos<>|=,故cosθ=,即SC与平面ASD所成角的余弦值为.
(2)平面SAB的一个法向量为m=(1,0,0),
∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD的一个法向量为 n=(x,y,z),
由
令z=1,则x=2,y=-1.故n=(2,-1,1).
设平面SAB和平面SCD的夹角为α,则cosα=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.
13.(1)证明因为AA1∥BB1,且AA1 平面BB1C1C,BB1 平面BB1C1C,所以AA1∥平面BB1C1C.
因为AA1 平面AA1C1C,平面AA1C1C∩平面BB1C1C=CC1,所以AA1∥CC1.
又CC1⊥平面ABC,
所以AA1⊥平面ABC.
(2)解由(1)可知,AA1⊥AB,AA1⊥AC.
又AB⊥AC,则以A为原点,AB,AC,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设B1(2,0,m),C1(0,2,n).
又A1(0,0,3),且A1B1=A1C1,所以22+(m-3)2=22+(n-3)2,即(m-3)2=(n-3)2.
又BB1所以=(2,0,m-3),=(0,2,3-m).
设平面A1B1C1的法向量为t1=(x,y,z),
则取x=m-3,则z=-2,y=3-m,即t1=(m-3,3-m,-2).
设平面A1B1C1与平面AA1C1C的夹角为θ,且平面AA1C1C的法向量t2=(1,0,0),
所以cosθ=.
因为=2+∈,+∞,所以平面A1B1C1与平面AA1C1C的夹角的余弦值的取值范围是0,.1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行
A级 必备知识基础练
1.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,CD=CB=1,CC'=2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量是平面DBC'的一个法向量的是( )
A.(1,2,1) B.(2,-2,1)
C.(1,1,1) D.(2,2,1)
2.若直线l的方向向量为a=(2,1,m),平面α的法向量为n=1,,2,且l∥α,则m=( )
A.- B.- C.4 D.
3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB( )
A.与坐标平面xOy平行
B.与坐标平面yOz平行
C.与坐标平面xOz平行
D.与坐标平面yOz相交
4.(多选题)直线l的方向向量是a=(1,2,0),若l⊥α,则平面α的法向量可以是( )
A.n=(1,2,0)
B.n=(-2,-4,0)
C.n=(2,-1,0)
D.n=(2,-1,2)
5.(多选题)若平面α⊥β,平面α的法向量为n=(2,1,-4),则平面β的一个法向量可以是( )
A.(2,0,1) B.(-2,-1,4)
C.(1,2,1) D.1,,-2
6.(多选题)已知平面α过点M(1,,2),其法向量m=(,1,0),则下列点不在平面α内的是( )
A.S(2,0,0)
B.Q(2,0,4)
C.R(0,2,)
D.T(-2,,1)
7.法向量分别是n=(1,-1,2),m=(-2,0,3)的两个平面的位置关系是 .
8.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z= .
B级 关键能力提升练
9.(多选题)已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中错误的是( )
A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,-2,4),则l∥m
B.若直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α
C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1
10.对空间向量a,b,有如下说法:
①=;
②若a⊥平面α,b⊥平面α,且|a|=|b|,则a=b;
③若a≠b,则|a|≠|b|;
④若a,b都是直线l的方向向量,则a∥b.
其中说法正确的是 .
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为线段B1C1的中点.
(1)求证:AA1⊥D1E;
(2)求平面D1BE的法向量.
12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
参考答案
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
及空间中直线、平面的平行
1.D 由题意得D(1,0,0),B(0,1,0),C'(0,0,2),
则=(-1,1,0),=(-1,0,2).
设平面DBC'的一个法向量是n=(x,y,z),
由令z=1,则x=2,y=2,
所以平面DBC'的一个法向量是n=(2,2,1).故选D.
2.B 若l∥α,则有a⊥n,即a·n=2++2m=0,解得m=-.故选B.
