北师大版数学八年级下册第一章 三角形的证明 习题课件（11份打包）

(共47张PPT)
第一章 三角形的证明
1 积累与提高
例1 如图， ， ， 过点 ， 于点 ， 于点 ， .求证： .
【点拨】连接 ，根据等腰三角形的性质和判定，可得出 ，再根据“HL”即可推出两三角形全等.
【证明】连接 .
，
.
，
.
.
， ，
.
在 和 中，

.
方法归纳
全等三角形的性质为证明线段（角）相等提供了依据.判定两个三角形全等的方法主要有SSS，SAS，ASA，AAS.在证明两直角三角形全等时，首先要想到“HL”，至于选择哪种方法证明全等，要根据题目条件而定.注意：三角形全等的判定方法中，至少有一边对应相等.
例2 如图，在 中， ， ，点 ， 分别是 ， 上的不动点，且 ，点 是 上的一动点.
（1）当 时（如图甲所示），试求 的度数.
（2）当 时（如图乙所示）， 的度数还会与（1）中的结果相同吗？若相同，请写出求解过程；若不相同，请说明理由.
【点拨】（1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可求出 和 的度数；（2）先证明 ，从而得到 ，再利用 是 的外角寻找 与 的关系即可解决问题.
（1）【解】在图甲中， ， ，
.
， .
又 ， ，
.同理可得 .
.
（2）【解】 的度数与（1）中的结果相同.
理由： ， ，
.
， .
. .
又 , , .
方法归纳
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，是证明两角相等的常用方法之一；等腰三角形中经常要利用全等三角形证明边角关系.
例3 如图，在四边形 中， ， ， ， ， .试判断 的形状，并说明理由.
【点拨】首先利用勾股定理计算出 的长，再利用勾股定理的逆定理得出 ，至此即可判断 的形状.
【解】 是直角三角形.
理由： ， ， ，
.
， ，
.
.
是直角三角形.
方法归纳
勾股定理的逆定理的作用是判断一个三角形是不是直角三角形或直接判断一个三角形的最大边所对的角是不是直角.若 的三边长满足 ，则 是直角三角形，且 边所对的角为直角.
例4 已知 平分 ， 的顶点 在射线 上，射线 交射线 于点 ，射线 交射线 于点 .
（1）如图1，若 ， ，请直接写出线段 与 的数量关系： .
图1
（2）如图2，若 ， ，试判断线段 与线段 的数量关系并加以证明.
图2
（3）若 ，当 满足什么条件时，（2）中得到的结论仍然成立？请直接写出 需满足的条件.
【点拨】（1）由角平分线的性质定理即可判断.（2）作 于点 ， 于点 ，只要证明 即可得到结论.（3）由（2）的证明过程，易得 需满足的条件.
（1）【解】
（2）【解】结论： .
理由：如图，作 于点 ， 于点 .
平分 ， ， ，
.
，
.
图2
，
.
.
在 和 中，

.
.
（3）【解】当 时，（2）中得到的结论仍然成立.
方法归纳
当图形中有角平分线或中点时，常用的辅助线有：
（1）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形；
（2）过角平分线上一点向角两边作垂线；
（3）如有与角平分线垂直的线段，常把它延长与角的两边相交构成等腰三角形；
（4）有中线或有以线段的中点为端点的线段时，常把它延长一倍，构造全等三角形.
例5 如图， ， 分别垂直平分线段 ， ，垂足分别为 ， ，且 ， ， ，求 的度数.
【点拨】连接 ， ，根据线段垂直平分线的性质可得 ， .由 易得 ，从而有 ，再根据已知条件即可求 的度数.
【解】连接 ， .
， 分别垂直平分 ， ，
， .
，
.
.
设 ， ，
， .
.
.
方法归纳
遇到垂直平分线时，就要想到垂直平分线的性质；要证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上的任意两点到这条线段的两个端点的距离相等.
本章知识是初中数学“三角形”中的重要内容，当然也是中（学）考的必考内容，其中等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定，线段的垂直平分线的性质与判定、角平分线的性质与判定等知识是考查的重点，各种题型均有涉及，常常结合其他几何知识进行考查.
A.2 B.3 C.4 D.5
考点一 等腰三角形（或等边三角形）的性质与判定
B
考点二 直角三角形与勾股定理的应用

A
考点三 线段的垂直平分线的性质

1.如图，在 中， ， ， ，点 是 边上一动点，连接 ，则 的长度不可能是( )
（第1题图）
A. B. C. D.
D
2.如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于 ， 两点，连接 ，交 于点H.以点 为圆心， 的长为半径画的弧恰好经过点C.以点 为圆心， 的长为半径画弧交 于点 ，连接 .若 ，则 的度数为( )
（第2题图）
A. B. C. D.
C
3.如图，在 中， ， ， ， 为 的平分线，则 的面积为( )
（第3题图）
A. B. C. D.
D
4.如图， 是 内一点，且点 到 三边 ， ， 的距离相等，即 .若 ，则 的度数为_______.
（第4题图）

5.如图，在 中， ，点 在 上，且 ，则 _____度.

