3.1.1 椭圆及其标准方程
A级 必备知识基础练
1.椭圆=1的焦点在x轴上且焦距为2,则m的值等于( )
A.5 B.5或8 C.5或3 D.3
2.焦点在坐标轴上,且过两点(4,0),(0,2)的椭圆的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则点C的轨迹方程为 ( )
A.=1(y≠0) B.=1(y≠0)
C.=1(y≠0) D.=1(y≠0)
4.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P,-4和Q-,3,则此椭圆的标准方程是( )
A.+x2=1
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1
D.以上都不对
5.P是椭圆=1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若|PF1|·|PF2|=12,则∠F1PF2的大小为( )
A.60° B.30° C.120° D.150°
6.椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为( )
A.± B.± C.± D.±
7.过点(,-),且与椭圆=1有相同的焦点的椭圆的标准方程为 .
8.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)两个焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,3);
(2)经过两点(2,-),.
B级 关键能力提升练
9.如图,已知F(-5,0)为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的方程为( )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
10.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b= .
11.若方程=1表示的曲线为椭圆,则实数m的取值范围为 .
12.已知圆M:(x+)2+y2=24,N(,0),T是圆M上任意一点,线段NT的垂直平分线l与半径MT相交于点Q,当点T运动时,记点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程.
13.动圆C与定圆C1:(x+3)2+y2=32内切,与定圆C2:(x-3)2+y2=8外切,点A的坐标为0,.
(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程E;
(2)若轨迹E上的两点P,Q满足=5,求|PQ|的值.
参考答案
第三章 圆锥曲线的方程
学习单元1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
1.A 设椭圆的焦距为2c(c>0),依题意得得m=5.故选A.
2.D 根据两点的几何特性,直接可知a=4,b=2.故选D.
3.A 依题意得|CA|+|CB|=10>8,∴点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设其标准方程为=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b2=9.
又A,B,C三点不共线,∴点C不在x轴上,∴点C的轨迹方程为=1(y≠0).故选A.
4.A 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则解得
故椭圆的标准方程为+x2=1.故选A.
5.A 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=2,
∴(|PF1|+|PF2|)2=64.
∵|PF1|·|PF2|=12,∴|PF1|2+|PF2|2=40.
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=,
∵0°<∠F1PF2<180°,∴∠F1PF2=60°.
6.D ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3.∵点P在椭圆上,∴=1,即y2=,∴y=±.∴点M的纵坐标为±.
7.=1 椭圆=1的焦点为(0,±4),
设椭圆方程为=1(a>b>0),则有a2-b2=16, ①
再代入点(,-),得=1, ②
由①②解得a2=20,b2=4.则所求椭圆方程为=1.
8.解 (1)(方法1)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以可设它的标准方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义知
2a==12,
所以a=6.又c=2,所以b==4.
所以椭圆的标准方程为=1.
(方法2)因为椭圆的焦点在y轴上,
所以可设其标准方程为=1(a>b>0).
由题意得解得
所以椭圆的标准方程为=1.
(2)(方法1)若椭圆的焦点在x轴上,
设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
由已知条件得解得
所以所求椭圆的标准方程为=1.
同理可得,焦点在y轴上的椭圆不存在.
综上,所求椭圆的标准方程为=1.
(方法2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-),代入,
得解得所以所求椭圆的标准方程为=1.
9.C 由题意可得c=5,设右焦点为F',连接PF',由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠PFF'=∠FPO,∠OF'P=∠OPF',
∴∠PFF'+∠OF'P=∠FPO+∠OPF',∴∠FPO+∠OPF'=90°,即PF⊥PF'.
在Rt△PFF'中,由勾股定理,
得|PF'|==8,
由椭圆的定义,得|PF|+|PF'|=2a=6+8=14,
从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-52=24,∴椭圆C的方程为=1.
10.3 由题意得,|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1||PF2|=9,
∴(|PF1|+|PF2|)2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2,∴36=4(a2-c2)=4b2,∴b=3.
11.(1,3)∪(3,5) 由题意得解得所以m的取值范围为(1,3)∪(3,5).
