2.1.1 倾斜角与斜率
A级 必备知识基础练
1.已知直线l1的倾斜角比斜率为-的直线l2的倾斜角小20°,则直线l1的倾斜角为( )
A.150° B.130° C.120° D.100°
2.若经过A(3,m),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m=( )
A.6 B.-6 C.4 D.-4
3.(多选题)已知直线斜率的绝对值为,则直线的倾斜角可以为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.过点A(-)与点B(-)的直线的倾斜角为( )
A.45° B.135° C.45°或135° D.60°
5.如图,已知直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1B.k3C.k3D.k16.一束光线射到x轴上并经x轴反射.已知入射光线的倾斜角α1=30°,则反射光线的倾斜角α2= .
7.如图所示,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求直线l1,l2的斜率.
8.已知三点P(3,-1),M(5,1),N(2,-1),直线l过点P,且与线段MN相交.求:
(1)直线l的倾斜角α的取值范围;
(2)直线l的斜率k的取值范围.
B级 关键能力提升练
9.(多选题)下列说法中,错误的是( )
A.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大
B.直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α
C.直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α
D.直线的倾斜角α∈或α∈,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增
10.直线l的倾斜角为α且斜率等于-2,若直线a的倾斜角为2α,则直线a的斜率为( )
A. B.- C. D.-
11.已知某直线的倾斜角α∈,则该直线的斜率k的取值范围为 .
12.光线从点A(-2,)射到x轴上的B点后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,2),则光线BC所在直线的倾斜角为 .
参考答案
第二章 直线和圆的方程
学习单元1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
1.D 由题意得,直线l2的斜率为-,即其倾斜角α(0≤α<180°)满足tanα=-,可得α=120°,所以直线l1的倾斜角β=α-20°=120°-20°=100°.故选D.
2.C 由题意可得tan45°=,即=1,解得m=4.
故选C.
3.BC 由题意得直线的斜率为或-,故直线的倾斜角为60°或120°.
4.A kAB==1,故直线的倾斜角为45°.
5.D 设直线l1,l2,l3的倾斜角分别是α1,α2,α3,由图可知α1>90°>α2>α3>0°,所以k1<06.150° 作出入射光线和反射光线,如图.
因为入射光线的倾斜角α1=30°,所以入射角为60°.
又反射角等于入射角,由图易知,反射光线的倾斜角为60°+60°+30°=150°.
7.解直线l1的斜率k1=tanα1=tan30°=.
∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,
∴l2的斜率k2=tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=-.
8.解(1)kPN==-,kPM==1,所以直线PN的倾斜角为120°,直线PM的倾斜角为45°,如图,所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤120°.
(2)直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).
9.ABC 直线的倾斜角α∈或α∈,π时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A错误,D正确;当α=90°时,斜率不存在,故B错误;只有当α∈[0,π)时,直线的倾斜角才是α,故C错误,故选ABC.
10.A ∵直线l的斜率等于-2,∴tanα=-2,
依题意可得,直线a的斜率tan2α=.
11.(-∞,-1]∪[1,+∞) 当α∈时,斜率k∈[1,+∞);
当α=时,斜率k不存在;
当α∈时,斜率k∈(-∞,-1].
综上,若α∈,则k∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
12.60° 点A(-2,)关于x轴的对称点为A'(-2,-),由物理知识知kBC=kA'C=,所以所求倾斜角为60°.2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
A级 必备知识基础练
1.倾斜角为135°的直线l经过坐标原点O和点A(4,y),则y=( )
A.4 B.5
C.-4 D.-5
2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为 ( )
A. B.a
C.- D.-或不存在
3.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则实数m的值为 ( )
A.1 B.0
C.0或1 D.0或2
4.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是 ( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
5.(多选题)设平面内四点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论正确的是( )
A.PQ∥SR
B.PQ⊥PS
C.PS∥QS
D.PR⊥QS
6.已知 ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为( )
A.(3,4) B.(4,3)
C.(3,1) D.(3,8)
7.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为 .
8.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.
B级 关键能力提升练
9.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,且O,A,B,C四点共圆,则y的值是( )
A.19 B. C.5 D.4
10.已知直线l1,l2不重合,直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为 .
11.已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是 .
12.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,点D使直线CD⊥AB,且CB∥AD,则点D坐标为 .
参考答案
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
1.C 由题意可知,直线l的斜率为tan135°=-1,则直线l的方程为y=-x,将点A(4,y)代入直线方程中得y=-4.故选C.
2.D 若a≠0,则l2的斜率为-;若a=0,则l2的斜率不存在.
3.C 当m=0时,直线AB与直线CD的斜率均不存在,此时AB∥CD,满足题意.
当m≠0时,kAB=,kCD=,
由题意得kAB=kCD,即,解得m=1.
经检验,当m=0或m=1时,两直线不重合.故选C.
4.C 易知kAB==-,kAC=,
∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,∠A为直角.
故△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形.
5.ABD 由斜率公式知,kPQ==-,kSR==-,kPS=,kQS==-4,kPR=,∴PQ∥SR,PQ⊥PS,PR⊥QS.而kPS≠kQS,
∴直线PS与QS不平行,故ABD正确.
6.A 设点D(m,n),直线AB,DC,AD,BC的斜率分别为kAB,kDC,kAD,kBC,由题意,得AB∥DC,AD∥BC,则有kAB=kDC,kAD=kBC,所以解得m=3,n=4.
所以顶点D的坐标为(3,4).
7.-1 由题意得kPQ==1,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.
8.解由斜率公式可得kAB=,kBC==0,kAC==5.
由kBC=0知直线BC∥x轴,如图,
故BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.