（第5题图）
6.已知 中， ， ， ，则 的面积等于
________________.
或
7.如图，在 中， ，点 是 边的中点，连接 ， 平分 交 于点 ，过点 作 交 于点 .
（第7题图）
（1） 若 ，求 的度数；
解： ， .
， .
， ，
. .
.
（2） 求证： .
证明： 平分 ，
.
， .
. .
8.如图，在 中， 平分 ，点 在 的垂直平分线上.
（第8题图）
（1） 若 ， ，求 的周长；
解：∵点 在 的垂直平分线上，
.
.
的周长 .
（2） 若 ， ，求 的度数.
解：设 .
， .
， .
平分 ，
.
，
.
. .
9.如图，在 中， ， ， 平分 ，延长 至 ，使 .
（1） 求证： ；
证明： ， ，
.
平分 ，
.
.
， ，
是线段 的垂直平分线.
. .
（2） 连接 ，试判断 的形状，并说明理由.
解： 是等边三角形.理由如下：
是线段 的垂直平分线，
，即 是等腰三角形.
又 ， 是等边三角形.
10.定义：如图1，在四边形 中，若 ，且 ，则我们称四边形 为互补等对边四边形.如图2，在等腰 中， ，四边形 是互补等对边四边形，求证： .
证明： ，
.
四边形 是互补等对边四边形，
.
在 与 中，

.
， .
，
.
在等腰 中， ，
.
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北师大版八年级数学下册课件
第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
1. 是线段 的垂直平分线， 是 上的一点，则 ______，理由是_____________________________________________________.
2.到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的_____________上.

线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
垂直平分线
例1 如图， ， 的垂直平分线 交 的延长线于点 ，交 于点 ， ， .
（1） 的周长为多少？
（2） 的度数为多少？
【点拨】（1）先根据线段的垂直平分线的性质得到 ，再根据三角形的周长公式计算即可得到答案；（2）先由三角形内角和定理得到 , 的度数，再结合垂直平分线的定义不难解决问题.
【解】 （1） 是 的垂直平分线，
.
， ，
的周长 .
（2） ， ，
.
的垂直平分线 交 的延长线于点 ，
.
.
变式.如图，在 中， ， 边的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ， 边的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ， .
（1） 求 的度数；
解： 边的垂直平分线交 于点 ， 边的垂直平分线交 于点 ，
， .
， .
.
.
（2） 若 的周长为12， 的长为8，求 的长.
解： 的周长为12，
.
， , ，
即 ， .
， .
例2 如图，在 中， ，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，且 ， .求证：点 在线段 的垂直平分线上.
【点拨】连接 ，先根据全等三角形的判定定理证明 ，从而得到 ，再根据线段的垂直平分线的判定定理可证得结论.
【证明】连接 .
在 和 中，

.
.
点 在线段 的垂直平分线上.
变式.如图，在 中， ， 是 延长线上一点， 是线段 的垂直平分线与 的交点， 交 于点F.求证：点 在线段 的垂直平分线上.
证明： 是线段 的垂直平分线上的一点，
.
.
又 ，
， .
，
.
又 ，
.
.
点 在线段 的垂直平分线上.
1.如图， 是 的垂直平分线.若 ， ，则四边形 的周长是( )
（第1题图）
A. B. C. D.
B
2.如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的周长为( )
（第2题图）
A. B.
C. D.
B
3.如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ， 平分 .若 ，则 的度数为( )
（第3题图）
A. B. C. D.
B
4.如图，在 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于点 ，连接 .若 ， ，则 的度数为
______.
（第4题图）

5.如图，在 中， ， ， 垂直平分 ，与 交于点P.下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
C
6.如图，在 中， ，点 是 的中点， 的垂直平分线分别交 ， ， 于点 ， ， .
（1） 求证：点 在 的垂直平分线上；
证明： ，点 是 的中点，
是 的垂直平分线.
.
是 的垂直平分线，
. .
点 在 的垂直平分线上.
（2） 若 ，求 的度数.
解： ，点 是 的中点，
平分 .
，
， .
， .
， .
.
7.如图，在 中， ， 是 外的一点
（点 与点 分别在直线 的两侧），且 ，过点 作 ，交射线 于点 ，连接 交 于点 .
（1） 求证： 垂直平分 .
证明： ，
点 在线段 的垂直平分线上.
，
点 在线段 的垂直平分线上.
垂直平分 .
（2） 请从 ， 两题中任选一题作答：选择________题.
：如图1，当点 在线段 上且不与点 重合时，求证： .
：如图2，当点 在线段 的延长线上时，写出线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论.
解：A 证明：由（1），得 .又 ， . ， . . .
B 等量关系为 .证明：由（1）得 .
又 ， . ， . . . ，且 ， .
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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定和含30°角的直角三角形的性质
1.（1）有一个角等于 的等腰三角形是_______三角形.
（2）三个角都相等的三角形是_______三角形.
2.在直角三角形中,如果有一个角的度数为 ,那么这个角所对的直角边等于斜边的_______.
等边
等边
一半
例1 如图，在 中， ， ，点 是 的中点， ， ，点 ， 为垂足，求证： 是等边三角形.
【点拨】由 ， ，易得 ，从而得 .因为点 是 的中点，易证 ，再由全等三角形的性质可得 ，最后由等边三角形的判定即可得 是等边三角形.
【证明】 ， ，
.
又 ， ，
.
.
.
点 是 的中点，
.
在 与 中，

