第十六章 二次根式题型归纳总结与跟踪训练（含解析）
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| 名称 | 第十六章 二次根式题型归纳总结与跟踪训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 953.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-04 21:42:31 | ||
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文档简介
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第十六章二次根式题型归纳总结与跟踪训练-2023-2024学年数学八年级下册人教版
6大题型归纳总结
题型1：二次根式有意义的条件
题型2：利用二次根式性质化简
题型3：二次根式的混合运算
题型4：分母有理化
题型5：化简求值
题型6：二次根式的实际应用
6大题型跟踪训练
题型1：二次根式有意义的条件
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次根式有意义，则x的值不可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．若 有意义，则x可以是下面的哪个值（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法：
①根分式中的取值范围为：且；
②存在实数，使得；
③存在无理数，使得是一个整数；
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
题型2：利用二次根式性质化简
5．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ）
A． B． C． D．1
7．实数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知在数轴上的位置如图，化简：（ ）
A． B． C． D．
题型3：二次根式的混合运算
9．计算：．
10．计算：
11．计算：．
12．计算：
(1)；
(2)．
题型4：分母有理化
13．阅读下列解题过程：
；
．
请解答下列问题：
(1)观察上面解题过程，计算：；
(2)利用上面的解法，请化简：
．
14．阅读与思考：
材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)化简；
(2)计算：的值．
15．阅读下列材料，并解决后面的问题．
问题：比较与的大小
解：对两个数求倒数，得；
.
与都是正数，.
(1)请用上述方法比较与的大小；
(2)猜想：与（n为正数）的大小关系，并证明你的结论．
16．阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题：
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：
① ，
② ；
(2)应用：化简；
(3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数）
题型5：化简求值
17．已知求下列各式的值：
(1)和；
(2)
18．若，，求：
(1)；
(2)求．
19．先化简，再求值．．已知．
20．先化简，再求值：，其中，．
题型6：二次根式的实际应用
21．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______；
(2)求剩余木板的面积；
(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：）
22．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足 （不考虑风速的影响）．
(1)从高处抛下的物体落地所需的时间 ；从高处抛下的物体落地所需的时间
(2)是的多少倍？
(3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？
23．已知一矩形的面积为，它其中的一边长为，又知一平行四边形的一组邻边长分别为、．若矩形的周长为，平行四边形的周长为，且．求的值．
24．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数．
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程
(1)若，则_____， _____， _____；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可知，求出解集即可．
【详解】根据题意可知，
解得．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，求出的取值范围即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴的值不可以是；
故选D．
3．A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零且分母不为零的条件是解题的关键．根据被开方数不小于零且分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得且．
则只有0符合．
故选：A
4．A
【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论．
【详解】解：根据题意可知且，
解得：，
故结论①不正确；
∵，，，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴不存在实数，使得，
故结论②错误；
∵，，
∴．
∵是一个整数，
∴，
解得：或，
∵为无理数，
故结论③不正确．
∴正确的个数为．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简求得结果即可判断．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、实数范围内被开方数不能为负数，， 本选项不符合题意；
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质、实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键．由数轴得出，求出，，代入求解即可．
【详解】解：由数轴可知，
，，
．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了运用数轴化简二次根式以及绝对值，根据越在数轴的右边的数越大，先得出，即，然后化简，即可作答．
【详解】解：由数轴得出，
∴，
则，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了利用数轴化简二次根式，先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，且，
∴，，
∴原式
，
，
，
故选：．
9．
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答．
【详解】解：
．
10．
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握和运用二次根式的运算方法是解决本题的关键．根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法和除法法则计算即可求解．