设AB,AC边上高线的斜率分别为k1,k2,由k1kAB=-1,k2kAC=-1,即k1=-1,5k2=-1,解得k1=-,k2=-.
综上可知,BC边上的高所在直线的斜率不存在;
AB边上的高所在直线的斜率为-;
AC边上的高所在直线的斜率为-.
9.B 由O,A,B,C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补.
又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即=-1,解得y=.故选B.
10.-10 由题可得,直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=-2,直线l3的斜率k3=-.
∵l1∥l2,∴k1=k2,即=-2,解得m=-8.
又l2⊥l3,∴k2·k3=-1,即(-2)×-=-1,解得n=-2.
∴m+n=-10.
11.(1,0)或(2,0) 设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).∵kPB≠0,kPA≠0,
∴kPA·kPB=-1,即=-1,
∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,
解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).
12.(0,1) 设D(x,y),则kCD=,kAB=3,kCB=-2,kAD=.∵kCD·kAB=-1,kAD=kCB,
∴即D(0,1).2.2.1 直线的点斜式方程
A级 必备知识基础练
1.过点(0,1)且与直线y=(x+1)垂直的直线方程是( )
A.y=2x-1 B.y=-2x-1
C.y=-2x+1 D.y=2x+1
2.经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量为v=(-6,4),则直线l的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0
C.3x-2y-5=0 D.2x+3y-5=0
3.若直线l:y=kx-与直线l1:y=-x+2的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 .
4.直线l与直线y=-x+2垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为 .
5.已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,则直线l的斜截式方程为 .
6.设a∈R,如果直线l1:y=-x+与直线l2:y=-x-平行,那么a= .
7.求满足下列条件的m的值.
(1)直线l1:y=-x+1与直线l2:y=(m2-2)x+2m平行;
(2)直线l1:y=-2x+3与直线l2:y=(2m-1)x-5垂直.
B级 关键能力提升练
8.直线l经过点P(3,4),它的倾斜角是直线y=x+的倾斜角的2倍,则直线l的方程是( )
A.y+4=-(x-3) B.y-4=-(x+3)
C.y-4=(x-3) D.y-4=-(x-3)
9.经过直线x+y+1=0和2x+y+5=0的交点,且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为( )
A.x+y+7=0
B.x-y+7=0
C.x-y+7=0或3x+4y=0
D.x+y+7=0或3x+4y=0
10.已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB相交,则k的取值范围是 .
11.已知直线l:kx-y+2+4k=0(k∈R).
(1)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
参考答案
学习单元2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
1.C 与直线y=(x+1)垂直的直线斜率为-2,又过点(0,1),所以所求直线方程为y=-2x+1,故选C.
2.D 联立解得
即直线l1:x+y=2与l2:2x-y=1的交点为(1,1).
又直线l的一个方向向量v=(-6,4),所以直线l的斜率为k=-,故直线l的方程为y-1=-(x-1),即2x+3y-5=0.故选D.
3. 如图,直线l1:y=-x+2过A(3,0),B(0,2).
而直线l过定点C(0,-),由图象可知又kAC=,∴k>,∴直线l的倾斜角α的取值范围是.
4.y=x+4 设直线l的方程为y=x+m.
又l在y轴上的截距为4,
∴m=4,∴直线l的方程为y=x+4.
5.y=x+1或y=x-1 设直线l的方程为y=x+b(b≠0).当x=0时,y=b;当y=0时,x=-6b.由题意可得·|b|·|-6b|=3,即6|b|2=6,解得b=±1.故直线l的方程为y=x+1或y=x-1.
6.-2或1 由l1∥l2,得-=-≠-,解得a=-2或a=1.
7.解(1)∵l1∥l2,∴两直线的斜率相等.
∴m2-2=-1且2m≠1,∴m=±1.
(2)∵l1⊥l2,∴2m-1=,∴m=.
8.D 设直线y=x+的倾斜角为α,其中0°≤α<180°.
由直线y=x+,可得斜率为k1=,即tanα=,可得α=60°.
根据题意,可得直线l的倾斜角为2α=120°,所以直线l的斜率为k=tan120°=-.因为直线l经过点P(3,4),可得直线l的方程为y-4=-(x-3).故选D.
9.C 联立方程组解得
所以直线x+y+1=0和2x+y+5=0的交点为(-4,3).
由题意可知所求直线的斜率存在且不为0,设斜率为k(k≠0),则所求直线方程为y-3=k(x+4),令x=0,得y=4k+3;令y=0,得x=-4-.
因为直线y-3=k(x+4)在x轴、y轴上的截距之和为0,则-4-+4k+3=0,整理得4k2-k-3=0,解得k=1或k=-,所以所求直线方程为x-y+7=0或3x+4y=0.故选C.
10. 由已知得,直线l恒过定点P(2,1),如图所示.
若l与线段AB相交,
则kPA≤k≤kPB.
因为kPA==-2,kPB=,所以-2≤k≤.
11.解(1)直线l的方程可化为y=kx+2+4k,则直线在y轴上的截距为4k+2,要使直线l不经过第四象限,需满足解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞).
(2)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为4k+2,且k>0,所以A,B(0,4k+2),故S=|OA|×|OB|==2≥2×(4+4)=16,当且仅当4k=,即k=时,等号成立.
故S的最小值为16,此时直线l的方程为y=x+4.2.2.2 直线的两点式方程
A级 必备知识基础练
1.已知三角形三个顶点分别为A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在的直线方程是( )
A.x-13y+5=0 B.x-13y-5=0
C.x+13y+5=0 D.x+13y=0
2.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 011,b)在直线l上,则b的值为( )
A.2 019 B.2 020 C.2 023 D.2 022
3.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为( )
A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0
4.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的两点式方程为 ( )
A. B.
C. D.
5.过点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是( )
A.- B.- C. D.2
6.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m= .