.
.
是等边三角形.
变式.如图，在等边 中，点 在 内，点 在 外，且 ， ， 是什么形状的三角形？请证明你的结论.
解： 为等边三角形.
证明： 为等边三角形，
.
在 与 中，

.
， .
，
.
是等边三角形.
例2 如图，在 中， ， ， ， ，求 的长.
【点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得到 ， ，从而推出 ，再推出 ，最后根据含 角的直角三角形的性质可求出 的长.
【解】 在 中， ， ，
， .
， .
.
.
.
在 中， ， ，
.
变式.如图， 是等边三角形， 是 延长线上一点， 于点 ，与 相交于点 ， 于点F.若 ， ，求 的长.
解： 为等边三角形，
， .
， ， .
.
.
设 ，则 ， .
在 中， ，
.
， .
，
，
.
，解得 .
.
易错示例 如图，在 中， ， ， 于点 ，则 与 之间的数量关系为_____________.
【错解】∵在 中， ， ， ， . ，
. . .即 . .
【错因分析】在用“在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半”时，找错斜边，题中 ， 不是 和 的斜边.
【正解】
1.下列三角形中，不是等边三角形的是( )
A.有两个内角是 的三角形 B.有一个角是 的等腰三角形
C.腰和底相等的等腰三角形 D.有两个角相等的等腰三角形
D
2.如图，在 中， ，点 在线段 上，且 ， ， ，则 的长度为( )
（第2题图）
A. B. C. D.
B
3.如图，在 中， ， ，点 在 边上，且 .若 ，则 的长为( )
（第3题图）
A. B. C. D.
C
4.如图，等边三角形纸片 的边长为6， ， 是边 上的三等分点.分别过点 ， 沿着平行于 ， 的方向剪一刀，则剪下的 的周长是____.
6
5.如图，点 ， 在线段 上， ， ， .求证： 为等边三角形.
证明： ，
.
又 ，
.
.
又 ，
.
为等边三角形.
6.在等腰 中， ， ，则 _____.

7.图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点 与 之间的距离为 ，双翼的边缘 ，且与闸机侧立面夹角 .当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为
_____ .
图1
图2

8.如图，点 ， ， 分别在等边 的各边上，且 于点 ， 于点 ， 于点 .
（1） 求证： 是等边三角形；
证明： 是等边三角形，
.
， ， ，
.
.
.
是等边三角形.
（2） 若 ，求 的长
解： 是等边三角形，
.
易证 ，
， .
.
是等边三角形，
.
.
.
.
.
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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形和等边三角形的性质
1.等腰三角形两底角的平分线_______，两腰上的_____相等，两腰上的_______相等.
2.等边三角形的三个内角_________，并且每个角都等于______.
相等
高
中线
都相等

例1 如图，在 中， ， 平分 ， .
（1）求 的度数；
（2）若 ，垂足为 ， 交 于点 ，求 的度数.
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到结论；
（2）根据垂直的定义和三角形内角和定理即可得到结论.
【解】 （1） ， .设 .
平分 ， .
， .
在 中， ，
. .
.
.
（2） ，
.
，
变式.如图， 为 中 边上一点， ， ， ，求 的度数.
解：设 .
， ，
，
.
又 ，
.
中， ，
.
.
.
例2 如图， ， 都是等边三角形， ， ， 三点在同一直线上.
求证：
（1） ；
（2） .
【点拨】（1）根据 ， 都是等边三角形，可得到 ， ， ，从而推出 ，至此可得 ，最后根据全等三角形的性质得到 ，即可证得结论；（2）由（1） ，可得 ，再根据平角的定义即可求出 的度数.
（1）【证明】 ， 都是等边三角形，
， ， .
，
即 .
.
.
，
.
（2） 是等边三角形，
.
由（1）知 ，
.
.
变式.如图，在等边 中， 是 边上的一点，延长 至点 ，使 ， 的平分线交 的高 于点 ，连接 .求 的度数.
解： 是等边三角形， 是 的高，
， .
， .
为 的平分线，
.
在 和 中，

