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沪科版2023-2024学年度第二学期七年级数学期末测试（培优卷）
（本卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±
3．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是唐代诗人李白的《北风行》中的诗句．据测定，5000～10000片雪花约有1克，一般新雪的密度为每立方厘米0.05克～0.1克，这说明一片雪花是非常轻的．数据“0.05克”用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣5千克 B．0.05×10﹣6千克
C．5×10﹣6千克 D．5×10﹣5千克
4．下列运算正确的是（ ）
A．3m2+4m2＝7m4 B．（m+n）2＝m2+n2
C．2m3÷（﹣m）2＝﹣2m3 D．（m3n）2＝m6n2
5．如图，已知直线a∥b，三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，∠A＝30°，∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．﹣9
7．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（ ）
A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处
8．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3 B．19 C．21 D．28
9．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
10．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
二．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
11．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．因式分解：3a3+6a2b+3ab2＝ ．
13．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围是 ．
14．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2；（用“＞”、“＜”、“y”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2024的整数n有且只有5个，则m的值为 ．
解答题（共9小题。15-18每题8分，19-20每题10分，21-22每题12分，23题14分，共计90分）
15．计算：．
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
17．先化简，然后从±1，0，这五个数中选一个合适的数代入求值．
18．为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
19．如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，…因此4，12，20…都是“神秘数”．
（1）请举出一个“神秘数”的例子： ；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？
20．如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，点D，F是垂足，∠1+∠C＝90°．
（1）求证：DG∥BC；
（2）若BD平分∠ABC，∠C＝66°，求∠BGD的度数．
21．关于x的分式方程．
（1）若此方程有增根，求a的值；
（2）若此方程解为正数，求a的取值范围．
22．（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为x的正方形，用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（a，b为常数）可以得到一个恒等式： ．
（2）由（1）的结果进行应用：若（a﹣m）（a﹣2）＝a2+na+6对a的任何值都成立，求（m+n）（m﹣n）的值．
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式．
23．（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数；
（2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版2023-2024学年度第二学期七年级数学期末测试（培优卷）
（本卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟）
一．选择题（共10小题）
1．下列实数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
【解答】解：，
下列实数中，无理数有，共2个，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，熟练掌握无理数概念是关键．
2．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵22＝4，
∴4算术平方根为2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
3．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是唐代诗人李白的《北风行》中的诗句．据测定，5000～10000片雪花约有1克，一般新雪的密度为每立方厘米0.05克～0.1克，这说明一片雪花是非常轻的．数据“0.05克”用科学记数法表示为（ ）
A．0.5×10﹣5千克 B．0.05×10﹣6千克
C．5×10﹣6千克 D．5×10﹣5千克
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.05克＝0.00005千克＝5×10﹣5千克．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．下列运算正确的是（ ）
A．3m2+4m2＝7m4 B．（m+n）2＝m2+n2
C．2m3÷（﹣m）2＝﹣2m3 D．（m3n）2＝m6n2
【分析】根据幂的乘方与积的乘方，单项式除以单项式，合并同类项的法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3m2+4m2＝7m2，故A不符合题意；
B、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故B不符合题意；
C、2m3÷（﹣m）2＝2m3÷m2＝2m，故C不符合题意；
D、（m3n）2＝m6n2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．如图，已知直线a∥b，三角板ABC的直角顶点C放在直线b上，∠A＝30°，∠1＝20°，则∠2的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】过B作BE∥直线a，推出a∥b∥BE，根据平行线性质得出∠1＝∠ABE＝20°，∠2＝∠CBE，根据∠ABC＝60°求出∠CBE，即可得出答案．
【解答】解：过B作BE∥直线a，
∵直线a∥b，
∴a∥b∥BE，
∴∠1＝∠ABE＝20°，∠2＝∠CBE，
∵∠ABC＝60°，
∴∠2＝∠CBE＝60°﹣20°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线．
6．已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（ ）
A．9 B．7 C．0 D．﹣9
【分析】把a2﹣2a﹣1＝0进行整理，得出a2﹣2a＝1，再将2a3﹣a2﹣8a+4变形，将前面的代入即可．
【解答】解：∵a2﹣2a﹣1＝0，，
∴a2﹣2a＝1，
∴2a3﹣a2﹣8a+4
＝2a a2﹣a2﹣8a+4
＝2a（2a+1）﹣a2﹣8a+4
＝4a2+2a﹣a2﹣8a+4
＝3a2﹣6a+4
＝3（a2﹣2a）+4
＝3×1+4
＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了求代数式的值，把原式进行变形整理是解题的关键．
7．如图，若x为正整数，则表示分式的值落在（ ）
A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处
【分析】逆用同分母分式的加减法法则，把分式进行化简，判断分式的值的取值范围，计算即可．