7.斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为 .
8.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的方程.
9.已知直线l过点P(4,1),
(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.
B级 关键能力提升练
10.若直线=1过第一、三、四象限,则( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
11.直线l1:2x-y+1=0关于直线l2:x+y+2=0对称的直线方程为 .
12.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为 .
13.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB面积的最小值为 .
参考答案
2.2.2 直线的两点式方程
1.C ∵B(3,-3),C(0,2),∴线段BC中点的坐标为D,即D.
则BC边上的中线应过A(-5,0),D两点,由两点式,得,整理得x+13y+5=0.故选C.
2.C 直线l的两点式方程为,化简得y=2x+1,将x=1011代入,得b=2023.
3.A 点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),由两点式方程得,即2x+y-8=0.
4.A 因为直线经过点A(-3,2),B(4,4),所以由方程的两点式可得直线方程为,即.故选A.
5.A 由直线的两点式方程得过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为,即2x-y+3=0.令y=0,得x=-.
6.-2 由两点式方程得,过A,B两点的直线方程为,即x+y-1=0.
又点P(3,m)在此直线上,所以3+m-1=0,得m=-2.
7.x-2y+4=0或x-2y-4=0 设直线方程为y=x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.
所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|b|·|-2b|=b2.由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=x±2,
即x-2y+4=0或x-2y-4=0.
8.解由两点式方程得,
即边AB所在的直线方程为y=-x-.
由两点式方程得,
即边BC所在的直线方程为y=-x+1.
由截距式方程,得=1.
即边AC所在的直线方程为y=x+1.
9.解(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为,即x+y-5=0.
(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).
令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.
∴1-4k=24-,解得k=或k=-2.
∴直线l的方程为y-1=(x-4)或y-1=-2(x-4),即y=x或2x+y-9=0.
10.B 因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.
11.x-2y-1=0 设直线l1关于直线l2对称的直线为l3,由解得则点(-1,-1)在直线l3上.
在直线l1上取一点A(0,1),设其关于直线l2对称的点为A'(m,n),则直线AA'的斜率为1,故解得即A'(-3,-2),所以直线l3的方程为,即x-2y-1=0.
12.x+2y-6=0 设直线l的方程为=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得=1,
∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+≥5+2=9,当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立.∴直线l的方程为=1,即x+2y-6=0.
13.4 设直线l的截距式方程为=1,依题意,a>0,b>0,又因为点P(2,1)在直线l上,所以=1,即2b+a=ab.
又因为△OAB的面积S=|OA|·|OB|=ab,所以S=ab=(2b+a)≥,当且仅当2b=a时,等号成立,所以ab≥,解这个不等式,得ab≥8.从而S=ab≥4,当且仅当2b=a时,等号成立,此时S取最小值4.2.2.3 直线的一般式方程
A级 必备知识基础练
1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为( )
A.-1,2 B.-2,2
C.2,-2 D.-2,-2
2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则( )
A.C=0,B>0 B.A>0,B>0,C=0
C.AB<0,C=0 D.AB>0,C=0
3.两直线3x+y-a=0与3x+y-1=0的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.重合 D.平行或重合
4.已知三条直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,l3:bx+2y+a=0,若l1⊥l2,且l2∥l3,则a+b=( )
A.2 B.4 C.2或1 D.4或1
5.(多选题)直线l1:ax-y+b=0与直线l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象可能是( )
6.已知直线l1:mx+3y-3=0,l2:(3m-2)x+my+1=0,则“m=-”是“l1⊥l2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a= .
8.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .
9.直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;
(2)若l不经过第一象限,求实数a的取值范围.
B级 关键能力提升练
10.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为( )
A.(2,-2) B.(-2,2)
C.(-2,-2) D.(2,2)
11.若AB<0,AC>0,则直线Ax+By+C=0不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l:ax+y-1-a=0与线段MN相交,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-4]∪,+∞
B.-∞,-∪[4,+∞)
C.-,4
D.-4,
13.垂直于直线3x-4y-7=0,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为 .
参考答案
2.2.3 直线的一般式方程
1.A 令x=0,则y=-=2;
令y=0,则x=-=-1,得b=2,a=-1,故选A.
2.D 直线l过原点,所以C=0,方程可化为y=-x,直线过二、四象限,所以斜率k=-<0,所以AB>0.
3.D
4.D 由l1⊥l2得a(a-1)-b=0, ①
由l2∥l3得2(a-1)-b=0, ②
由①②解得
经验证,两组均满足题意.故a+b=1或4.
5.BC l1:y=ax+b,l2:y=-bx+a.
在A中,由l1知a>0,b<0,则-b>0,与l2的图象不符;
在B中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;
在C中,由l1知a<0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;
在D中,由l1知a>0,b>0,与l2的图象不符.
6.A 当m=-时,直线l1的斜率为,l2的斜率为-9,又×(-9)=-1,所以l1⊥l2.
直线l1:mx+3y-3=0,l2:(3m-2)x+my+1=0,若l1⊥l2,则有m(3m-2)+3m=0,解得m=0或m=-.
所以“m=-”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A.
7. 令x=0,得y=(a-1)×2+a=6,解得a=.
8.1 ∵两直线垂直,
∴1×2-2m=0,m=1.
9.解(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为0,此时a=2,即l的方程为3x+y=0;
若a≠2,则=a-2,即a+1=1,所以a=0,即l的方程为x+y+2=0.所以a的值为0或2.
(2)直线l的方程化为a(x-1)+(x+y+2)=0,l恒过定点(1,-3),所以当斜率-3≤-(a+1)≤0,即-1≤a≤2时,l不经过第一象限.故a的取值范围是[-1,2].