.
.
易错示例 在 中， ，中线 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为________.
7或11
【错解】7
【错因分析】本题中没有指明哪部分的长是15，应分两种情况讨论，而错解中忽略了这一点.
1.在等腰三角形 中， ，下列说法中不正确的是( )
A. 边上的高和中线互相重合
B. 和 边上的中线相等
C.三角形中分别过顶点 ， 的角平分线相等
D. ， 边上的高相等
D
2.如图，在 中， ， ， 的平分线 ， 相交于点 ，且 交 于点 ， 交 于点E.某同学分析图形后得出以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .其中一定正确的是( )
（第2题图）
A.①②③ B.②③④ C.①③⑤ D.①③④
D
3.如图，在等边三角形 中，点 在 边上，点 在 边上，沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，且 ，则 的度数为( )
（第3题图）
A. B. C. D.
A
4.如图， 和 都是边长为2的等边三角形，点 ，
， 在同一条直线上，连接 ，则 的长为_ ______.

5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为 ，则顶角的度数是_____________.
或
6.如图， 和 都是等边三角形， 是 边上的中线.求证： .
证明： 和 都是等边三角形， 为 边上的中线，
， ， 为 的平分线.
.
.
在 和 中，

.
.
7.在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点 ， 分别在等边 的 ， 边上，且 ， ， 相交于点Q.求证： .
（1） 请你解答这道思考题.
证明： 是等边三角形，
， .
在 和 中，

.
.
，
. .
（2） 若将题中“ ”与“ ”的位置交换，则 是否成立？请说明理由.
解： 成立.
理由： ，
.
， .
又 ， ，
. .
8.如图，已知 为等边 内的一点，它到三边 ， ， 的距离分别为 ， ， ， 的高 ，则 与 ， ， 有何数量关系？写出你的猜想并加以证明.
解：猜想 .
证明如下：连接 ， ， .
，
，
， ，
，
.
是等边三角形，
.
.
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第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形中的垂直平分线
1.三角形三边的垂直平分线相交于一点，且这点到三个顶点的距离_______.
2.锐角三角形的三条垂直平分线交于三角形的_____部,直角三角形的三条垂直平分线交于三角形的_______上,钝角三角形的三条垂直平分线交于三角形的_____部.
相等
内
斜边
外
例1 某镇准备新建一个医疗点 ,且使 到该镇所属 村、 村、 村的村委会所在地的距离都相等（ ， ， 不在同一条直线上,地理位置如下图所示）.请你用尺规作图的方法确定点 的位置.（要求：不写作法,保留作图痕迹）
[答案]
【点拨】按题意要求,点 必须同时在线段 ， ， 的垂直平分线上，因此只要正确作出任意两条线段的垂直平分线,点 即可确定．
变式.如图，已知线段 ， ，且 .求作一点 ，使得点 在线段 上，且 的周长等于线段 与线段 的长度和.（要求：不写作法，保留作图痕迹）
解:如图所示,点 即为所求.
例2 如图， 为 三边垂直平分线的交点， ， .
（1）求 的度数；
（2）直接写出 与 的数量关系.
【点拨】（1）由 为 三边垂直平分线的交点，可推出 ，再由等腰三角形的性质可得 ， 的度数以及 ，最后根据三角形内角和定理即可得出结论.（2）求出两个角的度数即可判断，或者延长 ，根据三角形的外角性质也可判断.
【解】 （1） 为 三边垂直平分线的交点，
.
，
.
.
.
（2） .
易错示例 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为 ,求此等腰三角形的顶角度数.
【错解】如图,在等腰三角形 中， , 的垂直平分线交 于点 ,交 于点 .
, .
此等腰三角形的顶角度数为 .
【错因分析】上述解法只考虑了顶角为锐角的情况,没有考虑顶角为钝角的情况.
【正解】当 为锐角时, （解题过程同错解）.
当 为钝角时, 的垂直平分线交 的延长线于点 （如图）.
,
. .
此等腰三角形的顶角度数为 或 .
1.如图，暑假期间，某学校对其校内的高中楼（图中的点 ），临建楼（图中的点 ）和图书馆（图中的点 ）进行装修.装修工人小明需要放置一批装修物资，使得装修物资到点 ，点 和点 的距离相等，则装修物资应该放置在( )
A. ， 两边高线的交点处
B. ， 两边中线的交点处
C. ， 两内角平分线的交点处
D. ， 两边垂直平分线的交点处
D
2.等腰三角形的底角为 ，两腰的垂直平分线交于点 ，则( )
A.点 在三角形内 B.点 在三角形外
C.点 在三角形底边上 D.点 的位置与三角形的边长有关
B
3.如图，在 中， 是 ， 的垂直平分线的交点， ， ，则 的周长为( )
（第3题图）
A. B. C. D.
B
4.如图，在 中， ， 是边 ， 的垂直平分线的交点，则 的度数为______.
（第4题图）

5.如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于点 ， 于点 ，并与 边上的高 交于点G.求证： .
证明：连接 .
点 在线段 的垂直平分线上，
.
.
.
， .
.又 ，
.
.
.
.
.
6.如图，在锐角 中， ， 边的中垂线相交于点 ， .
（1） 求 的度数.
解：连接 .
， 边的中垂线相交于点 ，
.
， .




