射洪中学高2021级高考考前热身试题
数学试题 (文科)参考答案
BBAD，CBCD CBDC 13. 2， 3 14.-
3
3 ≤ k≤
3
3 15.(2) (3) (4). 16.2.
12.原条件即为 x1 f x1 < x2 f x2 对 x1< x2恒成立，从而条件等价于 xf x 在 0,+∞ 上单调递增.
设 g x = xf x = ex- ax2，则 g x = ex- 2ax.
一方面，若 g x = xf x 在 0,+∞ 上单调递增，则 g x ≥ 0对 x> 0恒成立.
所以 g 1 ≥ 0，即 e- 2a≥ 0 e，得 a≤ 2 ；
e ex x-1 ex
另一方面，若 a≤ 2 ，设 h x = ，则 h
x x = 2 .x
从而当 0< x< 1时 h x < 0，当 x> 1时 h x > 0. 故 h x 在 0,1 上递减，在 1,+∞ 上递增.
x
所以当 0< x< 1或 x> 1 e时，有 h x > h 1 ，即 x > e，进一步可得
x
g x = ex- 2ax= x ex - 2ax> ex- 2ax≥ ex- ex= 0.
这表明 g x = xf e x 在 0,1 和 1,+∞ 上递增，故在 0,+∞ 上递增.综上，a的取值范围是 -∞, 2 .
16.由题意可知：f(x)的定义域为R，
x -x x x
且 f(x) + f(-x) = 3 -1 + 3 -1 = 3 -1 + 1-3x -x = 0，即 f(x) =-f(-x)，3 +1 3 +1 3x+1 1+3x
x
可知 f(x)为定义在R上的奇函数；且 f(x) = 3 -1x = 1-
2
，
3 +1 3x+1
因为 y= 3x在R上单调递增，可知 f(x)在R上单调递增；
综上所述：f(x)在R上单调递增，且为奇函数.因为 f a2 + f a3+a4 = 0，
则 f a3+a4 =-f a2 = f -a2 ，可得 a3+ a4=-a2，即 a2+ a3+ a4= 0，
由 an+3= an n∈N * 可知：3为数列 an 的周期，则 an+ an+1+ an+2= 0，
2024
且 2024= 3× 674+ 2，所以 ai= a1+ a2= 2，故答案为：2.
i=1
a c 7×
4
17. (1)由正弦定理， = ，即 sinA= asinCc =
7
8 =
1
2 ， 3分sinA sinC
因 a< c，故Aa2+b2-c2(2) cosC= = 49+25-64 1如图，由余弦定理， 70 = 7 ， 8分2ab
4
知角C是锐角，则 sinC= 1-cos2C = 7 3， 10分
作BH⊥AC于点H，
文科热身试题答案 第1页（共4页）
在Rt△BCH中，BH= asinC= 7× 47 3= 4 3 ,
即AC边上的高是 4 3. 12分
2 200× 30×40-70×60
2
18.【解析】(1)根据列联表中的数据,得K = 100×100×90×110 2分
= 20011 ≈ 18.182 4分
因为 18.182> 6.635 5分
所以有 99%的把握认为阅读理解成绩是否优秀与坚持进行阅读训练有关. 6分
(2) , x = 88+92+88+96+96+90+90+94+94+92由表中数据 得 10 = 92 7分
y = 80+110+74+138+132+98+102+122+114+11010 = 108 8分
10
xiyi-10xy
r= i=1 ≈ 99896-10×92×108所以 551 ≈ 0.97 11分10 10 x2i-10x2i=1 y
2-10y 2i
i=1
所以相关系数 r的值约为 0.97 12分
19. (1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，
所以AA1⊥平面ABCD， 2分
1
所以VA-BDE=VE-ABD= 3 AE S△ABD=
1
3 ×
3 1
2 × 2 × 2× 2= 1. 5分
(2)当P为DD1的中点时满足平面PA1C 平面EBD， 6分