10.A 设B的坐标为(a,b),
由题意可知
解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A.
11. D 依题意,AB<0,AC>0,则BC<0.
直线Ax+By+C=0可化为y=-x-,其中->0,->0,所以直线Ax+By+C=0不经过第四象限.故选D.
12.B 直线l:ax+y-1-a=0变形为y-1=-a(x-1),直线l过定点P(1,1),斜率k=-a.
直线PM的斜率为kPM==-4,直线PN的斜率为kPN=,
直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则斜率k满足k≤kPM或k≥kPN,如图,
即k≤-4或k≥,即-a≤-4或-a≥,解得a≥4或a≤-,所以a的取值范围是-∞,-∪[4,+∞).故选B.
13.4x+3y-12=0或4x+3y+12=0 由题意可设与直线3x-4y-7=0垂直的直线的方程为4x+3y+c=0(c≠0),令y=0,得x=-,令x=0,得y=-,则S==6,得c2=122,c=±12,∴直线l的方程为4x+3y-12=0或4x+3y+12=0.2.3.1 两条直线的交点坐标
A级 必备知识基础练
1.若直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直,则这两条直线的交点坐标为( )
A.-,- B.
C.,- D.-
2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为( )
A.-24 B.24 C.6 D.±6
3.在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.x+2y-4=0 B.x-2y=0
C.2x-y-3=0 D.2x-y+3=0
4.不论a为何实数,直线(a-3)x+2ay+6=0恒过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.若三条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0和x+ky=0相交于一点,则k= .
6.已知直线ax+y+a+2=0恒过一个定点,则过这一定点和原点的直线方程是 .
7.求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程.
8.直线l经过直线x-2y+4=0和直线x+y-2=0的交点,且与直线x+3y+5=0垂直,求直线l的方程.
B级 关键能力提升练
9.若直线y=x+2k+1与直线y=-x+2的交点在第一象限,则实数k的取值范围为( )
A.- B.-
C. D.
10.若三条直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0能构成三角形,则a应满足的条件是( )
A.a=1,或a=-2 B.a≠±1
C.a≠1,且a≠-2 D.a≠±1,且a≠-2
11.已知直线(1+k)x+y-k-2=0恒过定点P,则点P关于直线x-y-2=0的对称点的坐标是 .
12.已知两点A(-2,1),B(4,3),两直线l1:2x-3y-1=0,l2:x-y-1=0,求:
(1)过点A且与直线l1平行的直线方程;
(2)过线段AB的中点以及直线l1与l2的交点的直线方程.
参考答案
学习单元3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1.B 由题意得2a-(a+1)=0,解得a=1.
联立解得
所以这两条直线的交点坐标为.故选B.
2.A ∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),
∴解得故选A.
3.C 根据点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,可得直线l的斜率为=2,且直线l经过点(0,2)与点(4,0)构成的线段的中点(2,1),故直线l的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
4.D 直线(a-3)x+2ay+6=0可变形为a(x+2y)+(6-3x)=0,由
故直线(a-3)x+2ay+6=0恒过定点(2,-1).
又点(2,-1)在第四象限,故该直线恒过第四象限.
5.- 解方程组
又(-1,-2)也在直线x+ky=0上,
∴-1-2k=0,∴k=-.
6.2x-y=0 由直线ax+y+a+2=0,得a(x+1)+(y+2)=0,令解得x=-1,y=-2,
∴直线ax+y+a+2=0恒过定点(-1,-2),
∴过这一定点和原点的直线方程是,即y=2x,即2x-y=0.
7.解设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
∵点P(1,0)在直线上,∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=.
∴所求直线方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,即x+y-1=0.
8.解(方法1)由
∴交点坐标为(0,2).
又直线l与直线x+3y+5=0垂直,∴直线l的斜率为3,
∴直线l的方程为y-2=3x,即3x-y+2=0.
(方法2)设直线l方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0,
即(λ+1)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0,
因为l与x+3y+5=0垂直,
所以1×(λ+1)+3(λ-2)=0,解得λ=,
将λ=代入方程,得直线l的方程为3x-y+2=0.
9.A 联立解得故两直线的交点为.
因为交点在第一象限,所以解得-故选A.
10.D 为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点.
①若l1∥l2,则由a×a-1×1=0,得a=±1.
②若l2∥l3,则由1×1-a×1=0,得a=1.
③若l1∥l3,则由a×1-1×1=0,得a=1.
当a=1时,l1,l2与l3三线重合,当a=-1时,l1,l2平行.
④若三条直线交于一点,由解得将l2,l3的交点(-a-1,1)的坐标代入l1的方程,解得a=1(舍去)或a=-2.
所以要使三条直线能构成三角形,需a≠±1,且a≠-2.
11.(3,-1) 由直线(1+k)x+y-k-2=0化为k(x-1)+(x+y-2)=0,
令解得故此直线恒过点P(1,1).
设点P关于直线x-y-2=0的对称点为Q(m,n),则解得故Q(3,-1).
12.解(1)设与直线l1:2x-3y-1=0平行的直线方程为2x-3y+c=0(c≠-1),
将点A(-2,1)的坐标代入,得-4-3+c=0,解得c=7.
∴所求直线方程是2x-3y+7=0.
(2)设线段AB的中点为M.∵A(-2,1),B(4,3),∴M(1,2).设直线l1,l2的交点为N,
联立解得∴N(2,1).