.
.
（2） 的度数是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
解： 的度数为定值.
， .
， ，
.
，
.
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第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
1.一般三角形全等的判定方法有：SSS,______,______,______.
2.直角三角形全等特有的判定方法：斜边和_____________分别相等的两个直角三角形全等.用符号表示为“HL”.
3.如图，在直角 与直角 中， .
（1）若 ， ，则 ，判定方法是______；
（2）若 ， ，则 ，判定方法是______；
SAS
ASA
AAS
一条直角边
ASA
SAS
（3）若 ， ，则 ，判定方法是______；
（4）若 ， ，则 ，判定方法是_____.
AAS
HL
例1 如图，已知 和 ， ， ， ， 分别是 ， 边上的中线，且 .求证： .
【点拨】要证 ，还缺少一个条件，可证 或 或 或 .再看已知条件，易证明 ，从而得出所需要的条件.
【证明】在 和 中，
， ，
.
.
又 ， 分别是 ， 边上的中线，
， .
.
在 和 中，
， ， ，
.
例2 如图,在 和 中, , 分别是高,且 , , .求证： ．
【点拨】由已知条件易证得 ，可得 ，再根据“ASA”可证得 .
【证明】在 和 中,
.
, ,
. .
又 , ,
．
变式.如图， ， 是 上的一点，且 ， .
（1） 与 全等吗？请说明理由.
解：全等.理由如下：
， .
在 和 中，

.
（2） 是等腰直角三角形吗？请说明理由.
解： 是等腰直角三角形.理由如下：
，
.
，
.
.
是直角三角形.又 ，
是等腰直角三角形.
1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( )
A.两条直角边分别相等的两个直角三角形
B.两个锐角分别相等的两个直角三角形
C.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
D.有一个锐角及这个锐角的对边分别相等的两个直角三角形
B
2.如图， ， ， ，若要根据“HL”证明 ，则还需要添加的一个条件是( )
（第2题图）
A. B.
C. D.
D
3.如图，在 中， 于点 ， 于点 ， 与 相交于点F.若 ，则 的度数为______.
（第3题图）

4.如图， ， 都是 的高，且 .求证： 是等腰三角形.
证明： ， 都是 的高，
.
在 和 中，

.
.
是等腰三角形.
5.如图， ， ， ， ，点 和点 从点 出发，分别在线段 和射线 上运动，且 .当 _______时， 与 全等.
（第5题图）
或10
6.如图，点 是路段 的中点，小明和小红从点 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，同时到达 ， 两地，且 于点 ， 于点B.此时小明到路段 的距离是 ，则小红到路段 的距离是_____ .
（第6题图）

7.如图，在 中， ， ， 为 延长线上一点，点 在 上，且 .
（1） 求证： ；
证明： ，
.
在 和 中，
， ，
.
（2） 若 ，求 的度数.
解： ， ，
.
.
由（1）知 ，
.
.
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第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第1课时 勾股定理和直角三角形的判定
1.直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角_______.
（2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于_____________.
2.直角三角形的判定
（1）有两个角_______的三角形是直角三角形.
（2）如果三角形_______________等于第三边的_______，那么这个三角形是直角三角形.
互余
斜边的平方
互余
两边的平方和
平方
（1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_______和
_______，那么这两个命题叫作___________，其中一个命题称为另一个命题的_________．
（2）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为___________，其中一个定理叫作另一个定理的_________．
结论
条件
互逆命题
逆命题
互逆定理
逆定理
3.互逆命题
例1 如图，在 中， ， ， 是 边上一点， ， .
（1）求证： ；
（2）若 是边 上的动点，求线段 的最小值.
【点拨】（1）利用勾股定理的逆定理可证明.（2）根据垂线段最短可求解.
【解】 （1） ， ，
.
，
.
.
（2）当 时， 最短，
.
，
.
线段 的最小值为9.6.
变式.如图，已知等腰三角形 的底边 ， 是腰 上的一点，且 ， .
（1） 求证： 是直角三角形；
证明： 在 中， ， ， ，
.
.
是直角三角形.
（2） 求 的周长.
解：设 ，则 .
在 中，由勾股定理得 ，
即 .
解得 ，即 .
，
的周长是 .
例2 写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假.
（1）如果 ， 都是无理数，那么 也是无理数；
（2）等腰三角形两腰上的高相等；
（3）如果 ，那么 .
【点拨】要写出一个命题的逆命题，关键是要分清原命题的条件和结论，然后将它的条件和结论互换就得到这个命题的逆命题.判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.
【解】（1）逆命题：如果 是无理数，那么 ， 都是无理数.此逆命题为假命题.
（2）逆命题：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形.此逆命题是真命题.
（3）逆命题：如果 ，那么 .此逆命题是假命题.
例3 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地 （如图所示）的周长，其中边 上有水池及建筑物遮挡，没有办法直接测量其长度.小东经测量得知 ， ， ， .小明说根据小东所得的数据可以求出 的长度.你同意小明的说法吗？若同意，请求出 的长度；若不同意，请说明理由.
【点拨】连接 ，利用等边三角形的判定与性质可得出 的长，再利用勾股定理即可求出 的长.
【解】同意小明的说法.
连接 .
， ，
为等边三角形.
，且 .
，
.
在 中，根据勾股定理，
得 .
的长度为 .
易错示例 判断以线段 ， ， 为边构成的三角形是否为直角三角形.
【正解】 ，
以线段 ， ， 为边构成的三角形是直角三角形.
【错解】 ，而 ， .即以 ， ， 为边构成的三角形不是直角三角形.
【错因分析】在利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形时要先找出最长边，然后判断最长边的平方是否等于其他两边的平方和.错解中没有这样做，只是机械地利用勾股定理的逆定理从而出错.
1.在 中， ， ，则 的度数为( )
A. B. C. D.
B
2.下列命题的逆命题不正确的是( )
A.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
B.如果 ，那么
C.等腰三角形的两个底角相等
D.如果 ， ，那么
D
3.在 中， ， ， 分别是 ， ， 的对边的长，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
A
4.如图，在 中， ， ，点 为 的中点， 于点 ，则 的长为( )
（第4题图）
A. B.
C. D.
B
5.命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是________________________________________________.
如果两直线平行，那么这两条直线平行于同一直线
6.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形 ，对角线 ， 相交于点O.若 ， ，则 _____.
（第6题图）