12.解因为Q为线段NT的垂直平分线l与半径MT的交点,连接QN,所以|QT|=|QN|,所以|QM|+|QN|=|QM|+|QT|=|MT|=2>2=|MN|,所以点Q的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设其标准方程为=1(a>b>0),则a=,c=,b=,所以所求曲线C的方程为=1.
13.解 (1)如图,设动圆C的半径为R.
由题意得,定圆C1的半径为4,定圆C2的半径为2,
则|CC1|=4-R,①
|CC2|=2+R, ②
①+②,得|CC1|+|CC2|=6>6=|C1C2|.
解得x=2,由椭圆的定义知点C的轨迹是以C1,C2为焦点,2a为6的椭圆的一部分(在C1的内部,C2的外部),其轨迹方程为=1(x<2).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=x1,y1-,=x2,y2-.由=5可得,x1,y1-=5x2,y2-,所以x1=5x2,y1=5y2-×5+=5y2-18,由P,Q是轨迹E上的两点,
得解得所以x1=0,y1=-3.所以P(0,-3),Q(0,3),|PQ|=6.3.1.2 椭圆的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1.椭圆6x2+y2=6的长轴的顶点坐标是( )
A.(-1,0),(1,0) B.(0,-1),(0,1)
C.(-,0),(,0) D.(0,-),(0,)
2.焦点在x轴上,长半轴长、短半轴长之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.曲线=1与=1(0
A.有相等的焦距,相同的焦点
B.有相等的焦距,不同的焦点
C.有不等的焦距,不同的焦点
D.以上都不对
4.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.过椭圆=1的右焦点F2作直线l,直线l交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点,则△AF1B的周长为( )
A.12 B.16 C.4 D.20
6.(多选题)已知椭圆=1的离心率e=,则k的值可能是( )
A.-4 B.4 C.- D.
7.与椭圆=1有相同的离心率且长轴长与=1的长轴长相等的椭圆的标准方程为 .
8.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆C的方程为 .
B级 关键能力提升练
9.(多选题)已知曲线=1表示椭圆,则下列说法正确的有( )
A.m的取值范围为(4,16)
B.若该椭圆的焦点在y轴上,则m∈(10,16)
C.若m=6,则该椭圆的焦距为4
D.若椭圆的离心率为,则m=7
10.设椭圆=1的焦点分别为F1(0,2)与F2(0,-2).若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形,则m2+n2=( )
A.4+2 B.2 C.28 D.36
11.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为 .
12.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上一点,且=c2,求椭圆离心率的取值范围.
参考答案
3.1.2 椭圆的简单几何性质
1.D 椭圆方程可化为x2+=1,焦点在y轴上,长轴顶点的坐标为(0,±).
2.A 由题意得c=2,a+b=10,
所以b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,
解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为=1.
3.B 曲线=1的焦距为2c=8,而曲线=1(04.B 不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),直线l过(0,b),(c,0),则可设直线l:=1,依题意,有,即4=b2,
∴=3,=3,∴e=.
5.B 因为=1,所以a=4,所以△AF1B的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=16.故选B.
6.BC 当焦点在x轴上,即当k+8>9,即k>1时,由椭圆的标准方程得a=,b=3,则c=,
所以椭圆的离心率e=,解得k=4.
当焦点在y轴上,即当0则c=,所以椭圆的离心率e=,解得k=-.
7.=1或=1 椭圆=1的离心率为e=,椭圆=1的长轴长为4.
所以解得故b2=a2-c2=6.
又因为所求椭圆焦点既可在x轴上,也可在y轴上,故方程为=1或=1.
8.=1 因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,
所以有tan60°=,即b=c.又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,
所以有a-c=,而a2=b2+c2,三个等式联立得解得所以椭圆的标准方程为=1.
9.BC 由题意故A错误;
椭圆的焦点在y轴上,则m-4>16-m>0 10若m=6,则=1,故c==2,该椭圆的焦距为4,故C正确;
若椭圆的离心率为,则1-或1-,可得m=7或m=13,故D错误.故选BC.