∴所求直线的方程为,即x+y-3=0.2.3.2 两点间的距离公式 2.3.3 点到直线的距离公式2.3.4 两条平行直线间的距离
A级 必备知识基础练
1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为( )
A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5
2.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是( )
A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0
3.已知过A(m,2),B(-m,m-1)两点的直线的倾斜角是45°,则A,B两点间的距离为( )
A.2 B. C.2 D.3
4.(多选题)与直线3x-4y+1=0垂直,且与点(-1,-1)的距离为2的直线方程为( )
A.4x+3y-3=0 B.4x+3y+17=0
C.4x-3y-3=0 D.4x-3y+17=0
5.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是( )
A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0
C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0
6.(多选题)到直线2x+y+1=0的距离等于的直线方程可能为( )
A.2x+y-1=0 B.2x+y-2=0
C.2x+y=0 D.2x+y+2=0
7.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有 条.
8.已知△ABC三边所在直线方程为lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30).
(1)判断△ABC的形状;
(2)当BC边上的高为1时,求m的值.
B级 关键能力提升练
9.过点A(1,2),且与原点O距离最大的直线的方程是( )
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.x-2y+3=0
10.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.3 B.2 C.3 D.4
11.已知x+y-3=0,则的最小值为 .
12.求过点P(0,2)且与点A(1,1),B(-3,1)等距离的直线l的方程.
参考答案
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
1.C 由|AB|==5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5.
2.B 设P(x,y),则,即3x+y+4=0.
3.C 由题知,=tan45°=1,解得m=1,故A(1,2),B(-1,0),则A,B两点间的距离为=2.故选C.
4.AB 设所求直线方程为4x+3y+C=0,
则=2,
即|C-7|=10,解得C=-3或C=17.
故所求直线方程为4x+3y-3=0或4x+3y+17=0.
5.D (方法1)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知,解得C=-6(舍去)或C=8.
故所求直线的方程为2x+3y+8=0.
(方法2)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.
6.CD 因为所求直线与直线2x+y+1=0的距离为,所以可得所求直线与已知直线平行.设所求直线方程为2x+y+C=0(C≠1),则d=,解得C=0或C=2,故所求直线方程为2x+y=0或2x+y+2=0.
7.2 显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;设直线方程为y-3=k(x-1),由=1,得k=,该直线方程为4x-3y+5=0.因此满足条件的直线有2条.
8.解(1)因为直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-,则kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形.
(2)解方程组即A(2,6).
由点到直线的距离公式得d=.当d=1时,=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.所以m的值为25或35.
9.A 根据题意得,所求直线与直线OA垂直,
因为直线OA的斜率为2,所以所求直线的斜率为-.
所以由点斜式方程得y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.
10.A 由题意知,直线l1与l2平行,所以点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+C=0(C≠-7且C≠-5),则,即C=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离,即=3.
11. 设P(x,y),A(2,-1),则点P在直线x+y-3=0上,且=|PA|.
|PA|的最小值为点A(2,-1)到直线x+y-3=0的距离d=.
12.解(方法1)∵点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,∴直线l的斜率存在,设直线l斜率为k.
又直线l在y轴上的截距为2,
∴直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.
由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,得,解得k=0或k=1.
∴直线l的方程是y=2或x-y+2=0.
(方法2)①当直线l过线段AB的中点时,直线l与点A,B的距离相等.∵AB的中点是(-1,1),直线l过点P(0,2),
∴直线l的方程是x-y+2=0.
②当直线l∥AB时,直线l与点A,B的距离相等.
∵直线AB的斜率为0,
∴直线l的斜率为0,∴直线l的方程为y=2.
综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.2.4.1 圆的标准方程
A级 必备知识基础练
1.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为( )
A.(x-2)2+(y+3)2=25
B.(x+2)2+(y-3)2=65
C.(x+2)2+(y-3)2=53
D.(x-2)2+(y+3)2=13
2.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)( )
A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外
3.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程是( )
A.(x+1)2+(y-3)2=29
B.(x+1)2+(y-3)2=116
C.(x-1)2+(y+3)2=29
D.(x-1)2+(y+3)2=116
4.方程x=表示的图形是( )
A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆
5.(多选题)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为( )
A.x2+(y-4)2=20 B.(x-4)2+y2=20
C.x2+(y-2)2=20 D.(x-2)2+y2=20
6.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A.(x-2)2+(y+3)2=36
B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18
D.(x-2)2+(y+3)2=9
7.已知圆C的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且圆心到直线3x+4y+4=0的距离等于半径长,则圆C的标准方程为 .
8.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是 .
9.圆(x+1)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的标准方程为 .
10.已知圆M过A(1,-1),B(-1,1)两点,且圆心M在直线x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)若圆M上存在点P,使|OP|=m(m>0),其中O为坐标原点,求实数m的取值范围.
B级 关键能力提升练
11.若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为 ( )
A.,-4 B.-,4
C.,4 D.-,-4
12.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从点A观察点B,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(2,+∞)
C.-∞,-∪,+∞
D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
13.(多选题)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列说法正确的是( )
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
14.矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,1),AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,点T(-1,0)在AD边所在直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
15.设A(xA,yA),B(xB,yB)为平面直角坐标系内的两点,其中xA,yA,xB,yB∈Z.令Δx=xB-xA,Δy=yB-yA,若|Δx|+|Δy|=3,且|Δx|·|Δy|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作B=τ(A).
(1)求点(0,0)的“相关点”的个数.
(2)点(0,0)的所有“相关点”是否在同一个圆上 若在,写出圆的方程;若不在,请说明理由.
参考答案
学习单元4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
1.D ∵C(2,-3),B(5,-1),
∴|BC|=,即圆的半径r=.
又圆心为C(2,-3),
∴圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.故选D.
2.C ∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.
3.C 因为A(-4,-5),B(6,-1),所以线段AB的中点为C(1,-3),所求圆的半径r=|AB|=,所以以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29.