7.如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20， ，2.A和 是这个台阶两个相对的端点，点 处有一只蚂蚁，想到点 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点 的最短路程是_____.
25
8.如图，在 中， ， ， 于点D.点 ， 分别在 ， 上，且 .当 ， 时，求线段 的长.
解： 在 中， ， ， ，
由勾股定理，得 .
， .
.
， ，
. .
.
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，即 .
.
9.如图，在 中， ， ， 边上的中线 ，求 的长.
解：延长 到 ，使 ，连接 .
为中线，
.
在 和 中，

.
， ， .
在 中， ， ， ，
， .
由勾股定理得 .
.
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第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离_______.
2.角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的_________上．
相等
平分线
例1 如图，在 中， 平分 ， ， 于点
，点 在 上， .
（1）求证： .
（2）若 ， ，求 的长.
【点拨】（1）根据角平分线的性质可得 ，再根据“HL”易证得 ，从而可得出 设 ，则 ，根据题意易得出 ，进而可得出结论.
（1）证明： 平分 ， ， 于点 ，
.
在 与 中，

.
.
（2）【解】设 ，则 .
在 与 中，

.
，即 .
解得 ，即 .
变式.如图，在 中， ， 平分 ， 于点 ，且点 为 的中点， .求 的长.
解： 平分 ， ， ，
， .
又 点 为 的中点，
垂直平分 .
. .
.
在 中， .
.
例2 如图，点 ， 分别在 的两边上，点 是 内一点， ， ，垂足分别为 ， ，且 ， .求证： .
【点拨】根据 ， ， ，可得 ，然后根据“SAS”易得 ，进而可证得结论.
【证明】连接 .
， ， ，
.
在 和 中，

.
.
变式.如图， 的延长线于点 ， 于点F.若 , .
（1） 求证： 平分 ；
证明： 的延长线于点 ， 于点 ， .
在 与 中,

.
. 平分 .
（2） 直接写出 与 之间的数量关系.
解： .
1.如图，射线 是 的平分线， 是射线 上一点， 于点 ， .若点 是射线 上一点， ，则 的面积是( )
（第1题图）
A. B. C. D.
D
2.在正方形网格中， 的位置如图所示，到 两边距离相等的点应是
( )
A. B. C. D.
A
3.如图，在 中， ， 是 的平分线.若 ， ，则 为( )
（第3题图）
A. B. C. D.
B
4.如图， 是 的平分线上一点， ，垂足为 ， 交 于点C.若 ， ，则
____ .
（第4题图）

5.如图，在 中，点 是 的中点， ， ，垂足分别是 ， ， .求证： 是 的平分线.
证明： 点 是 的中点，
.
， ，
在 和 中，

.
.
又 ， ，
是 的平分线.
6.如图，已知 ， 为 上的一点， 于点 ，
.求证： .
证明：如图，过点 作 于点 .
， 于点 ，
， .
在 与 中，
.
.
，
.
7.如图，在 中， ， ， .若点 从点 出发，以每秒 的速度向点 运动，设运动时间为 .
（1） 若点 恰好在 的平分线上，求出此时 的值；
解：作 于点 ，如图， .
， ， ，
.
平分 ，
.
，
，
解得 .
（2） 若 ，求出此时 的值.
解： ， .
在 中， ，
，解得 .
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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第1课时 三角形全等和等腰三角形的性质
1.全等三角形的判定公理有SSS、______、______，判定定理有______.
2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边_______、对应角_______.
3.等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等，简述为_____________.推论:等腰三角形顶角的平分线、_______________及_______________互相重合.
SAS
ASA
AAS
相等
相等
等边对等角
底边上的中线
底边上的高线
例1 如图， ， ， .求证： .
【点拨】首先利用平行线的性质得出 ，进而利用全等三角形的判定可证得结论.
【证明】 ，
.
，
，
即 .
在 和 中，