10.C 由已知可得椭圆的焦点位于y轴上,且|PF1|=|PF2|=|F1F2|=4,所以点P位于短轴的顶点,且|PF1|+|PF2|=2n=8,解得n=4.
又椭圆的半焦距c=2,所以m2=n2-c2=12,所以m2+n2=28.故选C.
11.4 由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积取得最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,当且仅当b=c=时等号成立.∴a≥2,
∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4.
12.解 设P(x0,y0),则=(-c-x0,-y0),=(c-x0,-y0),所以=(-c-x0)(c-x0)+(-y0)2=-c2+.
因为P(x0,y0)在椭圆上,所以=1.
所以=b2,
所以-c2+b2=c2,
解得.
因为x0∈[-a,a],所以∈[0,a2],
即0≤≤a2,所以2c2≤a2≤3c2,
即,所以,
即椭圆离心率的取值范围是.3.2.1 双曲线及其标准方程
A级 必备知识基础练
1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,点P的轨迹分别为( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线的一支和一条直线
C.双曲线和一条射线
D.双曲线的一支和一条射线
2.(多选题)如果方程=1表示双曲线,则m的取值可能是( )
A.-4 B.-2 C.-1 D.
3.(多选题)双曲线=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离可以为( )
A.17 B.7 C.22 D.2
4.如图,已知双曲线的方程为=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为( )
A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m
5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在( )
A.一个椭圆上
B.一个圆上
C.一条抛物线上
D.双曲线的一支上
6.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为 .
7.已知点F1,F2分别是双曲线=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1PF2的面积为 .
8.已知双曲线的方程为x2-=1,如图,点A的坐标为(-,0),B是圆C:x2+(y-)2=1上的点,点M在双曲线的右支上,则|MA|+|MB|的最小值为 .
B级 关键能力提升练
9.若椭圆=1和双曲线=1的共同焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,则△PF1F2的面积为( )
A.3 B.6 C.9 D.8
10.设P是双曲线=1上一点,M,N分别是两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
11.某地发生里氏8.0级地震,为了援救灾民,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,要把这批药品沿道路PA,PB送到矩形灾民区ABCD中去,若PA=100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°.试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近.请说明这一界线是一条什么曲线并求出其方程.
参考答案
学习单元2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
1.D 因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当a=3时,2a=6<|F1F2|,点P的轨迹为双曲线的一支;当a=5时,2a=10=|F1F2|,点P的轨迹为一条射线.
2.AD 要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,
解得m<-2或m>-1.
由选项知AD符合.
3.CD 设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=5,b=3,c=,设P为双曲线上一点,不妨令|PF1|=12(12>a+c=5+),
∴点P可能在左支,也可能在右支,
由||PF1|-|PF2||=2a=10,
得|12-|PF2||=10,
∴|PF2|=22或2.
∴点P到另一个焦点的距离是22或2.
4.B 由双曲线的定义,
知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a.
又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.
5.D 由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,
画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,
设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,
∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,
则|PM|-|PO|=1<4,
∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.
6.=1 设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB>0),
则解得A=-,B=-,
故双曲线的标准方程为=1.
7.16 因为P是双曲线左支上的点,
所以|PF2|-|PF1|=6,
两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2==0,所以∠F1PF2=90°,所以|PF1||PF2|=×32=16.
8.+1 设点D的坐标为(,0),则点A,D是双曲线的焦点,由双曲线的定义,得|MA|-|MD|=2a=2.
所以|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|.
又B是圆x2+(y-)2=1上的点,圆的圆心为C(0,),半径为1,故|BD|≥|CD|-1=-1.
从而|MA|+|MB|≥2+|BD|≥+1,
当点M,B在线段CD上时,等号成立.
即|MA|+|MB|的最小值为+1.
9.A 对于椭圆=1,可知长半轴长为5,短半轴长为3,半焦距为4,则|F1F2|=8,
设点P(m,n),则解得|n|=,
所以△PF1F2的面积为×8×=3.故选A.
10.9 如图所示,设双曲线=1的左、右焦点分别为F1,F2,则点F1(-5,0)为圆(x+5)2+y2=1的圆心,点F2(5,0)为圆(x-5)2+y2=4的圆心,当|PM|-|PN|取最大值时,点P在该双曲线的左支上,
由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=6.