A1 D1
C1
B1
E P
A D
B O C
设AC∩BD=O，连接OE，
因为ABCD为正方形，所以O为AC的中点，
又E为棱AA1的中点，所以OE A1C，
文科热身试题答案 第2页（共4页）
又OE 平面PA1C，A1C 平面PA1C，所以OE 平面PA1C， 8分
又P为DD1的中点，所以DP A1E且DP=A1E，所以DPA1E为平行四边形，所以DE A1P，
又DE 平面PA1C，A1P 平面PA1C，所以DE 平面PA1C， 10分
又DE∩OE=E，DE,OE 平面BDE，
所以平面PA1C 平面EBD. 12分
p
20. (1)点F到圆E上点的最大距离为 EF + 1，即 2 +3 + 1= 6，得 p= 4,
故抛物线C的方程为 y2= 8x. 5分
(2)设M (0,m),N (0, -m)，则PA方程为 y= 4-m2 x+m，PB
4+m
方程为 y= 2 x-m, 6分
16 16m 4m
联立PA与抛物线C的方程可得 y2- 4-my+ 4-m = 0，即 y-4 y- 4-m = 0,
y2 2
因此A点纵坐标为 yA=
4m 2m
4-m，代入抛物线方程可得A点横坐标为 x =
A
A 8 = ， 4-m 2
8分
2m2 2
则A点坐标为 , 4m 4-m 2 4-m , B
2m ,- 4m同理可得 点坐标为 2 4+m , 9分 4+m
y -y 16-m2
因此直线AB的斜率为 k= A Bx -x = 2 , 10分A B m
2 2
代入B 4m 16-m 2m点坐标可以得到AB方程为 y+ 4+m = 2 x- 2 , 11分m 4+m
16-m2
整理可以得到 y= 2 x- 2,因此AB经过定点 (0, -2). 12分m
21. (1). f x = x a- lnx解：因为 x 的定义域为 0,+∞ ，可得 f
x = a- 1 = ax-1x x . 1分
当 a> 0 1时，令 f x = 0，可得 x= a； 2分
当 x∈ 0, 1a 时，f
x < 0，f x 单调递减，当 x∈ 1a ,+∞ 时，f
x > 0，f x 单调递增， 4分
x= 1故当 a 时，f x
1
取得极小值，也是最小值，且最小值为 f a = 1+ lna，无最大值. 5分
kex x(2) a= 1 f x ≤ -x x- lnx≤ ke -x解：当 时，由 x ，可得 x ，
2
整理得 kex≥ x2+ x- xlnx k≥ x +x-xlnx，即 x ， 7分e
2
h x = x +x-xlnx令 ，
ex
文科热身试题答案 第3页（共4页）
2x+1-lnx-1 e
x- x2+x-xlnx ex x-lnx 1-x
则 h x =
x 2 = x ， 9分 e e
由 (1)知，当 a= 1时，f x = x- lnx的最小值为 f 1 = 1> 0，即 x- lnx> 0恒成立， 10分
所以当 x∈ 0,1 时，h x > 0，h x 单调递增；当 x∈ 1,+∞ 时，h x < 0，h x 单调递减.
11分
故当 x= 1 2时，h x 取得最大值 h 1 = e ，即 k≥
2
e ，故 k
2
的取值范围为 e ,+∞ . 12分
( ) x=ρcosθ22. 1 因为 = ，即 ρ
2= x2+ y2，
y ρsinθ
所以 ρ2 3cos2θ-1 = ρ2 3 2cos2θ-1 -1 = 6ρ2cos2θ- 4ρ2= 4， 2分
即 6x2- 4 x2+y2 = 4，即 2x2- 4y2= 4，
C x
2
整理可得 的直角坐标方程为 22 - y = 1. 4分
(2) 1, π点 2 在直角坐标系中的坐标为 0,1 . 5分
当 l的斜率不存在时，显然与C没有公共点，不合题意； 6分
当 l的斜率存在时，设 l的方程为 y= kx+ 1，与C联立有 1-2k2 x2- 4kx- 4= 0.
当 1- 2k2= 0即 k=± 22 时，l与C的渐近线平行，l与C仅有一个公共点，
此时 l的方程为 x- 2y+ 2= 0或 x+ 2y- 2= 0.