【解答】解：∵
＝
＝，
∵x为正整数，
∴x+1≥2，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了同分母分数加减法法则的应用，不等式的基本性质，熟练掌握法则是解题的关键．
8．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3 B．19 C．21 D．28
【分析】设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到（x+y）2＝64，（x﹣y）2＝6，两式相加可得x2+y2＝35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+y2+2xy＝64，
∵点H为AE的中点，
∴AH＝EH＝4，
∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，
∴x2+y2＝35，
∴图1的阴影部分面积＝x2+y2﹣×4 x﹣×4 y
＝x2+y2﹣2（x+y）
＝35﹣2×8
＝19，
故选：B．
【点评】本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．
9．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（ ）
A． B．6 C． D．3
【分析】根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3，将每个选项的数字代入，看能否求解出符合要求的实数a、b即可．
【解答】解：根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，
因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，
化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3；
A．若p＝，则a2﹣b2＝2a＝，a＝，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确；
B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a＝，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误；
C．若p＝，则a2﹣b2＝2a＝，a＝，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误；
D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误；
故选：A．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，关键在于根据互助数的定义，得到a2﹣b2＝2a＝p﹣3，然后将每个选项的数字代入验证即可．
10．已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
【分析】利用不等式组的解为x＞2，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得a值，将符合条件的a值相加即可得出结论．
【解答】解：∵不等式组的解集为x＞2，
∴a﹣2≤2．
∴a≤4．
关于y的分式方程＝1﹣的解为y＝．
∵y＝3是原分式方程的增根，
∴≠3．
∴a≠3．
∵关于y的分式方程＝1﹣的解为正整数，
∴为正整数．
∴a＝2，4，7．
∵a≤4，
∴a＝2，4．
∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，注意解分式方程可能产生增根是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．若分式有意义，则x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得2x﹣3≠0，解可得答案．
【解答】解：由题意得：x﹣3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
12．因式分解：3a3+6a2b+3ab2＝ 3a（a+b）2 ．
【分析】提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝3a（a2+2ab+b2）
＝3a（a+b）2，
故答案为：3a（a+b）2．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，则a的取值范围是 2＜a≤6 ．
【分析】根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【解答】解：，
解不等式①得：3x﹣1＜2x+4，
∴x＜5，
解不等式②得：，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的解集为，从而得到不等式组的整数解为4、3、2，则，
∴2＜a≤6，
故答案为：2＜a≤6．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是关键．
14．已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1 ＞ S2；（用“＞”、“＜”、“y”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2024的整数n有且只有5个，则m的值为 1010 ．
【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可；
（2）先计算出|S1﹣S2|，根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值．
【解答】解：（1）∵S1＝（m+7）（m+1）
＝m2+8m+7，
S2＝（m+4）（m+2）
＝m2+6m+8，
∴S1﹣S2
＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）
＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8
＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2，
故答案为：＞；
（2）|S1﹣S2|
＝|2m﹣1|
＝2m﹣1，
∵2m﹣1＜n≤2024的整数n有且只有5个，
∴这四个整数解为2024，2023，2022，2021，2020，
∴2019≤2m﹣1＜2020，
解得：1010≤m＜1010.5，
∵m为正整数，
∴m＝1010．
故答案为：1010．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键．
三．解答题（共9小题）
15．计算：．
【分析】先将算术平方根和0次幂化简，再进行计算即可．
【解答】解：
＝﹣6+2﹣1
＝﹣5．
【点评】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数混合运算的运算顺序和运算法则．
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为：x≤1，
∴表示在数轴上为：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17．先化简，然后从±1，0，这五个数中选一个合适的数代入求值．
【分析】先根据分式的运算法则进行运算，再化简结果，注意代入的值不可令分母为0，求解即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝﹣
＝，
由题意，得x≠±1，，
取x＝0，则原式＝＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，注意分母不能为零．
18．为了节能减排，我区某校准备购买某种品牌的节能灯，已知4只A型节能灯和5只B型节能灯共需55元，2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元．
（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？
（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共300只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【分析】（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，
根据题意得：，
解得，