由圆的几何性质得|PM|≤|PF2|+2,|PN|≥|PF1|-1,所以|PM|-|PN|≤|PF2|-|PF1|+3=6+3=9.
11.解 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样远近,依题意知,界线是第三类点的轨迹.
设M为界线上的任一点,则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|,|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50,
∴界线是以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分,
如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
设所求双曲线方程的标准形式为=1(a>0,b>0),
∵a=25,
2c=|AB|==50,
∴c=25,b2=c2-a2=3750,故双曲线的标准方程为=1,注意到点C的坐标为(25,60),故y的最大值为60,此时x=35,故界线的曲线方程为=1(25≤x≤35,y≥0).3.2.2 双曲线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1.已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=( )
A. B.4
C.2 D.
2.(多选题)在下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的有( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线l共有( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
4.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于( )
A.-1 B.
C.+1 D.+2
5.设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
6.已知双曲线=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为 .
7.已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为 .
8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;
(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.
9.双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积.
B级 关键能力提升练
10.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为( )
A.-y2=1 B.=1
C.=1 D.=1
11.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线的离心率为( )
A.+1 B.+1
C.2 D.
12.已知直线y=x-2与双曲线C:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,线段AB的垂直平分线过点(4,0),则双曲线C的离心率为 .
13.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长.
参考答案
3.2.2 双曲线的简单几何性质
1.D ∵双曲线的离心率e=,c=,
∴,解得a=.故选D.
2.ABD 令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.
3.B 因为双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,所以过点P(1,0)且与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条.故选B.
4.C 不妨设双曲线标准方程为=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=.
因为∠PF1Q=,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=+1或e=1-(舍去).故选C.
5.C 设双曲线的半焦距为c,
则F(c,0),将x=c代入双曲线=1,
得y=±,不妨取C,B.
又A1(-a,0),A2(a,0),
所以=-.
因为A1B⊥A2C,所以-=-1,
即=1,即=1,
所以a=b,故渐近线方程是y=±x=±x.
6.y=±x 依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.
因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=b,于是双曲线渐近线方程为y=±x=±x.
7.32 根据题意,双曲线C:=1的左焦点F(-,0),
所以点A(,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点,虚轴长为6,
所以|PQ|=12.双曲线图象如图.
|PF|-|AP|=2a=4, ①
|QF|-|QA|=2a=4, ②
①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,
故周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.
8.解 (1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.
(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.
9.解 由题意得,双曲线=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±x.
不妨设直线FB的方程为y=(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,
解得x=,y=-,所以B,-.
所以S△AFB=|AF||yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×.
10.ABD 依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知A,B,D均可能.
11.B (方法1)令双曲线的左焦点为F1,连接QF,QF1,图略,由题意可知,焦点三角形QF1F是∠QF1F=的直角三角形.令QF=1,则FF1=2,QF1=,e=+1.
(方法2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=,故x1+x2=0,x1x2=,y1y2=3x1x2=.
设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故=0,即(x1-c,y1)(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,即b4-6a2b2-3a4=0,两边同除以a4,得-6-3=0,解得=3+2.
故c=+1.故选B.
12. 直线y=x-2与线段AB的垂直平分线垂直,
则线段AB的垂直平分线的斜率为-1,
又线段AB的垂直平分线过点(4,0),
∴线段AB的垂直平分线的方程为y=-(x-4),即x+y-4=0.
联立解得
即AB的中点坐标为(3,1).
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
∵AB的中点坐标为(3,1),AB的斜率为1,
∴x1+x2=6,y1+y2=2,=1.
则两式作差可得,
则×1=,
∴双曲线C的离心率e=.
13.解 (1)∵点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.
|AB|=2>2,
∴点C的轨迹方程是以A(-,0)和B(,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=,
∴点C的轨迹方程是x2-=1.
(2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.
∴联立得x2+4x-6=0,
设D(x1,y1),E(x2,y2),
则x1+x2=-4,x1x2=-6,
∴|DE|==4.
