四川省遂宁市射洪中学2024届高三下学期6月考前热身试题 数学（理）（PDF版含答案）

1 lnx> -2，即 )， 7分
x x
取 x = a2q +1-a 2 > 1，f xq = x 1q- x + alnxq> xq- 1+ 2a xq= 0.(其中 lnx≤ x- 1≤ x，所以q
ln x< x，即 lnx< 2 x )， 8分
所以 f(x)在 xp,p 上存在唯一零点 x1，即在 0,p 上存在唯一零点 x1，在 q,xq 上存在唯一零点 x3，即
在 q,+∞ 上存在唯一零点 x3，且 x2= 1， 9分
所以 f(x1) = x 11- x + alnx1= 0，1
f(x3) = x - 13 x + alnx3= 0 f
1 = 1，又 x x -
1 + aln 11 x =- x -
1
1 x +alnx1 = 0， 10分3 1 1 1 1
x1
1 1 1 1
所以 x 也是函数的零点，显然 x ≠ x1且 x ≠ 1，所以 x = x3，即 x1x3= 1， 11分1 1 1 1
所以 x1x3= x22，所以 x1，x2，x3成等比数列. 12分
理科热身试题答案 第3页（共4页）
22. (1)因为 x=ρcosθ = ，即 ρ
2= x2+ y2，
y ρsinθ
所以 ρ2 3cos2θ-1 = ρ2 3 2cos2θ-1 -1 = 6ρ2cos2θ- 4ρ2= 4， 2分
即 6x2- 4 x2+y2 = 4，即 2x2- 4y2= 4，
x2
整理可得C的直角坐标方程为 2 - y
2= 1. 4分
(2)点 1, π2 在直角坐标系中的坐标为 0,1 . 5分
当 l的斜率不存在时，显然与C没有公共点，不合题意； 6分
当 l的斜率存在时，设 l的方程为 y= kx+ 1，与C联立有 1-2k2 x2- 4kx- 4= 0.
当 1- 2k2= 0 k=± 2即 2 时，l与C的渐近线平行，l与C仅有一个公共点，
此时 l的方程为 x- 2y+ 2= 0或 x+ 2y- 2= 0.
当 1- 2k2≠ 0时，若线 l与C仅有一个公共点，则△= 16k2+ 16 1-2k2 = 0，
解得 k=±1，故 l的方程为 x- y+ 1= 0或 x+ y- 1= 0. 9分
x=ρcosθ,将 = 代入 l的方程得到极坐标方程为：ρcosθ- 2ρsinθ+ 2= 0y ρsinθ
或 ρcosθ+ 2ρsinθ- 2= 0或 ρcosθ- ρsinθ+ 1= 0或 ρcosθ+ ρsinθ- 1= 0.
10分
23. (1)解：由函数 f x = 2 x-1 + x，则不等式 f x ≥ 3- 2x等价于 2 x-1 ≥ 3- 3x，
x>1 x≤1则 - ≥ - 或 - + ≥ - ， 4分2x 2 3 3x 2x 2 3 3x
解得 x> 1或 x= 1，所以不等式的解集为 x|x≥1 . 5分
-x+2, x≤1(2)解：因为 f x = 2 x-1 + x= ，所以 f(x)min= f 1 = 1， 8分3x-2, x>1
因为 f x ≥m2-m- 5，所以m2-m- 5≤ 1，即m2-m- 6≤ 0，解得-2≤m≤ 3，
所以m的取值范围为 -2,3 . 10分
理科热身试题答案 第4页（共4页）射洪中学高2021级高考考前热身试题
数学试题 (理科)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，请将答案涂在答题卡上。
1.已知集合A= x∈N ∣x2-5x-24≤0 ,B={-2,0,2,4},则A∩B= ( )
A. {-2,0,2,4} B. {0,2,4} C. {2,4} D. 0,4
2
2.已知复数 z= 1+ i ,则复数 z的虚部是 ( )
A. 1 B. -1 C. i D. - i
3.曲线 f(x) = 3x2- ex在 0,f 0 处的切线方程为 ( )
A. x+ y+ 1= 0 B. x- y+ 1= 0 C. x- y- 1= 0 D. x+ y- 1= 0
a b a b 2π

4.已知 ， 为单位向量，则“ ， 的夹角为 3 ”是“ a-b = 3”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 1-2x n 的展开式中只有第 6项的二项式系数最大，则n= ( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
6.如图的程序框图表示求 22× 32× 52× 92× 172× 332的值，则判断框内可以填的条件为 ( )
A. i≤ 30
B. i≤ 35
C. i≤ 66
D. i≤ 136