故选C.
4.D 根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1,由此确定图形为半圆.故选D.
5.AD 令x=0,则y=4;令y=0,则x=2.
所以直线2x+y-4=0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0).所以|AB|==2.
所以以A为圆心,过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20.
以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20.
6.B 由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,
得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,
则解得即P(-1,1).
∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2,-3),
∴|PC|==5,
∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.故选B.
7.(x-2)2+y2=4 设圆心坐标为(a,0),且a>0,则点(a,0)到直线3x+4y+4=0的距离为2,即=2,所以3a+4=±10,解得a=2或a=-(舍去),则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4.
8.5 由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5.
9.x2+(y+1)2=5 圆(x+1)2+y2=5的圆心坐标为(-1,0),它关于直线y=x的对称点坐标为(0,-1),即所求圆的圆心坐标为(0,-1),所以所求圆的标准方程为x2+(y+1)2=5.
10.解(1)设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),根据题意得解得
所以圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)如图,m=|OP|∈[2-,2+].
11.A 因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,直线2x+y+b=0的斜率为-2,所以k=,并且直线2x+y+b=0经过已知圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线2x+y+b=0上,所以4+0+b=0,所以b=-4.故选A.
12.C (方法1 直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.
过A,B两点的直线方程为y=x+,即ax-4y+2a=0,令=1,化简后,得3a2=16,解得a=±.再进一步判断便可得到正确答案为C.
(方法2 数形结合法)
如图,设直线AB切圆O于点C,在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.
在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=,再由图直观判断,选C.
13.ABD 圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,故A正确;
令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,
∵Δ=36-40=-4<0,
∴2k2-6k+5=0无实数根,故B正确;
由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,
∵Δ=16-8=8>0,有两个不等实根,
∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误;
由圆的半径为2,得圆的面积为4π,故D正确.故选ABD.
14.解(1)因为AB边所在直线的方程为x-2y-4=0,且AD与AB垂直,所以直线AD的斜率为-2.
又因为点T(-1,0)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-0=-2(x+1),即2x+y+2=0.
(2)由解得所以点A的坐标为(0,-2).因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,1),所以M为矩形外接圆的圆心.
又|AM|=,从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=13.
15.解(1)因为|Δx|+|Δy|=3(Δx,Δy为非零整数),所以|Δx|=1,|Δy|=2或|Δx|=2,|Δy|=1,
所以点(0,0)的“相关点”有8个.
(2)是.设点(0,0)的“相关点”的坐标为(x,y).由(1)知|Δx|2+|Δy|2=5,即(x-0)2+(y-0)2=5,所以所有“相关点”都在以(0,0)为圆心,为半径的圆上,所求圆的方程为x2+y2=5.2.4.2 圆的一般方程
A级 必备知识基础练
1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为( )
A.2 B. C.1 D.
2.(多选题)下列结论正确的是( )
A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示圆
D.若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则+Dx0+Ey0+F>0
3.已知方程x2+y2-2kx+2k+3=0表示圆,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(3,+∞)
C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.-,+∞
4.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是 ( )
A.x+y-3=0 B.x-y-3=0
C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0
5.一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点A(3,0)的连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1 D.x+2+y2=
6.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是 .
7.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.
B级 关键能力提升练
8.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是( )
A.两个点 B.四个点
C.两条直线 D.四条直线
9.若圆x2+y2-4x+2y+a=0与x轴、y轴均有公共点,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,0]
C.[0,+∞) D.[5,+∞)
10.在圆M:x2+y2-4x+2y-4=0内,过点O(0,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD,则四边形ABCD的面积为( )
A.6 B.8 C.12 D.24
11.已知△ABC的顶点A(0,0),B(4,0),且AC边上的中线BD的长为3,则顶点C的轨迹方程是 .
12.已知圆C的方程可以表示为x2+y2-2x-4y+m=0,其中m∈R.
(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;
(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.
参考答案
2.4.2 圆的一般方程
1.D 因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=.
2.ABD A,B显然正确;C中方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0,所以表示点(1,-2);D正确.
3.C 由题意得(-2k)2-4(2k+3)>0,即k2-2k-3>0,解得k>3或k<-1,所以k的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).故选C.
4.C 圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由斜率k==2,再根据直线的点斜式方程可知所求直线为y=2(x-3),即2x-y-6=0.
5.C 设M(x0,y0)为圆上的动点,则有=1,设线段MA的中点为P(x,y),则x=,y=,
则x0=2x-3,y0=2y,代入=1,得(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.
6.-∞, 由(-2)2+12-4k>0得k<.
7.解∵圆心在直线2x-y-3=0上,
∴可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),
则圆的方程为(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.
把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,
得(5-a)2+(2-2a+3)2=r2, ①
(3-a)2+(-2-2a+3)2=r2, ②
由①②可得a=2,r2=10.
故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10,
即x2+y2-4x-2y-5=0.
8.B 方程(x2-4)2+(y2-4)2=0,
则x2-4=0,且y2-4=0,即解得得到4个点.
9.A 圆x2+y2-4x+2y+a=0,即(x-2)2+(y+1)2=5-a,圆心(2,-1),半径r=.
∵圆与x轴、y轴都有公共点,∴解得a≤1.
10.C 依题意,把圆M的方程化为标准方程是(x-2)2+(y+1)2=9,则圆心M(2,-1),半径r=3.
点O(0,0)与圆心M(2,-1)的距离|OM|=<3,则点O(0,0)在圆内,如图,则过点O(0,0)及圆心M(2,-1)的直线与圆相交,可得最长弦为圆M的直径,即|AC|=6.