故线段DE的长为4.3.3.1 抛物线及其标准方程
A级 必备知识基础练
1.(多选题)对抛物线y=x2,下列描述正确的是 ( )
A.开口向上,焦点为(0,2)
B.开口向右,准线方程为x=-
C.开口向右,焦点为
D.开口向上,准线方程为y=-2
2.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是抛物线C上一点,|AF|=x0,则x0等于( )
A.4 B.2 C.1 D.8
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C内一动点,若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹是 ( )
A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
4.已知O是坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,M,3是C上一点,则线段OF的长度为( )
A.9 B. C.3 D.
5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与抛物线C的一个交点,若=4,则|QF|等于( )
A. B.
C.3 D.2
6.在平面直角坐标系Oxy中,双曲线C:-y2=1的焦距为 ;若双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,则实数p的值为 .
7.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为 .
8.若抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点P(-5,2)到焦点的距离是6,求抛物线的标准方程.
B级 关键能力提升练
9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线上,且|MF|=6,FM的延长线交y轴于点N.若M为线段FN的中点,则p=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
10.抛物线y2=16x的焦点到圆C:x2+(y-3)2=1上的点的距离的最小值为( )
A.0 B.4 C.5 D.6
11.在平面直角坐标系Oxy中,圆M:(x-1)2+y2=1,点A(3,1),P为抛物线y2=2x上任意一点(异于原点),过点P作圆M的切线PB,B为切点,则|PA|+|PB|的最小值是 .
12.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)若点P到直线x=-1的距离为d,点A(-1,1),求|PA|+d的最小值;
(2)若点B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
13.已知抛物线C:x2=-2py(p>0)的焦点为F,且经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程;
(2)过点F作斜率不为0的直线交抛物线C于M,N两点,直线y=-1分别交直线OM,ON于A,B两点,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
参考答案
学习单元3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.AD 抛物线方程化成标准方程形式为x2=8y,可得其开口向上,焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2.
2.C 如图,易知点F,0,准线l的方程为x=-.
过点A作AA'⊥l,垂足为A',则|AF|=|AA'|,即x0=x0+,解得x0=1.
3.D 由题意,知直线C1D1⊥平面BB1C1C,则C1D1⊥PC1,即|PC1|就是点P到直线C1D1的距离,那么点P到直线BC的距离等于它到点C1的距离,所以点P的轨迹是抛物线.
4.D 由M,3是抛物线C上一点,得32=3p,解得p=3,所以|OF|=.故选D.
5.C 过点Q作QQ'⊥l于点Q',如图.
∵=4,
∴|PQ|∶|PF|=3∶4,
又焦点F到准线l的距离为4,
∴|QF|=|QQ'|=3.
6.4 4 在双曲线C:-y2=1中,a2=3,b2=1,
∴c2=a2+b2=4,即c=2,因此焦距2c=4.
∵双曲线C的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,∴在抛物线y2=2px(p>0)中,=c,即p=4.
7.3 抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则点F到直线4x-3y+11=0的距离为d1+d2的最小值,如图所示,故(d1+d2)min==3.
8.解 设焦点为F(a,0),依题意有|PF|==6,即a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.
当焦点为F(-1,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-4x;
当焦点为F(-9,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y2=-36x.
综上,抛物线的标准方程为y2=-4x或y2=-36x.
9.D 如图,过点M作MA⊥y轴于点A,交抛物线的准线于点B,由题意得F,0,设M,n,由抛物线的定义可知,|MF|=|MB|==6.
因为M为线段FN的中点,所以|AM|=|OF|,所以,将其代入=6,可得=6,解得p=8.
故选D.
10.B 抛物线y2=16x的焦点为F(4,0),圆C:x2+(y-3)2=1的圆心C(0,3),半径为r=1,|FC|==5,则抛物线y2=16x的焦点F到圆C上的点的距离的最小值为|FC|-r=5-1=4.
故选B.
11.3 设点P(x,y),可得y2=2x,圆M:(x-1)2+y2=1的圆心M(1,0),半径为1,连接PM,如图所示,|PB|==
=|x|,
即|PB|等于点P到y轴的距离.过点A作y轴的垂线,垂足为K,
可得A,P,K三点共线时,|PA|+|PB|取得最小值|AK|=3,故|PA|+|PB|的最小值为3.