当 1- 2k2≠ 0时，若线 l与C仅有一个公共点，则△= 16k2+ 16 1-2k2 = 0，
解得 k=±1，故 l的方程为 x- y+ 1= 0或 x+ y- 1= 0. 9分
x=ρcosθ,将 = 代入 l的方程得到极坐标方程为：ρcosθ- 2ρsinθ+ 2= 0y ρsinθ
或 ρcosθ+ 2ρsinθ- 2= 0或 ρcosθ- ρsinθ+ 1= 0或 ρcosθ+ ρsinθ- 1= 0.
10分
23. (1)解：由函数 f x = 2 x-1 + x，则不等式 f x ≥ 3- 2x等价于 2 x-1 ≥ 3- 3x，
x>1 x≤1则 - ≥ - 或 - + ≥ - ， 4分2x 2 3 3x 2x 2 3 3x
解得 x> 1或 x= 1，所以不等式的解集为 x|x≥1 . 5分
-x+2, x≤1
(2)解：因为 f x = 2 x-1 + x= ，所以 f(x) = f 1 = 1， 8分3x- min2, x>1
因为 f x ≥m2-m- 5，所以m2-m- 5≤ 1，即m2-m- 6≤ 0，解得-2≤m≤ 3，
所以m的取值范围为 -2,3 . 10分
文科热身试题答案 第4页（共4页）射洪中学高2021级高考考前热身试题
数学试题 (文科)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，请将答案涂在答题卡上。
1.已知集合A= x∈N ∣x2-5x-24≤0 ,B={-2,0,2,4},则A∩B= ( )
A. {-2,0,2,4} B. {0,2,4} C. {2,4} D. 0,4
2
2.已知复数 z= 1+ i ,则复数 z的虚部是 ( )
A. 1 B. -1 C. i D. - i
3.曲线 f(x) = 3x2- ex在 0，f 0 处的切线方程为 ( )
A. x+ y+ 1= 0 B. x- y+ 1= 0 C. x- y- 1= 0 D. x+ y- 1= 0
4.某同学测得连续 7天的最低气温分别为 1，2，2，m，6，2，8(单位：℃)，若这组数据的平均数是中位数的
2倍，则m= ( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
5.已知 a，b为单位向量，则“a b 2π ， 的夹角为 3 ”是“ a-b = 3”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.如图的程序框图表示求 22× 32× 52× 92× 172× 332的值，则判断框内可以填的条件为B ( )
A. i≤ 30
B. i≤ 35
C. i≤ 66
D. i≤ 136
7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为 a,b,c，且 a2+ c2- b2= ac，ac= 4，则BA BC =
( )
A. 3 B. - 3 C. 2 D. - 2
文科热身试题 第1页（共4页）
8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( )
A. 3π 2
B. 4π
2
主视图 左视图
C. 2π+ 4
1
D. 3π+ 4
俯视图
9.已知函数 y= sin ωx+φ ω>0，φ∈ 0,2π 的一条对称轴为 x=- π6 ，且 f x 在 π
4π
，3 上单调，则ω的
最大值为 ( )
A. 5 8 103 B. 2 C. 3 D. 3
10.在等差数列 an 中，a1=-9，a5=-1．记Tn= a1a2 an(n= 1,2, )，则数列 Tn ( )
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
2 y2
11.已知F1,F2是椭圆C: x2 + 2 = 1(a> b> 0)的左右焦点，C上两点A,B满足：AF2= 2F2B，cos∠AF1Ba b
= 45 ，则椭圆C的离心率是 ( )
A. 34 B.
7 C. 2 54 3 D. 3
ex f x f x
12.已知函数 f x = x - ax，x∈ 0,+∞
1 2
，当 x1< x2时，不等式 x < x 恒成立，则实数 a的取值范2 1
围为 ( )
A. 0, e B. 2,e C. -∞, e 3 2 D. -∞,e
二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在答题纸上)．
1 1
13.在区间 0，
2 随机取1个数，则取到的数小于 3 的概率为 .
y
14.点M x,y 为圆 x-2 2 + y2= 1上的动点，则 x 的取值范围为 .