当OM⊥BD时,|BD|最短,可得过点O(0,0)的最短弦的弦长|BD|=2=2×=4.
所以四边形ABCD的面积S四边形ABCD=·|AC|·|BD|=×6×4=12.故选C.
11.(x-8)2+y2=36(y≠0) 设C(x,y)(y≠0),则D.∵B(4,0),且AC边上的中线BD长为3,
∴=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0).
12.解(1)m=1,则圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2)到直线的距离为,所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为2=2.
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),
直线代入圆的方程得5x2-8x+4(m-4)=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
因为OM⊥ON,所以x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1)·(4-x2)=x1x2-(x1+x2)+4=+4=0,所以m=,此时Δ>0.2.5.1 直线与圆的位置关系
A级 必备知识基础练
1.若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(-5,15)
B.(-∞,-5)∪(15,+∞)
C.(-∞,4)∪(13,+∞)
D.(4,13)
2.已知直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则实数b的值是( )
A.-2或12 B.2或-12
C.-2或-12 D.2或12
3.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值可以为( )
A.0 B.4 C.-2 D.
4.若直线ax+by=1与圆O:x2+y2=1相离,则点P(a,b)与圆O的位置关系为( )
A.点P在圆O内 B.点P在圆O上
C.点P在圆O外 D.无法确定
5.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.- B.-
C.- D.-或-
6.过点P(3,5)作圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为 .
7.已知圆C:x2+(y-2)2=1,直线l:x+my-1=0.
(1)当直线l与圆C相交时,求m的取值范围;
(2)若Q为直线l与x轴的交点,过点Q作圆C的切线,求切线的方程.
B级 关键能力提升练
8.若点(a,b)是圆x2+y2=r2(r>0)外一点,则直线ax+by=r2与该圆的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交但不过圆心 D.相交且过圆心
9.若P(1,-1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为( )
A.2x+y+1=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-3=0 D.2x+y-3=0
10.若直线l:kx-y+4+2k=0与曲线y=有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A.{k|k=±1} B.kk<-
C.k-1≤k<- D.k-1≤k<-
11.已知方程x2+y2-4x-2y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若m的值为(1)中能取到的最大正整数,从而得到以C为圆心的圆C,已知P为直线3x-4y=12上的动点,过点P作圆C的切线,切点为A,试求△PAC的面积的最小值.
参考答案
学习单元5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
1.B 圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心为(1,-2),半径为2.
由题意,得圆心到直线3x+4y+m=0的距离>2,解得m<-5或m>15.故选B.
2.D 圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0,
可化为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆心(1,1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1,得b=2或b=12,故选D.
3.AB 由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.
又直线被圆截得的弦长为2,
所以圆心到直线的距离d=.
又d=,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.
4.A 由题得点O(0,0)到直线ax+by=1(a,b不同时为0)的距离d=>1,即a2+b2<1,所以点P(a,b)在圆O内.故选A.
5.D 由光的反射原理,知反射光线的反向延长线必过点(2,-3),设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.
又因为反射光线与圆相切,所以=1,整理得12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.
6.4 由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圆心A的坐标为(1,1),半径r=2,点P(3,5)与点A(1,1)的距离|AP|==2,设B为切点,由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|==4,则切线长为4.
7.解(1)由题意得,圆C:x2+(y-2)2=1的圆心为C(0,2),半径为r=1.
∵直线l与圆C相交,∴圆心C到直线l的距离d∴d=<1,即3m2-4m<0,解得0∴m的取值范围是0,.
(2)∵Q为直线l与x轴的交点,∴Q(1,0),则点Q在圆外,如图,
当过点Q的直线斜率不存在时,直线方程为x=1,此时圆心C(0,2)到直线的距离d1=1=r,则直线x=1为切线;
当过点Q的直线斜率k存在时,设切线方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,
由圆心到切线的距离d2==r=1,解得k=-,
则切线方程为y=-(x-1),即3x+4y-3=0.
综上,过点Q的圆C的切线方程为3x+4y-3=0或x=1.
8.C 由题意,得a2+b2>r2,从而圆心(0,0)到直线的距离为d=∈(0,r),所以直线与圆相交但不过圆心.
9.B 设M(x1,y1),N(x2,y2),x1≠x2,则-6x1=0,-6x2=0,两式作差可得-6x1+6x2=0,即(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)-6(x1-x2)=0.
又P(1,-1)是MN的中点,则x1+x2=2,y1+y2=-2,
∴2(x1-x2)-2(y1-y2)-6(x1-x2)=0,即-4(x1-x2)-2(y1-y2)=0.
∴直线MN的斜率kMN==-2,
∴直线MN的方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.
经检验,符合题意.
故弦MN所在直线的方程为2x+y-1=0.故选B.
10.D 由题可知,直线l可转化为(x+2)k-y+4=0,所以直线l恒过点A(-2,4).
又因为曲线y=可转化为x2+y2=4(y≥0),所以其表示圆心为原点,半径为2的圆的上半部分(包含在x轴上的部分).
当直线l与该曲线相切时,点(0,0)到直线的距离d==2,解得k=-.
设B(2,0),则直线AB的斜率kAB==-1.
由图可得,若要使直线l:kx-y+4+2k=0与曲线y=有两个交点,需要-1≤k<-.故选D.
11.解(1)因为方程表示圆,所以(-4)2+(-2)2-4m>0,得m<5,即m的取值范围是(-∞,5).
(2)因为m的值为(1)中能取到的最大正整数,所以m=4,
所以圆C:(x-2)2+(y-1)2=1,圆心C(2,1),半径r=1.
又因为S△PAC=|PA||AC|=,所以当S△PAC取最小值时,|PC|取最小值,且|PC|的最小值为点C到直线3x-4y=12的距离,
所以|PC|min==2,
所以S△PAC的最小值为.