答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（300﹣a）只，费用为w元，
w＝5a+7（300﹣a）＝﹣2a+2100，
∵a≤2（300﹣a），
∴a≤200，
∴当a＝200时，w取得最小值，此时w＝1700，300﹣a＝100，
答：当购买A型号节能灯200只，B型号节能灯100只时最省钱．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
19．如果一个正整数能表示两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，…因此4，12，20…都是“神秘数”．
（1）请举出一个“神秘数”的例子： 36（答案不唯一） ；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？为什么？
【分析】（1）根据“神秘数”的定义，求出两个连续偶数的平方差即可求解；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
【解答】解：（1）∵102﹣82＝100﹣64＝36，
∴36是“神秘数”，
故答案为：36（答案不唯一）．
（2）“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
（3）不是，理由如下：
设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，
则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，
而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍数，但不是4的偶数倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【点评】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
20．如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，点D，F是垂足，∠1+∠C＝90°．
（1）求证：DG∥BC；
（2）若BD平分∠ABC，∠C＝66°，求∠BGD的度数．
【分析】（1）由BD⊥AC，EF⊥AC可得∠3＝∠4＝90°，从而有∠CDG+∠C＝180°，可判定DG∥BC；
（2）由已知条件可求得∠DBC＝40°，由角平分线的定义可求得∠CBG＝80°，结合（1）即可求∠BGD的度数．
【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴∠3＝∠4＝90°，
∵∠1+∠C＝90°，
∴∠CDG+∠C＝∠1+∠3+∠C＝180°，
∴DG∥BC；
（2）解：∵∠3＝90°，∠C＝66°，
∴∠DBC＝180°﹣∠3﹣∠C＝24°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBG＝2∠DBC＝48°，
∵DG∥BC，
∴∠BGD+∠CBG＝180°，
∴∠BGD＝132°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．
21．关于x的分式方程．
（1）若此方程有增根，求a的值；
（2）若此方程解为正数，求a的取值范围．
【分析】（1）去分母，然后代入增根，进一步可得a的值；
（2）先解分式方程，根据此方程解为正数，可得＞0且≠1，进一步可得a的取值范围．
【解答】解：（1）去分母，得a+x﹣3＝5（x﹣1），
将增根x＝1代入，得a+1﹣3＝0，
解得a＝2；
（2）去分母，得a+x﹣3＝5（x﹣1），
解得x＝，
∵此方程解为正数，
∴＞0且≠1，
解得a＞﹣2且a≠2．
【点评】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的增根是解题的关键．
22．（1）通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，甲图是边长为x的正方形，用两种不同的方法表示甲图中阴影部分的面积（a，b为常数）可以得到一个恒等式： （x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab ．
（2）由（1）的结果进行应用：若（a﹣m）（a﹣2）＝a2+na+6对a的任何值都成立，求（m+n）（m﹣n）的值．
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，乙图表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据乙图中图形的变化关系，利用整式乘法写出一个代数恒等式．
【分析】（1）先求得阴影部分矩形的长与宽可直接求得阴影部分的面积，然后依据阴影部分的面积＝正方形的面积﹣1个边长分别为a、x的矩形﹣1个边长分别为b、x的矩形+1个边长分别为a、b的矩形，从而得到恒等式；
（2）依据（1）的结果可知（a﹣m）（a﹣2）＝a2﹣（m+2）a+2m，然后根据两个多项式的对应项相同求解即可；
（3）分别求得图中几何体的体积，然后根据原图形与新图形体积相等列出恒等式即可．
【解答】解：（1）阴影部分的面积可以表示为：（x﹣a）（x﹣b），
也可以表示为：x2﹣ax﹣bx+ab＝x2﹣（a+b）x+ab，
∴（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab．
故答案为：（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab；
（2）由（1）可知：（a﹣m）（a﹣2）＝a2﹣（m+2）a+2m，
又∵（a﹣m）（a﹣2）＝a2+na+6，
∴2m＝6，n＝﹣（m+2）．
解得：m＝3，n＝﹣5，
∴（m+n）（m﹣n）＝（3﹣5）（3+5）＝﹣16；
（3）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1 x＝x3﹣x，
新几何体的体积＝x（x+1）（x﹣1），
∴x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题主要考查的是多项式乘多项式与图形面积，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
23．（1）如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数；
（2）如图2，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）如图1，过点P作GH∥AB，得BAP+∠APH＝180°，故∠APH＝180°﹣∠BAP＝50°．由AB∥CD，GH∥AB，得CD∥GH，故∠PCD+∠HPC＝180°．那么，∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°．
（2）如图2，过点P作EF∥AD，故∠ADP＝∠DPF．由EF∥AD，AD∥BC，得EF∥BC，故∠FPC＝∠PCB．那么，∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β．
（3）当P在A的左侧，如图3．由AD∥BC，得∠DKC＝∠BCP＝∠β．又因∠DKC＝∠CPD+∠ADP，故∠CPD＝∠β﹣∠α．当P在B的右侧，如图4．由AD∥BC，得∠ADP＝∠DQC＝∠α．又因∠DQC＝∠CPD+∠BCP，故∠CPD＝∠α﹣∠β．
【解答】解：（1）如图1，过点P作GH∥AB．
∴∠BAP+∠APH＝180°．
∴∠APH＝180°﹣∠BAP＝180°﹣130°＝50°
∵AB∥CD，GH∥AB．
∴CD∥GH．
∴∠PCD+∠HPC＝180°．
∴∠HPC＝180°﹣∠PCD＝180°﹣120°＝60°．
∴∠APC＝∠HPC+∠APH＝60°+50°＝110°．
（2）如图2，过点P作EF∥AD．
∴∠ADP＝∠DPF，即∠α＝∠DPF．
∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC．
∴∠FPC＝∠PCB，即∠FPC＝∠β．
∴∠CPD＝∠DPF+∠CPF＝∠α+∠β．
∴∠CPD＝∠α+∠β．
（3）当P在A的左侧，如图3．
∵AD∥BC，
∴∠DKC＝∠BCP＝∠β．
又∵∠DKC＝∠CPD+∠ADP，
∴∠β＝∠CPD+∠α，即∠CPD＝∠β﹣∠α．
当P在B的右侧，如图4．
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠DQC＝∠α．
又∵∠DQC＝∠CPD+∠BCP，
∴∠α＝∠CPD+∠β．
∴∠CPD＝∠α﹣∠β．
【点评】本题主要平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及平行线的性质是解决本题的关键．