15.已知 α,β是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m⊥n，m⊥ α，n β，那么 α⊥ β．
(2)如果m⊥ α，n α，那么m⊥n．
(3)如果 α β，m α，那么m β．
(4)如果m n，α β，那么m与 α所成的角和n与 β所成的角相等．
其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号)
x- 20243 1
16.已知函数 f(x) = ，数列 a 满足 a = a = 1，a = a n∈N * ，f a + f a +a = 0，则 a =
3x+1 n 1 2 n+3 n 2 3 4 ii=1
．
文科热身试题 第2页（共4页）
三、解答题：共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，每个试题考生都
必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共 60分．
17. (本小题满分 12分)
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，已知 a= 7,c= 8.
(1)若 sinC= 47 ，求角A的大小；
(2)若 b= 5，求AC边上的高.
18. (本小题满分 12分)
众所周知,阅读能力在各个领域的作用都较为突出,开展阅读能力的培养与训练,对个人综合能力的提
升有很大帮助.
(1)某研究机构想知道阅读训练对阅读能力的提升有多大的帮助,随机抽查了 100名坚持进行阅读训练
的同学和 100名没有坚持进行阅读训练的同学,对他们进行阅读理解能力测试 (满分 100分,规定不低于
80分为优秀),得到如下 2× 2列联表:
不优秀 优秀
坚持进行阅读训练 30 70
没有坚持进行阅读训练 60 40
问:能否有 99%的把握认为阅读理解成绩是否优秀与坚持进行阅读训练有关
(2)数学学科具有较强的逻辑性和抽象性,为了做进一步研究,该机构又从阅读理解成绩优秀的同学中
随机选取了 10名同学,对这 10名同学进行了数学测试 (满分 150分),这 10名同学的两次测试成绩如下
表:
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
阅读理解成绩 x (分) 88 92 88 96 96 90 90 94 94 92
数学成绩 y (分) 80 110 74 138 132 98 102 122 114 110
为判断数学成绩 y与阅读理解成绩 x的线性相关性,请利用这 10名同学的成绩,求相关系数 r(精确到
0.01).
n ad-bc 2
附:①K 2= ,其中n= a+ b+ c+ d.
a+b c+d a+c b+d
②独立性检验临界值表:
P K 2≥k0 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
n
xiyi-nxy 10 10 10
③ r= i=1 .④ xiyi= 99896, x2i-10x 2n n i=1 i=1 y
2 2
i-10y ≈ 551.
2- 2 2- 2 i=1 xi nx yi nyi=1 i=1
文科热身试题 第3页（共4页）
19. (本小题满分 12分)
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱AA1的中点，AB= 2,AA1= 3．
(1)求三棱锥A-BDE的体积．
(2)在DD1上是否存在一点P，使得平面PA1C 平面EBD.如果存在，请说明P点位置并证明.如果不
存在，请说明理由. A1 D1
C1
B1
E
A D
B C
20. (本小题满分 12分)
设抛物线C:y2= 2px(p> 0)的焦点为F，已知点F到圆E:(x+ 3)2+ y2= 1上一点的距离的最大值为 6.
(1)求抛物线C的方程.
(2)设O是坐标原点，点P 2,4 ,A,B是抛物线C上异于点P的两点，直线PA,PB与 y轴分别相交于M ,
N两点 (异于点O)，且O是线段MN的中点，试判断直线AB是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不
是，说明理由.
21. (本小题满分 12分)
已知函数 f x = x a- lnxx a>0 .
(1)讨论 f x 的最值；
kex(2)若 a= 1 f x ≤ -x，且 x ，求 k的取值范围.
(二)选考题：共 10分．请考生在第 22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．
22.【选修 4- 4：坐标系与参数方程】(10分)
在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
ρ2 3cos2θ-1 = 4.
(1)写出C的直角坐标方程；
(2)在极坐标系中，若直线 l过点 1, π2 ，且与C仅有一个公共点，求 l的极坐标方程.
23.【选修 4- 5：不等式选讲】(10分)
已知函数 f x = 2 x-1 + x.
(1)解不等式 f x ≥ 3- 2x；
(2)若 f x ≥m2-m- 5，求m的取值范围.
文科热身试题 第4页（共4页）