3.B 因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以=(0,5,-3),而坐标平面yOz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面yOz平行.
4.AB 因为l⊥α,故直线l的方向向量与平面α的法向量平行,
对于A选项,n=(1,2,0)与a=(1,2,0)平行,满足要求,故A正确;
对于B选项,n=-2a,故n=(-2,-4,0)与a=(1,2,0)平行,满足要求,故B正确;
对于C选项,(2,-1,0)·(1,2,0)=2-2=0,故n=(2,-1,0)与a=(1,2,0)垂直,不符合要求,故C错误;
对于D选项,(2,-1,2)·(1,2,0)=2-2=0,故n=(2,-1,2)与a=(1,2,0)垂直,不符合要求,故D错误,故选AB.
5.AC 因为α⊥β,所以n=(2,1,-4)与平面β的法向量也垂直.
对于A,因为(2,1,-4)·(2,0,1)=4-4=0,满足题意,故A正确;
对于B,因为(2,1,-4)·(-2,-1,4)=-4-1-16=-21≠0,故B错误;
对于C,因为(2,1,-4)·(1,2,1)=2+2-4=0,满足题意,故C正确;
对于D,因为(2,1,-4)·1,,-2=2++8=≠0,故D错误.故选AC.
6.CD 对于A,因为S(2,0,0),则=(-1,,2),故·m=-1××1+2×0=0,点S在平面α内;
对于B,因为Q(2,0,4),则=(-1,,-2),故·m=-1××1-2×0=0,点Q在平面α内;
对于C,因为R(0,2,),则=(1,-2,2-),
故·m=1×+(-2)×1+(2-)×0=2-2≠0,点R不在平面α内;
对于D,因为T(-2,,1),则=(3,0,1),故·m=3×+0×1+1×0=3≠0,点T不在平面α内.故选CD.
7.相交且不垂直 假设存在λ∈R,使得n=λm,则显然方程组无解,
故向量n,m不平行,即两个平面不平行.
因为n·m=-2+6=4≠0,所以向量n,m不垂直,
所以两个平面的位置关系是相交且不垂直.
8.2∶3∶(-4) 因为=1,-3,-,=-2,-1,-,又因为a·=0,a·=0,
所以解得
所以x∶y∶z=y∶y∶-y=2∶3∶(-4).
9.BCD 对于A,b=2a,则a∥b,∴l∥m,故A中说法正确;
对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,则a⊥n,∴l∥α或l α,故B中说法错误;
对于C,若n1=λn2(λ≠0),则(0,1,3)=λ(1,0,2),得此方程组无解,∴α∥β不成立,故C中说法错误;
对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0),
∵n=(1,u,t)是平面α的法向量,
∴解得u=,t=,∴u+t=,故D中说法错误.故选BCD.
10.①④ 由两向量夹角的定义知①正确;
只有a,b同向时才能得出a=b,故②错误;
若两向量不相等,但其模可能相等,故③错误;
由方向向量定义知④正确.
11.(1)证明因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,故可得AA1⊥平面A1B1C1D1.
又D1E 平面A1B1C1D1,故AA1⊥D1E.
(2)解以D为坐标原点,AD,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.
则D1(0,0,2),B(2,2,0),E(1,2,2),=(1,2,0),=(-1,0,2).
设平面D1BE的法向量为m=(x,y,z),则取x=2,可得y=-1,z=1,
故平面D1BE的一个法向量为(2,-1,1).
12.证明如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1),=(2,0,0).
(1)(方法1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则取z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).
因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1.
又因为FC1 平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(方法2)设=λ+μ,则(0,2,1)=λ(2,0,0)+μ(0,2,1),所以解得=0·,所以是共面向量.
又因为DA∩AE=A,FC1 平面ADE,所以FC1∥平面ADE.
(2)设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,
则
取z2=2,则y2=-1,所以n2=(0,-1,2).
因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.