12.解 (1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,
于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.
由平面几何知识,知当F,P,A三点共线且P位于A,F中间时,|PA|+|PF|取得最小值,
最小值为|AF|=,即|PA|+d的最小值为.
(2)把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2,
因为2>2,所以点B在抛物线的右侧.
过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).
由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,
则|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,
所以|PB|+|PF|的最小值为4.
13.(1)解因为点(2,-1)在抛物线C上,所以22=-2p×(-1),解得p=2,所以抛物线C的标准方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.
(2)证明易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1(k≠0),联立得x2+4kx-4=0,Δ=16k2+16>0,
设点Mx1,-,Nx2,-,则x1+x2=-4k,x1x2=-4.
直线OM的方程为y=x,令y=-1,得x=,所以A,-1,同理得B,-1.
设以线段AB为直径的圆与y轴的交点为S(0,s),
则=,-1-s,=,-1-s,
因为,所以=0,
即+(-1-s)2=0,
所以(s+1)2=-=4,解得s=1或s=-3.
故以线段AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)和(0,-3).3.3.2 抛物线的简单几何性质
A级 必备知识基础练
1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A.2 B.1 C.4 D.8
2.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
3.在同一平面直角坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0(a>b>0)表示的曲线大致为( )
4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2=6x B.y2=8x
C.y2=16x D.y2=x
5.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离为d1,到直线l:3x+4y+12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )
A.2 B. C. D.3
6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p= .
7.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是 .
8.已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
B级 关键能力提升练
9.已知抛物线C:x2=4y的焦点为B,C的准线与y轴交于点A,P是C上的动点,则的最大值为 ( )
A. B. C.2 D.2
10.(多选题)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,l为抛物线的准线,A,B为抛物线上任意两点,M(1,-3),O为坐标原点,则下列说法正确的有 ( )
A.过点M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有两条
B.|AM|与点A到直线l的距离之和的最小值为3
C.若直线AB过点F,则抛物线C在A,B两点处的切线互相垂直
D.若直线OA与OB的斜率之积为-,则直线AB过点F
11.已知A是拋物线x2=4y的对称轴与准线的交点,B为抛物线的焦点,点P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B.+1
C. D.-1
12.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.
(1)求直线l的方程.
(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称 若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.
13.已知抛物线C:y2=2px(0(1)求C的方程;
(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB,求证:直线AB过定点.
参考答案
3.3.2 抛物线的简单几何性质
1.C 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,因为P(6,y)为抛物线上的点,所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离,所以6+=8,所以p=4,所以焦点F到抛物线准线的距离等于4.
2.B 当过点P(0,1)的直线斜率存在时,设其方程为y=kx+1,由方程组消去y,得k2x2+(2k-2)x+1=0,若k=0,则-2x+1=0,解得x=,此时直线与抛物线只有一个公共点;
若k≠0,则令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=,此时直线与抛物线相切,只有一个公共点.
当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,
该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个公共点.
综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个公共点的直线有3条.
3.D (方法1)将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为=1与y2=-x.
因为a>b>0,所以>0,所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.
(方法2)在方程ax+by2=0(a>b>0)中,将y换成-y,其结果不变,即ax+by2=0表示的曲线关于x轴对称,排除B,C;由方法1知椭圆的焦点在y轴上,排除A.故选D.
4.B 设点M(xM,yM),
则由|MF|=4|OF|得xM+=4×,
即xM=p,则=3p2,
则|yM|=p,则S△OMF=p=4,
解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.
5.A 由得3y2+16y+48=0,Δ=256-12×48<0,故方程无解,
则直线3x+4y+12=0与抛物线相离.
又d1+d2=d1+1+d2-1,而d1+1为点P到准线x=-1的距离,故d1+1等于点P到焦点F(1,0)的距离,
从而d1+1+d2的最小值为点F到直线3x+4y+12=0的距离,即=3,故d1+d2的最小值为2.
6.2 (方法1)根据过焦点的弦长公式可知|AB|==8,解得p=2.