7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c，且 a2+ c2- b2= ac，ac= 4，则BA BC =
( )
A. 3 B. - 3 C. 2 D. - 2
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8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )
A. 3π 2
B. 4π 2
主视图 左视图
C. 2π+ 4
1
D. 3π+ 4
俯视图
9.已知函数 y= sin ωx+φ ω>0,φ∈ 0,2π 的一条对称轴为 x=- π6 ，且 f x
4π
在 π, 3 上单调，则ω的
最大值为 ( )
A. 5 B. 2 C. 8 D. 103 3 3
10.在等差数列 an 中，a1=-9，a5=-1．记Tn= a1a2 an(n= 1,2, )，则数列 Tn ( )
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
x f x f x
11.已知函数 f x = ex - ax，x∈ 0,+∞

x < x 1 2 ，当 1 2时，不等式 x < x 恒成立，则实数 a的取值范2 1
围为 ( )
A. 0, e B. 2,e C. -∞, e 3 2 D. -∞,e
x2 y
2
12.已知F1，F2分别是双曲线 2 - 2 = 1 a>0，b>0 的左、右焦点，点O为坐标原点，过F1的直线分别交a b

双曲线左、右两支于A，B两点，点C在 x轴上，CB= 3F2A，BF2平分∠F1BC，其中一条渐近线与线段AB
交于点P，则 sin∠POF2= ( )
A. 41 B. 42 C. 437 7 7 D.
2 11
7
二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在答题纸上)．
13.在区间 0
1 1，2 随机取1个数，则取到的数小于 3 的概率为 .
14.从 5名男生和 6名女生中，选出 3名代表，要求 3名代表中既有男生又有女生的选法有 种.
15.点M x,y 为圆 x2+ y2-
y
4x+ 3= 0上的动点，则 x 的取值范围为 .
x- 20243 1
16.已知函数 f(x) = x ，数列 an 满足 a1= a2= 1，an+3= an n∈N
* ，f a2 + f a3+a4 = 0，则 a =3 +1 ii=1
．
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三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，每个试题考生都
必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共 60分．
17. (本小题满分 12分)
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，已知 a= 7,c= 8.
(1)若 sinC= 47 ，求角A的大小；
(2)若 b= 5，求AC边上的高.
18. (本小题满分 12分)
甲、乙两人准备进行台球比赛，比赛规定：一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲
2 1
赢的概率为 3 ，若乙开球，则本局甲赢的概率为 3 ，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，
第 1局由甲开球.
(1)求第 3局甲开球的概率；
(2)设前 4局中，甲开球的次数为X，求X的分布列及期望.
19. (本小题满分 12分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC= 2,AB⊥BC,CC1= 2 3，BE= λBB1(0< λ< 1)．
(1)当 λ= 13 时，求证：CE⊥平面ABC1；
(2)设二面角B-AE-C的大小为 θ，求 sinθ的取值范围．
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20. (本小题满分 12分)
设抛物线C:y2= 2px(p> 0)的焦点为F，已知点F到圆E:(x+ 3)2+ y2= 1上一点的距离的最大值为 6.
(1)求抛物线C的方程.
(2)设O是坐标原点，点P 2,4 ,A,B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA,PB与 y轴分别相交于M ,
N两点 (异于点O)，且O是线段MN的中点，试判断直线AB是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不
是，说明理由.
21. (本小题满分 12分)
1
已知函数 f(x) = x- x + alnx，其中 a∈R.
(1)当 x∈ 1,+∞ 时，f(x)≥ 0，求 a的取值范围.
(2)若 a<-2，证明：f(x)有三个零点 x1，x2，x3(x1< x2< x3)，且 x1，x2，x3成等比数列.
(二)选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．
22.【选修 4- 4：坐标系与参数方程】(10分)
在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
ρ2 3cos2θ-1 = 4.
(1)写出C的直角坐标方程；
(2) π在极坐标系中，若直线 l过点 1, 2 ，且与C仅有一个公共点，求 l的极坐标方程.
23.【选修 4- 5：不等式选讲】(10分)
已知函数 f x = 2 x-1 + x.
(1)解不等式 f x ≥ 3- 2x；
(2)若 f x ≥m2-m- 5，求m的取值范围
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