.
.
变式.如图， ， ， ， ， 与 相交于点 .
（1） 求证： ；
证明： ， ，
.
.
在 和 中，

.
.
（2） 求 的度数.
解：设 与 相交于点 .
，
.
，
.
，
.
.
例2 如图，在 中， ， 为 内一点，且 .求证： .
【点拨】延长 交 于点 ，要证 ，根据“三线合一”，只要证 是 的平分线即可.
【证明】延长 交 于点 .
在 和 中，

.
.
平分 .
，
，即 .
变式.如图，已知 ， 于点D.求证： .
解：过点 作 于点 .
， ，
.
.
，
.
.
.
.
易错示例 已知 是等腰三角形，且 ，求 的度数.
【错解】 是等腰三角形， .
，
.
【错因分析】考虑不周全，想当然地认为 为底角.题中并没有指明顶角，应该分情况讨论.
【正解】①当 为顶角时，有 .
， ，
. .
②当 为顶角时， .
③当 为顶角时， .
综上可得， 的度数为 ， 或 .
1.如图，在等腰 中，点 ， 分别在腰 ， 上，添加下面哪个条件，不能使 ( )
（第1题图）
A. B.
C. D.
B
2.如图，在 中， ， 是 边上的中线， ，垂足为E.若 ，则 的度数为( )
（第2题图）
A. B. C. D.
A
3.如图，直线 ，点 在直线 上，点 在直线 上， ， ， ，则 ______.

4.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 ，那么这个等腰三角形顶角的度数为_____________.
或
5.“三等分角”约是公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒 ， 组成，两根棒在点 处相连并可绕 转动，点 固定， ，点 ， 可在槽中滑动.若 ，则 的度数是______.
图1
图2

6.已知：如图， ， ， .求证： .
证明： ， ， ，
.
在 和 中，
.
.
7.如图， 是 的边 上一点， ，过点 作 ，且 ，连接 交 于点 ，连接 .
（1） 求证： 平分 ；
证明： ，
.
，
，
.
.
， 平分 .
（2） 若 ，求 的度数.
解： ，
.
.
，
.
8.问题：如图，在 中， .在 的延长线上取点 ， ，作 ，使 .若 ， ，求 的度数.
答案：
思考：
（1） 如果把“问题”中的条件“ ”去掉，其余条件不变，那么 的度数会改变吗？请说明理由.
解： 的度数不会改变.
， .
， ， .
.
.
（2） 如果把“问题”中的条件“ ”去掉，再将“ ”改为“ ”，其余条件不变，求 的度数.（用含 的代数式表示）
解：设 ，
则 ， .
.
，
.
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第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定和反证法
1.等腰三角形的判定定理：有两个角_______的三角形是等腰三角形,简述为_____________．
2.用反证法证明一个命题时,先假设命题的结论_________,然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件_________的结果,从而证明命题的结论一定成立.
相等
等角对等边
不成立
相矛盾
例1 在 中， ， 分别是边 ， 上的点，且 ，连接 ， ，交于点 ， .
（1）求证： 是等腰三角形.
（2）若 ， ，求 的度数.
【点拨】（1）要证明 是等腰三角形，可以考虑证明 .根据全等三角形的性质可得到 ， ，再根据角的和差关系即可得到
（2）利用等腰三角形的性质可求得 的度数，由已知条件可推出 是等边三角形，最后根据三角形外角的性质即可求解.
（1）证明： ， ， ，
.
.
.
，
即 .
.
是等腰三角形.
， ，
.
， .
，
是等边三角形.
. .
.
变式.已知 中， 为边 上一点， .
（1） 求证： .
证明： ，
.
，
.
，
.
（2） 过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，若 平分 ，求证： .
证明： 平分 ， .
，
， .
. .
例2 用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：如图， 是 的一个外角.
求证： .
【点拨】按反证法的步骤来证明：先假设 ，然后从这个假设出发推出矛盾.
【证明】假设 .
在 中，
.
,
.
这与平角的定义相矛盾.
假设不成立，即原命题成立.
.
1.在 中，若 ， ，则( )
A. B. C. D.
D
2.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于 ”时，首先应该假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于 B.每一个内角都小于
C.有一个内角大于或等于 D.每一个内角都大于或等于
D
3.如图，若 ， ， ，则图中等腰三角形的个数为( )
（第3题图）
A. B. C. D.
C
4.如图，已知 是 中 ， 的平分线的交点， 交 于点 ， 交 于点E.若 ，则 的周长为_____ .
（第4题图）