(方法2)∵点F,
∴直线AB的方程为y=x-,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+=0.
设点A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知
xA+xB=3p,xAxB=.
|AB|==4p=8,
解得p=2.
7.4 根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为(y0>0),则有tan,解得y0=2,故边长为4.
8.解 设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
则Δ=144(t-1)2-144t2>0,即t<,
x1+x2=-.
从而-,得t=-.
所以l的方程为y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0.
所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.
9.B 如图所示,易知抛物线的准线l:y=-1,过点P作PN⊥l交l于点N,则|PN|=|BP|,则.
要使得取最大值,则sin∠PAN取得最小值,即∠PAN取到最小值,所以当且仅当PA与抛物线相切于点P时,∠PAN取到最小值.
当PA与抛物线相切时,设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2-4kx+4=0,此时需满足Δ=16k2-16=0,解得k=±1,不妨设点P在第一象限,则k=1,此时sin∠PAN=,所以(sin∠PAN)min=,所以的最大值为.故选B.
10.BC 抛物线C的焦点F(1,0),准线l:x=-1.
对于A,当过点M的直线斜率不为0时,设切线方程为x=m(y+3)+1,由消去x得y2-4my-12m-4=0,Δ=16m2+4(12m+4)=16(m2+3m+1)=0,解得m=,即有两条切线,当过点M的直线斜率为0时,直线方程为y=-3,直线y=-3与抛物线y2=4x有一个交点,因此过点M与抛物线C有且只有一个公共点的直线有三条,故A错误;
对于B,过点A作AN⊥l于点N,如图,则|AN|=|AF|,|AM|+|AN|=|AM|+|AF|≥|MF|=3,当且仅当A为线段MF与抛物线C的交点时,等号成立,故B正确;
对于C,直线AB的方程为x=ty+1,代入抛物线C的方程得y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,x1x2==1,不妨设y1<0对于D,由选项C知,当直线AB过点F时,直线OA与OB的斜率之积=-4≠-,故D错误.故选BC.
11.B 由x2=4y,得p=2,∴焦点B(0,1),准线l:y=-1,
从而A(0,-1),如图所示.
过点P作PQ⊥l于点Q,设∠PAQ=θ.
∵|PA|=m|PB|,|PB|=|PQ|,
∴m=.结合图形知,当AP与抛物线相切时,sinθ最小,从而m最大.设直线AP的方程为y=kx-1(k≠0),由得x2-4kx+4=0,
由Δ=16k2-16=0,解得k=±1,
不妨取k=1,得点P坐标为(2,1).
设双曲线的方程为=1(a>0,b>0).
在双曲线=1(a>0,b>0)中,2c=2,即c=1,
2a=|PA|-|PB|=2-2,即a=-1,
∴离心率e=+1.故选B.
12.解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.
设直线AB:x-2=m(y-2),m≠0,与抛物线方程联立消去x,可得y2-8my+16m-16=0.
判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)=64m-2+>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,由8m=4,得m=,所以直线l的方程为2x-y-2=0.
(2)不存在.理由如下,假设C,D两点存在,
则可设lCD:y=-x+n,与抛物线方程y2=8x联立,
消去y,得x2-(n+8)x+n2=0,
其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0,
则n>-4. (*)
又因为xC+xD=4(n+8),
所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.
13.(1)解由题可知|y0|=4,|DE|=4,|DF|=8+.
∵|DE|=|DF|,∴48+,平方后化简得p2-68p+256=0,解得p=4或p=64.
∵0∴抛物线C的方程为y2=8x.
(2)证明当直线l的斜率为0时,直线l与抛物线交于一点,不符合题意,所以直线l的斜率不为0,可设直线l的方程为x=my+n(n≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x并整理得y2-8my-8n=0,Δ=64m2+32n>0,
由一元二次方程根与系数的关系,可得y1+y2=8m,y1y2=-8n,所以x1x2==n2.
又OA⊥OB,所以=x1x2+y1y2=n2-8n=0,解得n=8(n=0舍去),此时满足Δ>0,
∴直线AB过定点(8,0).