【详解】解：
．
11．
【分析】根据二次根式的化简，乘除混合运算法则计算即可，本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
=．
12．(1)4
(2)8
【分析】此题考查了算术平方根和立方根，二次根式的乘除运算，
（1）首先计算算术平方根和立方根，然后计算加减；
（2）根据二次根式的乘除运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
13．(1)
(2)9
【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．
（1）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（2）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算，可得答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：
原式
．
14．(1)2
(2)9
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算；
（1）根据分母有理化是要求把原式化为再计算即可得到答案；
（2）依次把每一项分母有理化，再合并即可．
【详解】（1）解：
（2）
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键．
（1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可；
（2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可．
【详解】（1）解：对两个数求倒数，得， ，
∵ ，
∴，
∵与都是正数，
∴；
（2）
证明：对两个数求倒数，得 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵与（n为正整数）都是正数，
∴，
16．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化；
（1）利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）①；
②；
（2）原式；
（3）∵
∴原式．
17．(1)6；2
(2)34
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）将、的值直接代入求值即可；
（2）将、的值代入，计算即可．
【详解】（1）
（2）
18．(1)
(2)18
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，，再把所求式子变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
19．；2
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再进行除法，然后化简得出，再把代入，进行运算即可作答．
【详解】解：原式
．
∵，
∴原式．
20．，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则．
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入和的值进行计算即可．
【详解】原式
当，时，原式．
21．(1)，
(2)
(3)2
【分析】本题考查二次根式的应用；
（1）由正方形的面积可得边长，再利用二次根式的性质化简，即可求解；
（2）求出剩余的木料的长和宽，即可求面积；
（3）求剩余的木料的长和宽，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为，，
故答案为：，；
（2）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∴剩余的面积为；
（3）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∵，，
能截出块这样的木条．
故答案为：2．
22．(1)；
(2)是的倍
(3)下落的高度是
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用：
（1）根据所给公式代值计算即可；
（2）根据（1）的计算结果求解即可；
（3）把代入公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：；；
（2）解：，
∴是的倍；
（3）解：由题意得，，
解得，
∴下落的高度是．
23．
【分析】本题考查二次根式的运算的应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
先由矩形的面积与一边长，求出另一边的长，从而计算出矩形的周长的值，根据平行四边形的周长公式计算出的值，代入，求出a值，再代入，计算即可．
【详解】解：∵矩形的面积为，它其中的一边长为，
∴矩形的另一边长为：，
∴，
∵平行四边形的一组邻边长分别为、．
∴
∴
∴
．
24．(1)，，
(2)①作图见解析；②
【分析】（1）将分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
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第十六章二次根式题型归纳总结与跟踪训练-2023-2024学年数学八年级下册人教版
6大题型归纳总结
题型1：二次根式有意义的条件
题型2：利用二次根式性质化简
题型3：二次根式的混合运算
题型4：分母有理化
题型5：化简求值
题型6：二次根式的实际应用
6大题型跟踪训练
题型1：二次根式有意义的条件
1．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次根式有意义，则x的值不可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．若 有意义，则x可以是下面的哪个值（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法：
①根分式中的取值范围为：且；
②存在实数，使得；
③存在无理数，使得是一个整数；
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
题型2：利用二次根式性质化简
5．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．实数在数轴上的位置如图所示，化简： （ ）
A． B． C． D．1
7．实数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知在数轴上的位置如图，化简：（ ）
A． B． C． D．
题型3：二次根式的混合运算
9．计算：．
10．计算：
11．计算：．
12．计算：
(1)；
(2)．
题型4：分母有理化
13．阅读下列解题过程：
；
．
请解答下列问题：
(1)观察上面解题过程，计算：；
(2)利用上面的解法，请化简：
．
14．阅读与思考：
材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
．
根据上述知识，请你完成下列问题：
(1)化简；
(2)计算：的值．
15．阅读下列材料，并解决后面的问题．
问题：比较与的大小
解：对两个数求倒数，得；
.
与都是正数，.