2.5.2 圆与圆的位置关系
A级 必备知识基础练
1.圆C1:x2+y2-4x+2y+1=0与圆C2:x2+y2-2y-3=0的公切线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.(多选题)圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值可以为( )
A.2 B.-5 C.-2 D.5
3.两圆x2+y2-2x-2y=0和x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x+y+3=0 B.x-y+2=0
C.x+y-2=0 D.2x-y-1=0
4.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是( )
A.-16 B.-9 C.11 D.12
5.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-4)2+(y-3)2=1,则下列结论正确的有( )
A.圆O与圆C外切
B.P,Q分别为圆O和圆C上的动点,则|PQ|的最大值为8,最小值为2
C.过点C且与圆O相切的直线有一条
D.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为x+y-7=0或3x-4y=0
6.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-2)2+(y-2)2=r2(r>1)有两个交点,则r的取值范围是( )
A.(1,+1) B.(2-1,2+1)
C.(1,+1] D.[2-1,2+1]
7.过圆C:x2+y2=1外一点P(a-2,a)作圆C的切线,切点分别为A,B,则直线AB过定点( )
A.,- B.-
C. D.-,-
8.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是 .
B级 关键能力提升练
9.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆O:x2+y2=上的动点,点F是圆(x-3)2+(y+1)2=上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为( )
A.2 B. C.3 D.4
10.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为 ;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点 .
11.已知圆C的圆心在x轴上,其半径为1,直线l:8x-6y-3=0被圆C所截得的弦长为,且点C在直线l的下方.
(1)求圆C的方程;
(2)若P为直线l1:x+y-3=0上的动点,过点P作圆C的切线PA,PB,切点分别为A,B,当|PC||AB|最小时,求直线AB的方程.
参考答案
2.5.2 圆与圆的位置关系
1.B 圆C1与圆C2的圆心分别为C1(2,-1),C2(0,1),半径分别为r1==2,r2==2,圆心距|C1C2|=2,所以r1-r2<|C1C2|2.AB 圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3,圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2.依题意有=3+2,
即m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.
3.C AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.
4.AD 化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为;圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.
要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>+1或|C1C2|<-1,即5>+1或5<-1,解得-2511.
∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).
满足这一范围的有A和D.
5.BD 对于A,因为圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径r=2,圆C:(x-4)2+(y-3)2=1的圆心C(4,3),半径R=1,则|OC|==5>3=2+1,即|OC|>r+R,所以圆O与圆C外离,故A错误;
对于B,由圆的性质可知|PQ|≤|OC|+r+R=8,即|PQ|的最大值为8,|PQ|≥|OC|-(r+R)=2,即|PQ|的最小值为2,故B正确;
对于C,因为|OC|>r,可知点C在圆外,所以过点C且与圆O相切的直线有两条,故C错误;
对于D,由题意可知所求直线的斜率存在且不为0,设直线方程为y-3=k(x-4),k≠0,则直线在x轴、y轴上的截距分别为4-,3-4k,则4-=3-4k,解得k=-1或k=,所以直线方程为x+y-7=0或3x-4y=0,故D正确.故选BD.
6.B 由题意知,圆心C1(0,0)与圆心C2(2,2),则圆心距|C1C2|=2.
因为圆C1与圆C2有两个交点,则圆C1与圆C2相交,则r-1<|C1C2|7.B 圆C:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1,连接OA,OB,如图,则OA⊥AP,OB⊥BP,
则O,A,P,B四点共圆,都在以OP为直径的圆上,
则圆心为OP的中点D,半径r=,
故圆D:x-2+y-2=,
化简得,x2-(a-2)x+y2-ay=0, ①
又圆C的方程x2+y2=1, ②
②-①化简得,(a-2)x+ay-1=0,此即两圆相交弦AB所在直线的方程,方程可化为a(x+y)-2x-1=0,由解得故直线AB过定点-.故选B.
8.外切 ∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,则|C1C2|==2,∴|C1C2|=r1+r2.∴两圆外切.
9.D ∵P(t,t-1),
∴P点在直线y=x-1上.作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x2+y2=关于直线y=x-1对称的圆O1方程为(x-1)2+(y+1)2=,∴E'在圆O1上,∴|PE|=|PE'|.设圆(x-3)2+(y+1)2=的圆心为O2,
∴|PE'|≥|PO1|-|E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,
∴|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO2|+|FO2|)-(|PO1|-|E'O1|)=|PO2|-|PO1|+2≤|O1O2|+2=4,当P,E',F,O1,O2五点共线,E'在线段PO1上,O2在线段PF上时,等号成立.因此,|PF|-|PE|的最大值为4.
10.2x+y-1=0 圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,,半径为r=.
可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-2=,即x2+y2-2x-y=0,
两圆的方程相减可得直线AB的方程为2x+y-1=0.
因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线,所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-2=(2-m)2+.
又由圆C的方程为x2+y2=1,两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,所以直线AB过定点.
11.解(1)设圆心C(a,0)到直线l的距离为d,则d=,解得a=1或a=-.
因为点C在直线l的下方,所以a=1,C(1,0),所以圆C的方程为(x-1)2+y2=1.
(2)因为S四边形PACB=|PC||AB|=|PA||AC|=,所以|PC||AB|最小,即|PC|最小,
当PC⊥l1时,|PC|最小,所以此时直线PC的斜率kPC=1,直线PC的方程为y=x-1.
联立所以P(2,1),PC的中点为,|PC|=,所以以PC为直径的圆的方程为x-2+y-2=.
直线AB为以PC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线,
联立得x+y=2,所以直线AB的方程为x+y-2=0.