5.如图，在等边 中， 平分 ，延长 到点 ，使 ，连接 .
（1） 成逸同学说 ，她说得对吗？请说明理由.
解：正确.理由：
为等边三角形， 平分 ，
， .
又 ， .
.
.
（2） 小敏同学说把“ 平分 ”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？
解：可改为： （或点 为 的中点）.
6.下图是 的正方形方格图， ， 在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点 ，连接 和 ，使 是等腰三角形，则方格图中满足条件的点 的个数是( )
A. B. C. D.
C
7.如图，在等腰 中， ， 为底边 延长线上任意一点，过点 作 ，与 的延长线交于点 .
（1） 请判断 的形状，并说明理由；
解： 是等腰三角形.
理由： ，
.
， ，
.
.
是等腰三角形.
（2） 若在 上截取 ，连接 ， ，判断 ， 的数量关系，并给出证明.
解： .
理由： ， .
，
， ，
即 .
在 与 中，
.
.
8.我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等.但是我们会碰到这样的“和差”问题：“如图1， 为 的高， ，求证： ”.我们可以用“截长补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题：在 上截取 ，连接 .
（1） 请完成这个证明.
证明：在 上截取 ，连接 .
， .
.
， ，
.
.
.
（2） 如图2， 平分 ， ，运用上述方法证明： .
证明：在 上截取 ，连接 .
平分 ，
.
在 和 中,

.
， .
， ，
. .
， ， ，
.
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第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第2课时 三角形中的角平分线
1.三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离_______．
2.到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点．
3.三角形三条角平分线的交点必在三角形的内部．
相等
例1 如图,在 中,已知 , , , .请在 的内部找一点 ,使点 到 的三边的距离相等,并求出这个距离．
【点拨】三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等.利用面积相等即可求出这个距离．
【解】分别作 , 的平分线,设两线相交于点 ,则点 即为所求.如图所示,作 , , ,垂足分别为 ， ， ,则 .
设 ,连接 ， ， ．
,
即 .
. ．
即这个距离为1.
变式.如图，点 是 三条角平分线的交点， .若 ， 的周长为20，则 的面积是_____.
50
例2 如图， ，点 是 的中点，且 平分 .
（1）求证： 平分 .
（2）试说明线段 与 有怎样的位置关系，并证明你的结论.
【点拨】（1）作辅助线 ，由角平分线的性质定理可知 ，再利用中点关系以及角平分线的判定定理即可得 平分 （2）根据四边形内角和可得出 ，再根据 ， 分别平分 ， 可得到结论.
（1）【解】过点 作 于点 .
平分 ， ， ，
.
点 为 的中点，
.
， ，
平分 .
（2）【解】位置关系： .
证明： ，
.
平分 ， 平分 ，
， .
.
.
.
易错示例 如图甲所示,在 所在的平面内,找出到三边所在直线的距离相等的点 .
甲
【错解】作 的三个内角的平分线,交点即为所求的点 （如图乙所示）.
乙
【错因分析】上述解法没有仔细分析题中三边所在直线的含义,到三边所在直线的距离相等的点,不仅仅是指到三边（线段）的距离相等的点,还包括到三边延长线的距离相等的点.
【正解】除 的三个内角平分线的交点以外,还应有三个内角平分线与外角平分线的交点（如图）.
1.如图，已知 ，求作一点 ，使点 到 的两边的距离相等，且 .下面确定点 的方法正确的是( )
（第1题图）
A. 为 与 两角平分线的交点
B. 为 的平分线与 的垂直平分线的交点
C. 为 ， 两边上的高的交点
D. 为 ， 两边的垂直平分线的交点
B
2.如图，点 在 内，且到三边的距离相等.若 ，则 的度数为( )
（第2题图）
A. B.
C. D.
A
3.如图， 的三边 ， ， 的长分别是20， ， ，其三条角平分线将 分为三个三角形，则 等于
( )
A. B. C. D.
C
4.如图，直线 ， ， 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它在由三条交叉的公路围成的三角形的内部，且到三条公路的距离相等，求货物中转站的位置.（用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）
解：略.
5.如图，在 中， ， 平分 ， 于点E.若 与 的面积之比为 ，求 与 的面积之比.
解：设 的面积为 ，
则 的面积为 .
.
平分 ， ， ，
.
在 和 中，
， ，
.
.
.
.
即 与 的面积之比是 .
6.如图，在 中， ， 是 的一条角平分线，点 ， ， 分别在 ， ， 上，且四边形 是正方形.
（1） 求证：点 在 的平分线上；
证明：过点 作 于点 .
四边形 为正方形，
， 于点 ， 于点 .
是 的平分线， ， ，
. .
， ，
平分 ，即点 在 的平分线上.
（2） 若 ， ，求 的长.
解： 中， ， ， ，
.
易证： ， .
， ，且 ，
， .
，即 ，
.解得 .
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