(1)请用上述方法比较与的大小；
(2)猜想：与（n为正数）的大小关系，并证明你的结论．
16．阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题：
(1)归纳：请直接写出下列各式的结果：
① ，
② ；
(2)应用：化简；
(3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数）
题型5：化简求值
17．已知求下列各式的值：
(1)和；
(2)
18．若，，求：
(1)；
(2)求．
19．先化简，再求值．．已知．
20．先化简，再求值：，其中，．
题型6：二次根式的实际应用
21．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______；
(2)求剩余木板的面积；
(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：）
22．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足 （不考虑风速的影响）．
(1)从高处抛下的物体落地所需的时间 ；从高处抛下的物体落地所需的时间
(2)是的多少倍？
(3)若从高空抛下的物体经过落地，则该物体下落的高度是多少？
23．已知一矩形的面积为，它其中的一边长为，又知一平行四边形的一组邻边长分别为、．若矩形的周长为，平行四边形的周长为，且．求的值．
24．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
称为a，b这两个数的算术平均数．
称为a，b这两个数的几何平均数，
称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程
(1)若，则_____， _____， _____；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可知，求出解集即可．
【详解】根据题意可知，
解得．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，求出的取值范围即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴的值不可以是；
故选D．
3．A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握被开方数不小于零且分母不为零的条件是解题的关键．根据被开方数不小于零且分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得且．
则只有0符合．
故选：A
4．A
【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论．
【详解】解：根据题意可知且，
解得：，
故结论①不正确；
∵，，，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴不存在实数，使得，
故结论②错误；
∵，，
∴．
∵是一个整数，
∴，
解得：或，
∵为无理数，
故结论③不正确．
∴正确的个数为．
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简求得结果即可判断．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、实数范围内被开方数不能为负数，， 本选项不符合题意；
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了绝对值、二次根式的性质、实数与数轴，熟练掌握绝对值和二次根式的性质是解题的关键．由数轴得出，求出，，代入求解即可．
【详解】解：由数轴可知，
，，
．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了运用数轴化简二次根式以及绝对值，根据越在数轴的右边的数越大，先得出，即，然后化简，即可作答．
【详解】解：由数轴得出，
∴，
则，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了利用数轴化简二次根式，先根据数轴可得，且，进而得到，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，且，
∴，，
∴原式
，
，
，
故选：．
9．
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，把除法转化为乘法，约分即可作答．
【详解】解：
．
10．
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握和运用二次根式的运算方法是解决本题的关键．根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法和除法法则计算即可求解．
【详解】解：
．
11．
【分析】根据二次根式的化简，乘除混合运算法则计算即可，本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
=．
12．(1)4
(2)8
【分析】此题考查了算术平方根和立方根，二次根式的乘除运算，
（1）首先计算算术平方根和立方根，然后计算加减；
（2）根据二次根式的乘除运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
13．(1)
(2)9
【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．
（1）根据平方差公式，进行分母有理化即可；
（2）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算，可得答案．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：
原式
．
14．(1)2
(2)9
【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算；
（1）根据分母有理化是要求把原式化为再计算即可得到答案；
（2）依次把每一项分母有理化，再合并即可．
【详解】（1）解：
（2）
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键．
（1）根据示例中的方法，把与化为分子是1的数，再比较大小即可；
（2）根据示例中的方法，把与化为分子是1的式子，再比较大小即可．
【详解】（1）解：对两个数求倒数，得， ，
∵ ，
∴，
∵与都是正数，
∴；
（2）
证明：对两个数求倒数，得 ，
，
∵ ，
∴ ，
∵与（n为正整数）都是正数，
∴，
16．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化；
（1）利用分母有理化，进行计算即可解答；
（2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）①；
②；
（2）原式；
（3）∵
∴原式．
17．(1)6；2
(2)34
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
（1）将、的值直接代入求值即可；
（2）将、的值代入，计算即可．
【详解】（1）
（2）
18．(1)
(2)18
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；
（2）先求出，，再把所求式子变形为，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
19．；2
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再进行除法，然后化简得出，再把代入，进行运算即可作答．
【详解】解：原式
．
∵，
∴原式．
20．，
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则．
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入和的值进行计算即可．
【详解】原式
当，时，原式．
21．(1)，
(2)
(3)2
【分析】本题考查二次根式的应用；
（1）由正方形的面积可得边长，再利用二次根式的性质化简，即可求解；
（2）求出剩余的木料的长和宽，即可求面积；
（3）求剩余的木料的长和宽，即可求解．
【详解】（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为，，
故答案为：，；
（2）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∴剩余的面积为；
（3）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，
∵，，
能截出块这样的木条．
故答案为：2．
22．(1)；
(2)是的倍
(3)下落的高度是
【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用：
（1）根据所给公式代值计算即可；
（2）根据（1）的计算结果求解即可；
（3）把代入公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
故答案为：；；
（2）解：，
∴是的倍；
（3）解：由题意得，，
解得，
∴下落的高度是．
23．
【分析】本题考查二次根式的运算的应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
先由矩形的面积与一边长，求出另一边的长，从而计算出矩形的周长的值，根据平行四边形的周长公式计算出的值，代入，求出a值，再代入，计算即可．
【详解】解：∵矩形的面积为，它其中的一边长为，
∴矩形的另一边长为：，
∴，
∵平行四边形的一组邻边长分别为、．
∴
∴
∴
．
24．(1)，，
(2)①作图见解析；②
【分析】（1）将分别代入求值即可得；
（2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
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